CC BY
17Логические исследования 2022. Т. 28. № 2. С. 77-95 УДК 510.644
Logical Investigations 2022, Vol. 28, No. 2, pp. 77-95 DOI: 10.21146/2074-1472-2022-28-2-77-95
Н.Е. ТомовА
К вопросу о критерии паранепротиворечивости логик
Наталья Евгеньевна Томова
Институт философии РАН.
Российская Федерация, 109240, г. Москва, ул. Гончарная, д. 12, стр. 1. E-mail: natalya-tomova@yandex.ru
Аннотация: В статье рассмотрены различные аспекты, связанные с определением па-ранепротиворечивых логик. Приведены критерии паранепротиворечивости логических систем, которые были предложены С. Яськовским и Н. да Костой. Даны различные формулировки принципа «из противоречия следует все что угодно» (ex falso quodlibet) и соответствующие определения паранепротиворечивой логики. Указано, в каких случаях эти определения могут быть эквивалентны. Также описана проблема эксплозивности отношения следования относительно некоторых операторов и связок и приведены те решения, которые были предложены различными исследователями. В статье рассмотрены вопросы, связанные с паранепротиворечивым отрицанием, указаны свойства классического отрицания, несовместимые с отказом от принципа «из противоречия следует все что угодно». Приведены различные взгляды на необходимость неверифицируемости в паранепротиворечивых логиках принципа непротиворечия.
Ключевые слова: паранепротиворечивость, закон Дунса Скота, принцип непротиворечия, отрицание, отношение следования, С. Яськовский, Н. да Коста
Для цитирования: Томова Н.Е. К вопросу о критерии паранепротиворечивости логик // Логические исследования / Logical Investigations. 2022. T. 28. № 2. С. 77-95. DOI: 10.21146/2074-1472-2022-28-2-77-95
Введение
Существуют контексты рассуждений, для работы с которыми классическая логика не применима. Среди них особо выделяют контексты с избытком информации и контексты с недостатком информации.
Так, например, различные базы данных очень часто содержат и противоречивую и неполную информацию. Научные теории — еще один пример реальных ситуаций, в которых противоречия кажутся неизбежными. Существуют такие научные теории, которые сами по себе непротиворечивы, однако могут приводить к противоречиям в сочетании с другими теориями.
© Томова Н.Е., 2022
Для работы с подобными контестами подходят паранепротиворечивые и параполные логики.
Предложенная статья представляет собой первую часть более общего исследования, посвященного вопросам определения паранепротиворечиво-сти и параполноты логических систем.
Часто в рассуждениях о какой-либо ситуации имеется противоречивая информация. В классической логике наличие противоречия ведет к триви-ализации теории («из противоречия следует все что угодно»).
При этом на практике люди не воспринимают противоречие как то, что позволяет делать совершенно любые выводы, умозаключения. Они не делают произвольных выводов обо всем из противоречивых посылок. Другими словами, принцип «из противоречия следует все что угодно» (ex falso quodlibet) отвергается. Логики, в которых противоречия не ведут к тривиальности, называются паранепротиворечивыми логиками.
Как отмечает Л.И. Розоноэр [Розоноэр, 1983, с. 114], исследование па-ранепротиворечивых логик вызвано, с одной стороны, чисто математическим интересом, с другой, стремлением отразить различные аспекты применений логики. Например, при анализе логики дискуссий, когда участники могут высказывать противоположные мнения [Jaskowski, 1969]; логики начальной стадии развития теории, на которой возможны противоречия, впоследствии устраняемые [D'Ottaviano, da Costa, 1970]; логики, в которых противоречивые суждения могут быть оба верными с определенными степенями вероятности [Kotas, da Costa, 1978]; в связи с проблемами, связанными с обработкой противоречивой информации компьютером, и др.
В данной работе мы рассмотрим критериии паранепротиворечивости, которым должна удовлетворять логическая система для корректной работы в условиях противоречивой информации. Имеющиеся в литературе формулировки подобных критериев непосредственно связаны с тем, какие задачи стоят перед исследователями, что понимается под логикой, в каком языке формулируется та или иная система.
Наш обзор будет строиться вокруг критериев, предложенных основателями паранепротиворечивой логики — С. Яськовским и Н. да Костой, также мы рассмотрим некоторые связанные с этими критериями нежелательные следствия и дикуссионные моменты. В рамках статьи мы коснемся ключевых вопросов, связанных с определением паранепротиворечивости, также будут затронуты некоторые аспекты взаимосвязи различных определений паранепротиворечивости, случаи их эквивлентности и др.
Существует большое количество работ, посвященных вопросам критериев паранепротиворечивости логик. В основном это работы зарубежных
авторов. На некоторые из них мы будем ссылаться в нашей статье. Из отечественных работ, в которых рассмотрены общие вопросы паранепротиворечивости, а также ее различные аспекты, на наш взгляд, следует отдельно отметить базовую статью [Ишмуратов и др., 1989] — по сути, это первый в русской логической литературе обзор паранепротиворечивых логик, а также диссертацию Н.Л. Кварталовой «Паранепротиворечивость и релевантность» [Кварталова, 2004].
Необходимо отметить, что хотя в области паранепротиворечивых логик достаточно активно ведутся исследования и получено немало результатов, которые касаются не только непосредственно данной области исследования, но и помогают по-новому осмыслять традиционные логические понятия (такие, например, как «отрицание», «следование» и др.), существуют различные мнения по поводу необходимых и достаточных условий для логики, чтобы она могла называться парнепротиворечивой.
1. Определения
Приведем основные определения, которые будут нами использованы в статье.
