CC BY
33
2016 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 1(31)
УДК 519.719.325
К ВОПРОСУ О ЛИНЕЙНОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ ДВОИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
А. В. Черемушкин
Учебно-методическое объединение по образованию в области информационной
безопасности, г. Москва, Россия
Изучены условия однозначности разложения булевой функции в простую бесповторную декомпозицию при линейной замене переменных. Вводится понятие подпространства существенных переменных. Найдены условия, при выполнении которых каждое из двух подпространств существенных переменных функций-компонент в простой декомпозиции функции с тривиальной группой инерции в группе сдвигов однозначно определяет другое. Рассмотрен также случай итеративной декомпозиции.
Ключевые слова: булевы функции, сопряжённое пространство, простая декомпозиция, итеративная декомпозиция.
DOI 10.17223/20710410/31/4
ON LINEAR DECOMPOSITION OF BOOLEAN FUNCTIONS
A. V. Cheremushkin EMA IS, Moscow, Russia E-mail: avc238@mail.ru
Disjunctive decompositions of Boolean functions taken after a linear substitution on the set of arguments are considered. For any component of such a decomposition, a notion of a substantial variables subspace is introduced. The main topic of the article is to give some sufficient condition under which the both these subspaces unequally determine each other in a simple disjunctive decomposition of a function having the trivial stabiliser group of shifts. The case of iterative disjunctive decomposition is considered too.
Keywords: Boolean function, vector space, dual space, simple disjunctive decomposition, iterative disjunctive decomposition.
Введение
В данной работе предлагается подход к изучению свойств разложения булевой функции в простую бесповторную декомпозицию при линейной замене переменных. При рассмотрении таких декомпозиций удобнее рассматривать функции-компоненты, участвующие в этой декомпозиции, не как функции, заданные на соответствующих подпространствах, а как функции, заданные также на всём пространстве, но определяемые своими подпространствами существенных переменных. Ранее автором были рассмотрены некоторые частные случаи бесповторных декомпозиций [1], включая выделение линейных сомножителей и некоторые виды сумм функций от независимых
переменных, а также полностью рассмотрен случай разложимости функции в произведение от независимых переменных [2]. Основной задачей данной работы является нахождение условий, при выполнении которых каждое из двух подпространств существенных переменных функций-компонент в простой декомпозиции функции с тривиальной группой инерции в группе сдвигов однозначно определяет другое. Рассматривается также случай итеративной декомпозиции, в котором можно явно установить связь между двумя различными простыми декомпозициями.
1. Основные определения
Введём обозначения, которые, несмотря на свою громоздкость, в дальнейшем помогут яснее понять особенности действия линейной группы на множестве функций.
Пусть V — векторное пространство размерности п, п ^ 1, над полем ОЕ(2), т.е. V = (ОЕ(2))п, и Тп есть множество всех функций / : V м ОЕ(2). Если зафиксировать некоторый базис е = (е1,е2,... , еп) пространства V, то для произвольного
п
вектора х Е V двоичные коэффициенты х1,х2,... , хп в его разложении х = ^ хгег
г=1
будем называть его координатами в базисе е, а их набор обозначать символом хе, т. е. Хе = (XI , х2 , . . . , хп ). Кроме того, любой функции / Е Тп будем ставить в соответствие функцию /е Е Тп, называемую представлением / в базисе е и определяемую как /е(Хе) = / (х) для всех X Е V.
Пусть далее V* —векторное пространство, состоящее из всех линейных функций в Тп. Если х Е V и а* Е V*, то значение линейной функции а* на векторе х удобно обозначать в виде (х, а*). Базис е = (е1, е2,..., еп) пространства V и базис е* = (е*1, е*2,..., е*п) пространства V* называются сопряжёнными (один другому), если для всех г,], 1 ^ г,] ^ п,
(ег, е*-7 Н/1 ' = ^ I 0, г = >
Говорим, что функция д Е Тп получена из функции / Е Тп линейной заменой переменных вида х м- хА, где А — некоторая квадратная матрица размера п х п над СЕ(2), если д(х) = /(хА) для всех х Е V.
Сделаем несколько поясняющих замечаний.
