К вопросу о формализации двухэтапного построения математической макромодели сложной механической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518.12:531.01

К ВОПРОСУ О ФОРМАЛИЗАЦИИ ДВУХЭТАПНОГО ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МАКРОМОДЕЛИ СЛОЖНОЙ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

© 2013 г. И.А. Спиридонова, Д.В. Гринченков

Спиридонова Ирина Артуровна - доцент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники», ЮжноРоссийский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. E-mail: SIA1706@yandex.ru

Гринченков Дмитрий Валерьевич - канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой «Программное обеспечение вычислительной техники», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. E-mail: grindv@yandex.ru

Spiridinova Irina Arthurovna - assistant professor, department «Software computer engineering», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). E-mail: SIA1706@yandex.ru

Grinchenkov Dmitriy Valerievich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, head of department «Software computer engineering», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). E-mail: grindv@yandex.ru

Приведены результаты анализа особенностей применения метода обобщенных энергетических фазовых переменных (ОЭФП) для механической поступательной системы и авторский вариант упрощения алгоритма построения макромодели динамики сложной механической системы при комплексном использовании методов ОЭФП и уравнений Лагранжа второго рода.

Ключевые слова: математическая модель; механическая система; формализация; алгоритм; фазовые переменные; уравнения Лагранжа второго рода; макромодель.

The article presents the results of the analysis of the particular qualities of the application of the method of generalized energy phase variables (GEPV) to mechanical translational system and the author's variant of simplification algorithm for constructing macro models of the dynamics of complex mechanical systems by the method GEPV and the second kind Lagrange equations.

Keywords: mathematical model; mechanical system; formalization; algorithm; phase variables; second kind Lagran-gian equation; macro model.

Моделирование динамики механической системы является актуальным в целом ряде практических приложений, и, соответственно, весьма полезно при обучении студентов направлений прикладной математики и информационных технологий, углубленно изучающих математическое и компьютерное моделирование. Решение этой задачи требует комплексной разработки математической модели и соответствующего программного обеспечения ее численной реализации.

Решение этой задачи допускает применение теоретических методов, допускающих формализацию уравнений Лагранжа второго рода [1 - 4] или формального метода обобщенных энергетических фазовых переменных (ОЭФП) [4 - 7]. Первоначальным этапом при этом выступает выделение подсистем (макроэлементов), каждая из которых имеет одну степень свободы. Математическое описание взаимодействия подсистем, таким образом, формирует макромодель системы. В качестве объекта макромоделирования для дальнейшего применения результатов в учебном процессе может быть рассмотрена задача динамики поступательного движения механической

системы, допускающая интуитивно понятную студенту трактовку этапов моделирования и полученных результатов.

Для подобной задачи с точки зрения теоретической механики система макроэлементов, приведенная на рис. 1, означает разбиение системы на взаимосвязанные подсистемы, каждая из которых имеет одну степень свободы и характеризуется отдельной обобщенной координатой.

активных сил и скоростей

На рис. 1 обозначены силы тяжести Gi, моменты сил М^, приложенные к осям ведущих колес, угловые скорости колес , а также скорости макроэлементов

— — — — — е . — г

у1 , у2 , у3, где у2 = у2 + у2 складывается из относительной и переносной скоростей.

Получение математической модели методами теоретической механики для системы со многими степенями свободы представляет собой весьма непростую задачу, что связано с ростом сложности выражений, определяющих положение, скорости и ускорения тел, входящих в систему, при увеличении длины кинематических цепей.

В качестве возможного решения данной проблемы может быть использована формализация этапа макромоделирования при помощи метода обобщенных энергетических фазовых переменных (ОЭФП), исходно предназначенного для получения модели дискретной динамической системы в стандартной форме задачи Коши, удобной для компьютерной реализации. На рис. 2 представлено отображение механической системы рис. 1 в соответствии с принципами метода ОЭФП.

Рис. 2. Дискретизация системы и эффекты взаимодействия в методе ОЭФП

Метод ОЭФП при корректном введении параметров элементов системы (рис. 1, 2) позволяет построить математическую модель [1, 3 - 5], полностью адекватную модели, полученной при помощи математического аппарата теоретической механики [1]. Следует отметить, что при моделировании более сложных систем, включающих в себя тела, совершающие различные типы механического движения, метод ОЭФП требует составления весьма сложной системы схем и введения законов зависимости переменных из предметной области.

