К вопросу о доказательстве сходимости многосеточных методов Текст научной статьи по специальности «Математика»

_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 154, кн. 4 Физико-математические пауки

2012

УДК 519.632.4

К ВОПРОСУ О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ СХОДИМОСТИ МНОГОСЕТОЧНЫХ МЕТОДОВ

С. И. Мартыненко

Аннотация

В статье рассмотрен ряд вопросов, связанных с доказательством сходимости мпого-сеточпых методов. Особое внимание уделяется универсальной мпогосеточпой технологии как варианту геометрических мпогосеточпых методов с проблемно-независимыми операторами переходов. Получены вид матрицы мпогосеточпых итераций и оценка её нормы. Показана независимость количества мпогосеточпых итераций от шага сетки и выполнено сравнение с классическими мпогосеточпыми методами.

Ключевые слова: геометрические мпогосеточпые методы, универсальная мпогосе-точпая технология, сходимость.

Введение

В отлично от простейших итерационных методов решения систем лииойиых алгебраических уравнений (СЛАУ), многосеточные методы характеризуются достаточно сложной структурой матрицы итераций, поэтому доказательство их сходимости весьма трудоёмко. Предположим, что миогосеточиый метод применён для численного решения некоторой краевой задачи и рассмотрим простейшие двухуровневые алгоритмы. Предположим также, что для численного решения исходной краевой задачи используются два уровня сеток: нулевой (мелкая сетка) и первый (грубая сетка (или сетки) с большим шагом, чем у мелкой сетки). Разностный аналог исходной краевой задачи имеет вид

Ао и о = Ь о

(1)

далее нижние индексы 0,1,... ,1 будут означать принадлежность к нулевому, первому, ..., /-му сеточным уровням соответственно. Номер уровня с самыми грубыми сетками обозначен как Ь+ .

сглаживание

самая мелкая сетка

самая мелкая сетка

грубые сетки первого уровня грубые сетки первого уровня

Рис. 1. Двухуровневые мпогосеточпые алгоритмы

Сглаживающие итерации могут быть выполнены перед коррекцией поправки на грубой сетке (предварительное сглаживание), после коррекции (последующее сглаживание) или, как чаще всего бывает, и до, и после коррекции. Во всех трёх случаях матрица многосеточных итераций имеет разный вид, что затрудняет анализ сходимости многосеточных методов.

Рассмотрим два двухуровневых многосеточных алгоритма (Ь+ = 1), которые схематично показаны на рис. 1. В первом из них (рис. 1. слева) многосеточная итерация начинается со сглаживания на мелкой сетке, а значит, использует только предварительное сглаживание при отсутствии последующего. В качестве сглаживающей процедуры воспользуемся итерационным методом

Wо(и0Г+1) - и) = Ь0 - Аои

ИЛИ

и0"+1) = (I - Wо-1Aо) и0") + Wо-1 Ьо. (2)

Предполагается, что сглаживающие итерации сходятся, то есть норма матрицы сглаживающих итераций Зо удовлетворяет неравенству

113)11 = ||1 - Wо-1Aо| < ^о < 1, (3)

где ^о, как правило, зависит от величины шага сетки. Если точное решение и о =

= А-1 Ь о СЛАУ (1) является фиксированной точкой итераций, то справедливо

соотношение

и о^ - и о = 5о( и оо) - и о), (4)

где и оо) есть начальное приближение.

Обозначим итерации предварительного сглаживания как V, последующего -как '. Полученное после сглаживания на мелкой сетке приближение к решению

(*)

ио

Ао и о^) = Ь о + г,

где г есть невязка. Добавим к приближению и^ некоторую поправку со, чтобы г

Ао с о = Ь о - Ао и о^). (5)

Полученную СЛАУ иногда называют записью исходной СЛАУ (1) в терминах «поправка невязка».

