К вопросу аналитической оценки некоторых внутренних размеров Земли Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. №3. C. 130-143. ISSN 2079-6641

ФИЗИКА

" https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-130-143

Научная статья

Полный текст на русском языке

УДК 551.16

К вопросу аналитической оценки некоторых внутренних

размеров Земли

С. О.Гладков*

Московский авиационный институт, 125993, г. Москва, Волоколамское ш, 4, Россия

Аннотация. С помощью модельного представления о движении ядра Земли в вязком континууме, получено его уравнение движения, и аналитически найден линейный размер барисферы. Дана вполне адекватная оценка расстояния от центра Земли до центра масс ядра, не противоречащая современным геодезическим представлениям. Показано, что предложенная модель, не связанная с измерением скоростей продольных и поперечных сейсмических волн, позволяет вполне удовлетворительно определить ряд основных геометрических параметров барисферы и ядра. Все проведенные вычисления основаны на идее применения подвижного базиса, в котором динамические уравнения движения имеют весьма компактный и значительно более простой вид в отличие от декартовых координат. Помимо этого, главное преимущество подобного подхода связано еще и с возможностью аналитического решения полученных уравнений, что дает нам вполне обоснованную и объективную модель, позволяющую предсказать ряд геометрических параметров, касающихся внутреннего строения Земли, и дающих возможность их численной оценки. Описанный подход можно применить к решению отдельных геофизических задач, в качестве одной из которых можно рассмотреть, например, расплавленное внешнее ядро в виде неньютоновской жидкости, динамическая вязкость которой возрастает с увеличением расстояния от центра Земли.

Ключевые слова: уравнения движения, плотность Земли, литосфера, ядро Земли, барисфера.

Получение: 24.08.2023; Исправление: 19.09.2023; Принятие: 01.11.2023; Публикация онлайн: 02.11.2023

Для цитирования. Гладков С. О. К вопросу аналитической оценки некоторых внутренних размеров Земли // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. № 3. C. 130-143. EDN: BGYLAW. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-130-143.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет. Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

* Корреспонденция: А E-mail: sglad51@mail.ru Hgk ф-

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License © Гладков С. О., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Vestnik ^AUNC. Fiz.-Mat. nauki. 2023. vol. 44. no. 3. P. 130-143. ISSN 2079-6641

PHYSICS

" https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-130-143 Research Article Full text in Russian MSC 00A79

To the Question of an Qnalytical Estimate Some Internal

Sizes of the Earth

S. O. Gladkov*

Moscow Aviation Institute, 125993, Moscow, Volokolamskoe sh., 4, Russia

Abstract. Using a model representation of the motion of the Earth's core in a viscous continuum its equation of motion is obtained and the linear size of the barispheric is analytically found. A completely adequate estimate of the distance from the center of the Earth to the center of mass of the core is given which does not contradict modern geodetic ideas. It is shown that the proposed model, which is not related to the measurement of the velocities of longitudinal and transverse seismic waves, makes it possible to determine quite satisfactorily all the basic geometric parameters of the barisphere. In addition, the main advantage of this approach is also associated with the possibility of analytically solving the resulting equations, which gives us a completely justified and objective model that allows us to predict a number of geometric parameters relating to the internal structure of the Earth and making it possible to evaluate them numerically. The described approach can be applied to solving individual geophysical problems, one of which can be considered, for example, the molten outer core in the form of a non-Newtonian fluid, the dynamic viscosity of which increases with increasing distance from the center of the Earth.

Key words: equations of motion, density of the Earth, lithosphere, core of the Earth, barisphere. Received: 24.08.2023; Revised: 19.09.2023; Accepted: 01.11.2023; First online: 02.11.2023

For citation. Gladkov S. O. To the question of an analytical estimate some internal sizes of the Earth. Vestnik KRA UNC. Fiz.-mat. nauki. 2023, 44: 3,130-143. EDN: BGYLAW. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-130-143. Funding. The study was carried out without support from foundations

Competing interests. There are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author participated in the writing of the article and is fully responsible for submitting the final version of the article to the press.