Пусть Var = {p, q,r... } — счетное множество пропозициональных переменных и Con = {§i,... §n} — конечное множество пропозициональных связок, где каждой связке §¿ сопоставлено натуральное число a(§¿), которое обозначает число ее аргументов. Хотя бы для одного i £ {1,...n} имеет место a(§¿) = 0. Множество формул For определяется индуктивно стандартным образом:
(1) Var С For,
(2) Для каждого такого §¿ £ Con, что a(§i) = k, §i(<p1,..., рk) £ For, если
£ For,
(3) Ничто иное не принадлежит For.
Алгебру формул L = {For, §1,..., §n) будем называть пропозициональным языком.
Множества формул из For называются теориями и обозначаются T, S.
Отношением следования для пропозиционального языка L называем бинарное отношение Ь между T С For и р £ For, отвечающее условиям:
• Если р £ T, то T Ь р (рефлексивность);
• Если T Ь р и T С T', то T' Ь р (монотонность);
• Если T Ь р и T', р Ь ф, то T, Т Ь ф (транзитивность).
Если Ь также замкнуто относительно всех эндоморфизмов (подстановок) С, называем такое следование структурным.
Если С — пропозициональный язык и Ь — структурное логическое следование на С, то Ь = (С, Ь) — пропозициональная логика. Далее, если не оговорено иное, будем рассматривать логики, заданные в стандартном языке, в котором имеются связки —, V, Л,
Логика называется нормальной, если отношение следования рефлексивно, монотонно, транзитивно.
Теория Т противоречива, е.т.е. существует такая формула р, что:
Т Ь р и ТI—р.
Теория Т тривиальна, е.т.е. для любой формулы р верно, что:
ТЬ р.
Логическая матрица для С — это структура М = (V, ¡\,..., Д, О), где А = (V, ¡1,..., Д) алгебра того же типа, что пропозициональный язык С, V — множество истинностных значений и Д — функция на V той же местности, что и О С V — непустое собственное подмножество V. Когда М — матрица для С, гомоморфизм Н из С в А называем оценкой С в М.
Некоторая формула р есть тавтология в М, е.т.е. для каждой оценки Н в М верно, что Н(р) е О.
Теорией, порождаемой М, называем множество всех тавтологий в М и обозначаем его как Е(М).
Матричное отношение следования есть множество Сп(М) упорядоченных пар (Т, р) таких, что для всякой оценки Н в М, если Н(Т) С О, то Н(р) е О.
Тогда под логикой Ь можно понимать пару (С, Сп(М)), с другой стороны, логику Ь можно также рассматривать как матричную теорию, т.е. класс тавтологий Е(Мь).
2. Критерий С. Яськовского
С. Яськовский, вдохновленный работой Я. Лукасевича, посвященной принципу непротиворечия у Аристотеля, — первый, кто представил формальную систему пропозициональной паранепротиворечивой логики.
Проблема построения логики, в которой принцип «из противоречия следует все что угодно» не действует и на основе которой могут быть построены противоречивые, но не тривиальные теории, была поставлена в 1948 г.
именно С. Яськовским [Jaskowski, 1969]1. Как считается, именно Яськов-ский впервые формулирует в рамках противоречивых систем вопросы, связанные с нетривиальностью.
Существуют различные способы опровержения и ограничения принципа «из противоречия следует все что угодно».
Яськовский ставит задачу найти систему пропозиционального исчисления, которая послужила бы основой для противоречивых, но нетривиальных теорий. Формулируются следующие критерии для такого исчисления [Jaskowski, 1969, p. 145]:
Я1 при применении к противоречивым системам не всегда приводило бы
2
к тривиализации теории ,
Я2 должно быть достаточно богатым, чтобы можно было делать практические выводы,
Я3 должно иметь интуитивное обоснование.
Как указывает C. Яськовский, эти требования могут быть выполнены в различной степени, поэтому отсутствует однозначное универсальное решение конструирования паранепротиворечивой системы.
Проблема определения паранепротиворечивых логик, удовлетворяющих критериям Я1-Я3, была названа «проблемой Яськовского». Существует ряд работ, посвященных решению «проблемы Яськовского» (см., например, [D'Ottaviano, da Costa, 1970; Kotas, da Costa, 1978]).
Сам Яськовский в качестве решения поставленной им проблемы конструирует дискуссивную логику. Основные идеи дискуссивной логики, ее развитие в исторической перспективе, вопросы аксиоматизации, ал-гебраизации, возникающие проблемы и их решения рассмотрены в статье [Ciuciura, 1999].
Критерии Я1-Я3 сформулированы в самом общем виде. Но какие конкретные формальные требования они предполагают?
В своей статье С. Яськовский подчеркивает, что для реализации Я1 в логике не должен иметь места закон Дунса Скота р ^ (—р ^ ф).
хСтатья, посвященная дискуссивной логике изначально, появилась на польском языке в 1948 г., ее английский перевод — в 1969 г.
2С. Яськовский вместо понятия «тривиальная теория» использует аналогичное понятие «сверхполноты».
Согласно [Karpenko, 1999], условие Я2 предполагает наличие правила
modus ponens и верификацию следующих формул:
р ^ р,
(р ^ ф) ^ ((7 ^ р) ^ (7 ^ ф))
(р ^ (ф ^ Y)) ^ (ф ^ (р ^ Y)).
Относительно условия Я3 там же имеется следующая трактовка: на классических значениях {0,1} логические связки в паранепртиворечи-вой логике ведут себя как классические связки.
