К вопросу о количестве разрешенных кодовых комбинаций в кодах с исправлением ошибок Текст научной статьи по специальности «Математика»

АШИМОВ1 Наиль Мударисович, доктор технических наук, профессор МАЗАЕВ2 Артем Николаевич, кандидат технических наук

К ВОПРОСУ О КОЛИЧЕСТВЕ РАЗРЕШЕННЫХ КОДОВЫХ КОМБИНАЦИЙ В КОДАХ С ИСПРАВЛЕНИЕМ ОШИБОК

Уточняется нижняя граница области разрешенных кодовых комбинаций для корректирующих кодов с исправлением ошибок. Показана связь количества разрешенных комбинаций и вероятности воспроизведения кодовой комбинации до и после обнаружения и расшифровки одной из них из общего ансамбля.

Ключевые слова: системы связи, корректирующие коды, разрешенные кодовые комбинации.

Specified lower limit of the area of code combinations to correcting codes with error correction. Shown us the number of allowed combinations and the likelihood of playing a combination of code before and after the discovery and deciphering of one of the general ensemble.

Keywords: communication systems, correcting codes, allowed code combinations.

Корректирующие коды с исправлением ошибок при приеме символов кодовой комбинации, известные нам также как избыточные или помехозащищенные, получили широкое применение в системах связи. Применение корректирующих кодов считается одним из эффективных способов повышения достоверности приема двоичной информации. Однако использование корректирующих кодов ограничено системами, в которых посылка информационного сигнала известна априори с вероятностью 1,0, а аппаратура на приемной стороне обслуживается человеком. В таких системах единственным критерием и показателем помехоустойчивости служит вероятность ошибочного приема символа двоичной комбинации (вероятность ошибки на символ), зависящая от отношения сигнал/шум в полосе фильтра, согласованного с символом.

В линейных (систематических) корректирующих кодах с исправлением S ошибок кодовая комбинация, состоящая из п разрядов, содержит к информационных и г контрольных (проверочных) символов так, что п = к + г.

Информационные и контрольные символы в кодовой комбинации располагаются в строго определенных местах. В частности, в циклических кодах первые к символов являются информационными, а остальные символы — контрольными. Такие коды обозначаются (п, к).

Общее количество кодовых комбинаций равно

N = 2п. (1)

Из них количество разрешенных кодовых комбинаций (емкость кода) составляет

М = 2к = 2п-г = 2п/2г. (2)

В корректирующих кодах с исправлением ошибок кодовое расстояние (минимальное количество символов, которыми одна кодовая комбинация отличается от другой) связано с числом исправляемых ошибок S соотношением

й = 2S + 1. (3)

' — профессор ВИ (ИВ) Общевойсковой академии ВС РФ;

2 — преподаватель ВИ (ИВ) Общевойсковой академии ВС РФ.

К сожалению, вопрос об определении минимального числа избыточных символов для построения кода с исправлением ошибок до настоящего времени не решен, существует лишь ряд верхних и нижних оценок границы этой области. Наиболее известны оценки Хэмминга и Варшамова-Гиль-берта. Если оценка Хэмминга в литературе трактуется однозначно, то относительно оценки Варшамова-Гильберта в литературе имеются определенные неточности и противоречивые соотношения.

Материал, рассмотренный далее, представляется в целях устранения указанных неточностей и противоречий. Оценка Хэмминга для избыточных символов имеет вид

2’>±с:,

(4)

¿=0

с:

где - число сочетании из п по і, равное

С1 =

п\

М<М<

(5)

1=0

р _ {уТд )КТа ^ (*)_ к\ ’

(6)

Р = 5~уТа

Г(К) ■>

(7)

Р - Р -1-5~уТа

Г(Л) ґ(к>\) 1 ■} ■

(8)

ошибки в комбинации может быть любое. Распределение числа ошибок в как случайная величина подчиняется биноминальному закону

Рм=с:РГ(1-РэУ,

(9)

где Рэ - вероятность приема символа.

При отсутствии сигнала в симметричных каналах связи Рэ = 0,5. Тогда средняя частота ложного приема кодовой комбинации на каждом тактовом интервале, равном длительности кодовой комбинации Тк , будет определяться выражением

1 1

(10)

7 =

МхТк 2шТкЯ

Подставляя (4) в (2), определим количество разрешенных кодовых комбинации

При условии уТа<<1,0, можно воспользоваться первыми двумя членами разложения в степенноИ ряд (8). В результате получим

Цп) УТа-

(11)

Выражение (5) в литературе известно как верхняя граница Хемминга для количества разрешенных кодовых комбинаций. Неравенство (5) переходит в равенство для совершенных (или так называемых плотно упакованных) кодов. Верхняя граница Хэмминга используется и в операциях над простыми кодами. В частности, вероятность ложного приема л-разрядной двоичной комбинации под действием случайных или воспроизводящих помех.

Ложный прием кодовой комбинации представляет собой случайное событие. Вероятность того, что за время Та произойдет ровно К таких событий, определяется законом Пуассона

Формулами (8) и (11) можно пользоваться, когда ни одна из разрешенных кодовых комбинаций не обнаруживается и не расшифрована.