* Correspondence: A E-mail: sglad51@mail.ru

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4-0 International License © Gladkov S.O., 2023

© Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, 2023 (original layout, design, compilation)

Введение

Вопрос, на котором мы хотели бы остановимся в настоящем сообщении, относится к общим проблемам физики Земли, и посвящен оценке времени вращения Земли относительно собственной оси. Аналитического решения этой задачи мы не обнаружили во множестве просмотренных нами публикациях и монографиях [1-10], что заставило нас обратиться к этой теме с несколько иной точки зрения. Действительно, общепринятыми в настоящее время подходами к исследованию внутренней структуры Земли являются методики, предложенные Гутенбергом и Махоровичечем, основанные на измерениях скоростей продольных и поперечных сейсмических волн (см., например, [11], [12]). С помощью такого подхода были определены основные геометрические характеристики внутреннего строения Земли и размеры жидкого и твердого ядра.

Время оборота Земли вокруг своей оси объясняется предположением о несовпадении плоскостей экватора и эклиптики, что при учете взаимодействии с Луной и приводит к вращающему моменту, порождающему, в свою очередь, суточное вращение Земли.

Ниже будут приведены подробные аналитические выкладки, с помощью которых можно также объяснить суточное вращение Земли вокруг своей оси, но не с точки зрения несовпадения плоскостей экватора и эклиптики, а с точки зрения внутренней динамики движения твердого ядра.

Рис. 1. Схематическое изображение внутреннего строения Земли. [Fig. 1. Schematic representation of the internal structure of the Earth.]

Постановку нашей задачи удобно проиллюстрировать с помощью рис.1, на котором представлено схематическое изображение внутреннего строения Земли. Область 1 представляет собой область расплава (барисфера), в состав которой по

нашей терминологии считается включенным «жидкое ядро» + нижняя мантия, а относительно твердое ядро будем обозначать буквой N. Его центр масс расположен на некотором виртуальном расстоянии г (меняющимся в силу прецессии ядра вокруг оси нутации) от геометрического центра Земли, которую будем считать сферой.

Цифра 2 и все величины с этим индексом везде далее относятся к твердофазной области Планеты (литосфера).

Внутреннюю полость, заполненную расплавленным «жидким ядром» (барисфера), будем, также как и Землю, считать сферической. Что касается твердого ядра, то в нашем рассмотрении его форма не важна, и для него будет введен только центр масс и расстояние до него от начала координат (см. рис.1).

Задача будет решаться в двухмерном подвижном базисе, плоскость которой перпендикулярна априори известному направлению оси вращения Земли.

Основные уравнения и их анализ

Как видно из рис.1, сила гравитационного притяжения, действующая на ядро, формируется благодаря двум механизмам взаимодействия. Первый механизм - это взаимодействие твердого ядра с литосферой, а второй - взаимодействие твердого ядра с жидким ядром. Рассмотрим их по порядку.

1. Взаимодействие твердого ядра с литосферой.

В этом случае имеем

Fi = — VU = GmNp2

Vr

V—Vi

1

|r — R|

dV2,

(1)

где тм — масса твердого ядра, С — гравитационная постоянная, V — полный объем Земли, VI — объем, занимаемый жидким ядром, то есть VI = V — VI.

Поскольку

Vr

r—R

|r — R| |r — R|3

то

F1 = —GmNp2

V—Vi

r — R

|r — R|3

dV?

(2)

Для вычисления интеграла в (2) удобно воспользоваться сферическими координатами, полярную ось которых направим по фиксированному вектору г. В результате

1

Fi = -GmNp2

V-Vi

Ro

r - R

|r - R|

dVR =

= -2nGmNp2r

= -2nGmNp2~

R2dR

sin9d9

(R2 - 2rRcos9 + r2)

Ro

RdR

|R - r| r + R

= -2nGmNp2r In

R0 - r2 b2 - r2

(3)

где 0 < т<Ъ, а Ь — расстояние от центра Земли до границы барисферы. 2. Взаимодействие твердого ядра с жидким В этом случае почти аналогично предыдущему имеем

F2 = -GmNpi

Vi

r - r

|r - r

dV'.

Простое вычисление в сферических координатах дает

F2 = —— GmNpi r.