Замечание 1. Для любых сопряжённых базисов е и е* = (е*1, е*2,..., е*п) пространств V и V* соответственно, для любого вектора х Е V и любой его координаты хг в базисе е справедливо хг = (х, е*г).
Замечание 2. При выборе другого базиса е' = (е'1, е/2,..., е/п) пространства V получаем
/ (х) = /е (хе) = /е' (хе') = /е' (хеС),
где С—матрица перехода от базиса е' к базису е: е = е'С.
Замечание 3. Для любой функции / Е Тп и любого базиса е пространства V множество всех функций, полученных из функции /е путем линейной замены переменных, совпадает с множеством функций /е/ для всевозможных базисов е' пространства V.
Действительно, каждой линейной замене переменных функции /е вида хе м хеА соответствует представление /е функции / в новом базисе е', матрица перехода от которого к базису е имеет вид С = А-1:
/е(хеА) = /е (хе).
Замечание 4. Если C = (cj) —матрица перехода в пространстве V от бази-
са e/ = (e;1,e/2,... , e/n) к базису e = (e1, e2,..., en) и e* = (e*1,e*2,...,e*n) и e'* =
к оазису е = (е", е~,..., е'") и е'" = (е^, е'",..., б""") и = (е'*1, е'*2,... , е'*"") суть Оазисы пространства V*, сопряжённые к е и е' соответственно то имеют место соотношения
n n
ei = Е Cije/j, eMi = £ cJte*j, i = 1,..., n, j=i j=i
и матрицей перехода от e'* к e* является (A-1)T.
Доказательство вытекает из следующих цепочек равенств:
n n n / n \ nn
x = Y Xie® = Y xje/j = Y I Y xiCiA e/j = Y x% Y Cje/j, i=1 j=1 j=1 \i=1 / i=1 j=1
n n n
xi Y Xjcji Y(x, e j )cji ( x, Y cjie j I (x, e ), j=1 j=1 v j=1 j
где x— (x 1, x2, . . . , xn) — xg CC.
Для каждого целого t ^ 0 определим подпространства Ut пространства функций Fn
Ut = {f : deg f ^ t}.
Заметим, что U0 = {0,1}. При t < 0 положим Ut = {0} — нулевое подпространство. Для функций f и h в Fn будем говорить, что они сравнимы по модулю Ut, и писать f = h (mod Ut), если f ф h G Ut. В данной работе рассматриваются сравнения только при t = 0 и —1 (обычное равенство функций).
Для любого вектора a G V подстановка аа : V ^ V, определяемая как aa(x) = = a ф x для каждого x G V, называется сдвигом V на a. Сдвиги пространства V на всевозможные векторы в V образуют группу подстановок на V. Далее эта группа обозначается Hn. Таким образом, Hn = {aa : a G V}. Для любой функции f G Fn подгруппа в Hn, состоящая из сдвигов пространства V, сохраняющих f, т.е. из тех сдвигов аа G Hn, для которых f (x) = f (aa(x)), называется группой инерции функции f в группе Hn и обозначается (Hn)f. Иначе, (Hn)f = {aa G Hn : f (x) = f (a®x)}. Наконец, для любого целого t через (Hn)fP обозначим стабилизатор множества функций f ф^,
а именно: (Hnf = {^a G Hn : f (x ф a) ф f (x) G Ut}.
Пусть 0 ^ t ^ n — 1, 1 ^ k ^ n. Будем говорить, что переменные x&+1,..., xn функции fe(x1,... ,xn) являются несущественными по модулю Ut, если найдётся функция he(x1,... , xk), такая, что f ф h G Ut. Нетрудно видеть, что переменная xn является несущественной для функции fe по модулю Ut, если и только если Ab f G Ut-1, где Abf (x) = f (x) ф f (x ф b) и be = (0,... , 0,1), или, что то же самое, если G (Hn)ft-1).
