CC BY
11PHYSICS AND MATHEMATICS
К ВОПРОСУ ИЗМЕНЧИВОСТИ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ ВСЕЛЕННОЙ И ЕЕ «УГАДЫВАНИЯ» В СООТВЕТСТВИИ С ЗАКОНОМ СТЕФАНА - БОЛЬЦМАНА
Кошман В.С.
Канд. техн. наук, доцент «Пермский государственный аграрно - технологический университет
имени академика Д.Н. Прянишникова» г. Пермь, Россия
ON THE QUESTION OF THE VARIABILITY OF THE COSMOLOGICAL PICTURE OF THE UNIVERSE AND ITS "GUESSING" IN ACCORDANCE WITH THE STEFAN-BOLTZMANN LAW
Koshman V.
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor "Perm State Agrarian and Technological University named after Academician D. N. Pryanishnikov"
Perm, Russia
Аннотация
В работе рассмотрены три варианта выхода на закон Стефана - Больцмана в его записи с участием гравитационной постоянной. При проведении мысленного космологического эксперимента наряду с выходом на закон Стефана - Больцмана установлен закон падения температуры во Вселенной. Показано, что закон Стефана - Больцмана и планковские единицы имеют непосредственное отношение к описанию расширения Вселенной с охлаждением. Отмечена необходимость проведения дальнейших исследований.
Abstract
The paper considers three options for applying the Stefan-Boltzmann law in its recording with the participation of the gravitational constant. When conducting a mental cosmological experiment, along with the access to the Stefan - Boltzmann law, the law of temperature drop in the Universe is established. It is shown that the Stefan
- Boltzmann law and Planck units are directly related to the description of the expansion of the Universe with cooling. The need for further research is noted.
Ключевые слова: модель Вселенной, реликтовое излучение, абсолютно черное тело, закон Стефана
- Больцмана, планковские единицы, свойства Вселенной.
Keywords: model of the Universe, relict radiation, absolutely black body, Stefan - Boltzmann law, Planck units, properties of the Universe.
«Данные современных экспериментов накапливаются автоматически... Вполне возможно, что в таких данных кроется много ответов на загадки природы, даже если пока мы и не прочитали их как следует» Роджер Пенроуз
Изучение изменчивости космологической картины мира относится к числу актуальных задач современного естествознания. Исторически первые попытки на этом пути, как и в случае установления физического закона (уравнения) Стефана - Больцмана, были предприняты в связке «учитель - ученик». Математик и геофизик А.А. Фридман (1922 г.), исследуя мировые уравнения А. Эйнштейна, теоретически предсказывает, что не стационарность Вселенной следует отнести к числу ее базовых свойств (причем в начале расширения объемная плотность массы р нашей Вселенной была невообразимо большой). В 1940 - е годы геометрия и динамика Фридмана дополняется идеями ядерной физики и термодинамики [1]. Г.А. Гамов уточняет теоретическую модель эволюции Вселенной. Он
допускает: в глубинном прошлом изучаемая система была не только весьма плотной, но и горячей и в ней были возможны ядерные реакции [2]. Гамов (с опорой на аналитические решения общей теории относительности, а также на закон Стефана - Больцмана) выходит на уравнение адиабаты газа фотонов: TV7-1 = const, а далее при величине показателя адиабаты у = 4 и на закон падения температуры
на адиабатном режиме расширении Вселенной [1]:
1
T « - . (1)
R V '
Из соотношения (1) следует вывод: по мере роста эквивалентного радиуса R Вселенной ее температура T понижается, или, иными словами, наша Вселенная расширяется с охлаждением.
Вместе с тем, для Вселенной, заполненной излучением, общая теория относительности совместно с уравнением Стефана - Больцмана дает решение [3, с. 113]:
__\1/4^_
{32n3Gk4Bf) t1/2 .