(4)

Значит, с учетом (3) и (4) уравнение движения ядра т^г = Г] + Г2 после сокращения на т^ будет иметь вид

r + ш

ыМ + 2 Pi

b2 - r2 У 3 р2

r = 0,

(5)

где частота шо = д/2пСр2.

Решение уравнения (5) удобно искать в проекциях на орты т — п мгновенного базиса, показанного на рис.2.

Рис. 2. Схематическое изображение внутреннего строения Земли в проекциях. [Fig. 2. Schematic representation of the internal structure of the Earth in projections.

1

1

2

0

Чтобы их найти, следует вспомнить, что скорость (см., например, [13])

у = vт,

v2

a = v = vT +--n,

r0

(6) (7)

где г0 — радиус кривизны в данной точке траектории.

Далее, поскольку г = гет, где ег— единичный вектор, направленный вдоль радиус - вектора г, то с учетом (7) уравнение (5) примет вид

v2

VT +--n +

Го

ln'R° — r?

+ ^

b2 — r2/ 3Р2

r^°eT = 0,

(8)

Чтобы разложить теперь базис ег — еф по базису т—п запишем выражение для скорости V в базисе ег — еф. Имеем для нее

V = vт = Г = Тег + гвг = Тег + гфеф. (9)

Откуда немедленно следует, что

r Гф

т = - er +--еф,

vv

тф Г

n =--er + -еф.

vv

(10)

А интересующее нас обратное преобразование будет, следовательно, таким

v

гф

гф v

n,

(11)

еф = — т + - п.

V V

Подставляя теперь верхнюю формулу в (11) в уравнение (8), будем иметь

v2

VT +--n +

r0 v

ln,Ri—+ ^

b2 — r

3 Р2

(Гт — тфп) = 0.

(12)

Отсюда в проекциях на орты т — п немедленно получается следующая система

уравнений

v +

rr^

v

In

R° — r2

b2 — r2

+ ^

3 р2

= 0,

V3 _2 •

--Г2ф

r0

2

Ф^о

In

R° — r2

b2 — r2

+

3 р2

(13)

= 0.

Верхнее уравнение, как это и должно быть, представляет собой закон сохранения энергии, и его первый интеграл есть

v2 + ^0

т21п I + b2 In (b2 — r2) — R0 In (R0 — Г2) + ^

b2 — r2

3р2

= C1 = const. (14)

Используя граничное условие V (0) = 0, то есть при г = 0 линейная скорость в центре Земли равна нулю, из решения (14) получаем

2 _ ,..2Гг>2-

2 К In (R0 - r2) - r2 In (RbT2) - b2 In (b2 - r2) +

v = w

Р1Г | 7R2i„d nu2 ■

3p2

+ 2R2 In Ro - 2b2lnb], (15)

где учтено, что С1 = 1п И0 — 2Ь21п Ь.

Чтобы теперь воспользоваться нижним уравнением в системе (13), запишем общее выражение для радиуса кривизны в полярных координатах. Согласно, например, [14], имеем

ro = ±-

r2 + -v '2 2

г2 + 2г '2 — гг''

где «штрих» указывает на дифференцирование по полярному углу (р.

Поскольку линейная скорость через полярные координаты выражается как

(16)

v

= л/г2 + г2ф2, (17)

то с учетом (16) и (17) находим из нижнего уравнения системы (13)

(18)

± (r2 + 2r'2 - rr') ф2 - r2

"Шп

ыМ+?Р1

b2 - r

3 Р2

= 0.

Из уравнения (18) видно, что физический смысл может иметь только знак «плюс».