Таким образом, при матричном задании логики как класса тавтологий в паранепротиворечивой логике формула р ^ (—р ^ ф) не является тавтологией.
Отношение следования называется эксплозивным (explosive), если р, —р Ь ф для любых р, ф е For.
На основании этого понятия стандартное определение паранепротиворечивой логики дано в [Priest et al., 2014]: логика паранепротиворечива,
3
если и только если ее отношение логического следования не является эксплозивным.
Таким образом, если L = (L, Ь) — пропозициональная логика, то она является паранепротиворечивой, если существуют формулы р, ф е For такие, что р, —р F ф.
Однако здесь возникают некоторые сложности.
Уже сам Яськовский отмечает недостаточность для работы с противоречивыми и нетривиальными теориями соблюдения требования невери-фицируемости закона Дунса Скота. Так, автор отказывается от своей дис-куссивной логики, поскольку, несмотря на то, что закон Дунса Скота не является тавтологией в этой логике, в ней верифицируется т.н. формула Лукасевича:
р ^ (—р ^ (——р ^ ф)),
т.е. хотя «из противоречия не следует все что угодно», наличие противоречивой тройки р, —р, ——р приводит к тривиализации. Более того, это свойство характерно для всех логик, которые являются паранепротиво-речивыми только на атомарном уровне4 [Beziau, 2000, p. 102]. Д. Батенс
3Отношение логического следования определено или синтаксически, или семантически.
4На уровне пропозициональных переменных и их отрицаний (литералов). О литеральных паранепротиворечивых логиках см. [Lewin, Mikenberg, 2006; Карпенко, Томова, 2016].
такие паранепротиворечивые логики, в которых верифицируется формула Лукасевича называет не строго паранепротиворечивыми [Batens, 1980].
Ж.-И. Безье указывает, что в некоторых паранепротиворечивых системах имеет место — р ^ (——р ^ ф).
В связи с этим Е.К. Войшвилло обобщает понятие паранепротиворечивости: логика паранепротиворечива, если не содержит конечного множества формул, из которого выводима некоторая произвольная формула [Войшвилло, 1998, с. 130]. При данном подходе к паранепротиворечи-вым логикам нельзя отнести логики, которые являются таковыми только на атомарном уровне.
Еще один важный момент. Существуют такие системы, которые, удовлетворяя общему требованию паранепротиворечивости — «из противоречия не следует все что угодно», т.е. отношение следования в этих системах в общем виде не является эксплозивным, тем не менее также не подходят для работы с противоречивыми теориями, поскольку отношение следования в них эксплозивно относительно некоторых операторов и связок.
В связи с этим С. Яськовский замечает [Jaskowski, 1969, p. 147], а также на это указывают и другие исследователи, что в системах паранепротиво-речивых логик нежелательна верификация формул типа р ^ (—р ^ — ф) (аналог закона Дунса Скота), т.е. когда из противоречия выводимо отрицание любой формулы. Именно на основании этого свойства минимальная логика Йохансона [Johansson, 1936] хотя и удовлетворяет определению па-ранепротиворечивой логики, многими исследователями не рассматривается в качестве таковой. В поисках системы, удовлетворяющей требованиям паранепротиворечивости, Яськовский рассматривает известный ему пример — систему Колмогорова, которая также обладает этим свойством.
О недостаточности неверифицируемости закона Дунса Скота для построения логики, лежащей в основе противоречивой, но не тривиальной теории, говорит Батенс [Batens, 1980, p. 201], приводя пример логической системы, имеющей следующую матрицу:
M = ({1,1/2, 0}, —, V, {1}), где —, ^ и V определяются таблицами:
x —x
1 0
1/2 1/2
0 1
1 1/2 0
1 1 1/2 0
1/2 1 1 0
0 1 1 1
V 1 1/2 0
1 1 1 1
1/2 1 1/2 1/2
0 1 1/2 0
Эта логика паранепротиворечива в том смысле, что закон Дунса Скота не является здесь тавтологией. Но, как указывает Д. Батенс, хотя эта система и паранепротиворечива, но она не подходит для работы с противоречивыми, но не тривиальными теориями, поскольку формула р ^ (—р ^ (ф V —ф)) является тавтологией, при этом формула ф V — ф тавтологией не является. Получается, что наличие противоречия приводит к тому, что формулы вида ф V —ф всегда будут теоремами.
Другой пример. А. Арруда и Н. да Коста представили семейство из пяти логик, предназначенных для решения парадоксов, возникающих в «наивных» теориях множеств. Оказалось, что две системы J2 и J4 технически удовлетворяют определению паранепротиворечивости, т.е. р, —р F ф, но в то же время имеет место р, —р h (ф ^ ф) [Arruda, da Costa, 1974].
И. Урбас в статье [Urbas, 1990], рассматривая проблему эксплозивности отношения следования относительно некоторых операторов и связок в па-ранепротиворечивых логиках, предлагает свое решение и вводит понятие строгой паранепротиворечивости, основанное на отказе и от различных частных форм принципа «из противоречия не следует все что угодно»5.
3. Критерий Н. да Косты
Возникновение паранепротиворечивой логики том виде, в каком мы имеем с ней дело сегодня, приписывают Н. да Косте. Некоторые исследователи отмечают, что именно он первым построил паранепротиворечи-вые системы в полном охвате: логику высказываний, логику предикатов, теорию множеств.