Здесь t - космологическое время, f - безразмерный множитель, который по Девису принимает «во
^ - ^Гтш . (2)
внимание, что может существовать несколько видов излучения», а также мировые константы: с -скорость света в вакууме, О - гравитационная постоянная, к - постоянная Планка и - постоянная Больцмана. Обычно полагают, что в (2) /= Q - это число типов частиц в первичной плазме, причем с количеством Q связывается темп остывания Вселенной. Вместе с тем, в литературе при/= 1 выражение (2) порой называется законом падения температуры во Вселенной для ранней эпохи ее расширения.
Однако наибольший интерес все же представляют экспериментальные данные. Можно вспомнить слова Марка Твена, сказанные им 146 лет назад: «В науке есть что - то обворожительное. Вкладываешь в неё пустячный факт, а получаешь на сей счет целый ворох соображений». У. Фаулер [4, с. 6] в изречении Марка Твена видит «вызов экспериментатору. Тот должен стараться, чтобы раскрываемые им факты природы не были «пустяш-ными». Применительно ко Вселенной к настоящему времени установлено шесть важных экспериментальных наблюдений:
а) Исследование спектральных линий звезд показывает, что наблюдаемая Вселенная в среднем обладает единым химическим составом; заметно преобладают водород и гелий.
б) В спектрах элементов далеких галактик обнаруживается систематическое смещение в сторону красной части. Величина этого смещения возрастает по мере удаления галактик от наблюдателя.
в) Измерение радиоволн, приходящих из космоса в сантиметровых и миллиметровых диапазонах указывает на то, что космическое пространство равномерно и изотропно заполнено слабым фоновым электромагнитным излучением. Спектральная характеристика так называемого реликтового излучения соответствует тепловому излучению абсолютно черного тела с температурой Тп, близкой к абсолютному нулю: Тп = 2,725 ± 0,002 К (с доверительной вероятностью 95%) [5]. Согласно современным наблюдениям для электромагнитного излучения объемная плотность энергии иЕП и объемная концентрация фотонов п£П порядка
= Е™ = 10-
г [Дж/м3 [3] и п£П = ^ = 4,5 •
' 108м-3 [6]. (3)
г) По астрономическим наблюдениям, крупномасштабное распределение галактик соответствует для барионного вещества (для газа барионов):
Дж/м3 [3] и пЬп = ^ =
0,3 м-3 [6]. (4)
д) Современная величина барион - фотонного отношения имеет «исчезающе малое значение» [5, с. 203]:
ubn =
Vi
= ^ = 5-10-10.
(5)
е) Анализ процессов радиоактивного распада в метеоритах показывает, что некоторые из компонентов должны были возникнуть от 14 до 24 миллиардов лет тому назад [6].
Перечисленные факты установлены на основе большого количества измерений и заслуживают полного доверия. Первое из отмеченных выше
наблюдений в целом подтверждает результаты расчета ядерных реакций применительно к ранней Вселенной, Как известно, согласие предсказаний теории первичного нуклеосинтеза с наблюдениями (по обилиям Н2, Не3, Не4) является одним из краеугольных камней, на которых покоится модель горячей Вселенной. Второе из наблюдений - п. б) -интерпретируется в пользу космологического расширения Вселенной. Третье из наблюдений - п. в) -считается [7, с. 9] решающим тестом для модели Вселенной, которая расширяется с охлаждением. Четвертое из утверждений - п. г) - по данным работы [6] представляет собой экстраполяцию всего накопленного астрономией опыта. То же самое можно отметить и в отношении пятой (добавленной нами выше в общий перечень [6]) позиции - п. д). Шестое из отмеченных выше экспериментальных наблюдений - п. е) - накладывает ограничение на расчетную величину возраста нашей Вселенной. Естественно возникает вопрос: является ли приведенный выше перечень опытных фактов окончательно сформированным, или он может быть дополнен новыми объективными свидетельствами в пользу космологической модели Вселенной, расширяющейся с охлаждением?
Как известно, чернотельному фотонному излучению отвечает формула Планка [8]:
йи£ __1
dv
с3 efrv/kBv_i ■
(6)
из которой закон (уравнение) Стефана - Боль-цмана [3, 5]:
п_5 г. 4
(7)
„4 _ 8n5kß
иЕ= а^Т4 = ——^Т4
Е V 15с3И3
где а - постоянная плотности излучения, вытекает как следствие. Можно полагать, что наличие трех фундаментальных постоянных: с, к и кв в одной формуле (7) не случайно.