Поэтому отсюда следует

Ф2 =

22

r2w

o

+ 2r '2 -

rr'

ШI + ?P1

b2 - r

3 p2

(19)

Согласно (15) и (17) с учетом (19) приходим к уравнению первого порядка, описывающему траекторию движения твердого ядра с учетом всех действующих на него гравитационных сил

г2 + 2г '2 — гг'

r2 + r '2

1

Ф (r):

(20)

где функция 4 (г)

R2ln (R2 - r2) - r^(b^) - b2 In (b2 - r2) + Pu£ r J + 3P2 + 2R2to R0 - 2b2 In b

r2 К RH2) + 2 Pi 3 P2

(21)

Решая уравнение (20) относительно производной, получаем

r =

тф

2 (2ф - 1)

1 ±

У3ф - ф2 - 1 ф

(22)

2

r

Как видно из уравнения (22), в силу положительности подкоренного выражения функция "ф (г) должна быть «зажата» условиями

3 - V5 ^ , . . ^ 3 + V5

< ^ (r) <

2

2

(23)

Неравенства (23), как и должно быть, указывают на замкнутость траектории движения. Поскольку уравнение (22) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, то фактически его решение можно считать заданным в виде неявной квадратурной зависимости ф (г), а именно

Ф (r) = 2

гф

(2^ - 1)

1 ±

У3ф - ф2 - 1 ф

dr.

(24)

г

Для определения внутреннего размера внешнего жидкого ядра Ь, в котором «плавает» твердое ядро, воспользуемся условием минимума полной внутренней энергии рассматриваемой системы: «твердое ядро + жидкое ядро».

Формула (19) говорит нам о том, что частота неравномерного вращения ядра существенно отличается от собственной частоты гравитационных колебаний Земли. Причем плоскость этого вращения определяет перпендикулярное к ней направление оси вращения. Поскольку в процессе многомиллионных лет эволюции, связанных с различными внутренними катаклизмами, происходящими в недрах Земли, невозможно аналитически точно предсказать расположение плоскости вращения ядра, обусловленного гравитационным взаимодействием, природа которого восходит еще ко временам становления Планеты из раскаленного вращающегося газового облака, то направление оси вращения Земли (ось нутации) по отношению к плоскости ее движения вокруг Солнца может быть определена, к сожалению, только экспериментально.

Оценка линейного размера области вязкого континуума Ь

Размер области «жидкого ядра» (цифра 1 на рис.1) мы можем определить, исходя из условия минимума энергии взаимодействия, с учетом специфики задачи (см. ниже). В нашем распоряжении имеются три основных гравитационных взаимодействия. Одно из них представляет собой взаимодействие твердого ядра с литосферой, другое - взаимодействие с ней «жидкого ядра» и третье -взаимодействие твердого ядра с жидким. Рассмотрим их по порядку.

А). Гравитационное взаимодействие твердого ядра с литосферой (см. рис.1) Будет обозначать массу твердого ядра как тм. Тогда

Ui (r) = -GmNp2

V2

dV' (25)

|r - r T

Этот интеграл легко вычисляется путем перехода в сферическую систему координат. В результате имеем из (25)

Ui (r) = —2nGmN p2

Ro п

2

r' dr'

sinOdO

0

\J r '2 — 2rr 'cos 0 +

2nGmN p2

Ro

r'dr' (r + r' — |r' — r|) = —2nmNp2G (R0 — b2) .

(26)

Заметим, что взятие градиента от выражения (26) приводит к равенству Р1 = 0. Однако, вычисления, приведенные выше в выражении (3), указывают на то, что эта сила не равна нулю и, более того, она должна зависеть от радиального расстояния, хотя потенциальная энергия (26) найдена верно и является постоянной. В сказанном можно легко убедиться непосредственно из вычислений (3) и (26).

Б). Гравитационное взаимодействие «жидкого ядра» с литосферой Вводя плотность жидкой фазы рт, имеем согласно рис.1

U2 = —G

dm 'dm'

R

= — Gpi p2

dV 'dV'' |r' — r "|

= —Gpip2

dV'

dV'

|r' — r ''|

Vi V2

Vi V2

Переходя во внутреннем интеграле к сферическим координатам, получаем

U2 = — Gpi Р2

dV'

Vi V2 Ro

dV'

Ro

,„, = —2nGpiP2

Vi

= —2nGpi p2

dV'

|r' — r ''|

r'' (r'' + r' — |r'' — r'|) dr''.

dV'

2

r dr

sinOdO

\J r ''2 — 2r 'r ''со s 0 + r '2

Vi

Поскольку г'' > г', а также учитывая, что объем V = , окончательно имеем

U2 (b) =

8п2

"Т"

PiP2Gb3 (r2 — b2).

