К вопросу о моделировании радиационного упрочнения и радиационного охрупчивания металлов и сплавов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.039.524.4-98:621.039.531

В. В. Светухин, О. Г. Сидоренко

К ВОПРОСУ О МОДЕЛИРОВАНИИ РАДИАЦИОННОГО УПРОЧНЕНИЯ И РАДИАЦИОННОГО ОХРУПЧИВАНИЯ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ

В работе предложена кинетическая модель радиационно ускоренной кластеризации и преципитации примесей в металлах и сплавах. Предложенная модель использована для расчета сдвига температуры хрупко-вязкого перехода корпусов реакторов ВВЭР-440. Получены математические выражения, описывающие влияние плотности потока нейтронов на радиационное охрупчивание.

Введение

В процессе облучения в материале происходят микроструктурные изменения, которые приводят к макроизменениям, а именно к изменению механических свойств металлов и сплавов: предел прочности и предел текучести повышаются, а величина относительного удлинения падает, и при определенных условиях материал становится хрупким. Если речь идет о корпусе реактора, как об одном из барьеров безопасности, то данная проблема хрупкости материала приобретает особую актуальность. Радиационное упрочнение корпусных сталей сопровождается низкотемпературным охрупчиванием. Низкотемпературное радиационное охрупчивание характеризуется сдвигом температуры хрупко-вязкого перехода в область высоких температур, близким к температурам эксплуатации. Хотя явления радиационного упрочнения и радиационного охрупчивания по действию на работоспособность металла являются противоположными, между ними существует взаимосвязь. В настоящее время в качестве объяснения механизмов радиационного охрупчивания представляют механизмы радиационного упрочнения.

Цель данной работы: на основании простых математических выкладок связать радиационное охрупчивание с микроструктурными изменениями, происходящими в материале под облучением.

1. Математическая модель упрочнения металлов примесными кластерами и преципитатами

Изменение прочностных характеристик материала при облучении обусловлено формированием дефектов различной природы, являющихся эффективными стопорами для дислокаций. В зависимости от температуры и характеристик облучения формируется тот или иной вид дефектов - примесные кластеры, преципитаты, скопления из собственных точечных дефектов (ва-кансионные поры, дефекты упаковки) и т.д.

Для начала рассмотрим кинетику роста скоплений из примесных атомов, проходящую по следующей обратимой схеме:

к (г)

Л£ + Л <==к А+1С . (1)

8 (г)

Эта модель соответствует росту кластеров или преципитатов из примесных атомов сорта А на центрах зарождения С с концентрацией Ис ; к(г) и §(г) - кинетические коэффициенты захвата и выброса мономера центром

скопления. В первом приближении будем считать, что данная концентрация не меняется с течением времени и может быть определена экспериментально. Центры зарождения могут или присутствовать в материале до облучения, или формироваться на начальной стадии облучения.

В случае если рост лимитирован диффузией, кинетический коэффициент к (I) можно представить в виде [1]

лучаемом материале; Я(г) - радиус скопления из I частиц. Зависимость радиуса от числа частиц в кластере можно представить в виде

где Ь - величина порядка расстояния между частицами в скоплении; величина т - начальный размер скоплений, определяется из условия, что размер

Значение параметра а определяется из простых геометрических соображений. Так, для сферических скоплений а = 1/3, для дискообразных а = 1/2 , для кластеров с фрактальной размерностью а = 1/Бр .

Необходимо учесть, что при облучении увеличивается коэффициент диффузии примесных атомов. В случае если реализуется вакансионно-ускоренный механизм диффузии, наиболее простая модель дает следующее выражение [2]:

весная концентрация вакансий; Б - коэффициент диффузии примеси в отсутствии облучения.

В случае если кинетические коэффициенты определяются формулой (2),

где к0 = 4п Б Ь , МЕ - равновесная концентрация примесных мономеров.

Кроме того, в любой момент времени для системы, описываемой схемой (1), выполняются законы сохранения центров зарождения и общего числа частиц в системе. Законы сохранения позволяют найти среднее число частиц в системе

Используя формулы (5) и (6), можно получить дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентрации мономеров в процессе распада пересыщенного твердого раствора:

к а) = 4пБ* Я (О ,

(2)

*

где Б - эффективный коэффициент диффузии примесного мономера в об-

Я(1) = Ь([ + т)а,

(3)

центров зарождения равен Я(0) = Ьта .