Существенно то, что реликтовое излучение имеет непосредственное отношение к абсолютно черному телу, которому отвечает закон Стефана -Больцмана (7). Обращаем также внимание на естественную связку мировых констант: с, О, к и кв и наряду с планковскими единицами
- энергии иЕр1 = (—) = 109 Дж, (8)
- объема Ур1 = Ь3р1 = (^р)32 = 10-105м3, (9)
/исЛ1/2 „ - температуры Тр1 = у^тц) = 1032К (10) выделяем известное пожелание, а также три фрагмента научного поиска.
Фрагмент первый. Принимаем во внимание физический смысл уравнения Стефана - Больц-мана: иР = — « Т4, а также, как полагаем, его
Е V ' ' '
объективную предпосылку: и£р1 = « Тр1. Делим
первое из выражений на второе, выходим на закон Стефана - Больцмана в его космологическом приложении [9 - 11 и др.]:
_ Us _ ueyl f Т \ = V = Vpi \Tpi)
. . > (И)
V Ур1 \TpiJ или в виде функции, представляющей собой следующую комбинацию безразмерных планков-ских величин:
£П
Us Vyl Г_р1\4 = l
Uev, V (T J
U^V-oi fTv
Uepl V \T
или в виде равенства
Us uspl
(12)
^т4 (13)
как связи, объективно существующей в окружающем нас мире. Из формул (11) - (13) ясен космологический смысл уравнения Стефана - Больц-мана: объемная плотность энергии газа фотонов, выраженная в безразмерных единицах М. Планка, равна четвертой степени температуры Вселенной, которая принята в тех же единицах. Если следовать формулам (11) - (13), то можно прийти к суждению о том, что электромагнитное поле Вселенной возникает по завершению эпохи Планка на планков-
0£)1/2 = Ю-43,
точник энергии для появления ныне реликтовых фотонов в количестве Ы£п ~ 1090 следует искать вне объема Ур1 планковской Вселенной.
В уравнение Стефана - Больцмана (13) наряду с температурой Т Вселенной входят ее объем V и энергия газа фотонов и£. Величину последней можно оценить через «характерную энергию фо-(1)
тона»: и£ = кв -Т [12, с. 81] и количество фотонов М£ по формуле и£ = квТИ£. Тогда из (13) имеем
квТЫ£ _ квЫ£ _ ЦЕр1
УТ4 УТ3 Vr.lT'4 ' ( )
ih-G\ 1/2
ский момент времени tpi = ( —) = 10-43c. Ис-
pi'pi
а следовательно, и уравнения
VT3 = N£VpiTpi = const,
R = N£/3Lpl = const,
(15)
(16)
где Lpi - планковская длина, величина которой впечатляет: «...планковская длина - она в 1020 раз меньше диаметра ядра атома водорода» [13].
Уравнения в физике - это тоже текст, несущий немалую смысловую нагрузку. Важное сочетается с информативными формулами. Не сложно заметить, что в частном случае, когда N£ = const, из (16) соотношение (1) вытекает как следствие. И в этом нет ничего удивительного, поскольку в космологической истории расширяющейся с охлаждением Вселенной действительно был период, когда ее объем наполнялся ныне реликтовыми фотонами.