(27)

В). Взаимодействие «жидкого ядра» с твердым ядром Для этого взаимодействия аналогично (26) находим

U3 (r) = —2nGmNpi

b п

2

r' dr'

sinOdO

0

0

\J r '2 — 2rr 'со s O +

2nGmNpi

2nGmNpi

= —2nmN pi G ( b2 — 3 ) .

r'dr' (r + r' — |r' — r|) =

r'dr' (r + r' — |r' — r|) +

r2

r'dr' (r + r' — |r' — r|)

2

r

r

2

r

r

Сумма выражений (26)-(26) с учетом «статической части» кинетической энергии твердого ядра и определяет интересующую нас полную энергию «основного состояния» системы. Однако, это еще не вся энергия, которую необходимо учесть. Дело в том, что поскольку в области «жидкого ядра» давление весьма велико (см. [11], [12]), то еще одно дополнительное слагаемое следует представить, как

тМ

и = -РГ - (29)

где рм- плотность твердого ядра.

Согласно решению (15), «статическая» часть кинетической энергии есть

Ес = 2пСр2Шм (К 1п К - Ь21пЪ) . (30)

В результате полная энергия должна определяться суммой пяти составляющих (26)-(30), то есть

Е (Ъ) = 2пСр2Шм (иОЬИо - Ъ21пЪ) -

8П2

- 2птмР2С (К - Ъ2) - — р, Р2СЪ3 ^2 - Ъ2) -

- 2пт„з,С (ъ2 - 3 - Р (^ - тМ) • (31)

Результат дифференцирования функции (31) по параметру Ъ дает

дЕ = -2пСр2тМЪ1п ( — ) + 4птм (р2 - Р1) СЪ-9Ъ Vе/

- -п2р1 Р2СЪ^И2 - - 4пРЪ2 = 0. (32)

Откуда немедленно следует искомое уравнение для определения линейного размера внутреннего «жидкого ядра»

ш( А) + З^Мл (1 - 5лЛ + ^ = 1 - £1, (33)

\у/е) 2р тм \ 3 ) Ср2тм р2

где параметр

Л = £<1, (34)

Ко

л „ 4прК

и введена масса Земли М = —3—, где р — ее средняя плотность, которую можно

г3

положить равной р = 5.5—г.

см3

92Е

Как легко проверить из вида функции (31), вторая производная --г в условиях

дЪ2

выполнения уравнения (32), оказывается положительной, что действительно указывает на минимум выражения (31). Если считать массу твердого ядра не известной, то, к большому сожалению, аналитически решить уравнение (33) не удастся. Однако, если воспользоваться справочными экспериментальными

данными, которые позаимствованы нами из монографии [12], то массу ядра можно

ту

принять примерно равной значению mN ~ 1.9 ■ 10 г, а массу Земли равной

27 _ Г

M « 6-10 г. Согласно [12] средняя плотность Земли р ~ 5.5—т, плотность мантии

см3

гг р2 ~ 14.4—г, а плотность «жидкого ядра» р1 « 12.2—-. Давление в области

см3 см3

эрг

«жидкого ядра» можно принять согласно [12] примерно равным P « 1.4 ■ 1011—г.

см3

Примем также, что G = 6.67 ■ 10-8SGS, R0 « 6.38 ■ 108 см.

В результате подстановки всех этих численных значений в (33) приходим к такому уравнению

In + 1.55Л (1 - 1.67Л2) + 0.433Л = 0.3572. (35)

Или окончательно

2Л - 2.59Л3 + In (уЛй) = 0.3572. (36)

Численное решение уравнения (36) показывает, что

Л « 0.6 (37)

И, следовательно, согласно определению (33), искомый параметр

b « 3,83 ■ 108 (38)

То есть 3830 км. Приведенная оценка вполне неплохо коррелирует со всеми известными к настоящему моменту времени измерениями [10-12].