Как подробно рассмотрено в работах [3 - 5], рационально комплексное применение методов, в отличие от «прямого» использования метода ОЭФП. Для этого следует сначала выделить подсистемы (макроэлементы) с одной степенью свободы; затем провести этап упрощенного моделирования методом уравнений Лагранжа второго рода для каждой подсистемы. При этом должны быть выполнены только те действия, которые позволят корректно определить параметры системы для применения метода ОЭФП. Дальнейшее моделирование поступательного движения системы, состоящей из макроэлементов, достаточно провести методом ОЭФП.

Метод ОЭФП [7] построен на основе существования аналогий уравнений, описывающих идеальные процессы в системах различной физической природы при соответствующем выборе фазовых переменных.

В методе ОЭФП при построении математической модели используются элементы теории графов. Ориентированный граф системы рис. 2 представлен на рис. 3.

Полная математическая модель при этом имеет две части - системы функциональных (компонентных) и структурных (топологических) уравнений и содержит 2N уравнений, где N - число ветвей графа (рис. 3). Компонентные уравнения имеют форму алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений, топологические представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

0

Рис. 3. Ориентированный граф метода ОЭФП

Для физической интерпретации полная математическая модель зачастую оказывается избыточной, а также громоздкой при численной реализации. В зависимости от выбора базисных переменных из числа фазовых она может быть представлена в сокращенной форме, сохраняя при этом уровень адекватности полной модели. Так, при выборе в качестве базисных переменных ис и 1Ь, называемых переменными состояния, алгебраическая часть полной модели разрешается, и полученная в результате модель с заданными для этих переменных начальными условиями принимает форму классической задачи Коши.

В случае применения метода ОЭФП для механической поступательной системы, может быть выделен [4 - 6] ряд особенностей, существенно упрощающих построение окончательной модели и наглядно проявляющих физическую сущность описываемых процессов.

Наиболее существенным моментом при составлении математической модели по предлагаемой в работах [3 - 5] методологии является корректное описание топологии системы: правильная нумерация макроэлементов (подсистем) и индексация параметров энергетических элементов в соответствии со следованием элементов в кинематической цепи, т.е. с последовательностью первоначальной «передачи движения» от элемента к элементу.

Передача движения однозначно отражается в ориентации ветвей графа системы (рис. 3). Для механи-

ческой поступательной системы 0-й узел соответствует инерционной системе отсчета. Остальные узлы графа соответствуют выделенным в системе макроэлементам (подсистемам). Фундаментальное дерево графа метода переменных состояния [6, 7] при этом образовано инерционными элементами (приведенными массами). Хорды графа соответствуют внешним воздействиям и эффектам взаимодействия макроэлементов между собой.

В окончательную математическую модель [1, 3 -6] механической системы, представленную в форме классической задачи Коши, входят фазовые переменные абсолютной скорости ит и перемещения Sm для всех макроэлементов, силы упругого взаимодействия 1Ь , а также силы, моделирующие внешнее воздействие F.

Так, для системы, представленной на рис. 1 и 2, результирующая математическая модель имеет следующий вид.

Группа уравнений 1 для сил упругости:

^21 _ Umi Um2 ,

IL31 Um1 Um3

L0

L

Группа уравнений 2 для скоростей макроэлемен-

тов:

dU,

mi

dt

m.

f Um^ v R10

Um1 - Um2

R

21

Il21 Il31 + F

);

dU

m2

dt

dU

1 f Um1 -Um2_ + I

m

R

21

m3

f U

dt

m

m3

R

+1

30

Группа уравнений 3 для перемещений макроэлементов:

<®т

-т--ит . > - и.3.

Полученная система уравнений, естественно, должна быть дополнена однозначным определением начальных условий движения.

Предлагаемый в работах [5, 6] алгоритм построения математической модели для механической системы, макроэлементы (подсистемы) которой совершают поступательное движение, может быть представлен следующей далее последовательностью действий.