(4)

Е

где Му - концентрация вакансий в материале при облучении; Му - равно-

для среднего числа частиц в скоплениях (г(г)) можно получить уравнение [3]

(5)

М (0) - М (г)

(6)

ёМ (г) йг

= -к0М1са (N (г) - МЕ){(0) - N (г) + тМс },

(7)

а, пренебрегая начальным размером скоплений (т = 0) и используя приближение N (0) - N (г) = N (0) - Ме , будем искать решение дифференциального уравнения (7) на начальном этапе распада твердого раствора в виде

N (г) = NE + [ (0) - NE ]ехр(-/(г)), (8)

где

/ (г) =

(1 -а) А( N (0) - NE )а г

I-« , / (0) = 0,

ехр(-/(г)) = 1 - / (г), Щ- = к^С «(N (0) - NE)« /« йг

(9)

После подстановки уравнения (9) в (8) с учетом приближений, указан ных выше, получаем выражение, описывающее кинетику уменьшения кон центрации мономеров на начальном этапе распада твердых растворов:

' _1_'

- Мс {(1 -а)^ М (0)-МЕ ]а к0г|1-а

N (г) - NE

N (0) - NE

= ехр

(10)

решение

При больших временах, используя приближение М(г) = Ме ■ уравнения (7) может быть аппроксимировано выражением

М(г) - МЕ = А ехр{-МС-а [М(0) + тМс - МЕ ]а ]|, (11)

где А - некоторая константа.

Заметим, что уравнение (10) приводит в качестве частного результата к уравнению Авраамии-Хэма для распада пересыщенных твердых растворов [4]:

N (г) - NE N (0) - NE

= ехр{-^гт},

(12)

где константа т определяется геометрией кластеров; К - константа, зависящая от концентрации центров зарождения, степени пересыщения раствора и коэффициента диффузии мономеров. Используя уравнение диффузии, Хэм рассмотрел рост преципитатов различной геометрии и нашел, что т = 3/2 для выделений с постоянным эксцентриситетом, т = 2 для выделений в виде дисков, т = 1 для цилиндрических выделений.

Таким образом, в отсутствие облучения в качестве частного результата мы автоматически получаем уравнение Авраамии-Хэма, хорошо подтвердившее свою применимость на большом числе экспериментальных данных.

Из уравнения (5), используя уравнение (3), можно найти закономерность изменения среднего геометрического размера кластеров на начальной стадии распада твердого раствора:

(Л) = Ь((1 - а)кв (N(0) - NE)г)-« .

(13)

1

2. Расчет концентрации вакансий и вакансионно-ускоренного коэффициента диффузии примесей

Мы сделали предположение, что диффузия примесных атомов ускоряется вакансиями, образующимися при облучении (4). Для расчета концентрации свободных междоузельных атомов и вакансий в первом приближении можно использовать следующую систему дифференциальных уравнений [2]:

= О - ЯМуМI - КуМу;

М (14)

—1- = О - ЯМуМ[ - К1М1, йг

где О = аф - скорость введения свободно мигрирующих вакансий; а - сечение их образования; ф - плотность потока быстрых нейтронов; Я - константа рекомбинации; Ку I = Эу ¡Бу I - константа скорости поглощения вакансий (междоузлий) стоками различной природы; Эу I - коэффициент диффузии вакансии и междоузельного атома; Бу I - эффективная площадь стоков

для вакансий и междоузельных атомов.

Можно ввести в уравнение (14) процесс образования вакансионно-примесных комплексов, однако это принципиально не повлияет на характер полученных решений, поэтому ограничимся приближением (14).