В 1963 г. Н. да Коста независимо от С. Яськовского представил пара-непротиворечивую логику Ci и связанную с ней иерархию подобных пара-непротиворечивых пропозициональных логик Cn, где 0 < n < w. При этом он указывает следующие требования для паранепротиворечивых исчислений [da Costa, 1974, p. 498] (см. также [Marcos, 2005a]):
дК1 в Cn принцип непротиворечия —(рЛ— р) не является допустимой схемой;
дК2 из двух противоречащих формул р и —р в общем случае в Cn нельзя вывести произвольную формулу ф;
дК3 существует простое расширение Cn до логики предикатов (с равенством или без равенства);
5 В данном случае имеется в виду, что определение эксплозивности отношения следования будет предполагать, что из противоречия выводимы не любые формулы, а только формулы определенного вида.
дК4 Cn содержит существенную часть схем и правил классической логики, которые не противоречат первым условиям.
Так же как и в случае требований для паранепротиворечивой логики, предложенных С. Яськовским, в условиях Н. да Косты присутствует некоторая неопределенность, что дает возможность по-разному решать проблему паранепротиворечивости логик.
Очевидно, условия дК2 и Я1 совпадают. Это требование единодушно принимается всеми исследователями в качестве необходимого условия для паранепротиворечивых систем. Другой вопрос, что имеются различные способы ограничения принципа «из противоречия не следует все что угодно».
Необходимость дК3 также принимается многими.
Рассмотрим условие дК1.
Существуют различные взгляды на необходимость требования дК1 для паранепротиворечивых логик.
Так, например, Безье в ряде своих работ отмечает, что паранепроти-воречивая логика — логика, отвергающая принцип непротиворечия (см., например, [Béziau, 1999]).
Тем не менее существует ряд паранепротиворечивых логик, в которых принцип непротиворечия в форме — (рЛ — р) является теоремой. Например, в паранепротиворечивой логике J3 [D'Ottaviano, da Costa, 1970]. Такие па-ранепротиворечивые логики Безье называет полными [Béziau, 1999, p. 478], хотя и отмечает, что не совсем ясно, что означает такая полнота систем6. Как отмечает Яськовский, закон непротиворечия является теоремой его дискуссивной логики и в целом не имеет связи с проблемой логики противоречивых систем [Jaskowski, 1969, p. 152]7.
Некоторые исследователи признают, что принцип непротиворечия традиционно считается одним из существенных свойств отрицания, и отказ от этого принципа позволяет утвержать, что отрицание в логиках Н. да Косты не является отрицанием (см., например, [Priest et al., 2014, p. 165]).
6Ситуация, что принцип непротиворечия — (pЛ — p) имеет место, но «из противоречия не следует все что угодно», возможна, когда, например, в трехзначной логике отрицание представляет собой инволюцию x = 1 — x) и третье истинностное значение берется в качестве выделенного.
7Здесь необходимо заметить, что в логике Яськовского нестандартная конъюнкция: p Л ф p, но р,ф У p Л ф, т.е. в логике Яськовского отсутствует правило введения конъюнкции. Подобные логики называются не-адъюнктивными. Данное свойство конъюнкции связано с тем, что логика Яськовского не предусматривает стандартного правила modes ponens (как правила, сохраняющего истину, выделенное значение), modus ponens здесь имеет место только как допустимое правило, сохраняющее тавтологию, т.е. как правило, которое может применяться только к теоремам.
Здесь же авторы следующим образом поясняют это утверждение: р и ф находятся в отношении подпротивоположности, если р V ф логически истинно; р и ф находятся в отношении противоречия, если р V ф логически истинно и р Л ф логически ложно. Итак, при подходе Н. да Косты имеем: р V—р — логически истинно, рЛ—р не является логически ложным. Таким образом, р и —р находятся в отношениии подпротивоположности, а не в отношении противоречия. Далее делается вывод, что отрицание да Косты не есть отрицание, т.к. отрицание — оператор, формирующий противоречие, а не подпротивоположность.
Существуют различные способы реализации стратегии, описанной в пункте дК4. Здесь также видна аналогия с требованием Я2 у Яськов-ского.
Как указывает Дж. Маркос [Marcos, 2005a, p. 55], пункт дК4 можно понимать как то, что паранепротиворечивое исчисление должно быть максимальным, т.е. если р — классическая тавтология, не доказуемая в этом исчислении, тогда в результате добавления р к этому исчислению в качестве новой схемы аксиомы получим классическую логику.
В настоящее время большое внимание уделяется систематическому поиску максимальных паранепротиворечивых фрагментов классической логики [Marcos, 2005b, p. xliv]. Проблеме поиска критериев максимальности паранепротиворечивости и параполноты посвящена работа [Девяткин, 2021].
Другой подход к реализации требования да Косты дК4 используется в противоречиво-адаптивных логиках (inconsistency-adaptive logics) (см. [Batens, 2000]), в которых максимальность достигается с помощью немонотонных стратегий, предполагающих непротиворечивость.
Необходимо отметить, что условие дК4 о максимально возможном сохранении классической логики принимается и одобряется далеко не всеми исследователями (см., например, [Urbas, 1988]). Так, например, предлагается ослабить это условие и, как альтернатива, опираться на схемы и правила интуиционисткой логики.
Н. да Коста конструирует свою паранепротиворечивую логику Ci, пытаясь сохранить в этой логике классические свойства, насколько это возможно.
4. Другие определения паранепротиворечивости.
Об отрицании
Ключевым в определении паранепротиворечивых логик является понятие отрицания. Некоторые исследователи непостредственно указывают
на это. Так, например, Ж.-И. Безье в своих работах, анализируя вопросы критериев для определения паранепротиворечивых логик, особое внимание уделяет отрицанию. Именно с точки зрения понятия отрицания он рассматривает критерий паранепротиворечивости.