Решение СЛАУ (5) потребует тех же вычислительных усилий, что и решение исходной СЛАУ (1). Поэтому для уменьшения вычислительной работы воспользуемся вспомогательной СЛАУ вида

А1 с 1 = Яо^1( Ь о - Ао и о^), (6)

которая получена в результате проецирования (5) на грубую сетку (сетки) первого уровня. Оператор сужения ^о^1 > проецирующий невязку с мелкой сетки па гру-

А1

разными способами [1].

Предположим, что на грубой сетке (сетках) СЛАУ (6) решена точно, то есть её решение имеет вид

с 1 = А-1^о^1( Ь о - Ао и о^).

Полученную поправку спроецируем с первого уровня на нулевой

с о = Р^о с 1 = Р,1^оА11^о^1( Ь о - Ао и о^),

где Р1^о - оператор продолжения (пролонгации), проецирующий поправку с грубых сеток первого уровня на мелкую сетку (нулевой уровень).

Согласно рис. 1 (слева) новое приближение к решению и01) есть приближение

„ , (1У)

после выполнения итерации V предварительного сглаживапия и 0 плюс спролоп-гироваппая поправка Р1^о с 1:

и01) = Р^оС1 + и0'у) = Р1^оА-1^о^1(Ьо - Аои0'у)) + и0'у).

Выражая и о^ из (4)

и о") = ^ и оо) + (1 - ^) и о = ^ и оо) + (1 - 5*) А-1 Ьо (1) (9+1)

ио = ио

(о) (9) д.

ио = ио

многосеточного метода:

ио9+1) = Мио9) + (I - ^Ао^А-1 Ьо, (7)

где матрица многосеточных итераций М имеет вид

М = йоАо^,

а

^о = А0 1 - Р1^оАх ^1. (8)

Пусть в случае, когда количество грубых сеток более одного (/ > 1), А; есть матрица коэффициентов на сетке (сетках) уровня /, - матрица сглаживающих

итераций, VI - количество сглаживающих итераций, ^.;^;+1 - оператор сужения,

/

сетку (сетки) уровня / + 1, Р;+1^; - оператор продолжения (пролонгации), проецирующий поправку с более грубой сетки (сеток) уровня / + 1 на более мелкую /

сеточных методов использует следующие свойства.

1. Свойство сглаживания: существует функция п(^;) : К+ ^ К+ такая, что п(и1) ^ 0 щи VI ^ <х> и

||А;^|| < ^)||А,||. (9)

2. Свойство аппроксимации: существует константа Са > 0 такая, что

НА-1 - Р^А^^Ц < СаНА;!-1. (10)

Свойства сглаживания и аппроксимации необходимо доказывать для каждого итерационного метода (Якоби, Зойдоля и т. д.), а свойство аппроксимации для метода конечных разностей и конечных элементов, причём для доказательства свойства аппроксимации важна геометрия области (подробнее см. [1]).

Если свойства сглаживания и аппроксимации выполняются, то многосеточный метод (7) сходится, причём независимо от величины шага сетки

НМН = ||4)Ло50*|| < |Ио|| • ЦАо^Н < Сап0>).

Несколько иначе записывается многосеточной метод, схематично показанный на рис. 1 (справа). В этом случае отсутствует предварительное сглаживание и выполняются только итерации ' последующего сглаживания. В этом случае многосеточные итерации имеют вид

и(9+1) = Ми(9) + А-1 (I - Ао^) Ьо

(Н)

М = Я'ЛоАо,

где матрица йо определяется согласно (8). Очевидно, что в данном случае нельзя непосредственно показать независимость скорости сходимости данного многосеточного метода (11) от величины шага сетки при помощи свойств сглаживания и аппроксимации.

В общем случае при наличии предварительного и последующего сглаживаний многосеточные итерации двухуровневого метода записываются в виде

ио9+1) = ^Ао^ио9) + (I - ^Ао^А-1 Ьо. (12)

Таким образом, анализ сходимости многосеточных методов, основанный на свойствах сглаживания (9) и аппроксимации (10), может непосредственно применяться лишь в случае V = 0 и ' = 0 (только предварительное сглаживание). Далее будет показано, как применить свойства сглаживания и аппроксимации для остальных случаев.