Оценка расстояния R

С целью определения расстояния R от оси вращения до центра масс твердого ядра, форма которого в нашем рассмотрении произвольная, следует вспомнить, что при плоском движении под действием центрального поля сохраняется z — компонента момента импульса Lz, где ось z направлена по оси вращения Земли. Это означает, что

Lz = тмг2ф = C2 = const. Поэтому угловая частота ф, как функция расстояния, должна меняться по закону

const

ф =-Г. (39)

mNr2

Полагая константу равной mNR2^0, где частота дается формулой (5), получаем

Ф =( R)n. (40)

Таким образом, частота стационарного вращения ядра должна убывать к границе области r = b по закону (40). В силу стационарного увлечения ядром

жидкого континуума, скорость «приклеившегося» к ядру континуума также должна определяться выражением (40) (практически идентичная задача была подробно рассмотрена в работе [15]).

Это означает, что при г = Ь внутренняя область контакта жидкой фазы с твердой фазой передает ей вращение, которое должно происходить с частотой

= (Ь) "0, (41)

и которая, в свою очередь, представляет собой частоту вращения Земли вокруг своей оси. В результате с учетом формулы "0 = у/2пСр2 из выражения (41) немедленно получаем, что

Й = ы/^. (42)

V "о

Для оценки численного значения расстояния Й нам следует «привязаться»

к известному значению частоты вращения Земли, то есть к значению

1

Пн = , 2П ™ ~ 0.73 ■ 10-4-. н 24 ■ 60 ■ 60 с

Воспользовавшись оценкой (38), согласно которой Ь ~ 3.83 ■ 108 см, и учитывая, что частота "0 = //2пСр2 = л/2п ■ 6.67 ■ 10-8 ■ 12.2 « 1.1 ■ Ю-3^, получаем интересующее нас значение для искомого геометрического параметра:

7.3 10

-5

Й = Ь « 3.83 ■ 10М--т = 3.83 ■ 2.58 ■ 107 « 108см = 1000км. (43)

*'1,1 ■ 10-3

Приведенная оценка (43) говорит о том, что расстояние от центра масс твердого ядра до точки вращения, то есть до начала координат, должна составлять примерно 1000 км. Это означает, что размер ядра не должен превышать, по крайней мере, 3000 км, что находится в полном соответствии с приведенным выше численным значением размера барисферы Ь ~ 3,83 ■ 108 см, поскольку с хорошим запасом выполняется неравенство Ь > 2Й.

Заключение

Кратко резюмируя вышеизложенное, необходимо отметить:

1. Предложено подробное модельное представление, позволяющее оценить некоторые основные параметры возможного внутреннего строения Земли, в частности, расстояние от геометрического центра до ядра, соответствующее согласно оценке (43) значению Й = 1000 км.

2. Приведена аналитическая оценка размера барисферы, который согласно (38) составляет примерное значение, равное Ь ~ 3.83 ■ 108 см, что хорошо согласуется с результатами экспериментов по измерению скорости звуковых волн;

3. С физической точки зрения предложено вполне удовлетворительное объяснение эффекта вращения Земли вокруг своей оси, связанное с «увлечением» «жидкого ядра», вращающимся твердым ядром в соответствии с аналогичной задачей, подробно рассмотренной в работе [15].

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность доценту кафедры №311 МАИ Софье Борисовне Богдановой за помощь в графической иллюстрации.

Список литературы

1. Furth R. On the equation of state of solids, Proc. Roy. Soc., 1944. vol. 183, pp. 223 - 234.

2. Козловская С. В. Сравнительный анализ внутреннего строения и состава земных планет и спутников, ДАН СССР, 1953. Т. 92, №5, С. 903-906.

3. Левин Б. Ю. Состав Земли / Труды Геофизического института, Т. 26, АН СССР, 1955.

4. Жарков В.Н. Физика ядра Земли / Труды института физики Земли, Т. 20,1962.

5. Магницкий В. А. Основы физики Земли. М.: Геодезиздат, 1963.

6. Стишов С. М. О внутреннем строении Земли, Геохимия, 1962. №8.

7. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и Планет. М.: Наука, 1978.191 с.

8. Киселев В. М. Неравномерность суточного вращения Земли. Новосибирск: Наука, 1980.160 с.

9. Магницкий В. А. Общая геофизика. М.: Издательство МГУ, 1995.318 с.