Как указывает Безье, все исследователи паранепротиворечивых логик сходятся в отрицательном критерии для паранепротиворечивой логики: принцип «из противоречия следует все что угодно» не должен иметь места. Существуют различные формализации принципа эксплозивности, Безье приводит стандартную:
Т, р, —р Ь ф, для любой теории Т и формул р и ф8.
Безье предлагает следующее определение паранепротиворечивой логики, основанное на отказе от вышеуказанного принципа.
В данной логике отрицание является паранепротиворечивым, е.т.е. существует теория Т и формулы р и ф такие, что:
Т,р, -р У ф.
Логика паранепротиворечива, е.т.е. она содержит паранепротиворечивое отрицание.
Безье объединяет определения паранепротиворечивости С. Яськовского и Н. да Косты в одно. Это определение паранепротиворечивости, как пишет Безье, то же, что и сформулированное ранее независимым образом С. Ясь-ковским и Н. да Костой. Он дает это определение в своей нотации [Bëziau, 2000, р. 99]:
В логике с отрицанием теория Т
- противоречива, е.т.е. существует такая формула р, что: Т Ь р и Т I—р;
- тривиальна, е.т.е. для любой формулы р верно, что: Т Ь р.
- паранепротиворечива, е.т.е. она противоречива и нетривиальна.
В случае нормальной логики принцип «из противоречия следует все что угодно» эквивалентен традиционной формулировке принципа непротиворечия: «предложение и его отрицание не могут быть оба истинными».
И это позволяет некоторым исследователям определять паранепроти-воречивую логику как логику, в которой принцип непротиворечия не имеет места.
8Как пишет Безье [Вё21аи, 2000, р. 99], аналогичный принцип без упоминания Т — частный случай приведенной формулировки (см. стр. 82), и обе формулировки эквивалентны при монотонности. Если отношение следования Ь является структурным, то вместо формул ^ и ф в формулировке принципа достаточно писать пропозициональные переменные р и д. Приведенная формулировка имеет место также для неструктурного отношения следования [АпёН ё! а1., 2011, р. 35].
Однако известно, что р, —р Ь ф и I--i(p Л —р) не эквивалентны. Так,
например, в трехзначной логике Лукасевича первое имеет место, а второе — нет; в паранепротиворечивой логике Приста LP первое не имеет места, а второе является теоремой.
Таким образом, в данном смысле отказ от закона непротиворечия недостаточен, чтобы получить паранепротиворечивую логику.
Однако, как подчеркивает Безье, когда неформально определяется па-ранепротиворечивая логика как система, в которой принцип непротиворечия не имеет места, здесь принципиально учитывать неэквивалентность этого утверждения тому, что формула —(рЛ— р) не является теоремой этой логики.
Безье делает важный вывод о том, что в случае нормальной логики три рассмотренные формулировки паранепротиворечивости: первая, основанная на отказе от принципа «из противоречия следует все что угодно», вторая — на различии между тривиальностью и противоречивостью и третья — на отказе от принципа непротиворечия, эквивалентны.
В исследованиях паранепротиворечивых логик вопросу отрицания и его свойствам уделяется особое внимание (см., например, [Beziau, 1999; Lenzen, 1996]). Так, Ж.-И. Безье, рассматривая различные свойства отрицания, исследует, какие из них совместимы с не эксплозивным отношением следования.
При структурном отношении следования отказ от принципа «из противоречия следует все что угодно» в различных его вариантах автоматически приводит к тому, что некоторые привычные свойства отрицания не имеют место. Такие, например, как
• контрапозиция: если T, р Ь q, то T, — q I--р,
• сведение к абсурду: если T, — p Ь q, и T, —p I--q то T Ь р.
Как указано в [Кварталова, 2004, с. 41], наличие в системах гильбер-товского типа хотя бы ослабленного варианта контрапозиции наряду с аксиомами
р ^ (ф ^ p),
(р ^ ф) ^ ((р ^ (ф ^ y)) ^ (р ^ y))
позволяет доказать закон Дунса Скота. Отсутствие контрапозиции, в свою очередь, приводит к нежелательным последствиям: в общем случае оказывается неприемлемым принцип замены для доказанных эквивалентностей.
С другой стороны, многие свойства классического отрицания совместимы с отказом от принципа эксплозивности следования [Beziau, 2016]. Поэтому, как утверждает Безье, паранепротиворечивое отрицание является отрицанием. Также он ссылается на математику, где много различных унарных операторов с различными свойствами, близкими, но не тождественными свойствам классического отрицания, которые тем не менее считаются отрицаниями.
В случае паранепротиворечивых логик варьирование отрицания — один из способов избежать закона непротиворечия.
В статье [Basu, Roy, 2022] упоминаются несколько альтернативных определений эксплозивности отношения следования.
Отношение следования называется эксплозивным (explosive), если
р Л -р Ь ф для любых р, ф е For.
В логиках, где имеются правила введения и исключения конъюнкции, данная формулировка эксплозивности отношения следования эквивалентна стандартной, приведенной нами на стр. 82.
В не-адъюнктивных системах могут использоваться следующие формулировки:
Ь (р Л -р) ^ ф для любых р, ф е For.
I—р ^ (р ^ ф) и Ь р ^ (-р ^ ф) для любых р, ф е For.
В логиках, в которых имеет место правило modus ponens и теорема дедукции, все приведенные нами формулировки эквивалентны [Basu, Roy, 2022, p. 151].
