CC BY
67
УДК: 622.831.322
А. А. Фофанов, В. В. Дырдин
К ВОПРОСУ О ЧАСТОТАХ КОЛЕБАНИИ ПОРОД ОСНОВНОЙ КРОВЛИ ПРИ ВТОРИЧНЫХ ОБРУШЕНИЯХ
При разработке пластов с труднообрушаемой кровлей наблюдаются динамические и газодинамические явления, связанные с вторичными обрушениями основной кровли. Зависания пород труднообрушаемой кровли и последующие обрушения вызывают сильные динамические пригруз-ки краевой части пласта и переход ее в состояние предельного равновесия. Обрушения пород основной кровли сопровождаются колебаниями, которые влияют на «гистерезис» сорбции метана впереди забоя, вызывают частичные разрушения кровли и пласта, а также могут вызывать процессы диссоциации твердых растворов природного газа в виде кристаллогидратов, влияющих на вы-бросоопасность краевых зон. В этой связи расчет частоты и амплитуды колебаний при вторичных обрушениях основной кровли является актуальной задачей.
Непосредственное решение данной задачи не представляется возможным, поэтому наиболее приемлемым здесь является математическое моделирование на основе теории подобия, включающей подобие геометрических размеров, физических параметров, а также критериев подобия Фурье, Био и др.
В качестве математической модели будем рассматривать консольную балку, длиной I, деформированную под действием распределенной нагрузки. При этом начальная деформация ее свободного конца зависит от мощности пород основной кровли, длины зависающей консоли, плотности пород, залегающих в кровле [2]. При образовании в кровле секущих трещин под действием растягивающих напряжений происходит обрушение части балки, вызывающее последующие колебания ее оставшейся части. В работе [5] представлены результаты изменения состояния массива в
рамках аналогичной приближенной теоретической модели деформаций. В этой модели поведение пород кровли при обрушении аппроксимировалось затухающими колебаниями упругой балки с защемленным концом. Коэффициент затуханий для кровли с определенными параметрами находился путем подбора.
Рассмотрим динамическую задачу поперечных колебаний балки при обрушении консоли, и будем рассматривать в первом приближении только свободные колебания, то есть когда возмущающая сила отсутствует рис. 1.
Будем рассматривать консольную балку постоянного сечения, совершающую в вертикальной плоскости свободные изгибные колебания.
Прогиб балки является непрерывной функцией и=и(х,Х) координаты X и времени ¿. При изучении динамического прогиба балки будем рассматривать в качестве распределенной нагрузки, изгибающей балку, силы инерции на единицу длины:
д 2и (х, і)
т
ді
2
(1)
где -погонная масса балки, Q - сила
тяжести балки, I - ее длина, £- ускорение свободного падения.
Вторая производная функции прогиба связана с изгибающим моментом и изгибной жесткостью балки соотношением [3]:
а2и(х, і) _ м
дх
2
(2)
Учитывая соотношение [3]:
йх
= К
2 ин
(3)
где М - изгибающий момент, относительно оси 02, получим:
й Аи(х,1) _ Кин
Погонную массу балки выразим через плотность и площадь т = pS и тогда дифференциальное уравнение поперечных колебаний консольной балки для одномерного случая примет вид [1]:
(4)
ё
2 (
дх4 М12
Подставив в качестве распределенной нагрузки на балку выражение для силы инерции Рин, получим:
ё Ю(х,1) т ё ги(х,1)
ёх2
Ш,
ёх2
+ pS-
ё2
= 0, (6)
ёх
4
ЕТ ёл
2
(5)
Здесь учтено, что функция смещения зависит от двух переменных, поэтому полные производные заменены на частные.
где произведение Е12 называют изгибной жесткостью балки; Е- модуль Юнга пород кровли; 1г-момент инерции площади сечения относительно 02, который аналогичен массовому моменту инерции пластинки с единичной массовой плотностью; $ - площадь сечения балки; р - ее плотность.
