CC BY
5К вопросу о безотрывном движении шара на гладкой плоскости: II
В. В. Васькин, О. С. Наймушина
Удмуртский государственный университет 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1
vaskin@udsu.ru, osn@rcd.ru
Получено 26 ноября 2010 г.
В работе рассмотрено безотрывное движение конкретной модели неоднородного шара на гладкой плоскости и проанализирована зависимость области безотрывного движения в пространстве интегралов движения от величины смещения центра масс.
Ключевые слова: твердое тело, безотрывное движение по гладкой плоскости
V. V. Vaskin, O. S. Naymushina On the motion of a ball without bouncing on a smooth plane: II
The motion without bouncing (i. e. in constant contact) of a certain model of a non-homogeneous ball on a smooth plane is considered. The dependance of the domains of such motion on the shift of the center mass in the space of integrals of motion is analyzed.
Keywords: rigid body, motion without bouncing on a smooth plane MSC 2010: 37N15
В последнее время большой интерес проявляется к разработке повозок нетрадиционных конструкций, например, в виде шара [1, 2], приводящегося в движение за счет динамики внутренних масс. В связи с этим изучение динамики неоднородного шара на гладкой и шероховатой поверхности в отрывном и безотрывном режиме представляет несомненный интерес.
В предыдущей работе [3] нами был рассмотрен случай безотрывного движения осесимметричного шара со смещенным центром масс, однако рассмотрение было слишком общим.
В этой заметке хотелось бы дополнить результаты работы [3], применив их к конкретной механической модели. В качестве такой модели возьмем модель однородной сферической оболочки радиуса К и массы Ш\, с помещенной внутри сосредоточенной массой Ш2, находящейся на расстоянии г от центра шара (г < К).
Моменты инерции такого шара относительно центра масс равны
2 о 2 Ш1Ш2 ^2 о . .
А = -пцП + г2--------:----, С = -гпхЕ2, (1)
3 Ш1 + Ш2 3
центр масс находится на расстоянии
Ь = г——— (2)
ш1 + ш2 \ ш1 + ш2 )
от центра шара.
Следующим важным шагом в исследовании является выбор основных единиц измерения: длины, времени, массы. В работе [3] за единицу длины было выбрано расстояние от центра шара до центра масс, однако в данной постановке такой выбор является неудачным, так как затрудняет исследование движения в зависимости от этого параметра.
Гд"
Выберем за единицу длины радиус шара Я, за единицу времени \ —, за единицу мас-
V 9
сы — полную массу шара ш. Введем безразмерные величины:
Гч Ь , т = ,\1е' в=л'
Е рю Р*ф
= е, п г-п = Р,
тдИ ’ тКл/дЕ ’ тКл/дЯ’ (3)
А _ _С__
тК2 тВ? С'
Для а и с получаем выражения
2 и 2
а = -ц + <Р------, с=-ц, сК 1-АЬ (4)
3 1 — и 3
где а =------------относительная масса оболочки; с! — безразмерное расстояние до центра
Ш1 + Ш2
масс.
Таким образом, мы добавили параметр й, от которого зависит задача и который можно независимо менять. Зависимость а и с от й при разных значениях и приведена на рисунке 1. Из графиков видно, что а всегда больше с. Приведенный в [3] пример с а = 1, с = 2 соответствовал тяжелой пластине, помещенной в невесомую сферическую оболочку.
Рис. 1. Зависимости а и с от параметров й и и (к=2/3).
В обозначениях (3), по сравнению с [3] правая часть принимает вид:
F (u) =
(e — q2/2c — du)(1 — u2) — (p — uq)2/2a
a + d2(l — u2) :
где u = cos в.
Область возможного движения (ОВД) определяется условием
2 ( p uq )
^ 0.
Т J..\ ,.2) (p — uq)2
Fi(u) — ( е - — - duj (1 - и ) -
(5)
(6)
Условие безотрывности движения (сила реакции положительна):
^(и) = сй2(а2 + йрд)ч2 — й(а2(2вс — д2) +
+cq2(a + й2) + й2ср2)и + с(а + й2)(а2 + йрд) ^ 0.
Граница области возможного движения (режим регулярной прецессии) определяется функцией ^2(и):
(7)
l pq
— ) — 2е J и — и, —.
aa
(8)
Уравнения Fi(u) =0 и F2(u) = 0 параметризуют границу области безотрывного движения — поверхность регулярной прецессии:
р = p\(t, s) = Vda(( 1 + cos t) ch s + (1 — cos t) shs), q = q\(t, s) = Vda ((1 + cos t) chs — (1 — cos t) shs), d
e = e-i (t, s) = —-¥-[{a — c)(sh 2s sin21 — ch 2s cos21) — 2c
—(a + c)(ch 2s + 2cost)].
0 ^ t ^ n. — oo < s < oo.
