К вопросу о математическом моделировании процесса перемешивания спутных двухфазных потоков в цилиндрическом канале Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 532.5.032

B. Н. Петров, В. Ф. Сопин, С. Л. Малышев,

C. В. Петров

К ВОПРОСУ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

СПУТНЫХ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

Ключевые слова: газожидкостный поток, математическое моделирование, основной участок, переходный участок, смесительный аппарат, турбулентная газовая струя, управление.

В работе представлена математическая модель процесса перемешивания турбулентной газовой струи с кольцевым потоком жидкой фазы в ограниченном канале. Результаты работы позволят глубже изучить процесс перемешивания газожидкостного потока и помогут разработчикам в проектировании и создании смесительных аппаратов.

Keywords: gas-liquid flow, mathematical modeling, transition area,, the mixing device, turbulent current of gas, operation.

The paper presents a mathematical model process of hashing of a turbulent gas stream with a ring stream of a liquid phase in the limited channel. The results of work will allow to study more deeply process of hashing of a gas-liquid stream and will help developers with design and creation of mixing devices.

При разработке любого технического устройства необходимо знать физическую основу процессов, происходящих в нём. Особенно, если это связано с разработкой узлов и аппаратов Государственного первичного специального эталона единицы массового расхода газожидкостных смесей ГЭТ 195-2011 [1] (далее - первичный специальный эталон).

Эталон [1,2] должен воспроизводить и сохранять неизменной единицу измерений, для которой он создан, с наименьшей погрешностью для существующего уровня измерительной техники. Для первичного специального эталона аппарат перемешивания является одним из основных устройств, позволяющих воспроизводить единицу массового расхода газожидкостной смеси. Результаты, представленные в работе [3] позволяют сделать вывод, что понимание физических процессов, происходящих в аппарате перемешивания циркуляционного типа, позволяет разработать конструкцию элементов аппарата, позволяющего создать смесь с заданными характеристиками.

С целью понимания процессов, происходящих в струйном аппарате при перемешивании жидкой и газовой фаз сделана попытка разработать математическую модель, позволяющую описать данный технологический процесс.

В данной работе рассматривается единый подход для расчёта двух областей - начального участка турбулентной струи ХН и переходного участка ХП (рис.1). Заданными являются размеры турбулентной струи - радиус г, радиус канала (аппарата смешения) - Я, а также профили скорости, концентрации и температуры для газовой и жидкой фаз на входе в камеру смешения.

Введём при расчёте следующие допущения:

- статическое давление в поперечных сечениях канала постоянно;

- температура газовой струи и жидкого спутного потока одинаковы;

- влиянием теплообмена и трения о стенки канала на развитие газожидкостного течения пренебрегаем.

Y К'

Ы А'

О 2 ' '— и: К'1 о R >—о о о О о о и О о О J" ° " о° ' О V~0 °° ° О

Г„ Гх гп н\ Л* О

О ' •

1 0,■ о ---------'' с ° о° 0 о" ООО п к? п О ----о о о о о о О О о . О - о о О о

/о: К А К

Рис. 1 - Схема течения газожидкостной струи (пузырьковое течение): 1 - начальный участок турбулентной газовой струи; 2 - начальный участок жидкой струи; 3 - переходный капельный участок; 4 - пузырьковое течение

Рассмотрим область газожидкостного потока, лежащая в пределах начального участка турбулентной струи 0"А'А01М, которую условно можно разбить на следующие подобласти:

- подобласть 1 потенциального ядра турбулентной струи О'НО/ ;

- кольцевая подобласть 2 потенциального ядра потока жидкой струи О'О"А'П'ПАО1"О1' ;

- кольцевая подобласть 3 капельного течения газожидкостного потока О'К'НКО/ ;

- кольцевая подобласть 4 пузырькового течения газожидкостного потока О'П'К'КПО! .

Разработаем методы расчёта для каждой из этих подобластей отдельно и для всего потока в целом. На первом этапе рассмотрим подобласть капельного течения газожидкостного потока.

С учётом сделанных допущений и того, что продольные размеры течения значительно больше поперечных, а dP/dy=0 (первое допущение), для реше-

ния поставленной задачи воспользуемся уравнениями движения, неразрывности и диффузии, имеющие следующий вид:

ди дУ 1 д дР

ри и+р^8г = -д-у -8Р, (1)

дх 8- - 8- дх

д д

-X(pyU) +^-{pyV) = 0,

dx dy

,.dC ,.dC 1 d . pU— + pV— = ——(y°ü) dx dy y dy

(2)

(3)

где х, у - продольная и поперечная координаты; и, V - составляющие вектора скорости, направленные соответственно вдоль осей х и у; т - касательное напряжение; р - плотность; Р - статическое давление; ов - плотность потока массы жидких капель;

Поперечный профиль плотности потока массы жидких капель в капельной подобласти 3 течения (рис.1) найдём методом полиномиальной аппроксимации:

3

°ОК =1.ап(-- Н)п . (4)

п=0

Коэффициенты полинома определим из граничных условий, записанных для внешней и внутренней границы слоя смешения капельной подобласти, индекс «К» относится к капельному режиму течения.