Из уравнения (14) можно найти стационарное решение для концентрации вакансий [5]:

Му = т <.5)

ЬуЭ

где F(n) = -((1 + П)1/2 -1), П= 4ЯО

Л ' DvDISуSI

Таким образом, используя (4) и (15), можно записать следующее уравнение для эффективного коэффициента диффузии примесей при облучении:

в.=. (16)

БуОуМу

В зависимости от температуры будет доминировать тот или иной механизм рекомбинации собственных точечных дефектов [5]. При высоких температурах исчезновение вакансий определяется их уходом на стоки. В этом

случае из (15) можно получить следующую асимптотику: Му ~ О ~ —, где

Ф0

ф0 = 10-12 см-2-с-1. При «низких» температурах концентрация собственных дефектов определяется их взаимной рекомбинацией. В этом случае можно

получить, что Му ~ — .

^Ф0

Формально определим связь между концентрацией вакансий и плотностью потока с помощью следующего эмпирического соотношения:

(17)

где показатель п изменяется в интервале от 0,5 до 1 в зависимости от температуры; йу - некоторая функция, зависящая от температуры.

Соответственно запишем выражение для вакансионно-ускоренного коэффициента диффузии примесей:

3. Упрочнение металлов и сплавов примесными кластерами

Для описания процесса упрочнения используем наиболее известную модель Орована:

Используя связь между флюенсом быстрых нейтронов F = ф г и временем, а также эмпирическое выражение (17) для концентрации вакансий и уравнение (6), можно получить следующую зависимость упрочнения от флюенса быстрых нейтронов и плотности потока быстрых нейтронов при облучении на начальном этапе облучения:

где ^ = 1018 см-2.

На более поздних стадиях облучения при приближении к насыщению процесса зависимость упрочнения будет носить следующий характер:

(18)

(19)

*

Используя равенство кр = 4п Б Ь и подставляя выражения (13) и (4) в

(19), можно получить следующее выражение:

а

Да = а0 4яШ(1 -а)(Ис) а (N(0) - ИЕ)

мЕ

V У

1-а

(20)

а

(21)

а

(22)

где X = и"са (1 - а)( (0) + тИс - ИЕ )а 4кЬБ^ ; В = А

му N (0) - Ме

4. Качественный анализ полученных аналитических зависимостей

Зависимость от флюенса быстрых нейтронов

Как уже было показано, исходя из предложенной модели зависимость упрочнения от флюенса быстрых нейтронов на начальном этапе облучения носит степенной характер (22), причем показатель степени зависит от геометрии скоплений. Так, например, для скоплений дискообразной геометрии (а = 1/2)

Да(Р)~ р 2. (23)

Данная геометрия может реализовываться, например, для дефектов упаковки или для вакансионных кластеров на ранней стадии их роста.

Для скоплений сферической формы (а = 1/3)

1

Да( ¥) ~ р 4 . (24)

Для примесных кластеров, образующихся при диффузионном росте, достаточно естественной является фрактальная геометрия. Так, если фрактальная размерность кластеров равна Бр = 2,45 (соответственно а = 1/Бр ), можно получить следующую зависимость:

Да(р) ~ р0,35. (25)

На более поздней стадии облучения зависимость упрочнения от флю-енса быстрых нейтронов будет определяться выражением (23).

Зависимость от плотности потока быстрых нейтронов

В соответствии с предложенной моделью (22), (23) в зависимости от температуры облучения, от параметров диффузии вакансий и междоузельных атомов, от их взаимодействия со стоками эффект зависимости от плотности потока быстрых нейтронов будет присутствовать в той или иной мере. Более ярко этот эффект будет присутствовать при низких температурах, когда концентрация вакансий и междоузельных атомов определяется их взаимной рекомбинацией. Если исчезновение собственных точечных дефектов определяется их уходом на стоки, зависимость от плотности потока быстрых нейтронов становится слабой или совсем исчезает.

Заметим, что в процессе облучения при формировании и росте стоков для собственных точечных дефектов возможно изменение механизмов рекомбинации точечных дефектов. Соответственно с увеличением флюенса быстрых нейтронов возможно исчезновение эффекта влияния плотности потока быстрых нейтронов, проявляющегося при небольших флюенсах быстрых нейтронов.

Влияние плотности потока может сказываться и на формировании центров зарождения примесных кластеров и преципитатов. Данная задача требует отдельного рассмотрения. Однако можно сделать предположение, что ста-

дия зародышеобразования протекает достаточно быстро, и упрочнение определяется стадией роста кластеров.

