К вопросу о математическом обосновании принятия решения в результате ситуационного анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

-\-

УДК 519.86

А.А. Гаджиев, О.Ш. Сулейманова

К ВОПРОСУ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБОСНОВАНИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ СИТУАЦИОННОГО АНАЛИЗА

В работе рассмотрены подходы к анализу альтернатив возможных решений. Авторы предлагают подход к описанию ситуации на основе триадического отношения. Для анализа пространства альтернативных решений, выбора и принятие решений авторы предлагают вычислять три нечетких отношения применительно к сложившейся ситуации.

Ключевые слова: триада, триадическое отношение, информационное объемное пространство, принцип максимина, нечеткое множество, нечеткие отношения.

1.Общие соображения

Любые ситуации, требующие принятия решений, содержат, как правило, большое количество неопределенностей.

Свести задачи с неопределенностями к точно поставленным математическим задачам нельзя в принципе - для этого надо тем или иным образом «снять» неопределенности, т.е. ввести какие-либо гипотезы. Но формирование гипотез - это уже формализация неформальных ситуаций.

Если решение принимается в условиях неопределенности, например, мы не знаем точно своей цели и результат операции оценивается многими критериями, то и само решение бессмысленно точно фиксировать, т.е. можно говорить о классе «подходящих» решений. Решению задач этой проблематики большое внимание уделили, начиная 40-50-х годов XX века, математики - кибернетики Джон фон Нейман, Р. Беллман, Л. Заде, Ю. Гермейер, Ст. Бир и др.

Поиск плана «подходящих» решений сводится, по существу, к анализу альтернатив возможных решений. Первым такой подход к решению задачи достаточно четко сформулировал итальянский экономист Парето (в 1904 г.) в форме так называемого принципа Парето. Согласно

Позже появился целый ряд других подходов к решению этой задачи. Это подходы, позволяющие обрабатывать заведомо неприемлемые альтернативы, сужать множество анализируемых вариантов. Одним из таких подходов является принцип равновесия Нэша.

Ю. Гермейер в своих работах подчеркивает, что в проблеме принятия решений в условиях неопределенности может быть лишь один строгий математический результат -это оценка, полученная на основе принципа максимина. Гарантированный результат - это единственная опорная точка, дальше лежат гипотезы и риски. Но это утверждение совершенно не означает, что выбирать нужно именно ту альтернативу, ту стратегию, которая реализует этот гарантированный результат. Он может быть очень хорошим в одних условиях, но совершенно неприемлемым в других. В конечном счете, следовательно, никогда и никакой математический анализ не может дать строго точного результата выбора альтернатив в условиях неопределенности.

Очень важное место в проблеме принятия решений занимает анализ ситуаций, в которых определяющими являются не количественные, а качественные характеристики -«высокий уровень», «не очень высокий уровень», «значительно высокий уровень», «хороший уровень», «почти хороший» и т.д. В каждом конкретном случае для подобных «качественных показателей» можно ввести определенную количественную шкалу (например, на интервале [0,1]). Но количественные характеристики не всегда помогают решению задачи. Так появилась теория лингвистических переменных Л. Заде, который

-\-

обратил внимание на тот факт, что способ описания особенно удобен при анализе ситуаций с величинами, оцениваемыми качественными характеристиками. Теория Л. Заде основывается на использовании понятия функции принадлежности, которая всегда представляет собой гипотезу, и потому дает субъективное представление эксперта об особенностях исследуемой ситуации, о характере ограничений и целей исследования. Имея в своем распоряжении значения функций принадлежности, исследователь получает в свои руки определенный математический аппарат, позволяющий строить оценки для альтернатив.

Таким образом, идеи эффективных компромиссов Парето, гарантированных оценок Ю. Гермейера, идеи выбора решений на основе нечеткого описания Л.Заде - все они, по существу, относятся к одному кругу идей - развить принципы и создать аппарат, позволяющий по возможности сузить множеств допустимых альтернатив и выбрать «подходящую» альтернативу.

2.Об одном подходе к описанию ситуации и принятия решения

Уместно обратиться к понятию триадического отношения. Триада (греч. trias -троичность, трехступенчатость, тройственность) - это гегелевский термин, выражающий трехступенчатость всякого процесса развития: тезис, антитезис, синтез. Согласно этой триаде, новое (антитезис) отрицает старое (тезис), а новое, возникающее на следующей ступени (синтез), отрицая антитезис, сохраняет в себе все положительное, присущее для тезиса и антитезиса. Процесс развития на этом не заканчивается, так как синтез служит основой для следующей триады.