1. Вспомогательные утверждения

Для доказательства сходимости многосеточного метода (11) воспользуемся вспомогательной СЛАУ вида

Ао V о = А-1 Ь о, где V о = А-1 и о. (13)

СЛАУ (13) понадобится исключительно для доказательства сходимости.

Предположим, что для решения вспомогательной СЛАУ (13) использован итерационный метод (2). Тогда

V ор+1) = (I - ^о-1Ао) V ор) + И'-1 А-1 Ьо или с учётом того, что V о = А-1 и о,

иор+1) = Ао (I - ^о-1Ао) А-1 иор) + Ао^о-1А°1 Ьо, (14)

Матрица сглаживающих итераций в данном случае имеет вид

Йо = Ао (I - ^о-1Ао) А-1 = Ао^оА-1 = I - Ао^-1, (15)

где йо - матрица итераций метода (2).

Нетрудно видеть, что из сходимости метода (2) следует сходимость метода (14), и наоборот. В самом деле из (15) следует, что

йо = (Ао^оА-1)" = Ао^ А-1.

Тогда справедлива следующая оценка

|ЙН = НАойо А-1Н < НАоН • НА-1Н • НЗоГ < НАоН • НА-1Н .

Поскольку ш < 1, то Цй’о'Н ^ 0 при V ^ го. Аналогично доказывается обратное утверждение. Поэтому в дальнейшем будем полагать, что норма матрицы сглаживающих итераций метода (14) удовлетворяет ограничению

НйоН = ||/- Ао^-1!! < шо < 1. (16)

В общем случае из того, что Йо = йо следует и^ = и о^ и шо зависит от величины шага сетки.

В дальнейшем понадобится следующая

Теорема 1. Предположим, что в некоторой норме выполнено неравенство

||/- 2А^-1|| < 1, (17)

тогда справедливо свойство сглаживания, причём

“2

ПАЗ"' II < — НАН- (18)

Доказательство. Согласно определению матрицы сглаживающих итераций З" = (/ - ^-Ч)"' = [А-1(/ - Аг^-1)Аг]"' = А-1 (/ - Аг^г-1)^'Аг,

откуда

Аг^ = (/ - Аг^г-1)"' А,. (19)

Обозначим В = / - 2Аг ^г 1, тогда

/ - В = 2Аг^-1 и / + В = 2(/ - Аг^г-1),

следовательно,

АЗ" = ^^гАГ1 (/ - В)(/ + В)"‘ А,.

Отсюда имеем

НА^Г Н < ^Н^гА-1Н • ||(/ - В)(/ + В)"' || • ||А,Н- (20)

Норму ||^гА-1Н можно оценить следующим образом:

З = / - ^г-1Аг ^ / = ^г(/ - З)А-1 = ^А-1 • А,(/ - З)А-1. Поскольку

Аг(/ - З )А-1 = / - Аг ЗА-1 = / - З (последнее равенство следует из (15)). то

^гА-1 = (/ - Зг)-1.

Отсюда в силу (16) следует необходимая оценка

1 , 1

1а

I

где есть некоторая константа.

Для оценки ||(/ - В)(/ + В)^' Н воспользуемся следующей леммой.

Лемма 1 [2]. Пусть для матрицы В е М”х” выполнено неравенство ||В|| < 1 в некоторой операторной норме. Тогда в той же норме

Н(/ - В)(/ + ВГ Н < 2^'+1 */-2-, V = 1, 2, 3,... (22)

V п^г

С учётом (21) и (22) оценка (20) принимает вид (18). □

Заметим, что из (19) следует

А,^А-1 = (I - А,^-1Г ^ ЦА^а-1 у <

Теперь покажем, как свойства сглаживания (18) и аппроксимации (10) в сочетании с оценкой (23) могут быть использованы для анализа многосеточных алгоритмов при различных комбинациях предварительных и последующих сглаживаний. Применяя многосеточный метод (12) к решению СЛАУ (13). получим

Отсюда с учётом (10). (18) и (23) нетрудно получить следующую оценку нормы матрицы многосеточных итераций:

Нетрудно видеть, что во всех случаях (когда проводятся только предварительное сглаживание ' = 0 и V ^ 1, только последующее сглаживание ' ^ 1и V = 0 и предварительное и последующее сглаживание ' ^ 1 и V ^ 1) скорость сходимости двухуровневого метода не зависит от величины шага сетки.