Фрагмент второй. В согласие с размерностью мировых констант с, h и кв принимаем
с = ^ ; h = Upltpl и кв= ^ . (17)
При этом аналитическое выражение для постоянной плотности излучения а принимает вид
а =
8жьк
= (
MY
л3 Vpl\Tpl
) , (18)
что - при наличии (7) - вновь обеспечивает выход на формулу (11):
_ Uepl (_т\
V Vpl (Tpl) '
р1 \'р1/
Обратим внимание на пожелание: Рассуждая об отношении к природе, Р. Фейнман [14] отмечает, что «угадывание уравнений может быть наилучшим способом получения законов для тех областей физики, которые еще мало изучены», а также рекомендует: «И если наука должна двигаться вперед,
то что нам действительно необходимо, так это возможность экспериментировать, честность в сообщениях о результатах, - о них нужно сообщать, не обращая внимание на то, какими их кто - то хотел бы видеть, - и наконец, и это очень и очень важно, умение разумно интерпретировать результаты». Вместе с тем, из работы [15, с. 4] мы узнаем: «Новые уравнения нельзя просто математически вывести из старых. Их нужно придумать, основываясь на новых физических идеях и/или результатах экспериментов (иногда необходим новый взгляд, новая интерпретация уже известных данных)».
Фрагмент третий. С нашей точки зрения, для целей космологии особый интерес представляет простейший мысленный космологический эксперимент [10]. Проведение данного эксперимента не требует каких - либо затрат, но обстоятельства складываются столь удачно, поскольку представляется возможным реализовать выход как на известные, так и на новые результаты. Обратимся к однородной и изотропной Вселенной и воспользуемся методическим приемом, который себя надежно зарекомендовал при эмпирическом поиске таких газовых законов как закон Бойля - Мариотта, закон Гей - Люссака и закон Шарля. Сопоставляем числовые значения величин, отвечающих планков-скому (р1) и настоящему (п) состояниям Вселенной.
Принимаем ^£п = — и ф£„1 = , вычисляем без-
Тп ^ тр1
ш сп Тп Ь-п
размерные планковские величины-, — , — , вы-
*р£р1 Тр1 *р1
10-2/з()1/9 = Утреп '
1010, что - в
конечном итоге при переходе к текущим значениям величин - обеспечивает выход на
— уравнение Стефана - Больцмана (11):
ГЦ4,
£ V Ур1 \TpiJ
— уравнение обратного корня
Г = (19)
— уравнение для объемной плотности энергии Х - скрытой составляющей материи Вселенной
Т = ^ = "Ц (т)2- (20)
Уравнения (2) и (19) равносильны, они отвечают глубинному проявлению связей в природе, но явный вид функции /, которая изменяется в пределах [р1 = 1 < [ < [п, еще только предстоит установить. Уравнение (20) не подтверждено результатами астрономических измерений. Широко обсуждаемая в литературе невидимая, «скрытая» от наблюдений масса материи Вселенной в наши дни не идентифицирована. В (20) мы видим индикатор пропорциональности: их = [и£, что также не известно.
В построениях первого, второго и третьего фрагментов предполагается знание закона Стефана - Больцмана (7). В каждом из трех рассмотренных выше случаев реализован выход на уравнение в планковских единицах. Это характерно [16] для
ходим на fT„, \1/3
равенство
10-2/3 J"3 = 10-1/3 = 1010, что
1
и
многих уравнений, с которыми космологи работают при описании ранней Вселенной (то есть в интервале времени от 10-43с до 3 минут от начала истории [17]). Но в планковских единицах записано уравнение (7), которое имеет статус закона физики. Это отвечает суждению Макса Планка [18] о том, что предлагаемые им в 1899 - 1900 гг. естественные единицы измерения сохраняют «свое значение для всех времен и для всех культур, в том числе и вне земных.. .пока справедливы законы тяготения, ... и пока остается неизменной скорость света в вакууме».
Закон Стефана - Больцмана (7) является продуктом строгой теории и отвечает критерию адекватности. В записи с участием гравитационной постоянной данный закон отличается повышенной информативностью. На наш взгляд, он
- позволяет взглянуть на движение/поведение Вселенной, скажем так, с позиции наблюдателя, отслеживающего исходное развитие, формирование, сохранение физических полей и структур по мере роста объема мира, и которого на первых порах вполне устраивают средние числовые значения физических величин и£, Т и др.,
- содействует установлению соотношений между большим числом величин (3) - (5) и др., а также выявлению соответствующих закономерностей,
- выступает исходным пунктом на пути «угадывания» физической картины изменяющейся Вселенной,
- дает представление об общих закономерностях эволюции Вселенной.
