CC BY
10
УДК 664.047:530.17
К вопросу математической модели процесса посола мяса сельди
М. В. ШУМАНОВА1, д-р техн. наук Ю. А. ФАТЫХОВ2,
канд. физ-мат. наук В. А. ШУМАНОВ 1 [email protected], 2еПпа@к^и.ги
Калининградский государственный технический университет 236022, Калининград, Советский пр., 1
Проблема создания математической модели любых процессов является весьма актуальной в исследованиях. В нашем случае была предпринята попытка создать модель процесса посола мяса рыбы (сельди). Рассмотрено распространение поваренной соли из водного раствора в мясе сельди. Задача сводилась к распространению соли в полубесконечном стержне от сосредоточенного в одном его сечении мгновенного источника соли. Для этой цели мы использовали анализ размерностей. В результате чего было получено автомодельное решение дифференциального уравнения диффузии. Это решение справедливо в области интервала времени, когда размер области распространения соли много больше размера области начального солевыделения ^ но еще меньше от краев стержня мяса рыбы. Это решение имеет качественное сходство с результатами экспериментальных исследований, полученных методом фотонной корреляционной спектроскопии.
Ключевые слова: мясо сельди, соль, уравнение диффузии, автомодельность, анализ размерностей, коэффициент диффузии, концентрация.
On the problem of a mathematical model for herring salting process
M. V. SHUMANOVA1, D. Sc. YU. A. FATYKHOV2, Ph. D. V. A. SHUMANOV
'[email protected], [email protected]
Kaliningrad State Technical University 236022, Russia, Kaliningrad, Sovetsky pr., 1
The problem of creating a mathematical model of any process is of great importance in various researches. The article deals with an attempt to create a model of fish (herring) salting process. The circulation of sodium chloride from an aqueous solution in herring is analyzed. The task was reduced to salt distribution in a semi-infinite rod from instantaneous source of salt located in one of its cross-sections. The dimensional analysis is used for this purpose. As a result, the decision is obtained by self-similar solution of diffusion equation. The solution is valid for the time interval when the size of salt distribution area is much larger than the size of initial salt-releasing area h but, at the same time, is smaller than the area of fish cord. This solution has a quality similar to the experimental results obtained by photon correlation spectroscopy. Keywords: herring, salt, diffusion equation, self-similarity, dimensional analysis, diffusion coefficient, concentration.
Введение
Проблема процесса просаливания мяса рыбы является весьма актуальной как в экспериментальном, так и в теоретическом плане.
Продолжительность посола имеет важное значение при обработке рыб. Ранее были разработаны методы определения продолжительности посола [1—4]. Получен-
ные в данных работах формулы требуют знания коэффициентов диффузии, которые не всегда известны. Динамика просаливания и изменение коэффициента диффузии соли в мясе рыбы изучалась недостаточно в процессе посола. Даже нет единого подхода к определению значений коэффициентов диффузии. Были предприняты попытки создания математической модели процесса просаливания. Так в работах [5, 6] использован вариационный метод решения уравнения диффузии. В настоящей работе предпримем решение уравнения диффузии, применяя анализ размерностей [7] и нахождение автомодельного решения данного уравнения.
Автомодельное решение дифференциального уравнения диффузии
Дифференциальное уравнение диффузии имеет вид:
(1)
ЭС = D ЭС dt Эх2 '
где D — коэффициент диффузии, который будем считать постоянным; С — концентрация соли или соленость.
Рассматриваем распространение поваренной соли из водного раствора в мясе сельди.
В начальной момент будем считать, что вся соль сосредоточена в малой области толщиной И вблизи сечения х = х (рис. 1).
Граничные условия:
С (0, 0 = с0, С (е, 0 = 0, (2)
здесь е- длина стержня с мясом рыбы. Начальное условие:
С (х, 0) = С0 (х) (3)
Будем считать, что размер области солевыделения
h << х0 и h << е - х0.
