К вопросу о методике обучения в вузе исследованию элементарных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 37.026.9:51

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ В ВУЗЕ ИССЛЕДОВАНИЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

© И. М. Абрамова

Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова Россия, Челябинская область, 455000 г. Магнитогорск, ул. Ленина, 38.

Тел./факс: +7 (3519) 29 84 02.

E-mail: mgtu@magtu.ru

В работе представлена методика обучения исследованию и построению графиков функций, основанная на эвристических рассуждениях. На нескольких примерах показано, как можно построить диалог между студентом и преподавателем. Автор стремится возбудить активность учащихся, пробудить их инициативу и ввести в атмосферу научного исследования; в статье рассмотрены наиболее эффективные приемы аудиторных занятий университетского курса высшей математики. Данный подход формирует у студентов навыки самостоятельного решения поставленных зачач.

Ключевые слова: методика обучения, элементарные функции, графики функций, алгоритм решения.

Введение

Данная работа посвящена всестороннему раскрытию процесса построения графиков функций. Целью статьи является провести описание процесса решения и привести методический разбор решения задачи. Такой разбор демонстрирует последовательность важнейших шагов, в результате которых, в конце концов, находится решение и вскрываются мотивы и рассуждения, подсказывающие эти шаги. Кроме того, подробное описание решения отдельной частной задачи имеет своей целью найти общую рекомендацию или метод, которым можно руководствоваться в аналогичной ситуации. Преподаватель не просто сообщает своим ученикам алгоритм решения задачи, а своими наводящими вопросами старается сделать так, чтобы учащиеся сами пришли к идее решения проблем, встречающихся по ходу задачи [1, 2]. Таким образом развивается мышление учащихся, и они смогут решать задачи самостоятельно.

В математике владение предметом важнее, чем одно чистое знание, которое всегда можно пополнить с помощью подходящих справочников. Как в средней школе, так и в высших учебных заведениях необходимо не только сообщать учащимся известные знания, но и, что гораздо важнее, научить владеть предметом. Овладеть математикой - означает уметь решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие определенной самостоятельности мышления. Поэтому главная обязанность курса высшей математики состоит в выделении методической стороны процесса решения задач.

Представленная методика будет полезна как студентам, желающим научиться решать предлагаемый спектр задач, так и преподавателям, осваивающим методики решения данных задач.

Методика

Первое знакомство с исследованием функции происходит в школе: с помощью простейших мето-

дов здесь изучаются основные элементарные функции. Функция является математической моделью очень многих процессов и уметь ее исследовать очень важно. Поэтому в курсе математики технических вузов функции рассматриваются снова, причем функции становятся сложнее и для их исследования используются более серьезные методы.

Важной частью исследования функции является наглядное представление её в виде графика. Построение же графика для многих студентов является проблемой. Казалось бы, для этого все подготовлено: различными авторами предлагаются планы исследования из достаточно большого количества пунктов. На практике все пункты плана вроде аккуратно выполнены, а построить график у студентов зачастую все равно не получается.

Покажем, как необходимо организовать исследование, чтобы график в результате получился правильным. В дальнейшем предполагается, что студенты умеют проводить исследование функций с помощью производной и пределов (находить экстремумы, точки перегиба и асимптоты). Кроме того, будем опираться на школьные знания о построении графиков.

Напомним, как строили графики функции в школе и начнем со следующих вопросов от преподавателя (далее - П) к ученику (далее - У):

П: Какие способы построения графиков вы знаете, как строили графики в школе?

У: По точкам.

П: Как выбираем точки для построения?

У: Любые из области определения.

Может быть, кто-то вспомнит, что ранее они использовали точки максимума и минимума полученные с помощью производных.

П: Чем отличаются предлагаемые функции от тех, что рассматривали в школе?

У: Формула более сложная.

П: Как это может сказаться на графике?

У: Наверное, график тоже будет более сложным.

П: Получиться ли он верным при построении по точкам?

Это важный вопрос. Предположим, что график функции у = f (х) имеет вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1. График функции у = ^х).

Допустим, что строили данный график по точкам и получили точки 1-3. Используя их для построения получим результат (пунктирная линия), который существенно отличающийся от правильного. Анализируя причины ошибки можно прийти к выводу о неудачном выборе точек для построения. Если бы были выбраны точки 4-6, и мы соединили бы их прямыми линиями, то качественная картина графика получилась бы больше похожа на настоящий график, хотя количество точек такое же. В результате приходим к выводу: строить по точкам график можно и в случае сложной функции (и даже нужно - других способов нет). Только точки нужно брать не случайные, а специально подобранные для данной функции. Такими точками могут быть точки экстремума и точки перегиба. Найти их можно с помощью производной. Построение графика с помощью производной рассматривалось в школе, только без точек перегиба. Напомним, как это делается, но используем исследование второй производной.

Пример 1. Проведем исследование функции и построим график

у = ^Х7 - х; D(y): х е (—го; +го)

С помощью производных функции найдем точки, по которым будем строить график:

2 _1 2 — 3уХ У '

= -x з - 1 =

3

a) у' = 0

2 - 3 Vx = 0

x=

3VX

б) у' - не существует

3VX = о

x = 0

27

Функция убывает при х е (—го; 0) и +го^

и возрастает при хе^О; х = 0 - точка мини-

8

мума, х = — - точка максимума.

1

а) у" = 0 %

б) у ' - не существует

vx$= 0

x = 0

Функция выпуклая во всей области определения, точки перегиба отсутствуют. Составим таблицу для построения графика. В дополнение к двум найденным точками возьмем (любые) дополнительные

х 0 8/27 -1 1 у 0 4/27 2 0 Так как элементарные функции непрерывны внутри области определения, полученные 4 точки на графике, показанном на рис. 2, соединяем в соответствии с результатами исследования сплошной линией.