Этап 1. Произвести дискретизацию системы на подсистемы (макроэлементы), каждая из которых однозначно описывается одной обобщенной координатой. Используя принципы построения уравнений Лагранжа второго рода, определить: инерционные характеристики (приведенную массу) каждого макроэлемента и внешнее воздействие на систему.

На рис. 4 показаны информационные потоки выполнения этапа 1 авторского алгоритма: определения

инерционных характеристик (приведенной массы) каждого макроэлемента и внешнего воздействия на систему по формулам, полученным в работах [1, 3].

Рис. 4. Схема информационных потоков этапа 1

Приведенная масса для подсистемы (к), содержащей п пар колес:

(к)

m = mV =

m|k) + 2nm2)

f Ак )Л

2\ Л

1 +

Rk

V k J

J У

где т

(k)

- масса основного элемента; т

(k)

- масса

Äk)

каждого колеса; Rк - радиус колеса; - радиус инерции колеса.

Сила воздействия на систему, вызывающего ее поступательное движение по наклонной поверхности, состоит из двух частей:

F - F1 - Fдв + тс§ sin а .

Эта сила, как доказано при построении уравнений Лагранжа второго рода в работах [1, 3], непосредственно приложена к движущему макроэлементу, при движении по наклонной поверхности зависит от массы всей системы тс, представляющей собой суммарную массу всех элементов системы, а не их приведенных аналогов. При движении по наклонной плоскости вверх составляющая воздействия силы тяжести имеет, естественно, отрицательный знак, а при движении по горизонтальной поверхности вообще отсутствует.

Движущая сила Fдв порождена сцеплением ведущих колес с опорной поверхностью и зависит от моментов, приложенных к осям ведущих колес. Так, для системы, представленной на рис. 1:

Fb =

(M1 + M 2 )

R1

На этапе торможения системы движущая сила Fдв отсутствует, а в модель должны быть включены

составляющие трения скольжения о «землю», указанные на рис. 3 пунктирными линиями. Этот случай соответствует модели рис.1, 2 и рассмотрен в статье [1].

1

1

Этап 2. Определение эффектов взаимодействия макроэлементов (подсистем) между собой и с внешней средой. Построение эквивалентной схемы и ориентированного графа (рис. 3) в соответствии с принципами и алгоритмом применения метода ОЭФП для механической поступательной системы, подробно рассмотренными в работах [1, 6].

Этап 3. Построение математической модели в форме задачи Коши.

Следует отметить, что полное выполнение алгоритма метода переменных состояния как частного случая метода ОЭФП [6], в соответствии с методологией [7], является избыточным, так как требует построения полной математической модели и дальнейшего разрешения ее алгебраической части для приведения к виду задачи Коши.

Для указанного типа систем вид правой части уравнений задачи Коши может быть однозначно определен без выполнения промежуточных шагов алгоритма [6, 7], исходя непосредственно из результатов дискретизации системы и выделения моделируемых эффектов взаимодействия и корректной индексации элементов. Таким образом, для построения математической модели может быть предложено выполнение последовательности действий, объединенных в авторском алгоритме [4, 5] в этап 3.

Взаимодействие подсистем «- ^ ] » любого типа (или Rji) вносит в математическую модель зависимость от разности скоростей

ич = ищ - ит].

При этом для автоматизации построения математической модели средствами объектно-ориентированного программирования удобно ввести обобщенное представление составляющих правой части уравнений:

Группа уравнений 2 для скоростей макроэлемен-

Km =— 1 m

L- [ j ]

и L J

=j

где KL = —

lp L

L; [ j

= Kr U 1j , K n = -

Rji 1j ' Rj1 R ,

Для формализации построения правой части группы уравнений 2 задачи Коши может быть введена матрица коэффициентов составляющих этих уравнений [4, 5].

На рис. 5 показаны информационные потоки построения составляющих уравнений математической модели в форме задачи Коши без выполнения промежуточных этапов базового метода ОЭФП.

В качестве примера результата применения алгоритма [5, 6] можно привести формальное представление по предлагаемому методу уравнений, полученных для механической системы, рассмотренной на рис. 1 - 3.