Пусть теперь функция f зависит по модулю Ut существенно лишь от k, 1 ^ k < n, переменных, т. е.
f (x) = fe(xe) = he(x1,..., xfc) (mod Ut),
причём k — минимальное с этим свойством по всем базисам (или, что то же самое, по всем линейным заменам переменных). Тогда с этой функцией однозначно связаны два подпространства: подпространство V2 = (efc+1,...,en) С V векторов, сдвиги по которым лежат в группе (Hn)ft 1), и двойственное ему подпространство
V* = (V>)x = {e* : (x, e*) = 0, x G V2} = (e*1,..., e*k) С V*,
которое назовём подпространством существенных переменных по модулю Ut. В данном случае будем использовать запись
f = f (V*) (mod Ut),
которая подчеркивает, что функция f, заданная на пространстве V, обладает пространством существенных переменных по модулю Ut, совпадающим с подпространством V* С V*. Функция h может быть однозначно задана по своему ограничению на подпространство V —дополнение к V2 в пространстве V. Но, в отличие от пространства существенных переменных V1* , подпространство V1 неоднозначно определяется по функции h.
Термин «подпространство существенных переменных» оправдан в связи с тем, что для каждого ненулевого вектора e* Е V* при всяком дополнении его до базиса всего пространства V* у соответствующей двоичной функции будет существенная переменная, записываемая как линейная функция y 1 = (x,e*). Вместе с тем не всякой существенной переменной двоичной функции соответствует вектор из подпространства существенных переменных. Например, у двоичной функции x 1 (x2 Фx3) три существенных переменных, но подпространство существенных переменных порождается двумя векторами e* и e* Ф e*.
В частности, функция f имеет тривиальную группу инерции (Hn)f 1) в том и только в том случае, когда пространство существенных переменных функции f по модулю Ut совпадает со всем пространством V*.
Заметим, что у функции f с тривиальной группой инерции (Hn)f несущественной переменной x1 = (x,e*) по модулю Uo функции fe соответствует линейное слагаемое fe(x1,... ,xn) = x1 Ф he(x2,... ,xn). В частности, группа инерции (Hn)f0) функции f нетривиальна в том и только в том случае, если она имеет тривиальную группу инерции (Hn)f и не имеет инверторов, т.е. таких векторов, сдвиг на которые переводит функцию f в функцию /.
Пусть —1 ^ s ^ n — 1. Будем говорить, что функция f Е Fn имеет аффинные сомножители по модулю Us, если найдутся такие аффинная функция /(x) = (x, а*)ФЬ, векторы x Е V, 0 = а* Е V*, b Е {0,1} и функция h, что f = / ■ h (mod Us). Заметим, что функция имеет аффинный сомножитель (x,e*) Ф b в том и только в том случае, когда множество Mf = {а Е V : f (а) = 1} содержится в линейном многообразии
W = Wo Ф а, Wo = {x :(x,e*) = 0}, (a,e*) = b.
В частности, при n ^ 2 функция f не имеет линейных (аффинных) сомножителей в том и только в том случае, когда dim(Mf) = n (dim(Mf Ф а) = n при всех а Е V).
Наконец, под линейной декомпозицией функции f Е Fn будем понимать бесповторную декомпозицию функции, получаемой из f некоторой линейной заменой её переменных и ввиду замечания 3 являющейся представлением f в некотором базисе пространства V, т. е. некоторой функцией fe. Ниже рассматриваются простая и итеративная декомпозиции.
2. Простая декомпозиция
Пусть функция f с тривиальной группой инерции в группе сдвигов в некотором базисе допускает нетривиальную простую декомпозицию
fe(x1,.. .xn) = ge(he(x1,...xfc), xfc+1, . . . Zn) , 2 ^ k < n, (1)
или иначе
/е(х1,.. .хп) = ке(хь... хк ^^+1,... хп) Ф де0)(х^1,.. .хп).
Это равенство можно рассматривать как координатную запись равенства функций на пространстве V вида
/(V*) = ВД*)д(1)^*(1)) Ф д(0)^*(0)),
где V* = V/ Ф V* —разложение в прямую сумму; V/ = (еЦ,...ек); ^*(0) и ^*(1) — пространства существенных переменных функций д(0) и д(1);
V; = ^2*(0) + К*(1) = <ек+1,...еп> ;
е1,... еп — базис пространства V *, сопряжённый с единичным базисом е1 = (1, 0,..., 0), ..., еп = (0,..., 0,1).