Таким образом, существует несколько формулировок принципа «из противоречия следует все что угодно», эти формы могут содержать несколько логических связок, среди которых всегда присутствует отрицание. Стоит отметить, что некоторые авторы исследуют возможность описания понятия паранепротиворечивости без использования оператора отрицания (см., например, [Basu, Roy, 2022]).
Заключение
В нашей статье мы рассмотрели некоторые вопросы, которые возникают в связи с определением паранепротиворечивости логик. Отталкиваясь от критериев паранепротиворечивости, которые были заданы основателями данной области исследования — С. Яськовским и Н. да Костой, — мы привели различные формулировки принципа «из противоречия следует все что угодно» и, соответственно, определения паранепротиворечивости.
Многообразие этих формулировок указывает на то, что проблему паране-противоречивости логик можно решать по-разному, в зависимости от того, какие задачи стоят перед исследователем. Также были приведены условия, при которых приведенные определения эквивалентны. Были затронуты вопросы отрицания в паранепротиворечивых логиках, о верифицируемости закона непротиворечия и др. В продолжении данной работы планируется рассмотреть ключевые вопросы, связанные с определением параполноты логик.
Литература
Войшвилло, 1998 - Войшвилло Е.К. О паранепротиворечивой логике Pi Сетте // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. М., 1998. Девяткин, 2021 - Девяткин Л.Ю. О выразительных возможностях максимально паранепротиворечивых и максимально параполных четырехзначных расширений FDE // Логические исследедования / Logical Investigations. 2021. T. 27. № 2. С. 66-92.
Ишмуратов и др., 1989 - Ишмуратов А.Т., Карпенко А.С., Попов В.М. О пара-непротиворечивой логике // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука, 1989. С. 261-284. Карпенко, Томова, 2016 - Карпенко А.С., Томова Н.Е. Трехзначная логика Боч-вара и литеральные паралогики. М.: ИФ РАН, 2016. 110 с.
Кварталова, 2004 - Кварталова Н.Л. Паранепротиворечивость и релевантность:
дис. ... канд. филос. наук: 09.00.07. М., 2004. 86 с. Розоноэр, 1983 - Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях. I // Автоматтика и телемеханика. 1983. Вып. 6. С. 113-124. Arieli et al., 2011 - Arieli O., Avron A., Zamansky A. Ideal Paraconsistent Logics //
Studia Logica. 2011. Vol. 99. P. 31-60. Arruda, da Costa, 1974 - Arruda A.I., da Costa N.C.A. Le schema de la separation
et les calculs Jn // Mathematiea Japonieae. 1974. Vol. 19. P. 183-186. Basu, Roy, 2022 - Basu S., Roy S. Negation-Free Definitions of Paraconsistency // A. Indrzejczak, M. Zawidzki (eds.). 10th International Conference on Non-Classical Logics. Theory and Applications (NCL 2022) EPTCS 358, 2022. P. 150-159. Batens, 1980 - Batens D. Paraconsistent extentional propositional logics // Logique
et Analyse. 1980. Vol. 90-91. P. 127-139. Batens, 2000 - Batens D. A survey of inconsistency-adaptive logics. 2000. Beziau, 1999 - Beziau J.-Y. The future of paraconsistent logic // Logical Studies.
1999. Vol. 2. P. 1-23.
Beziau, 2000 - Beziau J.-Y. What is paraconsistent logic? // Frontiers of Paraconsistent Logic. Batens D. et al. (eds.). Research Studies Press, Baldock,
2000. P. 95-111.
Béziau, 1999 - Béziau J.-Y. Are paraconsistent negations negations? // W.A. Carnielli, M.E. Coniglio, and I.M.L. D'Ottaviano (eds.), Paraconsistency: The Logical Way to the Inconsistent, Proceedings of the II World Congress on Paraconsistency, held in Juquehy, BR, May 8-12, 2000. Vol. 228 of Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker, 2002. P. 465-486.
Beziau, 2016 - Béziau J.-Y. Two Genuine 3-Valued Paraconsistent Logics // Akama S. (ed.). Towards Paraconsistent Engineering. Intelligent Systems Reference Library. Vol. 110. Springer Cham, 2016. P. 35-47.
Ciuciura, 1999 - Ciuciura J. History and development of the discursive logic // Logica Trianguli. 1999. Vol. 3. P. 3-31.
D'Ottaviano, da Costa, 1970 - D'Ottaviano I.M.L., da Costa N.C.A. Sur un probleme de Jaskowski // C.R. Acad. Sc. Paris. 1970. 270A. P. 1349-1353.
Jaskowski, 1969 - Jaékowski S. A propositional calculus for inconsistent deductive systems // Studia Logica. 1969. Vol. 24. P. 143-157.
Johansson, 1936 - Johansson I. Der Minimalkalkil, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus // Compositio Mathematica. 1936. Vol. 4. P. 119-136.
Karpenko, 1999 - Karpenko A.S. Jaskowski's criterion and three-valued paraconsistent logics // Log. Log. Philos. 1999. Vol. 7. P. 81-86.
Kotas, da Costa, 1978 - Kotas J., da Costa N.C.A. On the problem of Jaskowski and the logics of Lukasiewicz // Mathematical logic. Proc. of the first Brazilian Conf. New York and Basel: Marcel Dekker, inc., 1978. P. 127-139.
Lenzen, 1996 - Lenzen W. Necessary conditions for negation operators // Negation. A Notion in Focus. Ed. by H. Wansing. Berlin: de Gruyter, 1996. P. 37-58.
Lewin, Mikenberg, 2006 - Lewin R.A., Mikenberg I.F. Literal-paraconsistent and literal-paracomplete matrices // Math. Log. Quart. 2006. Vol. 52. No. 5. P. 478-493.