Для периода Ср1 = 10-43с < Ь < Ьп из аналитических выражений (11) - (13) физического закона чернотельного излучения (7) однозначно, четко и ясно видны контуры изменчивости фрагмента физической картины мира: энергия газа фотонов иЕ, объем V Вселенной и температура фотонного излучения Т соответственно изменяются в естественных пределах:
и£р1 = 109Дж < и£ < и£0 = и£п; (21)
V„, = 10_105 м3 < V < Vn ; (22)
'epl
Spl
Tpl = 1032 K > T > Tn = 2,725 K. (23)
Полученный результат согласуется с измеряемыми проявлениями устройства Вселенной, обобщая их.
Автор теории нестационарной Вселенной А.А. Фридман [19, с. 6] отмечает: «Мир, схематическая картина которого создается принципом относительности, есть мир естествоиспытателя, есть совокупность лишь таких объектов, которые могут быть измерены или оценены цифрами...». При величинах N£n = 1090, Lpl = 10-35м,Тр1 = 1032 K и Тп = 2,73 K по уравнению (16) имеем величину среднего радиуса Rn современной Вселенной порядка Rn = 3,6 • 1026м. Согласуется ли данный результат с известными количественными оценками? Да, согласуется: Из работы [20] мы узнаем, что наблюдаемая Вселенная имеет диаметр Dn порядка 93 миллиардов световых лет, один световой год - это 9,46-1015м, а не сложный подсчет дает близкую к нашей
величину Rn = =-9-= 4,4 1026 м. На
мгновение рекомбинации (при Teq = 4-103 K [5]) вычисляем Req = 2-1023 м, для окончания эпохи термоядерных реакций (при Т0 = 109 K [21, с. 613]) R0 = 1018 м. Как видим, по мере погружения во все более горячее космологическое прошлое объем Вселенной понижается, причем количественной оценке на этом пути способствует высокая информативность закона (уравнения) Стефана - Больц-мана.
Физический закон, согласно которому плотность энергии излучения строго пропорциональна четвертой степени температуры, эмпирически открыт Й. Стефаном (1879 г.), теоретически выведен Л. Больцманом (1884 г.), прошел многократную подтверждение и распространяется только на абсолютно черное тело. Выше речь идет о возможном описании поведения Вселенной с учетом того достоверно установленного факта, что спектр реликтового излучения, регистрируемого в ближнем к Земле космосе, представляет собой спектр излучения абсолютно черного тела. Эпиграф принят согласно работе [21, с. 848].
Список литературы
1. Чернин А.Д. Как Гамов вычислил температуру реликтового излучения, или немного об искусстве теоретической физики // Успехи физических наук. 1994. Т. 264. № 8. С. 889 - 896.
2. Реликтовое излучение [Электронный ресурс]. URL: https://www. kru-gosvet.ru/enc/nauka_i_technica/astrono-miya/RELUCTOVOE_IZLUCE-NIE.html (дата обращения 1 июня 2021).
3. Девис П. Случайная Вселенная / пер. с англ. М.: Мир. 1985. - 160 с.
4. Фаулер У. Экспериментальная и теоретическая ядерная астрофизика: Проблемы происхождения элементов / пер. с англ. М.: Знание. 1985. -64с.
5. Вайнберг С. Космология / пер. с англ. М.: УРСС: Книжный дом «ЛИБРОКОМ». 2013. - 608 с.
6. Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции / пер. с нем. М.: Эдиториал УРСС. 2001. - 328 .
7. Черепащук А.Н., Чернин А.Д. Современная космология: факты и идеи // Вестн. Моск. ун -та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2008. С. 3 - 19.
8. Планк М. Законы теплового излучения и гипотеза элементарного кванта действия // М. Планк. Избранные труды. М.: Наука. 1975. С. 282 -310.
9. Кошман В.С. Планковские величины, закон Стефана - Больцмана и гипотеза о рождении Вселенной // American Scientific Journal. 2019. No. 29. Vol. 2. pp. 69 - 74.
