К вопросу о динамическом взаимодействии магнонов в мультиферроиках с симметрией Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.61: 537.226.4

К ВОПРОСУ О ДИНАМИЧЕСКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ МАГНОНОВ В

МУЛЬТИФЕРРОИКАХ С СИММЕТРИЕЙ D

© И. Ф. Шарафуллин*, И. Р. Кызыргулов, Р. Ф. Тавлыкаев

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 273 67 78.

E-mail: sharafullinif@ yandex. ru

Потребности науки и современной техники активизируют поиск, синтез и исследование материалов, обладающих уникальными физическими свойствами. Весьма перспективными для создания функциональных элементов современной микроэлектроники являются мультифер-роики — структуры типа перовскита, симметрия которых допускает одновременное существование в определенном интервале температур магнитного и сегнетоэлектрического дальнего порядка. В работе определены полевые и температурные зависимости намагниченности и энергетического спектра мультиферроика с линейным по внешнему электрическому полю магнитоэлектрическим эффектом. С помощью диаграммной техники определен вклад в свободную энергию за счет динамического взаимодействия спиновых волн, зависимость этого вклада от внешних магнитного и электрического полей и температуры.

Ключевые слова: мультиферроики, диаграммная техника, магноны, внешнее магнитное поле, внешнее электрическое поле, спиновая волна.

Введение

Мультиферроики, к которым относится целый ряд соединений и сплавов, занимающих важное место в физике конденсированного состояния вещества (см., например [1, 2]), составляют значительный класс среди различных типов магнитных структур [3-5].

Это обуславливает в настоящее время сильно возросший интерес к исследованию модельных сегнетомагнитных систем как в нормальном так и сверхпроводящем состоянии, как объекта теории многих тел в современной быстро развивающейся области теории и эксперимента - физики магнитных мультислоев и сверхструктур. В этих кристаллах существуют сильные коррелляции между упругой, магнитной и сегнетоэлектрическими частями системы [6, 7], что и обуславливает их уникальность как объекта экспериментальных и теоретических исследований, а также, что крайне важно, с широкими возможностями практического использования в качестве микро- и наноструктурных элементов современной микроэлектроники и смежных с нею областях техники.

Представляет интерес с точки зрения как теории, так и практики исследование физических свойств сегнетомагнитоупорядоченных систем, подверженных влиянию различных внешних физических полей.

Целью данной работы является исследование влияния внешних статических полей на параметры динамических взаимодействий в структурах типа перовскита на основе квантово-статитистических методов Н. Н. Боголюбова, а также изучение влияния сегнетомагнитоупругих взаимодействий на физические параметры сегнетомагнетика на основе учета магнитной симметрии кристалла. Здесь мы ограничимся рассмотрением кристалла обладающе-

го симметрии группы Б1^, что учитывается при выборе инвариантов в гамильтониане.

Феноменологический гамильтониан

Рассмотрим одноосный анизотропный муль-тиферроик, состоящий из двух эквивалентных магнитных и сегнетоэлектрических подрешеток.

В магнитной части гамильтониана Нт (1) будем учитывать энергию однородного и неоднородного обменного взаимодействия, анизотропию, линейный по внешнему постоянному электрическому полю магнитоэлектрический эффект, а также влияние внешнего постоянного магнитного поля

Я„ =

11 dx{j M jMPm + s^MfLjEy

+ а

¿м a ¿mp

ар

ijmn dij

-2h(]

m1+m 2 h,

(i)

i, j, m, n, k = x, y, z, а,в = 1,2

где

= i "P + KaP

,ap

тензор однородного обменного взаимодействия, к®в - тензор анизо-

тропии, ат - тензор неоднородного обменного

а

взаимодействия, - тензор линейного по внешнему электрическому полю Е магнитоэлектрического эффекта. Используя представление Голь-штейна-Примакова для Ма и совершив каноническое (и-и) - преобразования Н. Н. Боголюбова гамильтониан (1), запишем в терминах операторов рождения и уничтожения п+а, ска квазичастиц -магнонов в виде [8]

Нт = Е0 + Н2т + Н4т , (2)

* автор, ответственный за переписку

Eo - J ätXfM 20e^ eß +

+ sfjMo2e3Ke3j + e3j) - e^HoMo -[IMMKelm (ика+ V

H

- pm v 2 +

c,kavkya ^

ukya ^ vkya

2 0 _

8n

* )]2

-ka

- энергия нулевых колебаний.