Оценка Варшамова-Гильберта устанавливает нижние границы для количества разрешенных кодовых комбинаций.

В [2, 5, 6] даны следующие выражения для количества избыточных символов

2'гЕс;

1=0

25-1

/=0

(12)

(13)

(14)

¡=о

Соответственно получаем нижние границы Варшамова-Гильберта для количества разрешенных кодовых комбинаций

где у - средняя частота событий (ложных приемов). Использование пуассоновского закона в данном случае оправдывается тем, что отсутствует последействие и имеет место ординарность.

При к = 0 имеем

мх<

2”

25 '

Ъс:

і=0

М, <

2й

¿.о — 1

Iе-'

Вероятность того, что за время Та произойдет хотя бы одно событие будет равна

2 ^ 25-1 ¡=0 2

(15)

(16)

(17)

£ с;_,

Кодовая комбинация считается принятой правильно при правильном приеме не менее л - в символов из л, т.е. допускается не более в ошибок в приеме символов, причем место

1=0

Очевидно, что эти границы здесь располагаются в возрастающем порядке, т.е. мы имеем М1 < М2 < М3.

Отметим, что в [1, 3, 4] неравенства (12) - (14) и (15) - (17) приведены ошибочно с противоположным знаком.

Реально количество разрешенных комбинаций М будет находиться в промежутке между одной из границ Варшамо-ва-Гильберта и верхней границей Хэмминга. Выбор нижней границы Варшамова-Гильберта зависит от количества избыточных символов и числа исправляемых ошибок S. При малой избыточности и небольшом числе исправляемых ошибок количество разрешенных комбинаций М будет находиться в промежутке: М3 < М < Мх.

Указанные выше соотношения могут быть подтверждены несложным экспериментом. Сформируем на ЭВМ случайную двоичную комбинацию с разрядностью л = 12. Предположим, что исправляется S = 2 ошибки в приеме символов двоичной комбинации, следовательно, в соответствии с (3) кодовое расстояние будет равно й = 5. Путем сложения по модулю 2 каждой из 212 = 4096 комбинаций со всеми ос-таль-ными определим количество кодовых комбинаций, отличающихся друг от друга не менее чем на й = 5 символами. Это число, совпадающее с количеством разрешенных кодовых комбинаций, в нашем примере составляет М = 26.

Верхняя граница Хэмминга в нашем примере в соответствии с (5) равна Мх = 51,85, а нижняя граница Варшамова-Гильберта в соответствии с (17) составят М3 = 17,65.

Таким образом, количество разрешенных комбинаций в нашем примере находится в промежутке между Мх и М3. Заметим что в нашем примере также имеем М1 = 5,16 и М2 = 13,7. Использование их для определения области разрешенных кодовых комбинаций означало бы более осторожную оценку.

Нижняя граница Варшамова-Гильберта, как и верхняя граница Хэмминга, могут быть использованы в операциях над простыми кодами, в частности, при оценке вероятности вос-

произведения сигнала после обнаружения и расшифровки одной из разрешенных кодовых комбинаций из общего ансамбля. В этом случае средняя частота ложного приема сигнала будет определяться по формуле

1 1 25-1 •

(18)

1У1Ъ1к п к ¡=0

а вероятность ложного приема найдем после подстановки (18) в (8).

Выводы

1. Верхняя граница Хэмминга и одна из нижних границ Варшамова-Гильберта, ограничивающие область разрешенных кодовых комбинаций в кодах с исправлением ошибок, могут быть использованы и в операциях над простыми кодами.

2. Верхняя граница Хэмминга используется при оценке вероятности ложного приема двоичного сигнала под действием случайных и воспроизводящих помех в условиях, когда ни одна кодовая комбинация из общего ансамбля сигналов не обнаружена и не расшифрована.

3. Нижняя граница Варшамова-Гильберта может быть использована при теоретической оценке вероятности воспроизведения двоичного сигнала после обнаружения и расшифровки одной из разрешенных кодовых комбинаций из общего ансамбля.

4. Устранены противоречия в некоторых литературных источниках [1, 3, 4], касающиеся знаков неравенств для границ Варшамова-Гильберта.

Литература

1. Б.М. Золотник. Помехоустойчивые коды в системах связи. — М.: Радио и связь, 1989. — 230 с.

2. У. Питерсон, Э. Улдон. Коды, исправляющие ошибки. — М.: Мир. 1976. — 593 с.

3. А.М. Яглом, И.М. Яглом. Вероятность и информация. — М.: Наука, 1973. — 511 с.

4. Справочник. Кодирование информации. Двоичные коды. Под ред.Н.Т. Березкина. — Харьков: Вища школа, 1978. — 251 с.

5. И.А. Мешковский. Теория, и техника помехоустойчивого кодирования. — М.: Изд. Всесоюзного заочного энергетического института, 1966. — 83 с.

6. Энциклопедия, кибернетики. Т. 1. — Киев: Украинская советская энциклопедия, 1975.

7. А.А. Харкевич. Теория, информации. Опознавание образов. Избранные труды.. Т. З. — М.: Наука, 1971. — 523 с.