10. Овчинников В.М., Краснощеков Д. Н. Сейсмические исследования ядра Земли, Физика Земли, 2021. №2, С. 3-26 DOI: 10.31857/S0002333721020083.

11. Магницкий В. А. Внутреннее строение и физика Земли. М.: Недра, 1965.379 с.

12. Стейси Ф. Физика Земли. М.: Мир, 1972.342 с.

13. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика, Т. 1. М.: Физматлит, 2010.560 с.

14. Смирнов В. И. Курс высшей математики, Т. 1. М.: Наука, 1967.479 с.

15. Гладков С. О. К вопросу о вычислении времени остановки вращающегося в вязком континууме цилиндрического тела и времени увлечения соосного с ним внешнего цилиндра, Журнал технической физики, 2018. Т. 59, №3, С. 377 - 341 DOI: 10.21883/JTF.2018.03.45587.2349.

Информация об авторе

Гладков Сергей ОктябриновичА - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры Прикладные программные средства и математические методы, Московский авиационный институт (Национальный исследоательский университет), г. Москва, Россия, © СЖСГО 0000-0002-2755-9133.

References

[1] Furth R. On the equation of state of solids. Proc. Roy. Soc. 1944. vol. 183. pp. 223 - 234.

[2] Kozlovskaya S. V. Sravnitel'nyy analiz vnutrennego stroyeniya i sostava zemnykh planet i sputnikov. DAN SSSR. 1953. vol. 92. no. pp. 903-906.(In Russian).

[3] Levin B.Yu. Sostav Zemli. Trudy Geofizicheskogo instituta [Composition of the Earth]. 1955. vol. 26. AN SSSR.(In Russian).

[4] Zharkov V. N. Fizika yadra Zemli [Physics of the Earth's core]. Trudy instituta fiziki Zemli.

1962. vol. 20.(In Russian).

[5] Magnitskiy V. A. Osnovy fiziki Zemli [Fundamentals of Earth physics]. Mosow. Geodezizdat,

1963.(In Russian).

[6] Stishov S. M. O vnutrennem stroyenii Zemli. Geokhimiya.1962. no. 8.(In Russian).

[7] Zharkov V. N. Vnutrenneye stroyeniye Zemli i Planet [Internal structure of the Earth and Planets]. Moscow. Nauka, 1978. 191 p.(In Russian).

[8] Kiselev V. M. Neravnomernost' sutochnogo vrashcheniya Zemli [Irregularity of the Earth's daily rotation]. Novosibirsk. Nauka, 1980. 160 p.(In Russian).

[9] Magnitskiy V. A. Obshchaya geofizika [General geophysics]. Moscow. Izdatel'stvo MGU, 1995. 318 p.

[10] Ovtchinnikov V. M., Krasnoshchekov D. N. Izvestiya, Physics of the Solid Earth. 2021. vol. 57. no. 2. pp. 141-162. DOI:10.1134/S1069351321020087

[11] Magnitskiy V. A. Vnutrenneye stroyeniye i fizika Zemli [Internal structure and physics of the Earth]. Moscow. Nedra. 1965. 379 p.(In Russian).

[12] Steysi F. Fizika Zemli [Physics of the Earth]. Moscow. Mir, 1972. 342 p.(In Russian).

[13] Sivukhin D.V. Obshchiy kurs fiziki. Mekhanika [General physics course. Mechanics]. vol. 1. Moscow. Fizmatlit, 2010. 560 p.(In Russian).

[14] Smirnov V.I. Kurs vysshey matematiki [Course of higher mathematics]. vol. 1. Moscow. Nauka, 1967. 479 p.(In Russian).

[15] Gladkov S. O. On Calculating the Stopping Time of a Cylindrical Body Rotating in a Viscous Continuum and the Time of Entrainment of a Coaxial External Cylinder. Technical Physics. 2018. vol. 63. no. 3. pp. 325-330. DOI:10.1134/S1063784218030088.

Information about author

Gladkov Sergey OktyabrinovichA - D.Sc. (Phys. & Math.), Professor, Associate Professor of the Department of Applied Software and Mathematical Methods, Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russia, © ORCID 0000-0002-2755-9133.

и