Далее вспомогательная СЛАУ (13) и оценки (18) и (23) будут использованы для анализа многосеточных итераций универсальной многосеточной технологии при отсутствии предварительного сглаживания.

Классические миогосоточиыо методы состоят из проблемно-зависимых компонент. оптимальная адаптация которых к решаемой задаче и определяет оптимальную (неулучитаемую) скорость сходимости. Адаптация компонент является достаточно сложной задачей, поэтому в [3 6] был предложен вариант геометрического многосеточного метода с проблемно-независимыми операторами перехода (сужения и продолжения). Универсальная многосеточная технология (УМТ) содержит сглаживание на особой иерархии сеток (так называемой многосеточной структуре). Каждый сеточный уровень I состоит из сет ок (d =2, 3; I = 0,1, 2,

при этом самая мелкая сетка образует пулевой уровень (I = 0), а самые грубые сетки - уровень . Все сетки одного уровня не имеют общих узлов и граней контрольных объёмов, однако объединение всех сеток каждого уровня даёт самую мелкую сетку. Поэтому оператор пролонгации в УМТ не зависит от решаемой задачи. Контрольный объём на сетках уровня I состоит из 3^ 1 контрольных объёмов на самой мелкой сетке, поэтому применение интегро-интерполяционного метода для аппроксимации краевых задач на многосеточных структурах позволяет получить проблемно-независимый оператор сужения. Основной многосеточный цикл

09+1) = Ао^ЧАо^А-1 и09) + (/ - АоЗДАо^А-1) А-1 Ь0 .

ИМ И = ЦАоЗДАо^А-1!! < ИАо^О’И ■ 1Ио|| ■ ЦАо^А-Ц,

ИЛИ

2. Матрица многосеточных итераций

УМТ но содержит предварительного сглаживания, то есть многосеточная итерация начинается на уровне Ь+, состоящем из самых грубых сеток, и завершается на нулевом уровне (самая мелкая сетка).

Ранее сходимость УМТ уже была доказана в [7], однако полученные оценки оказались достаточно грубы и не позволяли судить о скорости сходимости.

В УМТ на каждом сеточном уровне решаемая СЛАУ имеет вид

Аг с г = Яо^г (Ь о - Ао и о?)), I = 0,1,2,...,Ь+. (24)

где матрица коэффициентов Аг имеет блочную структуру, причём количество блоков равно количеству сеток, образующих данный уровень (то есть 3^г); Яо^г -проблемно-независимый оператор сужения, проецирующий невязку Ь о — Ао и с самой мелкой сети на сетки уровня I, и и есть приближение к решению после д-й многосеточной итерации.

Отметим следующие свойства оператора сужения:

Яо^г = Я-1^г • • • Я-1^2Я-о^1 и Яо^о = I.

Продолжение (пролонгация) невязки с уровня I + 1 та уровень I в УМТ записывается в виде

с г = Рг+1^г с г+1,

где Рг+1^г - проблемно-независимый оператор продолжения (пролонгации), которому соответствует матрица, осуществляющая перестановку компонент вектора поправки.

Пусть на сетках уровня I выполнено V сглаживающих итераций. Тогда выражение (4) принимает вид

сг - с(сг - с(о)) (25)

сг

с г = А-^о^г (Ь о - Ао и о^), (26)

с(о) = Рг+1^г с ^ начальное приближение (то есть поправка, спроецированная с предыдущего уровня I + 1 с более грубыми сетками) и £г"! - матрица сглаживающих итераций. Преобразуем правую часть уравнения (25), добавляя и вычитая слагаемое Рг+1^г с г+1:

с г - с(о) = с г -Рг+1^г с г(+1+1) = с г + Рг+1^г (с г+1 - с г(+1+1)) - Рг+1^г с г+1. (27)