Если определим функцию д(г, V/) = гд(1)^*(1)) Ф д(0)(У2*(0)), г Е {0,1}, то можно записать
/ (V *)= д(ВД*)^*). (2)
Функция д имеет одну дополнительную переменную, не участвующую в линейной замене переменных. Поэтому, чтобы не переходить к расширенному пространству, удобно рассматривать переменную г как параметр и изучать пространства существенных переменных функций д(0) и д(1), заданные на пространстве V. Связь пространства существенных переменных с тривиальностью группы инерции здесь уже будет выглядеть несколько сложнее.
Лемма 1. Если функция / в некотором базисе допускает нетривиальную простую декомпозицию вида (1), то она имеет тривиальную группу инерции в группе сдвигов в том и только в том случае, когда выполнено хотя бы одно из двух условий:
1) функции де и ке имеют тривиальную группу инерции в группе сдвигов;
2) функция де содержит в группе сдвигов сдвиг на вектор с ненулевой первой координатой, а функция ке имеет тривиальную группу инерции в группе сдвигов по модулю и0.
Действительно, группа инерции в группе сдвигов функции / будет нетривиальной, если выполнено одно из условий:
— группа инерции в группе сдвигов функции ке нетривиальна;
— в группе инерции в группе сдвигов функции де есть нетривиальный вектор с нулевой первой координатой;
— в группе сдвигов функции де есть нетривиальный вектор с единичной первой координатой, причём группа инерции функции ке содержит инвертор, то есть вектор, при сдвиге на который функция ке переходит в функцию ке.
Последний случай иллюстрирует следующий пример. Функция
/е(х1, х2, . . . , х/) = (х1 Ф х2хз)х4(хб Ф х/) Ф хвх/ Ф х4хб(хб Ф х/) при ке(х1,х2,х3) = х1 Ф х2х3 имеет инвертор (1,0,0), а функция
де(г,х4,х5,хб,х/) = гх4(хб Ф х/) Ф хвх/ Ф х4хб(хб Ф х/) может быть преобразована к виду
(г Ф х5)х4(хб Ф х/) Ф хвх/
и содержит в группе инерции сдвиг на вектор (1,0,1,0,0). Поэтому в группе инерции исходной функции будет сдвиг на вектор (1,0,0,0,1,0,0).
В дальнейшем будем полагать, что функция f имеет тривиальную группу инерции в группе сдвигов. В силу леммы 1 это означает, что для каждого Оазиса, удовлетворяющего условию (1),
— либо группы инерции в группе сдвигов функций Не и де тривиальны;
— либо в группе инерции функции де есть один нетривиальный вектор с единичной первой координатой, но группа инерции функции Не по модулю Ц0 тривиальна.
Заметим, что условие тривиальности группы инерции функции Не по модулю Ц0 равносильно совпадению пространства существенных переменных функции Н по модулю Ц0 с подпространством V*.
Наша дальнейшая задача — выяснение того, в каких случаях каждое из подпространств V* и V* в равенстве (2) однозначно определяет другое. То, что в общем случае неоднозначность возможна, показывают следующие примеры.
Пример 1. Если Н имеет аффинный сомножитель по модулю Ц0, то второе пространство может неоднозначно определяться по первому. Например, при
Л<е(£ь £2, £3, £4) = х1Н'(ж2, £3, £4) ф 1, Уе(у, £5£б, £7, £3) = у(£5£б ф £7) ф (£7^3 Ф £7^3) получаем
fe(£l,. . . ,£в) = (£1Н'(£2, £3, £4) ф 1)(£б£б ф £7) ф (£б£б ф £7£в) = = £1Н'(£2, £3, £4)(£5£б ф £7) ф (£7£8 ф £7) = = £1Н'(£2, £3, £4)((£5 ф £1)£б ф £7) ф (£7£8 ф £7).
Поэтому функция f допускает другую простую декомпозицию, у которой вместо подпространства V* = (е5,... е8) выступает подпространство и* = (е! ф е5, еб, е7, е8).
Пример 2. Если в разложении функции де по первой переменной де = уд1 ф функция д1 имеет аффинные сомножители, то первое пространство может неоднозначно определяться по второму. Например, при де1(£5, £б, £7, £8) = £5д'(£б, £7, £8)
fe(£l, ... ,£8) = Не(£1,£2,£з,£4)де(£5,£б,£7,£8) ф У0(£5, £б, £7, £8) = = Не(£1,£2,£з,£4)£5д'(£б,£7, £8) ф У1 (£5, £б, £7, £8) = = Не(£1 ф £5, £2, £3, £4)£5У'(£б, £7, £8) ф У0(£5,£б,£7,£8).