Marcos, 2005a - Marcos J. On a Problem of da Costa // Essays on the Foundations of Mathematics and Logic. Vol. 2. Polimetrica International Scientific Publisher Monza/Italy, 2005. P. 53-69.
Marcos, 2005b - Marcos J. Logics of Formal Inconsistency. PhD Thesis. Campinas, 2005.
da Costa, 1974 - da Costa N.C.A. On the theory of inconsistent formal systems // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1974. Vol. 11. No. 4. P. 497-510.
D'Ottaviano, da Costa, 1970 - D'Ottaviano I.M.L., da Costa N.C.A. Sur un probleme de Jaskowski // Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de l'Acad'emie des Sciences. Series A-B. 1970. Vol. 270. No. 21. P. 1349-1353.
Priest et al., 2014 - Priest G., Routley R., Norman J. (eds.). Paraconsistent Logic. Essays on the Inconsistent. Munchen; Hamden, Wien: Philosophia, 1989. 715 p.
Priest et al., 2014- Priest G., Tanaka K., Weber Z. Paraconsistent Logic // The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2022 Edition), E.N. Zalta (ed.). URL: https://plato.stanford.edu/archives/spr2022/entries/logic-paraconsistent (дата обращения: 01.06.2022).
Tarafder, Chakraborty, 2014 - Tarafder S., Chakraborty M.Kr. A Paraconsistent Logic Obtained from an Algebra-Valued Model of Set Theory // New Directions in Paraconsistent Logic, ed. by J.-Y. Beziau, M. Chakraborty, S. Dutta. Springer, India, 2015. P. 165-184. Urbas, 1988 - Urbas I. Paraconsistency and the J-systems of Arruda and da Costa //
Logique et Analyse. 1988. Vol. 31. No. 121/122. P. 27-44. Urbas, 1990 - Urbas I. Paraconsistency // Studies in Soviet Thoughts. 1990. Vol. 39. No. 3-4. P. 343-354.
NATALYA E. TOMOYA
On the question of the criteria for the paraconsistency of logics
Natalya E. Tomova
Institute of Philosophy, Russian Academy of Sciences, 12/1 Goncharnaya Str., Moscow, 109240, Russian Federation. E-mail: natalya-tomova@yandex.ru
Abstract: The paper discusses various aspects related to the definition of paraconsistent logics. The criteria of the paraconsistency of logical systems, which were proposed by S. Jaskowski and N. da Costa, are given. Various formulations of the principle "from contradiction, anything follows" (ex falso quodlibet) and the corresponding definitions of paraconsistent logic are given. It is indicated in which cases these definitions may be equivalent. The problem of explosiveness of the consequence relation with respect to some operators and bundles is also described, and the solutions that have been proposed by various researchers are given. The paper deals with issues related to the paraconsistent negation, the properties of classical negation that are incompatible with the rejection of the principle of "from contradiction, anything follows" are indicated. Different views on the necessity for non-verifiability the principle of non-contradiction in paraconsistent logics are regarded.
Keywords: paraconsistency, the law of Duns Scotus, the principle of non-contradiction, negation, consequence relation, S. Jaskowski, N. da Costa
For citation: Tomova N.E. "K voprosu o kriterii paraneprotivorechivosti logik" [On the question of the criteria for the paraconsistency of logics], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2022, Vol. 28, No. 2, pp. 77-95. DOI: 10.21146/2074-1472-2022-28-2-77-95 (In Russian)
References
Voishvillo, 1998 - Voishvillo, E.K. "O paraneprotivorechivoi logike Pi Sette" [On paraconsistent Sette's logic P1], Trudy nauchno-issledovatel'skogo seminara lo-gicheskogo tsentra Instituta filosofii RAN. M., 1998. (In Russian) Devyatkin, 2021 - Devyatkin, L.Yu. "O vyrazitel'nykh vozmozhnostyakh mak-simal'no paraneprotivorechivykh i maksimal'no parapolnykh chetyrekhznachnykh rasshirenii FDE" [On the expressive power of maximally paraconsistent and para-complete expansions of FDE], Logical Investigations, 2021, Vol. 27, No. 2, pp. 6692. (In Russian)
Ishmuratov et al., 1989 - Ishmuratov, A.T., Karpenko, A.S., Popov, V.M. "O paraneprotivorechivoi logike" [On paraconsistent logic], Sintaksicheskie i semanticheskie issledovaniya neekstensional'nykh logik. Moscow: Nauka, 1989, pp. 261-284. (In Russian)
Karpenko, Tomova, 2016 - Karpenko, A.S., Tomova, N.E. Trekhznachnaya Logika Bochvara i Literal'nye Paralogiki [Bochvar's three-valued logic and literal para-logics]. Moscow: IPh RAS, 2016. 110 pp. (In Russian)
Kvartalova, 2004 - Kvartalova, N.L. Paraneprotivorechivost' i relevantnost' [Paracon-sistency and relevance]: Dis. ... kand. filos. nauk: 09.00.07. Moscow, 2004. 86 pp. (In Russian)
Arieli et al., 2011 - Arieli, O., Avron, A., Zamansky, A. "Ideal Paraconsistent Logics", Studia Logica, 2011, Vol. 99, pp. 31-60.
Arruda, da Costa, 1974 - Arruda, A.I., da Costa, N.C.A. "Le schema de la separation et les calculs Jn", Mathematiea Japonieae, 1974, Vol. 19, pp. 183-186.