ТЕХНОЛОГИЯ ПРОДОВОЛЬСТВЕННЫХ ПРОДУКТОВ
27
Можно данную задачу решить, используя численные методы, даже на ЭВМ невысокого класса.
Мы используем для решения данной задачи анализ размерностей.
Будем считать, что вся соль в начальный момент времени сосредоточена в сечении х = х0, т. е. h = 0. Из этого следует, что стержень можно считать бесконечным.
Таким образом, задача сводится о распространении соли в бесконечном стержне от сосредоточенного в одном его сечении мгновенного источника соли.
Соль в стержне не уничтожается и не порождается. Поэтому в любой момент времени количество соли равно в любой момент времени начальному количеству М:
pS J C' dx = M.
C
п = Ф (ni); п = _1/2; р = -ф _ (6)
C' D-1/2t
отсюда:
с=DFФ®; X=ёт ■
Введем масштаб солености:
С (t) = С' (Dt) -1/2
и масштаб длины:
е0 (t) = (Dt) 1/2.
С = C0(t )Ф( ).
(C(Df)m)/C' 0,30,
т
2 4
(x - Xo)/(xt)1/2
(4)
Рис. 1. Автомодельное решение уравнения диффузии
Таким образом, С = а — концентрация соли в мо-
М
мент времени t в сечении х: t = ар D = а2; С ' = — = а3; х - х. = а. Р^
0 4.
Параметры М, р, по отдельности никуда не входят, и определяющим параметром будет их комбинация С'. Имеем:
С = f (t, D, С\ х - хо) (5)
Размерности первых трех параметров в (5) являются независимыми. Размерность определяющего параметра х - х0 выражается:
[х - х0] = В1'2 С'
следовательно,
[С] = [С'] [В] 1/2 . Согласно анализу размерностей, имеем:
d2F U dF 1 , п +-X—+-Ф = о.
dX2 2 " dX 2
(10)
Используя условие, что соленость для любого момента времени на бесконечность равна нулю, имеем:
Ф(±~) = 0. (11)
Подставляя выражение (7) в (4), получаем второе условие для функции Ф (():
J F(X)dX = 1.
(12)
Уравнение (10) представляет собой уравнение в полных дифференциалах, интегрируя, получаем:
dF 1
-+—ХФ = const,
d X 2S '
d Ф
здесь TOnst = 0, т. к. при X = 0 -= 0 (решение симметрично). dX Интегрируя еще раз, получаем:
_Х2
(7)
Ф = Ae
где А находим, используя условие (12)
(13)
A = —^ и значение интеграла J e x dX = yfP. 2VP _L
Окончательно имеем решение:
С =
С'
2<JnDt
-(x - xo) 4 Dt
e
(14)
Тогда распределение солености (7) представляется в виде:
(8)
Из (7) получаем, дифференцируя:
ЭС _ _с_ d>;
dx (Dt) dX ' Э2С = C' d2Ф dx2 ~ Dt3/2 dX2 ' 3C = 1 C' ФГ£) 1 C' do (9)
3t 2t (Dt)1/2 (X) 2t (Dt)1/2 X dX . () Подставляя выражение (9) в уравнение (1), получаем:
Это решение справедливо в области интервала времени, когда размер области распространения соли много больше размера области начального солевыделения к, но еще меньше от краев стержня мяса рыбы.
Выводы
При создании математической модели процесса просаливания и нахождении автомодельного решения дифференциального уравнения диффузии, были экспериментально определены коэффициенты диффузии, использован метод корреляционной спектроскопии [8]. По тариро-вочному графику В = АС) была определена концентрация. На рис. 2. представлена экспериментальная зависимость концентрации от параметра X.
м2/с-106
Рис. 2. Зависимость концентрации от параметра £ = х2^
Как видно из этого рисунка, функциональная зависимость концентрации имеет качественное сходство с зависимостью (14), полученной по результатам расчетов.