Смысловое значение гегелевского термина «триада» имеет непосредственное отношение к триаде взаимосвязанных, взаимовлияющих и взаимозависимых показателей, характеризующих количественно (или качественно) исследуемый сложный объект. Например, в условиях рыночных отношений эффективность производства и реализации продукции характеризуется триадическим отношением «спрос - предложение -качество», в котором «спрос» - это тезис, «предложение» - антитезис, «синтез» - это качество продукции, которое должно изменяться и совершенствоваться в зависимости от соотношения диады «спрос - предложение».

Будем рассматривать кластер - структуру, функционирование которой характеризуется множеством триад параметров (или показателей) X,Y,Z. Введем понятие пространства информационного объема триадического отношения между X,Y,Z. Это пространство представляет собой куб, построенный в трехмерном пространстве, по осям которого отложены значения параметров X,Y,Z, нормированных в интервале [0,1].

Построенный таким образом куб будем называть единичным. Очевидно, за значение «1» параметров X,Y,Z должны быть выбраны максимальные значения параметров некоторого стандарта (точка (1,1,1) единичного куба, рис. 1).

Пусть (X,Y)=const по некоторым конструктивным соображениям имеют значения, определяемые т.В. Тогда для приближения к точке А стандарта (1,1,1) мы можем варьировать параметром Z. Очевидно, что степень близости, сложившегося в результате принятого решения триадического отношения (т.С) к стандарту (т.А) будет определяться

расстоянием di (вектором СА ).

Таким образом, варьируя значение параметра Z, можно вычислить расстояние di и выбрать «подходящее» альтернативное значение по степени близости di к dA, т.е. по минимуму

8= dA - di |min (1)

Рис.1 Пространство информационного объема единичного куба

Очевидно, при других приоритетах аналогично можно поступить относительно двух других пар параметров: (Y,Z) = const, X=var и (X,Z) = const, Y=var.

В выборе вектора СА (расстояние di) относительно любой из трех константных пар целесообразно использовать алгебру нечетких отношений.

Э.Композиции нечетких отношений в пространстве информационного объема ситуации

На рис.1 X, У,2 образуют информационное объемное пространство. Обозначим

Х={Х1, Х2,..., XI}, ¥={уь У^... УшК

г=^1, г2,..., 2П},

где х,у,7 - значения соответствующих показателей, нормированных на единичном интервале М=[0,1].

Пусть А,В,С - нечеткие множества (нечеткие ограничения) значений х,у,7 показателей (параметров) соответственно. Тогда квантифицированные на интервале М значения показателей (параметров) можно рассматривать в качестве значений соответствующих функций принадлежности х,у,7 нечетким множеством А,В,С. Следовательно,

0 <Иа (х,) < 1, "

0 <Мв(У,) < 11 (2)

0 (г,) < 1

Введем следующие отображения, определяющие отношения между показателями (параметрами):

которые представляют

R: X^ Y, S: X^ Z, Q: Y^ Z,

собой поля

(3)

упорядоченных пар значений уровней

соответствующих показателей (параметров) (рис. 1).

Пусть А и В - нечеткие отношения. Важное значение в прикладных задачах (в частности, в экономике) имеет произведение (или композиция) нечетких отношений.

Произведение нечетких отношений можно определить различными способами. Здесь приведем три вида этой операции над нечеткими отношениями [1]:

- максминное произведение A ° B

Vab (X, У) = suP min{HA (x.z). HE (Z У)} (4)

zeX

- минмаксное произведение AB

Hab (x У) =inf min {Ha (xz). He (Z У)} (5)

zeX

- максимультипликативное произведение A*B

HaxE (x. У) = suP {HA (x z) x HE (Z y)}. (6)

zeX

где Hab (x, У) - функции принадлежности пары (x,y) отношению относительно операций

(4), (5) и (6).

Очевидно, что оценка по формуле (4) дает гарантированный результат выбора альтернатив - максимально эффективное решение из всех минимальных альтернатив.

Оценка эффективности по формуле (5) дает результат, лучший по сравнению с гарантированным результатом (4), а оценка эффективности по формуле (6) - наилучший результат выбора альтернатив.

Очевидно также, что анализ пространства альтернативных решений для выбора и принятия решения следует осуществлять, вычислив все три нечетких отношения применительно к сложившейся ситуации и для каждой из возможных триад параметров.

4.Математическое описание отношений в игровой ситуации

В работах [2,3] предлагаются подходы к формализации процедур принятия решения. В этих работах Ю.Б. Гермейер развил два тезиса. Первый тезис состоит в том, что исследование операций проводится в интересах оперирующей стороны. Математически ее интересы описываются с помощью функции цели (или критерия эффективности), зависящей не только от активных действий оперирующей стороны, но и от неконтролируемых факторов, среди которых могут быть и действия других активных участников операции.