Basu, Roy, 2022 - Basu, S., Roy, S. "Negation-Free Definitions of Paraconsistency", 10th International Conference on Non-Classical Logics. Theory and Applications (NCL 2022) EPTCS 358, ed. by Indrzejczak A., Zawidzki M. 2022, pp. 150-159.
Batens, 1980 - Batens, D. "Paraconsistent extentional propositional logics", Logique et Analyse, 1980, Vol. 90-91, pp. 127-139.
Batens, 2000 - Batens, D. "A survey of inconsistency-adaptive logics", Frontiers of Paraconsistent Logic. Research Studies Press, 2000, pp. 49-73.
Beziau, 1999 - Beziau, J.-Y. "The future of paraconsistent logic", Logical Studies, 1999, Vol. 2, pp. 1-23.
Beziau, 2000 - Beziau, J.-Y. "What is paraconsistent logic?", Frontiers of Paracon-sistent Logic, ed. by Batens D. et al. Research Studies Press, Baldock, 2000, pp. 95-111.
Beziau, 1999 - Beziau, J.-Y. "Are paraconsistent negations negations?", Paraconsistency: The Logical Way to the Inconsistent, Proceedings of the II World Congress on Paraconsistency, held in Juquehy, BR, May 8-12, 2000. Vol. 228 of Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, W.A. Carnielli, M.E. Coniglio, and I.M.L. D'Ottaviano (eds.). Marcel Dekker, 2002, pp. 465-486.
Beziau, 2016 - Beziau, J.-Y. "Two Genuine 3-Valued Paraconsistent Logics", Towards Paraconsistent Engineering. Intelligent Systems Reference Library. Vol. 110., ed. by Akama S. Springer Cham, 2016, pp. 35-47.
Ciuciura, 1999 - Ciuciura, J. "History and development of the discursive logic", Logica Trianguli, 1999, Vol. 3, pp. 3-31.
D'Ottaviano, da Costa, 1970 - D'Ottaviano, I.M.L., da Costa, N.C.A. "Sur un probleme de Jaskowski", C.R. Acad. Sc. Paris, 1970, 270A, pp. 1349-1353.
Jaskowski, 1969 - Jaskowski, S. "A propositional calculus for inconsistent deductive systems", Studia Logica, 1969, Vol. 24, pp. 143-157.
Johansson, 1936 - Johansson, I. "Der Minimalkalkil, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus", Compositio Mathematica, 1936, Vol. 4, pp. 119-136.
Karpenko, 1999 - Karpenko, A.S. "Jaskowski's criterion and three-valued paraconsistent logics", Log. Log. Philos., 1999, Vol. 7, pp. 81-86.
Kotas, da Costa, 1978 - Kotas, J., da Costa, N.C.A. "On the problem of Jaskowski and the logics of Lukasiewicz", Mathematical logic. Proc. of the first Brazilian Conf. New York and Basel: Marcel Dekker, inc., 1978, pp. 127-139.
Lenzen, 1996 - Lenzen, W. "Necessary conditions for negation operators", Negation. A Notion in Focus, ed. by H. Wansing. Berlin: de Gruyter, 1996, pp. 37-58.
Lewin, Mikenberg, 2006 - Lewin, R.A., Mikenberg, I.F. "Literal-paraconsistent and literal-paracomplete matrices", Math.. Log. Quart., 2006, Vol. 52, No. 5, pp. 478-493.
Marcos, 2005a - Marcos, J. "On a Problem of da Costa", Essays on the Foundations of Mathematics and Logic. Vol. 2. Polimetrica International Scientific Publisher Monza/Italy, 2005, pp. 53-69.
Marcos, 2005b - Marcos, J. Logics of Formal Inconsistency. PhD Thesis. Campinas, 2005.
da Costa, 1974 - da Costa, N.C.A. "On the theory of inconsistent formal systems", Notre Dame Journal of Formal Logic, 1974, Vol. 11, No. 4, pp. 497-510.
D'Ottaviano, da Costa, 1970 - D'Ottaviano, I.M.L., da Costa, N.C.A. "Sur un probleme de Jaskowski", Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. Series A-B. 1970, Vol. 270, No. 21, pp. 1349-1353.
Priest et al., 2014 - Priest, G., Routley, R., Norman, J. (eds.). Paraconsistent Logic. Essays on the Inconsistent. Munchen; Hamden, Wien: Philosophia, 1989. 715 pp.
Priest et al., 2014 - Priest, G., Tanaka, K., Weber, Z. "Paraconsistent Logic", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2022 Edition), E.N. Zalta (ed.) [https://plato.stanford.edu/archives/spr2022/entries/logic-paraconsistent, accessed on 01.06.2022].
Rozonoer, 1983 - Rozonoer, L.I. "O vyyavlenii protivorechii v formal'nykh teor-iyakh. I" [On the identification of contradictions in formal theories. I], Avtomat. i telemekh., 1983, Vyp. 6, pp. 113-124.
Tarafder, Chakraborty, 2014 - Tarafder, S., Chakraborty, M.Kr. A "Paraconsistent Logic Obtained from an Algebra-Valued Model of Set Theory", New Directions in Paraconsistent Logic, ed. by J.-Y. Beziau, M. Chakraborty, S. Dutta. Springer, India, 2015, pp. 165-184.
Urbas, 1988 - Urbas, I. "Paraconsistency and the J-systems of Arruda and da Costa", Logique et Analyse, 1988, Vol. 31, No. 121/122, pp. 27-44.
Urbas, 1990 - Urbas, I. "Paraconsistency", Studies in Soviet Thoughts, 1990, Vol. 39, No. 3-4, pp. 343-354.