список литературы
1. Ионас Г. П. Определение продолжительности просаливания сельдевых рыб // Рыбное хозяйство. 1975. № 11. С. 66-67
2. Леванидов И. П., Михалева В. Ф. Особенности кинетики просаливания мороженных рыб. — Владивосток: Изд-во ТИНРО. 1976. Т. 99. С. 50-55
3. Миндер Л. П. Некоторые вопросы теории посола рыбы // Труды ПИНРО. 1970. Вып. 30. С. 143-158.
4. Рулев Н. Н. Кинетика бочкового посола атлантической сельди // Тр. БалтНИРО. — Калининград, 1962. Вып. 8. С. 190-216.
5. Михайлов Ю. А. Вариационные методы в теории нелинейного тепло- и массопереноса/Ю. А. Михайлов, Ю. Т. Глазунов. -Рига: Зинатне, 1985. 192 с.
6. Технология рыбы и рыбных продуктов: учебник для вузов/С. А. Артюхова, В. А. Гроховский [и др.]; под ред. А. М. Ершова. — 2-е изд. — М: Колос, 2010. 1063 с.
7. Баренбяат Т. Н. Анализ размерностей. — Москва: Изд-во МФТИ, 1987. 168 с.
8. Шуманова М. В. О возможности применения нанотехноло-гических методов для исследования процесса посола сельди. // Высокие технологии, фундаментальные исследования, инновации: сборник статей Семнадцатой международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности и экономике» — СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2014. С. 181-187
References
1. Jonas G. P. Determination of the duration herring fish salting. Fishery. 1975. No 11. Р. 66-67. (in Russian)
2. Levanidov, I. P. Kinetics of frozen fish salting/I. P. Levanidov, V. F. Mikhaleva. Ed. TINRO. Vladivostok, 1976. Vol. 99. Р. 50-55. (in Russian)
3. Minder, L. P. Some questions about fish salting theory. Works PINRO. Murmansk 1970. Vol. 30. p. 143-158. (in Russian)
4. Rulev, N. N.. Kinetics of barrel salted herring. Proceedings of BaltNIRO. — Kaliningrad, 1962. Vol. 8. P. 190-216. (in Russian)
5. Mikhailov, Y. A. Variational methods in the theory of nonlinear heat and mass transfer/Y. A. Mikhailov, Y. T. Glazunov. -Riga: Zinatne, 1985.192р. (in Russian)
6. Technology of fish and fish products: a textbook for high schools/SA Artyuhova, V. A. Grokhovsky [et al.] ed. A. M. Yer-shov. — 2nd ed. — Moscow: Kolos, 2010. 1063 р. (in Russian)
7. Barenblat T. N. Dimensional Analysis/T. N. Barenblat // Ed. MIPT Moscow, 1987.168 р. (in Russian)
8. Shumanova M. V. The possibility of using nanotechnology techniques to study the process of herring salting. High technology, fundamental research and innovation: Proceedings of articles of the Seventeenth International Scientific-Practical Conference «Fundamental and applied research, development and application of high technologies in the industry and the economy» SPb.: Publ Polytechnic University, 2014. P. 181-187. (in Russian)
НОЯБРЯ 2015
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
XXIII МЕЖДУНАРОДНАЯ ПРОДОВОЛЬСТВЕННАЯ
ВЫСТАВКА
peterfexbd
• Мясо и мясопродукты. Мясная гастрономия •
• Птица. Яйцо •
• Рыба и морепродукты •
• Овощи. Фрукты •
• Замороженные продукты. П/ф. •
• Молочная продукция. Сыры •
• Бакалея (зернопродукты, макаронные изделия, специи) •
• Готовые блюда, салаты • Контакты:
Тел./ф.: 8 (812) 327-49-18
E-mail: [email protected], [email protected] http://peterfood.ru/
Разделы выставки:
• Масложировая группа
• Кондитерская продукция. Снэки, орехи, сухофрукты
• Соки. Воды. Безалкогольные напитки
• Чай. Кофе. Какао
• Спиртные напитки. Табак
• Здоровое питание. Детское питание Консервация. Соусы
Салон сопутствующего оборудования «ПетерфудТех»