Поэтому функция f допускает ещё одну простую декомпозицию, у которой вместо подпространства V* = (е1,... е4) надо взять подпространство и* = (е1 ф е5, е2, е3, е4).
Пример 3. Если в группе инерции функции де есть вектор (1, 6^+1,... , 6П) с единичной первой координатой, т. е.
Уе(^,£Л+1, ...,£")= ф 1,£к+1 ф Ьк+1, ...,£" ф &«), то для любой функции Не выполнено тождество
Уе(Не(£1, . . . ,£к),£к+1, ...,£")= Уе(Не(£1, ...,£*;) ф £1,£к+1 ф £1&к;+1, ...,£" ф £16").
Полагая Н = Не ф £1 и де£к+1,... , £п) = де(^, £к+1 ф £16к+1,... , £п ф £16п), получаем две простые декомпозиции вида (2), у которых подпространства V* = (е^+1,... е") и и2* = (е1 ф 6й+1 ек+1,..., е1 ф 6пе") различны.
Следующая теорема даёт условия, при которых каждое из пространств в простой декомпозиции однозначно определяет другое.
Теорема 1. Пусть функция / с тривиальной группой инерции в группе сдвигов допускает для некоторого базиса нетривиальную простую декомпозицию вида (2), удовлетворяющую следующим условиям:
а) функция к имеет тривиальную группу инерции в группе сдвигов по модулю и0;
б) функция д имеет тривиальную группу инерции в группе сдвигов;
в) функция к не имеет аффинных сомножителей по модулю и0;
г) функция д(1) не имеет аффинных сомножителей.
Тогда каждое из подпространств в разложении V* = V/ Ф "V* однозначно определяет другое.
Доказательство. Составим базис пространства V* из базисов подпространств V* и V*. Обозначим через Х1 и Х2 соответствующие наборы переменных, хе = (Х1, Х2). Тогда равенство (2) принимает вид
/е(Х1,Х2)= де (ке(Х1),Х2).
Докажем сначала, что подпространство У1* однозначно определяется по 'Ц)*. Предположим противное. Тогда найдётся другая простая декомпозиция /(V*) = = д'(к/(и1*), V*), где подпространство Ц* удовлетворяет условию V* = V/ Ф V* = = и* Ф Щ. Каждый вектор подпространства и* представим в виде суммы векторов из подпространств V! и V2*. Так как размерности подпространств [/* и V* совпадают, можно выбрать базис подпространства и* следующего вида:
и1 = е1 + ад1,... ,ик = ек + адк,
где е1,...,ек — базис пространства V*; ад^...,адк — некоторые векторы из подпространства V*. Переходя в равенстве (2) к базисам е1,..., еп и и1,..., , ек+1,..., еп
пространства V*, получаем де(ке(Х1),Х2) = де(к^(Х1 Ф Х2Ь),Х2), где Ь — некоторая
1 к
матрица, зависящая от вида векторов ад1,... , адк.
Пусть М0 и М1 —множества векторов из подпространства V = (^1*)^, на которых функция д(1) принимает значения 0 и 1 соответственно, V = М0 и М1. Заметим, что множество М1 содержит линейно независимые векторы, составляющие базис пространства V. Если бы размерность пространства, натянутого на М1, была меньше размерности пространства V2, то функция де1) имела бы аффинный сомножитель, что противоречит условию п. г.
Для каждой фиксации Х2 значений переменных из множества Х2, соответствующих векторам из М1, выполняется равенство
ке(Х1) ■ 1 Ф де0)(Х2) = ки(X Ф ВДдЖХг) Ф де(0)(Х2) = ки(Х1 Ф ВД1 Ф де(0)№).
Таким образом, получаем набор равенств вида ке(Х1) = к^(Х1 Фа^Фб^, где а^ — некоторый двоичный вектор; 6^ Е {0,1}. Так как по условию п. а группа инерции функции ке тривиальна, каждому значению 6^ = 6 соответствует единственное значение а^ = а^. Поэтому возможны только два вида равенств:
ке(Х1) = ки(Х Ф а0) Ф 0, ке(Х1) = ки(Х Ф а^ Ф 1.