H 2m = ^£ka^ka^ka

к ,а

- энергия невзаимодействующих спиновых волн. Двухчастичное динамическое взаимодействие спиновых волн описывается гамильтонианом

И4т = X1 А(к1 + к2 - к' — к2 К+ск+2 ск(ск2 , (3) к

где амплитуда 1 задается выражением

Г . .. . . Л

J - 4M11

k,

(u11ku

Х - 1 ijmn ■ (k1 - k2) Х X (к[ - k2) + 2sje3,езj

+ V11kv22k )(u12ku21k + v12kv21k )e3 ie3 j

22k

Тогда, используя выражение для £та и проведя численные расчеты, получим графики зависимости спектра невзаимодействующих спиновых волн от внешнего постоянного магнитного поля (см. рис. 1.1). Из вида полученного графика (рис. 1.1) можно сделать вывод о том, что с увеличением значения внешнего магнитного поля энергия колебаний магнитного момента уменьшается до нуля при некотором критическом значении напряженности внешнего магнитного поля. Это происходит вследствие того, что вектор магнитного момента второй под-решетки, перестраивается под влиянием возрастающего внешнего магнитного поля. При достижении критического значения магнитного поля магнитные моменты подрешеток кристалла выстраиваются по направлению внешнего магнитного поля. Зависимость энергии магнона от волнового вектора представлена на рис. 1.2.

Далее для учета магнитоэлектрического взаимодействия будем исходить из гамильтониана вида:

Ит1 = \ сйп&рам .

Переходя к магнонным ск и сегнетонным

£)ка операторам гамильтониан взаимодействия

магнитной, сегнетоэлектрической подсистем можно записать в виде

Hmf =

2 Ф mSackc\p-kSa A+<fc]>

(kSa)

где Фта - параметр магнитоэлектрического взаимодействия (см. [6])

Функции Грина магнитной подсистемы

Рассмотрим магнитную подсистему с гамильтонианом, описывающим систему взаимодействующих магнонов (1).

В дальнейшем вводя гейзенберговское представление для опреаторов с мнимым временем ск (т) = еИтске, с+ (т) = е~Итс+еИт, где

т = —1/квТ = —Ю-1, 9 - температура в энергетических единицах, рассмотрим одночастичную температурную функцию Грина, определив ее с помощью бозе-операторов рождения и уничтожения частиц

в1 (кЛ;кт) = — Тг% (Т1 )с£ (Т2)),

где Тт - оператор хронологического упорядочения. Для функции Грина в нулевом приближении

О<0)(£,т) = - Tc (т)с+ (0)

o

где

- статисти-

ск(т) = еЕк"тск, с+ (т) = е~™'ск. у.,/0

ческое усреднение с гамильтонианом невзаимодействующих магнонов И2т . Имеем

О(0) (Г,т) = —е~€а (1 + пка), для т > 0,

- ГJ

nka = I e

-1

-1] ,ß-1/в.

Далее мы ограничимся вычислением одночас-тичной функции Грина с точностью до второго порядка теории возмущений

С(к,т) = О(0\к,т) + О(1)(к,т) + 0(2\к,т), (4) где О (1)(к,т) =

m

+

k

Рис. 1.1. Энергия спиновой волны в зависимости от постоянного внешнего магнитного поля.

Рис. 1.2. Энергия спиновой волны в зависимости от волнового вектора.

= ] Е л(к1 + к2 - к'{- к'2) X

к 1,к ''1,к ' 2,к ''2 X (тл (т)с+ (0)П+1 (Т )с+ (Т )СкГ(Т )Ск22 (Т) 1 в в

в(2) (кГ, т) = — | йт | йт72 А (к" + к'2 - к" - к")

2 0 0

А(?! + ?2 - ?"- ?2) х

/ ТтСк (Т)С+ (0)с+1 (Т )Ск+2 (Т)СкГ(Т) х

\х Ск2 (Т)С+;(Т)С+2 (Т)СЙ'(Т)С?2 (Ту 0

Данные выражения мы можем привести к некоторым комбинациям сверток согласно теореме Вика. К примеру, в рассматриваемом приближении функция Грина (3) в(к,т) изображается диаграммами на рис. 3.