Второй тезис состоял в том, что основным принципам анализа эффективности стратегий оперирующей стороны является гибко понимаемый принцип наилучшего гарантированного результата.

Модели развиваемые в [3] условно можно разбить на два класса: 1) принятие решений равноправными участниками и 2) у правление в системах, характеризующихся фиксированной последовательностью ходов (иерархические структуры).

Для нас интерес представляют математическое описание процедур принятия решения в неантагонистических игровых ситуациях конкурентами на рынке и в условиях непротивоположных интересов как следствия применения принципа гарантированного результата.

а. В упрощенном виде игра конкурентов на рынке описывается следующим образом [3]:

w1 = ■

W2 =

)(p - a) ■ x при p < q,

Imin[С-q■ y, p■ x]-ax ^

1 L 1 ' ^ J при p > q.

при q < p,

I (q - a) ■ У

[min[С - p ■ x, q ■ у]-аУ при q > p.

(7)

(8)

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 17, 2010.

-\-

где wi, w2 - критерии эффективности конкурентов, x, y - объемы продукции, выпускаемой конкурентами, p, q - назначаемые им цены, С - общее количество денег y покупателей, а - себестоимость продукции.

Предполагается, что установлен максимально возможный объем продукции К в данный момент времени обоих конкурентов, и максимальные цены, так что 0 < x < K, 0 < y < K, 0 < p < b, Q <q < b. Кроме того, выполняются ограничения px < C и qy < C.

Неантагонистичность игры описываемой, (7), (8) видна из того, что при y=0 изменения w1, за счет вариации x и p не влечет за собой никакого изменения w2.

Отметим, что игра, описываемая (7), (8) легко обобщается на любое число конкурирующих игроков.

б. Рассмотрим второй случай - игру в условиях непротивоположных интересов как следствие применения принципа гарантированного результата. Пусть w1= f(x1,x2,y) = - w2,

Причем либо y - природный неопределенный фактор, так что WN = C, либо y -выбирается третьим игроком, интересы которого, однако, неясны первым двум игрокам.

Тогда естественным поведением каждого из них является придерживаться принципа гарантированного результата по отношению к y, т.е. заменить свои критерии на

W = min f (xj, x2, y), (9)

у

W2 = min{~f (X1, X2, У)Х} = ~f C^ X2, y\ (10)

У

Непротиположность интересов игроков после этого видна из (9) и (10), а особенно явно проявляется на примере f(x1,x2,y)=(x1-x2)*y, причем |y| < 1.

Здесь w* = |x -x2\ = w*, т.е. интересы первого и второго игроков из антагонистических становятся совпадающими.

Выводы

1. Экономический кластер представлен как структура, функционирование которой представляется множеством триад параметров (показателей).

2. Для анализа пространства альтернативных решений, выбора и принятия решения предлагается вычислять три нечетких отношения (максиминное, минмаксное, максимультипликативное произведение) к сложившейся ситуации и для каждой возможных триад параметров.

3. Представлено математическое описание процедур принятия решения в неантагонистических игровых ситуациях конкурентами на рынке и в условиях непротивоположных интересов как следствия применения принципа гарантированного результата.

Библиографический список:

1. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М., 1981. - 208с.

2. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. - М., 1971. - 384с.

3. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. - М., 1976. - 328 с.

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 17, 2010.

-\-

А.А. Gadzhiev, O. S. Sulejmanova

To a question about the mathematical substantiation of the decision-making in a result of a situation analysis

There are approaches to the analysis of alternatives of possible decisions are considered in the work. Authors offer the approach to the situation description on a basis of the triadition relations. For the analysis the space of the alternative decisions, the choice and the decision-making authors suggest to calculate three indistinct relations with reference to a current situation. Keywords: a triad, the triadition relation, the information volume space, the Maksim's principle, the indistinct set, the indistinct relations.

Гаджиев Аюб Акбашевич (р. 1932) Доцент кафедры «Программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем» факультета информатики и управления Дагестанского государственного технического университета. Кандидат технических наук (1971). Окончил Московский энергетический институт (1956) Область научных интересов: Моделирование сложных систем Автор более 87 научных публикаций

Сулейманова Олеся Шарапудиновна (р. 1981) Ассистент кафедры «Программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем» факультета информатики и управления Дагестанского государственного технического университета. Окончила Дагестанский государственный технический университет (2003) Область научных интересов: Моделирование сложных систем Автор 10 научных публикаций

e-mail: olesya_13@mail.ru