С учётом (26) получим

сг - Рг+1^гсг+1 = Аг 1^-о^г (Ьо - Ао^1^) - Рг+1^гАг+11Яо^г+1 (Ьо - Ао^1^) =

= [А; 1^-о^г - Рг+1^гАг+11Яо^г+1] (Ьо - Ао^1^) =

= [А; 1 - Рг+1^гАг+11^-г^г+1] Яо^г (Ьо - Ао^1^). Последнее равенство справедливо в силу ^.о^г+1 = Яг^г+1_Яо^г. Обозначим

dг = А; 1 - рг+1^гАг+11^-г^г+1. (28)

Заметим, что с учётом (28) свойство аппроксимации можно переписать в виде « сАцЛГ15 Тогда

с г - Рг+1^г с г+1 = dг Яо^г (Ь о - Ао и 0з)), п выражение (27) принимает вид

с г - с(о) = Рг+1^г( с г+1 - с (+г1+1)) + ^Яо^г (Ь о - Ао и 0з)).

Полученное соотношение позволяет переписать (25) в рекуррентном виде

с г - с ("г) = ^ Рг+1^г( с г+1 - с (+г1+1)) + ^ №^г (Ь о - Ао и 0з)). (29)

Далее рассмотрим изменение поправки в ходе многосоточиой итерации, начи-

ная с уровня с самыми грубыми сетками Ь+ и заканчивая самой мелкой сеткой (нулевой уровень):

1. Уровень Ь+. Предположим, что па данном уровне сеточные уравнения решены точно:

с ь+ = с %+). (30)

2. Уровень Ь+ - 1. Выражение (29) с учётом (30) принимает вид

с Ь+-1 - с ь^--1) = ^+-1Я0^Ь+-1 ( Ь о - Ао и о9)). (31)

3. Уровень Ь+ - 2. Выражение (29) с учётом (31) принимает вид

_(^++ — 2) _ с<^++— 2^ (~ „(^++—1)) I

сЬ+-2 - сЬ+-2 = 5Ь+-2 ''Ъ+-1^Ь+-2 (сЬ+-1 - сЬ+-1 ^ +

+ 5Ь++-22 ^+-2Я0^Ь+-2 (Ь0 - Аоио®)) =

= 5Ь++-22РЬ+-1^Ь+-2^Ь++-11 ^+-1Я0^Ь+-1 (Ьо - Аоио9)) +

+ 5Ь++-22 ^+-2Я0^Ь+-2 (Ь0 - Аоио9)) = ^Ь+-2 (Ьо - А0и09)),

Зь+-2 = 5Ь++-22 Рь+-1^ь+-2^Ь++-11 dL+-lЯо^L+-l + 5Ь++-22 dL+-2Яо^L+-2•

Продолжая выписывать разность между точным и приближённым значениями поправок на последующих уровнях, получим следующее соотношение:

с г - с ("г) = дг( Ь о - Ао и 0з)), (32)

где матрица Зг имеет вид

[£г"! Г^Яо^г + Рг+1^г^г+^, I = 0,1, 2,..., Ь+ - 2,

Зг = ^ г V ' (33)

№^г, I = Ь+ - 1.

Па самой мелкой сетке (I = 0) уравнение (32) с учётом (26) и равенства Яо^о = I может быть переписано в следующей форме:

с 0 °) =с о- до(Ь о- Аои 0®)) = (Ао1 - до)(Ь о- Аои 0®)).

Тогда, прибавляя к предыдущему значению и 09) поправку с 01/°), получим новое приближение к решению после выполненной многосеточной итерации

и 09+1) = и 09) + с ^ = и (з) 1 ^А-1 П-)( Ь 0 А0 и (9) ) = ^0А0 и (9)

+ (Ао 1 — ^0) (Ь о — А0 и 09 ) = ^0А0 и 09 + (А0 1 — ^0) Ь 0;

где матрица ^0 задана согласно (33). Нетрудно видеть, что матрица многосеточных итераций УМТ имеет вид ^0^0-

Чтобы использовать свойства сглаживания и аппроксимации для доказательства сходимости многосеточных итераций, применим УМТ к решению вспомогательной задачи (13)

V09+1) = ^0^0V09) + (А-1 - ^) Ь0.