У

-1 1 х

Рис. 2. График функции у = Vx7 — x при x е (-1; 1).

Но это лишь часть графика. Его можно продолжить, воспользовавшись свойствами производной функции. Так как функция убывает при

x е +го), то после x = 1 продолжим линию

вправо и вниз. Аналогично левее x = — 1 - вверх. Но сейчас у нас есть возможность получить более обоснованный график исследавав поведение функции на границе области определения с помощью пределов.

lim (Vx7 — x) = — го

lim (Vx7 — x) =+го

В результате получим график, показанный на

рис. 3.

Сделаем выводы из данного примера: Исследовав функцию с помощью производной можно построить «по точкам» часть графика внутри области определения. Для того, чтобы построить весь график необходимо знать, как ведет себя

у

функция на границе области определения. Провести такое исследование можно с помощью пределов.

Рис. 3. График функции у = //х^ — х.

Используем полученные результаты в следующем примере.

Пример 2. Провести исследование функции и построить график функции

У :

х- 1

; D(y): хе (—га;1) U (1; +га)

Начнем исследования с поведения функции на границе области определения.

Выясним, как ведет себя функция справа и слева от х = 1.

lim+,i+o

X

х-1

lim+,i_o—- =

= >2 =1

—вертикальная асимптота

На границе х = +го и х = — го проверим, нет ли наклонных асимптот. Ищем прямую у = кх + Ь к которой график будет асимптотически приближаться по мере удаления в бесконечность. х

■ = 1

f(x)

k = lim -= lim

x,±. X x,+. x— 1

b = lim (f(x) — kx) = lim (-- — x)

X,±. x,±. X — 1

= lim (—= 1

X,±.vx — Г

Значит y = x + 1 - наклонная асимптота на x = +га и x = — га. Результаты исследования изображены на рис. 4.

На основании данного чертежа полезно сделать прогноз о поведении графика:

а) график начинается в точке 1 и заканчивается в точке 3, а так как он непрерывен на этом участке, то можно предположить, что здесь есть точка максимума;

б) график начинается в точке 2 и заканчивается в точке 4, следовательно на интервале (1; +га) должен быть минимум.

Проверим наши предположения с помощью производных функции:

x2 — 2x

У'

a) y' = 0

(x—1)2

б) y' - не существует

x2 — 2x = 0 x = 0 или x=2

(x — 1)2 = 0

x = 1

не принадлежит D(y)

Рис. 4. Результаты исследования функции у = -.

Функция убывает при х £ (0; 1) и (1; 2) и возрастает при

х £ (—го; 0) и (2; +го); х = 0 - точка максимума, х = 2 - точка минимума.

2

у" =-

У (х—1)3

а) у" = 0 б) у" - не существует

0 х = 1 не принадлежит D(y)

+

-/

Г\ ' и X

Функция выпуклая при x е (—га; 1), вогнутая при x е (1; +га). Точек перегиба нет.

Составляем таблицу для построения для графика внутри области определения по точкам:

x 0 2 y 0 4

В результате получим график, представленный на рис. 5.

Итак, для построения графика получаем следующий план:

1. Найти область определения.

2. Исследовать поведение функции на границах области определения:

А. Если границей области является конечная точка x = xo, то вычислить односторонние пределы.

lim f(x); lim f(x)

X,X0 + 0 X,X0-o

x

2

— Ж

Б. Если границей области является ±о>, то исследовать функцию на наклонные асимптоты. Если их нет, то находим предел Нтх,±. ^х).

3. Исследовать поведение функции внутри области определения:

А. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

Б. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Отметим, что важно начинать исследование с границ области определения. При построении графика внутри области можно брать любые дополнительные точки на участках, где не понятно поведение графика. Часто в качестве дополнительных точек берут точки пересечения с осями координат.

Выводы

План исследования, обеспечивающий построение графиков мы получили с помощью рассмотренных примеров вместе с учащимися, а это значит, что он будет им понятен и они смогут им воспользоваться. Данный план можно использовать для исследования не только всей области определения, но и любой ее части. Например, для четных, не четных и периодичных функций можно значительно сузить область исследования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз РСФСР, 1959.

208 с.

2. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. 448 с.

Поступила в реакцию 01.02.2014 г.

ISSN 1998-4812

Вестннк EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2014. T. 19. №1

293

PECULIARITIES OF THE TEACHING OF INVESTIGATION OF ELEMENTARY FUNCTIONS AT THE UNIVERSITY

© I. M. Abramova

G. I. Nosov Magnitogorsk State Technical University 38 Lenin St., 455000 Magnitogorsk, Russia.

Phone: +7 (3519) 29 84 02.

E-mail: p-astor@mail.ru

Based on heuristic considerations, methodic recommendations for the teaching the investigation and drawing of elementary mathematical functions have been provided in the article. Several examples demonstrates how a communication between the teacher and a student regarding the topic may be constructed. Author shows the ways to encourage students by their introduction to the realm of a scientific study and discusses the own effective tools for this. The approach teaches students to solve the formulated problems as well as forms capabilities to solve those problems without assistance.

Keywords: methodology of teaching, elementary mathematical functions, plot of the functions, algorithm for solution.

REFERENCES

1. Poia D. Kak reshat' zadachu [How to Do a Task]. Moscow: Uchpedgiz RSFSPp. 1959.

2. Poia D. Matematicheskoe otkrytie [Mathematical Discovery]. Moscow: Nauka, 1976.

Received 01.02.2014.