Группа уравнений 1 для сил упругости:

dIT

dt

[ 4. ];

dI

dt

[L3.].

тов:

dUr

dt

1 = Km. ((-1)[R*. ]■

+(-.) il2. +(".) IL31 +(+.)F);

dU

dt

m2 = Km2 (( + 1)[R2l ] + ( + l)Il2. ) ;

dU

m3

dt

Km3 ((+1) IL31 ) .

Группа уравнений 3 для перемещений замены не требует.

Рис. 5. Схема информационных потоков этапа 3

Рассмотренные в данной статье подходы к построению математических моделей технических систем являются также весьма существенными с точки зрения использования в учебном процессе для установления междисциплинарных связей на наглядном, интуитивно понятном студенту примере, а также при создании электронных обучающих ресурсов (ЭОР) [8] сложной структуры.

При разработке ЭОР по данному направлению может быть представлен структурированный и контекстно-связанный теоретический материал и система тестов по принципам и основам математического и компьютерного моделирования, классическим задачам и методам предметной области, принципам объектно-ориентированного подхода в моделировании, особенностям и ограничениям формальных методов автоматизированного проектирования, а также таким разделам прикладной математики, как теория графов, теория алгоритмов, численные методы решения задач математического анализа, и другим разделам учебного материала, связанным с решением задачи моделирования конкретных задач программными средствами.

Существенной составляющей подобного ЭОР должны являться средства интерактивной демонстрации этапов выполнения алгоритмов построения математической модели и модули компьютерного моделирования с наглядным интерфейсом ввода данных и

графическим отображением механической системы и результатов моделирования. В ЭОР могут быть широко использованы возможности компьютерной графики и мультимейдийных средств обучения.

Дополнительными элементами, повышающими качество ЭОР, могут выступать также экспертные системы выбора параметров модели и их корректировки в соответствии с формальными признаками и результатами анализа полученных результатов для повышения адекватности модели.

Использование такого образовательного контента отвечает требованиям модернизации высшего образования, овладения выпускниками компетенций, обеспечивающих дополнительные признаки достижения конкурентоспособности на рынке труда, а также обеспечивает возможность дифференциации и индивидуализации обучения.

Результаты работы получены при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на проведение НИОКР, шифр заявки № 8.2935.2011.

Литература

1. Спиридонова И.А. Математическое моделирование поступательного движения механической системы // Моделирование. Теория, методы и средства: материалы XI Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, март 2011 г. Новочеркасск, 2011. С. 10 - 19.

2. Спиридонова И.А. Формализация математического моделирования динамики механической системы методом уравнений Лагранжа второго рода // Результаты исследований - 2011: материалы 60-й науч.-техн. конф. ППС, науч. сотр., асп. и студ. ЮРГТУ (НПИ). Новочеркасск, 2011. С. 94 - 99.

3. Спиридонова И.А. К вопросу о двухэтапном построении модели динамики сложной механической системы // Моделирование. Теория, методы и средства: материалы XII Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, февраль

2012 г. Новочеркасск, 2012. С. 70 - 80.

4. Спиридонова И.А. Особенности применения формального метода обобщенных энергетических фазовых переменных для макромоделирования сложной механической системы // Результаты исследований - 2012 : материалы 61-й науч.-техн. конф. ППС, науч. сотр., асп. и студ. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск, 2012. С. 25 - 36.

5. Спиридонова И.А. К вопросу о формализации макромоделирования сложной механической системы // Моделирование. Теория, методы и средства: материалы XII Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, февраль

2013 г. Новочеркасск, 2013. С. 111 - 117.

6. Спиридонова И.А. Моделирование динамики механической системы методом ОЭФП : учеб.-метод. пособие к лаб. и домашнему заданию по курсу «Компьютерное моделирование» / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск, 2010. 88 с.

7. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования: учеб. для вузов: 4-е изд., перераб. и доп. М., 2009. 430 с.

8. Гринченков Д.В., Кущий Д.Н. Методологические, технологические и правовые аспекты использования электронных образовательных ресурсов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки.2013. № 2. С. 118 - 123.

Поступила в редакцию 9 июля 2013 г.