= 0 при у = Гн ;

&DÉ = 0

dy

dC„

= ^~=РпПип^* при у = Гк,(5)

где гН и гК - радиусы внутренней и внешней границы слоя смешения капельного течения соответственно, индекс «КП» относится к границе капельного и пузырькового режимов течения.

Решая совместно (4) и (5), следуя работе [4], с учётом гипотезы Буссинеска

мтк , мк )дСК

aDK =1 J^J^, (6)

üK [ Sctk Scj ] dy ' w

получим выражение для профиля концентрации

в капельном слое смешения:

1 ~CT = [ 1 -CT

1 -CK l 1 - СКП

F{lüKn)

(7)

где мтМ - турбулентная и молекулярная вязкость;

$сТ , - турбулентное и молекулярное числа Шмидта; СКП - концентрация на верхней границе

-- Гн - безраз-

капельного слоя смешения;

ПйКП

SDK

мерная коорДината, F{VDкп) = 4ЛокпЪ - ЗЛйКП4 .

Профиль скорос ти в капельном течении определим, используя уравнения движения и неразрывности (1) и (2). Следуя [5], представим профиль касательных напряжений т в поперечном сечении слоя смешения капельного течения в виде полинома по степеням расстояния от оси канала:

т = Ьо + Ь( -- Гн ) + у- Гн )2 + Ь - - Гн )3 . (8) Коэффициенты полинома Ь, определим из граничных условий, записанных для верхнего и нижнего слоя смешения капельного потока:

т = 0,

т К = о, = Ркпикп^дКП "ри У=гК- (9)

д- дх дх

Подставляя граничные условия (9) в полином (8), после простых преобразований получим выражение для профиля скорости в слое смешения капельного течения:

dK dy dU КП

= 0 при >=гн;

U - UКП Um - иКП

I

1 -CKn

1 -Cm

F(4dk)

ЧК(1 -ПК di К

(10)

1 ( FIJ

¡[j-J] К-udu

Связь толщин динамического дКП и диффузионного 8ОКП слоёв смешения определяется турбулентным числом Шмидта:

8КП 8йКП

= v scdk

(11)

Рассмотрим метод расчёта пузырькового течения в О'П'К'КПО1' (подобласть 4).

Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнениями движения (1), неразрывности (2) и уравнением диффузии примеси (пузырьков воздуха), записанного в следующем виде:

pUdp + pV Р Х-Uyün) , (12)

dx dy y dy где ф - концентрация газовой фазы; aDn - плотность потока массы газовой фазы; индекс «п» относится к пузырьковому слою смешения.

Поперечный профиль плотности потока масс aDn представим в виде полинома по степеням расстояния, записанных для пузырькового слоя течения:

°йП = ®0 +e( y-Гк ) y-к )2 +ез( У-Гк )3 . (13) Коэффициенты полинома определим, используя следующие граничные условия, записанные на границе капельного и пузырькового течений, и пузырьковым и границей жидкой фазы:

д°йП = prnUm '-К при у = К

= 0;

dy

айП = 0;

da

йП

dy

dx

= 0 при y = Гп .

(14)

Подставляя граничные условия (14) в полином (15), после несложных преобразований получим выражение для профиля концентрации в потоке

\FiVDn)

, (15)

Р

<РП

РКП \ФКП

234

где Р(поп) = 6ц п - 8-пП + 3г!ш.

Для определения профиля скорости как при расчёте капельного слоя смешения, воспользуемся уравнениями движения (1) и неразрывности (2). Как было приведено ранее, представим профиль касательных напряжений т в поперечном слое смешения в виде полинома по степеням расстояния от оси канала:

3

n = Y¿cn(y- К

n=0

0

Коэффициенты полинома сп определим используя граничные условия, записанные на нижней и верхней границе пузырькового слоя смешения:

п=

дт

П ,, ди кп dP п = ркпикп +— при - = к;

д-

ап = 0 ;

дх

dx

дтп д-

= 0 при у = Г

(17)

Подставляя граничные условия (17) в полином (16) и проведя простые преобразования, получим

выражение для определения профиля скорости:

)

и-ип и кп -ип

1

рп ркп

п(1 -к ) 2dr|п

(18)

рп ркп

Р(Гт)

гп(-гп) агп

Толщины динамического дП и диффузионного дпп слоёв смешения связаны, как и раньше, турбулентным числом Шмидта, аналогично уравнению (11).