10. Кошман В.С. О взаимосвязи между загадкой Макса Планка и особенностями эпохи Планка, или немного о резервах термодинамики // Sciences of Europe. 2020. No. 55. Vol. 1. pp. 67 - 70.
11. Кошман В.С. Простейший мысленный космологический эксперимент и описание движения
Вселенной // Znanstvena misel journal. 2021. No 52. pp. 67 - 70.
12. Вайнберг С. Первые три минуты: Современный взгляд на происхождение Вселенной / пер. с англ. М.: Энергоиздат. 1981. - 208 с.
13. Планковская длина и планковское время: хранители тайн Вселенной [Электронный ресурс]. URL: https://naked-science.ru/articl/naked sci-ence/plankovskaya-dlina (дата обращения 30 июня 2021).
14. Фейнман Р. Характер физических законов / пер. с англ. М.: Наука. 1987. - 160 с.
15. Основной вопрос космологии, или почему мы ничего не знаем о ньютоновской космологии [Электронный ресурс]. URL: https://www. inr.ru/rus/preprint/berezin_cosmlet.pdf (дата обращения 30 июня 2021).
16. Сажин М.И. Современная космология в популярном изложении. М.: Едиториал УРСС. 2002. -240 с.
17. Астронет. Космология ранней Вселенной [Электронный ресурс]. URL: www.as-tronet.ru/db/msg/12210276 (дата обращения 2 июля 2021).
18. Планк М. О необратимых процессах излучения // М. Планк. Избранные труды. М.: Наука. 1975. С. 191 - 233.
19. Фридман А.А. Мир как пространство и время. М.: Наука. 1965. - 111 с.
20. Размер имеет значение. Как хорошо вы разбираетесь в масштабах Вселенной? [Электронный ресурс]. URL: https://nplus1.ru/news/2017/04/ 06/destance-scales (дата обращения 3 июля 2021).
21. Пенроуз Р. Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель / пер. с англ. М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2007. - 912 с.
PRELIMINARY ANALYTICAL INVESTIGATION OF THE FLOW VELOCITY IMPACT TO THE
USAGE OF THE FILTERING APERTURES
Troshchiev Yu.
Ph.D., Senior Researcher, Department of Calculate Mathematics and Cybernetics,
Moscow State University
Abstract
Sedimentation changes processes of filtration in the membrane filters. There is a mathematical model that includes both filtration and sedimentation. The article represents some analytical formulas that are useful for the further investigation.
Keywords: filtration, sedimentation.
Introduction
Membrane filters are widely used to filter macro-particles, microparticles, nanoparticles and molecules. The article [3] represents a mathematical model of filtration including growth of sediments on the filter walls. Taking into account the growth of sediments is important because small filtering apertures can be closed much earlier than they catch any particle. Increasing of liquid velocity decreases the average time of catching the particle by the aperture if there is no sedimentation. If there is sedimentation, its velocity increases because the layer of almost immobile liquid near the walls becomes thinner. It worth to investigate is it possible that sedimentation will more probably close the aperture before catching a particle if the liquid flow is faster [4].
Description of the problem
Dynamics of decrease of the filtering aperture radius follows the system of the ordinary differential equation and the algebraic equation [3], [4]:
dR
— = ~kRc" (R(t)), R(0) = R0, at
Kc-^cv^C^l(2 - DC -c)
KRcn
KRcn
where R - radius of the aperture, Ro - radius of the aperture at t=0, c - concentration of substance near the walls of the aperture, co - concentration of substance in the center of the aperture, K - velocity of sedimentation chemical reaction, D - diffusion coefficient, v - flow velocity in the center of the aperture [3]
V >
KD
KR + D
for n=1,
(2)
n - number of sediment molecules appearing in a single reaction, kR - real number depending on molar masses, densities, etc. All the numbers are positive and n is natural.
If the aperture is in some box of the square Sb and perimeter Pb [3], [2], p is an absolute value of the pressure gradient along the box and the membrane is thin then [3]
v =
^ == kvP,
M
F = v^_ > ,(3)
2 ' b P
where n - dynamical viscosity, F - flow through the aperture. The more precious variant is