Если имеют место оба равенства, то ке(Х1 Ф а0 Ф а1) = ке(Х1) Ф 1. Поэтому сдвиг на вектор а0 Ф а1 = 0 лежит в группе инерции функции ке в группе сдвигов по модулю и0, что противоречит условию п. а. Значит, возможно только одно из этих равенств. Пусть, например, выполнено равенство ке(Х1) = к^(Х1 Ф а) Ф 6.
Если а = 0, то область истинности М1 функции должна содержаться в линейном многообразии, задаваемом системой уравнений Х1Ь = а, что также противоречит условию п. г. Значит, линейное отображение Ь принимает на множестве М1 только нулевое значение, причём множество М1 содержит базис пространства V2. Поэтому Ь = 0. Это означает, что Ц* = V*.
Докажем теперь, что подпространство "Ц* однозначно определяется по V*. Рассуждаем аналогично. Предположим, что найдётся другая простая декомпозиция f (V*) = = Уе(Нет^), где подпространство Ц* удовлетворяет условию V* = V* ф V* = = V* ф и2*. Как и выше, зафиксируем произвольные базисы подпространств V* и V* и обозначим через Х1 и Х2 соответствующие наборы переменных. Тогда после аналогичного перехода к новому базису пространства Ц* получаем равенство функций
Уе(Не(Х1),Х2) = д!(Не(Х1),Х2 ф ВД
при некоторой матрице Ь. Пусть Ы0 и М1 (Ы0 и Ы1) —множества векторов из подпространства V = (У2*)±, на которых функция Н (Н') принимает соответственно значение 0 и 1, V = Ы0 и Ы1 = М0 и М"1. Так как по условию п. в функция Н не имеет аффинных сомножителей по модулю Ц0, то ни одно из множеств Ы0 и М1 не может содержаться в собственном аффинном многообразии подпространства У1, и поэтому они должны иметь максимальный ранг, равный размерности пространства У1.
При произвольной фиксации Х1 всех переменных из Х1, такой, что Не (ХС1) = 1, получаем в результате равенство функций
0е(Не(Х1),Х2)= ди(1,Х2 ф ВД,
которые можно считать заданными на подпространстве V2 = (V*Если найдутся две фиксации Х1 = а0 и Х1 = а1, такие, что функция Не принимает различные значения
де(1,Х2) = д!(1,Х2 ф а1Ь), де(0,Х2) = д!(1,Х ф а0Ь),
то а0Ь = а1Ь, так как иначе д(1)(Х2) = де(1, Х2) фде(0, Х2) = 0 и функция fe не зависит от переменных из Х1. С помощью замены переменных получаем равенство
де(0,Х2 ф а0Ь) = д!(1,Хг) = де(1,Х ф а1Ь),
откуда следует тождество де(г ф 1,Х2 ф а0Ь ф а1Ь) = де(г,Х2), что противоречит условию п. б. Поэтому при каждой такой фиксации функция Не принимает одно и то же значение.
Рассмотрим сначала случай Не(ХС1) = 1. Здесь должно выполняться равенство функций де(1,Х2) = ди(1,Х ф а1Ь).
Аналогично, при произвольной фиксации Х1 всех переменных из Х1, такой, что Не (хХ1) = 0, получаем в результате равенство функций
де(Не(Х1),Х2)= д!(0,Х2 ф ^Ь),
причём при каждой такой фиксации функция Не должна принимать одно и то же значение. Если Не(Х1) = 1, то Ы0 С М1 и V = Ы0 и М1 С М1, что возможно, только если функция Не является константой. Значит, Не(ХС1) = 0 и Ы' С Ы0, и при 60 из Ыд выполнено равенство функций де(0, Х2) = д!(0, Х2ф60Ь). Значит, Ыд = М0 и Ы1 = Ы1, откуда Не = Не.
Предположим, что L = 0. Тогда, так как каждое из множеств M0 и Mi содержит базис пространства VI, найдутся ненулевые векторы u Е M0 и v Е Mi пространства Vi, такие, что выполнены равенства ueL = 0 и veL = 0. Для всех таких векторов должны выполняться равенства
ge(1,X2) = gU(1,X 0 VeL), ge(0^) = gU(0, X2 0 UeL).