Полученную систему уравнений для расчёта области начального участка турбулентной струи О'А'АО/' дополним интегральными уравнениями сохранения расхода газа и примеси, а также уравнением количества движения смеси:

Гк Гп

Нрио + 2\ргик^- + 2 ¡ргип-- = РгиоГ0 ; (19)

2 Г РжтССигп-- + 2 \рж 1—иж-с1- + •> 1 -С 1 р

Рассмотрим метод расчёта переходного участка, образующегося при взаимодействии турбулентной струи со спутным потоком жидкой фазы Хп (область АВ^А на рис.1). Он расположен в сечении ниже по пото ку от области начального участка турбулентной струи, перед областью основного участка газожидкостного потока - пузырькового течения. Причём, в зависимости от геометрии канала и концентрации газа возможно как пузырьковое течение без зоны обратных токов, так и течение с зоной обратных токов (рис.2).

Рис. 2 - Схема течения газожидкостной струи (пузырьковое течение): 1 - начальный участок турбулентной газовой струи; 2 - начальный участок жидкой струи; 3 - пузырьковое течение; 4 - капельное течение; 5 - линия нулевых скоростей зоны обратных токов; ЕК - длина зоны обратных токов

+ 2 \ РжижО^- = Ржижо{ К - Г ) ; (20)

2\ри2^-

+ РГ2

= Рг0иГ20ГГ10 + Г - Г0 ) Рж0иЖ0 + р0 •ГК

(21)

В ядре потока турбулентной струи справедливо уравнение Бернулли, то можно записать следующие уравнения:

р и и + р -о Ртит ах ах °

(22)

Длина начального участка турбулентной струи в газожидкостном потоке определяется по формуле, представленной в работе [6]: х = хн

х = —= 2,36. ^0

(23)

Для определения длины участка капельного течения ОН' (рис.1) также воспользуемся работой [6]. Для осесимметричной задачи длина участка с капельным течением газожидкостной смеси составляет хК

хк = = 8,36 . Г0

(24)

Длину начального участка жидкой фазы опреде лим, используя подход, предложенный в работе [7].

хн

хнж =-

= 90

(25)

R-г

где хнж есть безразмерное относительное расстояние от начального сечения до полюса основного участка, в котором толщина струи равна нулю.

Особенность переходного участка состоит в уменьшении концентрации газа вдоль оси газожидкостного потока. Надо заметить, что пузырьковая структура образуется, если объёмная концентрация газа в смеси становится меньше Кг < 0,75 , а массовая, соответственно, меньше С2 < 3рг/рж . Используя этот критерий и зная вид профилей скорости и концентрации можно, как и в работе [6], найти параметры течения в исследуемом газожидкостном потоке.

Область переходного участка состоит из капельной подобласти 3, кольцевой подобласти пузырькового течения 4 и течения кольцевой жидкой фазы у стенки канала 2. Не проводя расчётов, аналогичных приведённым при расчёте подобластей, расположенных в пределах начального участка турбулентной струи, примем в окончательном виде, что в капельной подобласти профиль концентрации капель соответствует уравнению (7), а профиль скорости потока газожидкостной смеси уравнению (10). Для расчёта параметров потока в пузырьковом режиме течения, как и для капельного, примем, что формула концентрации газовой фазы соответствует уравнению (15) и профиля скорости потока уравнению (18). Связь толщины динамического и диффузионного слоёв смешения для капельного и пузырькового режимов течения определяется формулами (11) и её аналогом.

Параметры течения капельной смеси на оси канала, изменение скорости и концентрации капель определим, используя методику, изложенную в работах [4,6,8].

0

0

0

Используя профиль скорости (10) и используя подход по определению уравнения изменения скорости на оси двухфазной струи, изложенный в работе [4], получим:

dUm dx

2(Um -Us)PmVT + V +

2 dP dx

(26)

A1S PmUm

где

1 , F(VK„)

Al= Дт—„| DK„( -VDK„)dtlOK„ •

о V T J

Аналогично, используя подход, что и для определения уравнения изменения скорости на оси газожидкостного потока, определим изменение концентрации капель на оси канала:

dCn

24| Т + -Чi-Cm)ln 1 ~Ск„ ScT Sc J m 1 -Cm

(27)

!х Um5DКП

Для замыкания системы уравнений запишем уравнение Бернулли для потенциального ядра жидкой фазы:

,, dU— dP n

ржиж—— +— =0 ,

нж ж dx dx

(28)

а также интегральные уравнения сохранения расхода газа, примеси и количества движения смеси:

ГК ГП

21 рГик ус!у + 21 ргипуду = РгиоГ02 ; (29)

о

2 \ pж ——U„ydy + 2 \p— —-UKydy + 1 1 - — 1 m

0 rK ^

R

+ 2\p—U—oydy = P—U—o(R2 - r2) ; (30)

2\ри2усСу + Р•R2 = РгиГоГо +(R2-г02)Ржои2жО + о

+ Ро^2. (31)

Надо заметить, что плотность газовой фазы изменяется по длине канала в зависимости от изменения статического давления. С целью определения значений расхода и количества газовой фазы в расчётах используется уравнение газового состояния:

РТо

Pri = PrO

PoTiK

(32)

где К - коэффициент сжимаемости газа, безразмерная величина, определяемая по компонентному составу газа в лабораторных условиях; индекс «/» соответствует расчётному сечению канала.