Для корректного вычисления свободной энергии спиновой подсистемы во втором порядке мы рассмотрим двухчастичную функцию Грина

G2(k'Т', к2Т2'' к1Т1' к2Т2') =

= -(Тт% (Т )Ск2 (т2 )Ск+г (т1' )с+ (т2') вычисление которой, как и в предыдущем случае, мы будем вести на основе теоремы Вика с точностью до второго порядка теории возмущений.

Заметим далее, что свободную энергию маг-нонной системы мы можем записать в виде

Б = Е0 + ТЕ 1п{1 -ехр(-Е£ /Т)} + ДБ, к " где поправка к свободной энергии, обусловленная двухчастичным динамическим взаимодействием спиновых волн есть

1 (-1)" АР = - > Е^ х

в п п!

(4)

в в

X | йТ ... | йТпТН 4 (Т) ** • Н 4(Тп ))„,

0 0 0

графическое представление, которой приведена на рис. 4.

Используя выражения (2)-(4) и опуская отдельные вычисления, в рассматриваемом приближении получим

Ар = (-А) Е ^авпк'пк" +

2р г г

1

+ 1 Е ~агпк'пк'пк (1 + пк ) -

2 г $ г в

1

ав

Е

8 Щ" в4

пк пк "(1+пк + пк'+к "-к)

(5)

ек' + Еу -ет -е,

к + к -к

пкпк -+к"-к(1+пк - + пк") Ек + Ек - Ек - Ек +к -к

Дифференцированием свободной энергии по внешнему магнитному полю получим спонтанную намагниченность

(М) = -?Нр ,

Используя выражение (5) выполним численные расчеты для мультиферроика со структурой перовскита. Например, в частном случае, когда внешнее магнитное поле направлено параллельно оси Й|| ОЪ и К = (0,0, к), зависимость намагниченности от температуры изображена на рис. 5. Видно, что при некоторой температуре, значение намагниченности резко уменьшается, что характерно для антиферромагнитных структур.

Заключение

Для одноосного анизотропного мультифер-роика, состоящего из двух эквивалентных магнитных и сегнетоэлектрических подрешеток определен энергетический спектр в зависимости от приложенного внешнего магнитного и электрического полей. Исследована зависимость спонтанной намагниченности от температуры. Методом теории возмущений и диаграммной техники для функции Грина определен вклад в свободную энергию для взаимодействующих магнонов, также рассмотрена и температурная зависимость.

Рис. 3. Диаграммы для функций Грина в (С,т) .

Рис. 4. Графический ряд для поправки к свободной энергии АР .

2

2

М, Дж/Тл

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Т,°К

Рис. 5. Зависимость намагниченности от температуры.

В заключение выражаем благодарность профессору М. Х. Харрасову за внимание к работе и полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боголюбов Н. Н. Статистическая механика том 8. Теория неидеального Бозе-газа, сверхтекучести и сверхпроводи-

мости: Собрание научных трудов в 12 томах. М.: Наука, 2007. 642 с.

2. Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И. Некоторые вопросы статистической механики. М.: Высшая школа, 1975.

352 с.

3. Звездин А. К., Кротов С. С., Кадомцева А. М. О магнитоэлектрических эффектах в ферроборате гадолиния ОаРез(ВОз)4 // Письма в ЖЭТФ. 2005. Т. 81. №6. С. 335342.

4. Кызыргулов И. Р. Связанные сегнетомагнитные волны в антисегнетоантиферромагнетиках с четырехподрешеточ-ной магнитной подсистемой // Вестник Башкирского университета. 2005. №10. С. 39-42.

5. Харрасов М. Х., Кызыргулов И. Р., Хусаинов А. Т. Сегне-томагнитоупругое взаимодействие в антисегнетоферро-магнетике с учетом влияния дислокаций // Известия РАН. Серия физическая. 2009. Т. 73. №8. С. 1126-1127.

6. Кротов С. С, Шнайдштейн И. В. Феноменология магнито-индуцированного сегнетоэлектричества. М.: Физический факультет МГУ, 2011. 111 с.