Зависимость от концентрации примеси

Необходимо учесть, что от концентрации примеси может зависеть и концентрация центров зарождения кластеров или преципитатов. В простейшем случае эту зависимость можно записать в виде

Мс ~ ((0) - Ме )т, (26)

что позволяет получить из (20) зависимость упрочнения от концентрации примеси:

т а —+------

Да( N)~(N - Ме )2 2(1-а). (27)

Так, например, если т = 2, а = 1/3, можно получить Да(N)~

~ (N - Ме)1,25 , если т = 1, а = 1/2 , то Да(N) ~ (N - Ме) и т.д.

На основе качественного анализа полученных аналитических зависимостей можно сделать вывод, что радиационное упрочнение будет носить «пороговый» характер от концентрации примесей. Наличие пороговой концентрации Ме обусловлено растворимостью примесей при заданных условиях облучения, и эффект влияния плотности потока быстрых нейтронов будет присутствовать при концентрации примесей, выше некоторого значения концентрации, ниже этого значения этот эффект вероятнее всего присутствовать не будет.

Если примесь не участвует в процессе формирования центров зарождения (механизм образования зародышей гетерогенный), то показатель степени при концентрации примеси будет меньше единицы.

Зависимость от температуры облучения

Температурная зависимость упрочнения складывается из двух факторов: температурной зависимости степени пересыщения по концентрации примесных дефектов ((0) - Ме (Т)) и температурной зависимости эффективного коэффициента диффузии Б (Т). Заметим, что величина (М(0) - Ме (Т)) при облучении отличается от термодинамически равновесной величины. В наиболее простом случае влияние температуры облучения приводит к сдвигу кривой растворимости вдоль оси температур на некоторую положительную величину. Сдвиг зависит от условий облучения (соответственно может появиться дополнительная зависимость от плотности потока быстрых нейтронов) и может быть найден из анализа кинетических уравнений для концентрации вакансий и междоузельных атомов.

Связь между изменением предела текучести и сдвигом температуры хрупко-вязкого перехода

Взаимосвязь между сдвигом температуры вязко-хрупкого перехода и ростом предела текучести после облучения можно объяснить схемой Иоффе-

Давиденкова [6]. Для феррито-перлитных сталей получена хорошая корреляция зависимостей прироста предела текучести и величины сдвига порога хрупкости с повышением флюенса [6, 7]. В работе [7] представлен анализ изменения предела текучести и порога хрупкости большого количества образ-цов-свидетелей корпусных сталей, облученных в разных реакторах. Хорошая корреляция наблюдается для основного металла четвертого блока Кольской АЭС, для которого степень радиационного охрупчивания растет пропорционально приросту предела текучести при температуре облучения 270°С до флюенса 1 ■ 1019-2 ■ 1020 см-2. Поэтому предполагается наличие корреляции между Да ~ ДТ ,

ДТ (¥, ф)-

л

Р>

Г л1-”

ф

V V

ф0

2(1-а)

(28)

а

5. Использование предложенной модели для описания радиационного охрупчивания корпусов реакторов ВВЭР-440

Для обоснования назначенного срока службы корпуса реактора необходимо знать, когда разрушение материала корпуса станет хрупким. Для этого следует иметь зависимость сдвига температуры хрупко-вязкого перехода от флюенса быстрых нейтронов и величины плотности потока быстрых нейтронов.

Для описания радиационного охрупчивания стали 15Х2МФА, используемой в качестве материала корпуса реакторов ВВЭР-440, была использована разработанная выше физическая модель. Моделирование проводилось в предположении, что за механизм охрупчивания отвечают примесные кластеры, образующиеся при облучении. Было проведено исследование влияния таких факторов, как флюенс быстрых нейтронов, температура облучения и плотность потока нейтронов быстрых нейтронов.

Зависимость упрочнения от флюенса быстрых нейтронов носит степенной характер Да(¥) ~ ¥т. Будем считать, что за упрочнение отвечают примесные кластеры, характеризующиеся дискообразной геометрией, тогда в

уравнении (21) а = 1.

Используя взаимосвязь между изменением предела текучести и сдви-

1/2

гом температуры хрупко-вязкого перехода, получаем ДТ ~ ¥ .