Уравнение (1) решаем методом разделения
Рис.3 Зависимость частоты поперечных колебаний балки от ее длины. Для первого корня уравнения (7)
Длина балки /. м
Рис. 4 Зависимость периода затухающих колебаний от длины балки
Длина балки /. м
Рис.5 Зависимость коэффициента затухания от длины балки
переменных. Решение данного уравнения, приведенное в [1, 3, 4], дает характеристическое уравнение частот:
cosa/ chal = -1 (7)
Графическое решение уравнения (7) приведено на рис.2, откуда следует что, первые шесть корней решения имеют значения:
(al)1=1.875; (al)2=4.694; (a/)3=7.855;
(a/)4=10.996; (al)5=14.137; (a/)6=17.279. Полученные корни характеристического уравнения (7) используем для расчета частот собственных колебаний. Частоты собственных колебаний рассчитываем по выражению[1,3]:
(al)2
v =
PS
Величина момента
сечения
3
(8)
балки
инерции
г Ь*И
определялась по формуле: и, где Ь -
мощность балки; И - ее ширина.
Для определения собственных частот колебаний консольной балки была разработана программа расчета на ПЭВМ. При подстановке следующих параметров консоли [2]: £=7-1010 Па, р= 2500 кг/м3, Ь= 15м, И= 10м по формуле (8) были получены величины частот поперечных колебаний для различных значений длины балки и значения момента инерции поперечного сечения балки У2=4218,75 м4. В качестве примера на рис.3 представлены результаты расчета частоты колебаний балки.
Из полученных зависимостей видно, что с увеличение длины балки до ста метров частота поперечных колебаний не превышает 2 Гц. Наименьшая частота колебаний получается при подстановке первого корня уравнения (7). Остальные корни уравнения (7) дают значения частот далекие от реально возможных.
Рассмотренная выше модель поведения балки является идеализированной. На практике поведе-
ние консольной балки после выведения ее из положения равновесия путем облома части консоли представляется в виде затухающих колебаний, описываемых уравнением:
И(х,1;) = ев8(а1), (9)
где Ио - начальное смещения балки из положения равновесия, Р - коэффициент затухания колебаний, о - циклическая частота затухающих колебаний, определяемая соотношением:
(10)
где — собственная частота колебаний балки.
Численный расчет периода затухающих колебаний и коэффициента затухания проводился «табличным методом определения корней» [6]. Результаты расчетов представлены на рис.4 и рис.5.
Полученные результаты показывают, что с увеличением длины консольной балки значение периода колебаний растет, а коэффициент затухания при этом уменьшается. Для балки длиной 75 м, мощностью 15 м и модулем упругости пород Е=7*1010Па значение периода колебаний составило 0.44с, а частота составила 2,27Гц, затухание колебаний (отклонение от равновесного положения не превышает 5%) происходит за 3.54с. На рис.5 построена аппроксимирующая экспоненциальная кривая. Практически все значения коэффициентов затухания укладываются на аппроксимирующую кривую с небольшим отклонением от нее. Полученные расчетные данные хорошо согласуются с результатами, представленными в работе [5], в которой решение уравнения затухающих колебаний было получено с использованием метода «функций Грина», а коэффициент затухания подбирался с учетом, что при обрушении кровли реализуется режим сильно затухающих колебаний и, полученное значение периода колебаний кровли находится в интервале 0.44^0.52 с, а частота колебаний не превышает 2.5 Гц для балки с теми же параметрами, что и в нашем расчете.
Разработанная программа расчета частот колебаний балки дает возможность оценить дополнительные пригрузки на угольный пласт со стороны вышележащих пород при различных длинах
зависающей консоли в момент ее облома, а так же выбрать рекомендации по подбору крепи с целью повышения ее несущей способности с учетом возникающих при этом перегрузок.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. РаботновЮ.Н. Сопротивление материалов - М.: Физматгиз.,1962.
2. Штумпф Г.Г., Рыжков Ю.А., Шаламанов В.А., Петров А.И. Физико-технические свойства горных пород и углей кузнецкого бассейна. - М.: Недра, 1994.
3. Вольмир А.С., Григорьев Ю.П., Станкевич А.И. Сопротивление материалов М: Дрофа., 2007.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости: Учебное пособие. - М: Наука. 1987.
5. Дырдин В.В. Влияние сдвижений прочных пород кровли в выработанном пространстве на геоме-ханическое состояние угольного пласта // Дырдин В.В., Шиканов А.И., Кроль Г.В., Алексеев Д.В, Та-циенко В.П.// - Известия вузов. Горный журнал. 1990 г. - С.23-25.
6. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль . - Томск МП: Раско, 1992.
□ Авторы статьи:
Фофанов Дырдин
Андрей Алексеевич, Валерий Васильевич,
ассистент каф. физики КузГТУ. докт.техн.наук, профессор,
E-mail: thunder55 @mail.ru зав. каф. физики КузГТУ.
Тел. (384-2) 58-30-80