Если v, v' Е Mi, то gU(1, X2 0 veL) = ge(1, X2 0 veL), откуда
ge(1,X 0 veL 0 veL) = ge(1,Xi).
Значит, сдвиг на вектор (ve 0 ve )L лежит в группе инерции функции ge (1,X2). Так как множество Mi содержит базис пространства Vi, множество векторов вида v 0 v', v,v' Е Mi, порождает подпространство Hi размерности dim Hi ^ dim Vi — 1. Если dim Hi = dim Vi — 1, то Mi С v 0 Hi, что противоречит отсутствию аффинных сомножителей у функции h. Значит, dim Hi = dim Vi.
Так как по предположению L = 0, а размерность M0 совпадает с размерностью пространства Vi, найдётся вектор u Е M0, такой, что ueL = 0. Выразим u через базис, составленный из векторов wt вида v 0 v', v, v' Е Mi:
u = E CiWi, Ci Е {0,1}. i
Так как векторы (wi)eL лежат в группе инерции функции ge(1,X2), то и их сумма также лежит в группе инерции функции ge(1,X2):
ge(1,X2) = gU(1,X 0 E Ci(Wi)eL) = ge(1,X 0 ueL).
i
Отсюда получаем тождество
ge(z, X2) = gU(z,X 0 ueL), ueL = 0,
что противоречит тривиальности группы инерции в группе сдвигов функции f. Поэтому L = 0. Это означает, что U2 = V>*.
Случай he(Xii) = 0 рассматривается полностью аналогично. Имеем включение Mi' С M0 и равенство функций
ge(0,X2) = gU(1,X2 0 aiL).
Если he(Xii) = 0, то M0 С M0, что невозможно, так как функция he не является
константой. Значит, he (Xii) = 1, Mq С Mi и при некотором b0 выполнено равенство функций
ge(1,X2) = gU(0,X2 0 60L).
Отсюда M0 = Mi и Mi = M0, т. е. he = he 0 1. Далее надо повторить все рассуждения, поменяв местами функции gU(0,X2) и gU(1,X2). ■
3. Итеративная декомпозиция
В заключение рассмотрим случай итеративной декомпозиции, в котором можно явно установить связь между двумя различными простыми декомпозициями.
Теорема 2. Пусть функция f с тривиальной группой инерции в группе сдвигов допускает две нетривиальные простые декомпозиции
f (V*) = g(h(V*), V2*) = g'(h'(U*), U2*), (3)
где V* = V* ф V2* = U* ф U2* — разложения в прямую сумму, причём V* С U*. Тогда
1) для подпространства W* = V2* Р| U* выполнены равенства U* = V* ф W*, V2* = W * ф U2*;
2) если обе простые декомпозиции удовлетворяют условиям теоремы 1, то найдётся функция m, удовлетворяющая равенству
f (V*) = g'(m(h(Vi*), W*),U*),
причём
g(y, V2) = g'(m(y, W*), U*), h'(Ui) = m(h(V*), W*).
Доказательство. Если V* = U1 , то справедливость утверждения вытекает из теоремы 1. Пусть Vj* С U* и W* = V2* Р| U*. С учётом размерностей
dim W* = dim V2* + dim U* - dim(V2* U U*) = = (n — dim V*) + dim U* — n = dim U* — dim Vj*
получаем, что W* — дополнение подпространства Vj* в U*, т. е. U* = Vj*фW*. Докажем, что V2* = W * ф U2*.
Составим один базис е *,... ,еП пространства V* из базисов подпространств Vj*, W* и U*, а второй базис u j ,...,u^ — из того же самого базиса подпространства V* и базиса пространства V2*, который можно составить из базиса пространства W*, дополнив его векторами вида u* = е* + v*, где е* —векторы из базиса подпространства U*, а v* — некоторые векторы из Vj* ф W*. Тогда равенство (3) в этих базисах можно записать в виде
gu(he(Xj),X2,X3 ф XjL 1 ф X2L2) = ge(he(Xi,X2),Xs), (4)
где X1,X2,X3 — соответствующие наборы переменных; L 1 и L2 —некоторые матрицы.