7. Савченко А. М., Дергачев М. А., Садовников Б. И. Модель фазовых переходов в магнитных системах // Математические заметки. 2013. Т. 93. №3. С.477-482.

8. Харрасов М. Х., Кызыргулов И. Р., Шарафуллин И. Ф. Исследование динамического взаимодействия в сегнето-магнетиках с учетом влияния внешних полей диаграммным методом // Известия РАН. Серия физическая. 2010. Т. 74. №5. С. 691-692.

Поступила в редакцию 04.03.2014 г.

TO THE QUESTION OF DYNAMIC INTERACTION OF MAGNONS IN MULTIFERROICS WITH SYMMETRY

© I. F. Sharafullin*, I. R. Kyzyrgulov, R. F. Tavlykaev

Bashkir State University 32 Zaki Validi st., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 40.

E-mail: sharafullinif@ yandex. ru

In this work we have researched the features of dynamic magnetoelectric and magnetoelastic interactions in multiferroic crystal, influenced by various external fields, with the group of symmetry. Based on the integrated approach, which combines N. N. Bogolyubov's quantum-statistic methods, Green's temperature functions, diagram technique and symmetry, energy spectrum's and static spin susceptibility's dependences on the temperature and external fields were calculated. The effective parameters of magnetoelectric and magnetoelastic interactions dependences on the external fields' intesities were analysed. It is shown that these parameters have a distinct maximum in the resonance value. As was shown, it is possible to enhance the interactions between spins, ferroelectric and fonons subsystems in multiferroics by applicating the external fields in different crystallographic directions. Multiferroics, which include a number of alloys and compounds, are quite promising materials for creating functional parts of modern micro- and nanoelectronic devices. Therefore, an interest for analysis of model ferroelectromagnetic systems with strongly correlated elastic, magnetic and ferroelectric subsystems has increased nowadays [1, 2]. In this work we have researched the features of dynamic magnetoelectric and magnetoelastic interactions in multiferroic crystal, influenced by various external fields, with the group of symmetry, which is taken into consideration when invariants in the Hamiltonian are being chosen. In these crystals exist strong correlations between elastic, magnetic and ferroelectric subsystems [1, 2], which causes their uniqueness as experimental and theoretical research object and, more importantly, materials with ample possibilities of applying as micro- and nanostructural elements of modern microelectronics and adjacent area of technology.

Keywords: Spin wave, multiferroic, antisegnetoantiferromagnetic, magnetoelectric interaction, dispersion, Green function, magnon.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Bogolyubov N. N. Statisticheskaya mekhanika tom 8. Teoriya neideal'nogo Boze-gaza, sverkhtekuchesti i sverkhprovodimosti: Sobranie nauchnykh trudov v 12 tomakh [Statistical Mechanics Volume 8. The Theory of non-Ideal Bose Gas, Superfluidity and Superconductivity: Collected Works in 12 Volumes]. Moscow: Nauka, 2007.

2. Bogolyubov N. N. (ml.), Sadovnikov B. I. Nekotorye voprosy statisticheskoi mekhaniki [Some Problems in Statistical Mechanics]. Moscow: Vysshaya shkola, 1975.

3. Zvezdin A. K., Krotov S. S., Kadomtseva A. M. Pis'ma v ZhETF. 2005. Vol. 81. No. 6. Pp. 335-342.

4. Kyzyrgulov I. R. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2005. No. 10. Pp. 39-42.

5. Kharrasov M. Kh., Kyzyrgulov I. R., Khusainov A. T. Iz-vestiya RAN. Seriya fizicheskaya. 2009. Vol. 73. No. 8. Pp. 1126-1127.

6. Krotov S. S, Shnaidshtein I. V. Fenomenologiya magnitoindutsirovannogo segnetoelektrichestva [Phenomenology of Magnetic-Induced Ferroelectricity]. Moscow: Fizicheskii fakul'tet MGU, 2011.

7. Savchenko A. M., Dergachev M. A., Sadovnikov B. I. Matematicheskie zametki. 2013. Vol. 93. No. 3. Pp. 477-482.

8. Kharrasov M. Kh., Kyzyrgulov I. R., Sharafullin I. F. Izvestiya RAN. Seriya fizicheskaya. 2010. Vol. 74. No. 5. Pp. 691-692.

Received 04.03.2014.