Получили замкнутую систему уравнений. Для её решения используем метод Ньютона [9]. Однако, сходимость метода Ньютона зависит от начального приближения. Если начальное приближение выбра-

но достаточно близко к решению, метод Ньютона быстро сходится. Если же начальное приближение выбрано грубо, то он может не сходиться, поэтому для его решения надо иметь надёжное приближение. Для определения начального приближения воспользуемся методом «последовательных погружений» [10]. Представленный в данной работе метод расчёта поможет разработать смесительные аппараты с требуемыми техническими характеристиками.

Надо заметить, что предложенный в работе метод расчёта может быть использован и в случае, когда жидкая смесь состоит из двух компонент, к примеру, из воды и имитатора нефти. Плотность жидкой смеси в этом случае определяется по зависимости, предложенной в работе [11].

В заключении необходимо отметить, что предложенная в работе математическая модель поможет разработчикам создать смесительный аппарат с требуемыми техническими характеристиками, что, в свою очередь, поможет как в совершенствовании первичного специального эталона, так и при проектировании и создании рабочих эталонов единицы массового расхода многофазных потоков.

Литература

1. В.Г. Соловьёв, В.Л. Варсегов, С.Л. Малышев, В.Н. Петров, Вестник КГТУ им.А.Н.Туполева, № 3, с.32-38, (2013).

2.И.Р. Ягудин, В.Н. Петров, А.Ф. Дресвянников Вестник Казан. технол. ун-та, т.16, № 4, с.203-208, (2013).

3. В.Н. Петров, С.Л. Малышев, Г.Ф. Мухаметшина, Вестник технол. ун-та, т.19, № 2, с.38-40, (2016).

4. В.Е. Алемасов, Г.А. Глебов, А.П. Козлов, А.Н. Щелоков Турбулентные струйные течения в каналах. Казанский филиал АН СССР, Казань, 1988. 172с.

5. Г.А. Глебов, В.Н. Петров Теплообмен и трение в двигателях и энергетических установках летательных аппаратов. Казан. авиац. ин-т, Казань, 1992, с.18-28.

6. Г.Н. Абрамович, Т.А. Гиршович, С.Ю. Крашенинников, А. Н. Секундов, И. П. Смирнова Теория турбулентных струй. Под ред. Абрамовича Г.Н. Издание 2-ое пе-рераб. и доп. Наука, Москва, 1984. 720с.

7. Г.Н. Абрамович Теория турбулентных струй. Изд-во Физ-мат. лит. Москва, 1960. 716с.

8. В.Н. Петров, С.Л. Малышев, В.И. Анфиногентов, И.А. Махоткин Вестник технол. ун-та, т.19, № 8, с. 54-57, (2016).

9. Н.С. Бахвалов Численные методы. Наука, Москва, 1975. 631с.

10. В.В. Петров Метод последовательного погружения в нелинейной теории пластины и оболочек. Изд-во Саратов. ун-та, Саратов, 1975. 120с.

11. IS010790. Measurement of fluid in closed conduits. Guidance to the selection, installation and coriolis meters (mass flow, density and volume flow measurements).

© В. Н. Петров - к.т.н., вед. науч. сотр. ФГУП «ВНИИР», petr_vl_n@mail.ru; В. Ф. Сопин - д.х.н., проф., зав. каф. аналитической химии, сертификации и менджмента качества КНИТУ, sopin@kstu.ru; С. Л. Малышев - науч.сотр. ФГУП «ВНИИР», pamir.61@mail.ru; С. В. Петров - директор ООО «БРиЗ», Казань, Petrov_1972@mail.ru.

© V. N. Petrov - k.t.s., senior researcher associate at FGUP "VNIIR", petr_vl_n@mail.ru; V. F. Sopin - d.c.s., Professor, head of department of analytical chemistry, certification and quality management of KNRTU, sopin@kstu.ru; S. L. Malyshev - researcher associate at FGUP "VNIIR", pamir.61@mail.ru; S. V. Petrov - the director of Ltd."BRiZ", Kazan, Petrov_1972@mail.ru.

R