Тогда с учётом замены переменных V 0^ = А-1 и 0^ получим

и

(9+1) = ^0и0?) + (/ - ^0) А-1 ь0.

0

Для последующего анализа матрицу многосеточных итераций М = А.0^0 удобнее переписать в нерекуррентном виде

Ь+-1 1-1

М = ^0 = 4,^° ^ + ]Т Ц А^А-^1 • А;^ (34)

г=1 к=0

где матрица задана согласно (28).

Справедлива следующая теорема о сходимости УМТ.

Теорема 2. Предположим, что выполнены свойства сглаживания (18) и аппроксимации (10), и ||я0^; || < Ск. Тогда УМТ сходится, причём для нормы матрицы, многосеточных итераций (34) справедлива оценка

||МII < САСм/^ + САСШСк У" (ССШ); П (35)

V п^0 к=^ V п^

Доказательство. Из (34) вытекает, что ь+-1;-1

1|М| й|| + X) П П+1^А-+1 • ||Аг^Г1 й,|| • ||^0_;|. (36)

;=1 к=0

Используя свойство сглаживания (18) и свойство аппроксимации (10), записанное с учётом (28) в виде ||й;|| ^ С4||А;||-1, получим

||А,3" ^|| < ||Аг^Г11| - < СЛСМД-^, 1 = 0,1, 2,...,Ь+ - 1. (37)

V п^(

Далее, принимая во внимание (23), нетрудно получить оценку

IIА^Рк+1^А-+1Ц < С||А^А-1! < ССЦР2-. (38)

Тогда оценка (36) с учётом (37) и (38) принимает вид (35). □

Напомним, что все оценки получены в предположении, что на уровне, состоящем из самых грубых сеток I = , сеточные уравнения решены точно. Выполняя

достаточное количество сглаживающих итераций на каждом уровне, можно добиться сходимости многосеточных итераций (||МУ ^ 0 щи V; ^ го), причём количество многосеточных итераций но зависит от величины шага самой мелкой сетки.

Важным частным случаем является выполнение одинакового количества сглаживающих итераций на каждом уровне: V; = V, I = 0,1, 2,..., — 1. Тогда оценка

(35) принимает вид

||М|| < + СаС™(СС™); ^УЛТ) .

Поскольку при достаточно больших V

L+-1

Е<сс- = сс.

l=1

< CCW------------------------1-== = CCw ,_ ,

^ ГТ V а/2П^ -

1 - CCw \/ —

V nv

оценка (35) в случае v; = v = const выглядит следующим образом:

ум у <CaCw уПГ Л + /2C_Cw CC ) , (39)

V V2nv - /

откуда нетрудно видеть, что скорость сходимости УМТ не зависит от величины шага сетки.

Следует заметить, что из оценки (35) можно получить более грубую оценку вида (39) в предположении, что v; = v = min v;.

3. Вычислительный эксперимент

В качестве иллюстрации выполнено сравнение УМТ и V-цикла на примере решения первой краевой задачи для двухмерного у ранения Пуассона Дм = — f с точным решением Q(x) Q(y), где Q(£) = 10(+ (1 — e)£ — 1), £ = (x,y). Для разностного представления оператора Лапласа использована стандартная пятиточечная аппроксимация. Результаты вычислительного эксперимента показаны на рис. 2, где Д(з) = У A u(q) — b ||то - норма вектора невязки на самой мелкой сетке и £(q)

= max |м j — Q(xj) Q(yj)| - погрешность численного решения, j J

Результаты вычислительного эксперимента показывают, что УМТ обладает главным свойством многосеточных методов, а именно независимостью количества многосеточных итераций от величины шага самой мелкой сетки. Из рис. 2 видно, что нет заметной разницы между сходимостью итераций V-цикла и УМТ. При использовании V-цикла выполнено три сглаживающие итерации при предварительном н последующем сглаживании, а при использовании УМТ шесть сглаживающих итераций.