(9)
<2=0.2
<г=о.5
<г=о.9
ф 0.8 п Г ВТ V ~л 0.8- 1 р 0-8: V
0.8 -1 -0.8 0. Г9 ^ -0.8 0.4 И 0.8 (/ -0.8 \У -0.4 8 -0.8 0.4 \\ 0.8 #
Рис. 2. Общий вид ограничивающих поверхностей (9) и (10) и их сечения при различных уровнях энергии: а) е = 0, Ь) е = 0.4, о) е = 0.6, d) е = 1.3.
Уравнения Fi(u) =0 и Ni(u) = 0 параметризуют границу безотрывного движения со стороны отрыва:
a ((1+cos t)shs + (1 — cos t)chs) p = p2(t,s) = u ; 1 ; ;
q = q2(t, s) =
\fd, sin t
a ((1+cost)shs — (1 — cost)chs)
\fd, sin t ’
Vd 1 (10)
e = e-2 (t,s) =--------o-[(a — c) (ash 2s sin21 — ach2scos2t) —
2cd sin21
—(a + c)a ch(2s) + 2cost(a2 — cd sin2t)],
0 ^ t ^ n, —ж < s < ж.
Полученные в явном аналитическом виде параметрические уравнения поверхностей (6) и (7) позволяют легко анализировать зависимости их от различных параметров.
Здесь в качестве примера мы рассмотрим шаровую оболочку с ц = 0.1, а 0.9 общей
массы сосредоточено на расстоянии г = ---------- от центра шара. С изменением d момент
1 — ^
1 1 d2
с = — не меняется, а момент инерции a, =--------1----.
15 ’ F 15 9
На рисунке 2 приведены общий вид ограничивающих поверхностей в пространстве интегралов движения (р, q, e). Внешняя поверхность есть граница ОВД (поверхность параметров регулярной прецессии), внутренняя граница — поверхность параметров отрыва для разных значений (d = 0.2, 0.5, 0.9). Ниже приведены сечения этих поверхностей плоскостями постоянной энергии е, серая область соответствует областям безотрывного движения.
Качественно вид этих поверхностей совпадает с приведенными в работе [3] при значениях параметров в новых единицах измерения a = 0.8, с = 1.6 и d = 0.447, что соответствовало тяжелой тонкой пластине в невесомой сферической оболочке.
Довольно очевидно, что при малых d (смещение центра масс мало) поверхность отрыва находится высоко и область безотрывного движения определяется границей ОВД. Минимальная энергия, при которой начинается отрыв шара от плоскости, находится при ро = 0, qo = 0, то есть шар катится без вращений (как диск). С увеличением d минимальная энергия
, a, ja(2dJ~c- — а)
отрыва понижается и находится при a > —■= в точке ро = —qo = ±\ -------------------- и равна
2 д/с V а
a ( a\ 2a
е" = -<г+й(1-ё) + ^
С увеличением энергии область безотрывного движения располагается вблизи границы ОВД (вблизи режима регулярной прецессии). Это является довольно очевидным фактом, так как при регулярной прецессии центр масс находится на постоянной высоте.
Дискуссия
В недавно вышедшей книге [4] также рассматривается вопрос о безотрывном движении твердых тел на гладкой плоскости, но, к сожалению, анализ сводится к рассмотрению только осесимметричного шара со смещенным центром масс. Сделаем несколько замечаний по этой работе. Анализ характера движения от интегралов движения подменяется анализом от начальных условий, что является неполным и требует проведения дополнительного анализа. Многочисленные леммы, утверждения и теоремы, имеющие иногда тривиальный
характер, не облегчают, а только усложняют понимание. Связанная с анализом начальных условий некорректная классификация областей (например, «обнуление и отрыв в начальный момент», «обнуление и отрыв не в начальный момент») вызывает некоторое недоумение и находится в противоречии с теоремой о непрерывной зависимости решений от начальных условий.
Работа выполнена при поддержке гранта «Ведущие научные школы» (грант НШ-8784.2010.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (ГК 02.740.11.0195), гранта правительства РФ для господдержки научных исследований под руководством ведущих ученых в российских ОУВПО (№ 11.G34.31.0039).
Список литературы
[1] Crossley V. A. A literature review on the design of spherical rolling robots. Pittsburgh, PA, 2006, 6 p.
[2] Laplante J.-F., Masson P., Michaud F. Analylical longitudinal and lateral models of a spherical rolling robot. Technical report, Laborius, Department of Electrical and Computer Engineering, Universite de Shebroke, Canada. 2007. 6 p.
[3] Васькин В. В., Наймушина О. С. К вопросу о безотрывном движении шара на гладкой плоскости // Нелинейная динамика, 2009, т. 5, № 4, c. 625-632.
[4] Розенблат Г. М. Сухое трение и односторонние связи в механике твердого тела. М.: Либроком, 2010. 208 с.