Зафиксируем произвольным образом значения переменных из X2 так, чтобы функция he(X 1, b) не была константой:
gu(he(X1), b, X3 ф XjL 1 ф bL2) = ge(№1, b), X3). (5)
Изучим многочлены Жегалкина двоичных функций в левой и правой частях этого равенства. Функции he и ge удовлетворяют условиям теоремы 1. В правой части все переменные из X3 являются существенными, поэтому в левой части они также все входят в многочлен Жегалкина. В левой части найдётся произведение переменных из X3, умноженное на все конъюнкции многочлена Жегалкина функции he (X1), быть может, без свободного члена. Поэтому he(X1) = ^(X^b) (mod U0) и обе части равенства (5) также существенно зависят от всех переменных их множества X 1. По теореме 1 получаем, что второе подпространство однозначно определяется по первому подпространству V*, и поэтому в равенствах (4) и (5) должно быть L 1 = 0. А это означает, что V2* = W* ф U2*.
Рассмотрим разложение функции g по первой переменной:
g(z, V*) = ¿g(o,V0*) v zg(i,V?*).
Здесь V2°* и V1* —подпространства существенных переменных подфункций g(0, *) и g(1, *), причём должно выполняться равенство V2* = V2°* + V2,1*. С другой стороны, в силу вида простой декомпозиции после фиксации значений всех переменных функции h может получиться только одна из двух подфункций функции g:
g(0, V20*) = g'(h'°(U°*), U2*), g(1, V1*) = g'(h'1(Ui1*), U2*). (6)
Здесь подпространство U* однозначно определяется по U*, а U°* С W* и U1* С W* — подпространства существенных переменных функций h'° и h'1, полученных соответствующими фиксациями переменных из V* у функции h'(U1*) = h'(V1*, W*). Заметим, что пространства U°* и Ц1 * зависят не от способа фиксации переменных функции h, а только от получившегося значения функции h. Сравнивая пространства существенных переменных у функций, стоящих в левой и правой частях в равенствах (6), получаем разложения в прямую сумму V2°* = U°* ф U2* и V21 * = U1* ф U2*. Из этих равенств вытекает V2* = W* Ф U2*, а значит, и U°* + U1* = W*.
Если в равенствах (6) зафиксировать переменные, соответствующие некоторому базису пространства U*, так, чтобы функция g' зависела существенно от оставшейся переменной, то получится, что функции h'° (U°*) и h'1(U11*) также определены однозначно и зависят не от способа фиксации переменных функции h, а только от получившегося значения функции h. Обозначим
m(z, W*) = zh'°(Uf) V zh'1(U11*).
Из равенств (6) получаем тождество
g(z,V2*) = g'(m(z,W *),U2*).
Подставляя теперь вместо переменной z функцию h(V1*), получаем равенство
f (V *) = g'(m(h1(V1*),W * ),U2*),
откуда, аналогичным образом фиксируя переменные, соответствующие некоторому базису пространства U*, так, чтобы функция g' зависела существенно от оставшейся переменной, получаем h'(U"*) = m(h(V1 *), W*). ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Черемушкин А. В. Методы аффинной и линейной классификации двоичных функций // Труды по дискретной математике. Т. 4. М.: Физматлит, 2001. С. 273-314.
2. Черемушкин А. В. Однозначность разложения двоичной функции в бесповторное произведение нелинейных неприводимых сомножителей // Вестник Московского государственного университета леса «Лесной вестник». 2004. №4(35). C. 86-90.
REFERENCES
1. Cheremushkin A. V. Metody affinnoy i lineynoy klassifikatsii dvoichnykh funkiy [Methods of affine and linear classification of binary functions]. Tr. Diskr. Mat., 2001, vol.4, pp.273-314. (in Russian)
2. Cheremushkin A. V. Odnoznachnost' razlozheniya dvoichnoy funktsii v bespovtornoe proizvedenie nelineynykh neprivodimykh somnozhiteley [The uniqueness of the binary function decomposition in a unrepeated product of non-linear irreducible factors]. Lesnoy vestnik, 2004, no. 4(35), pp. 86-90. (in Russian)