О'

10"'

о

2

4

6

8

10

О

2

4

8

10

номер многосеточной итерации (#)

Рис. 2. Сходимость У-цикла и УМТ при решении уравнения Пуассона

Однако, несмотря на сходство в характере сходимости многосеточных итераций У-цикла и УМТ, есть разница в объёме вычислительной работы. Пусть вычислительная сетка состоит из (2к + 1)^ узлов, где d = 2, 3. Тогда, не принимая во внимание вычисления, необходимые для реализации операторов переходов, получим, что увеличение времени счёта составит

Г^(2* + 1)" - 1 0.63к

1_ ІЄ3 _ + 1

где квадратные скобки означают целую часть. В частности, при решении линейных двухмерных краевых задач ^ = 2) та сетке 10252 (к = 10) и трёхмерных задач ^ = 3) та сетке 1293 (к = 7) можно ожидать, что время счёта увеличится в 3.6 и 3.1 раза соответственно. Увеличение вычислительных усилий в УМТ по сравнению с классическими многосоточиыми методами вызвано применением проблемно-независимых операторов переходов. Подсчёт объема вычислительной работы показывает, что вычислительная стоимость многосеточной итерации УМТ составит а^ ^ N арифметических операций, где N - число неизвестных, а а -некоторая константа.

Выполненный анализ сходимости универсальной многосеточной технологии показал, что количество многосеточных итераций не зависит от величины шага самой мелкой сетки. Однако объём вычислительной работы, необходимой для выполнения каждой многосеточной итерации, выше аналогичного объёма в классических многосеточных методах из-за наличия проблемно-независимых операторов порохо-

Анализ сходимости УМТ но является полным, поскольку не доказано свойство аппроксимации из-за более сложной, по сравнению с классическими многосеточными методами, постановки граничных условий на грубых сетках.

Автор выражает признательность профессору М.П. Галанину (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН) за поддержку исследований и критическое обсуждение полученных результатов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Л*1' 12-01-00109).

Заключение

Summary

S.I. Martynenko. On the Proving of Convergence of Multigrid Methods.

The paper deals with some problems concerning the proving of convergence of multigrid methods. Special attention is paid to the robust multigrid technique as a variant of geometric mult.igrid methods with problem-independent, transfer operators. The matrix of multigrid iterations is obtained: its norm is estimated. A mesh-independent, convergence rate is proved, and a comparison with the classical mult.igrid methods is performed.

Key words: geometric mult.igrid method, robust, mult.igrid technique, convergence.

Литература

1. Ольшанский М.А. Лекции и упражнения по мпогосеточпым методам. М.: ФИЗ-

МАТЛИТ, 2005. 168 с.

2. Hackbusch W. Multi-Grid Methods and Applications. Berlin: Heidelberg: Springer-

Verlag, 1985. 377 p.

3. Мартыненко С.И. Универсальная мпогосеточпая технология для численного решения краевых задач па структурированных сетках // Вычисл. методы и программирование. 2000. Т. 1, Л'! 1. С. 83 102.

4. Мартыненко С.И. Формализация вычислений при численном решении краевых задач // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2008. Т. 150, кп. 1.

С. 76 90.

5. Мартыненко С.И. Универсальная мпогосеточпая технология // Матем. моделирование. 2009. Т. 21, Л»9. С. 66 79.

6. Martynenko S.I. Robust. Mult.igrid Technique for Black Box Software // Comp. Met.li. Appl. Math. 2006. V. 6, No 4. P. 413 435.

7. Мартыненко С.И. К вопросу о сходимости универсальной мпогосеточпой технологии // Матем. моделирование. 2010. Т. 22, Л'! 10. С. 18 34.

Поступила в редакцию 01.10.12

Мартыненко Сергей Иванович кандидат физико-математических паук, научный сотрудник отдела «Спецдвпгателн и химмотология» Центрального института авиационного моторостроения им. П.И. Баранова, г. Москва.

Е-шаП: МаНупепко ваат. ги