Сегодня уже ни у кого не возникает сомнений, что скорость набора повреждающей дозы влияет на механические свойства конструкционных материалов реактора. Последнее время ставится вопрос о включении плотности потока нейтронов в нормативные зависимости, используемые для прогнозирования ресурсов реакторов ВВЭР, поэтому будем искать зависимость ДТ = / (¥, ф).

Считая, что радиационное охрупчивание происходит в области достаточно «низких» температур (Тобл = 270°С), и концентрация вакансий связана с

плотностью потока соотношением Иу ~ — , показатель степени п в урав-

\Фо

нении (28) принимается равным 0,5.

Таким образом, в соответствии с предложенной моделью для сдвига температуры хрупко-вязкого перехода ДГ можно записать следующее выражение:

р1/2

ДГ (Р, ф) = А-т/4. (29)

Ф

Еще раз отметим, что данное выражение носит асимптотический характер и может быть использовано в области выхода величины ДГ на насыщение.

Полученное простое выражение (29) позволяет проводить пересчет экспериментальных данных, полученных при одной плотности потока ф1 к другой плотности потока ф2 :

ДГ (Р, ф2) = ДГ (р, ф1) •

Ґ

Ф1 Ф2

(30)

Данная процедура может быть полезна для сопоставления экспериментальных данных, полученных на реакторах с одними условиями облучения к другим параметрам облучения.

Используя выражение (30), мы провели процесс приведения экспериментальных данных, полученных для различных плотностей потока [8] (рис. 1)

12 —2 —1

к плотности потока 4 • 10 см с (рис. 2).

Р, 1020 см-2, Е > 0,5 МэВ

Рис. 1 Сдвиг температуры хрупко-вязкого перехода материала сварных швов стали 15Х2МФА при облучении различными плотностями потока нейтронов:

4-1011 см-2с-1 (о), (3 - 5)-1012 см-2с-1 (0), 7-1012 см-2с-1(+)

Рис. 2 Экспериментальные данные по сдвигу температуры хрупко-вязкого перехода материала сварных швов стали 15Х2МФА, приведенные

12 —2 — 1

к плотности потока 4 -10 см с

Заключение

В работе предложена физическая модель радиационно-стимулированной преципитации и кластеризации примесей в твердых телах. В отсутствие облучения в качестве частного результата предложенная модель приводит к теории Хэма для диффузионного распада пересыщенных твердых растворов. Предложенная модель может быть использована для описания упрочнения металлов и сплавов примесными преципитатами и кластерами. Модель позволяет проводить пересчет экспериментальных данных по охрупчиванию, полученных при облучении в разных реакторах при различающихся плотностях потока быстрых нейтронов. Показано, что предложенная модель может быть использована для описания радиационного охрупчивания корпусной стали ВВЭР-440.

Список литературы

1. Smoluchowski, M. V. // Z. Phys. Chem. - 1917. - V. 92. - Р. 192.

2. Иванов, Л. И. Радиационная физика металлов и ее приложения / Л. И. Иванов, Ю. М. Платов. - М. : Интерконтакт Наука, 2002. - 300 с.

3. Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н. Г. Ван Кампен. - М. : Высшая школа, 1990.

4. Ham, F. S. Theory of Diffusion-Limited Precipitation / F. S. Ham // Phys. Chem. Solids. - 1958. - V. 6. - P. 335-350.

5. Ахиезер, И. А. Введение в теоретическую радиационную физику металлов и сплавов / И. А. Ахиезер, Л. Н. Давыдов. - Киев : Наук. думка, 1985. - С. 144.

6. Паршин, А. М. Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение / А. М. Паршин, И. М. Неклюдов, Н. В. Камышанченко. - город : Изд-во БГТУ, 1998. - 378 с.

7. Амаев, А. Д. Радиационная повреждаемость и работоспособность конструкционных материалов / А. Д. Амаев, А. М. Крюков, И. М. Неклюдов [и др.]. - СПб. : Политехника, 1997. - 312 с.

8. Соловьев, С. П. Механические, коррозионные и радиационные свойства материалов для ядерных энергетических установок : учебное пособие по курсу «Материалы ядерных энергетических установок» / С. П. Соловьев, В. С. Хмелевская. -Обнинск : ИАЭТ, 1991. - 174 с.