К тепловому расчету в поверхностных теплообменниках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Р. Ш. Гайнутдинов

К ТЕПЛОВОМУ РАСЧЕТУ В ПОВЕРХНОСТНЫХ ТЕПЛООБМЕННИКАХ

Ключевые слова: теплообменник, теплопередача, математические модели, плотность теплового потока, граничные условия, коэффициенты теплопередачи, температуры

теплоносителей.

Показано, что в расчетах теплопередачи в поверхностных теплообменниках применение находят точный и приближенный методы. Использование приближенного метода рекомендуется для случаев, когда соотношение диаметров трубки k= di/d2>0,5. Ошибки, допускаемые приближенным методом при разных вариантах теплопередачи, подробно не исследованы. В работе показано, что приближенный метод в расчете площади поверхности теплообменника дает заниженное значение по сравнению с точным методом. Выяснено, что ошибки приближенного метода зависят от значений k и критериев Био. Установлено, что в пределах рассмотренных численных примеров при k =0,8 ошибка составляет от 6 до 18%. В настоящее время, когда в расчетах широкое применение находят компьютеры, от применения приближенного метода следует отказаться.

Keywords: the heat exchanger, a heat transfer, mathematical sample pieces, a heat flux density, boundary conditions, surface-area factors, temperatures of heat-transfer agent.

It is demonstrated, that in accounts of a heat transfer in external heat exchangers application discover exact and crude methods. Use of a crude method is recommended for events, when a relationship of diameters of a handset k = di/d2>

0,5. The errors granted by a crude method at different alternatives of a heat transfer, explicitly are not investigated. It is in-process demonstrated, that the crude method in account of area of surface of the heat exchanger yields a conservative figure in comparison with an exact method. It is clarified, that errors of a crude method depend on meanings k and yardsticks of the Bi. It is erected, that within the limits of the observed numerical instances at k =0,8 error compounds from 6 up to 18 %.

Now, when in accounts wide application discover a computer, from application of a crude method it is necessary to be failed.

Введение

Теплообмен с применением жидкостей (газов) часто используется в процессах химической технологии для нагревания, охлаждения, конденсации, испарения и т. д. реагентов. При этом во многих случаях процесс теплообмена происходит в устройствах, называемых теплообменниками. Базовая конструкция теплообменника обычно состоит из двух жидкостей (газов), имеющих различные температуры, которые называются теплоносителями. Широкое применение находят поверхностные теплообменники, в которых теплота от горячего теплоносителя передается холодному теплоносителю через разделяющую их стенку. Для определения площади поверхности теплообменника применение находят точный и приближенный методы расчета. В точном методе

теплопередача от горячего теплоносителя к холодному передается через цилиндрическую стенку. Во многих работах, например в работах последних лет [1 - 3] при условии, если k = di/d2 > 0,5, теплопередачу через цилиндрическую стенку заменяют теплопередачей через плоскую стенку - приближенный метод. Однако влияние такой замены на величину площади поверхности теплообмена в литературе подробно не исследовано. В связи с этим в работе исследуется зависимость величины площади поверхности теплообменника от различных факторов, полученные точным и приближенным методами. Результаты таких расчетов позволяют оценить ошибки, допускаемые приближенным методом.

Постановка задачи. Пусть для конкретности горячий теплоноситель находится в труб-ном пространстве, а холодный теплоноситель - в межтрубном. Внутренний и наружный диаметры трубки соответственно di и d2. Толщина стенки H = R2 — Ri. Коэффициент теплоотдачи от горячего теплоносителя к внутренней поверхности трубки ai. Коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности трубки к холодному теплоносителю a2. Температуры теплоносителей Тг и Тх. Коэффициент теплопроводности материала стенки Л. Требуется составить математические модели для точного и приближенного методов и из их решения определить плотности тепловых потоков через поверхности трубки.

Решение. Имеем стационарные задачи теплопроводности для цилиндрического и плоского тел при граничных условиях третьего рода. Математическая модель точного метода определяется уравнением теплопроводности

d 2T / dr2 + dT / rdr = 0,

при граничных условиях третьего рода

a1(Tr -T) = —Л dT/dr при r = R1, a2(T —Tx) = —ЛdT/dr при r = R2.

Вводя безразмерные температуру 9 = T / Тг и координату £ = r / R2

- (3) представляем в виде безразмерных переменных и величин

d 20 / d2£ + d0 / £ d£ = 0, (4)

при граничных условиях

Bi1(1 — 0) = — d0 /d£ при £ = k, (5)

Bi2(0 —Tx/ Tr) = — d0 /d£ при £ = 1. (6)

Интеграл уравнения (4) имеет вид

0 = С2 + С1 in^. (7)

Из совместного решения уравнений (5) - (7) получим, что первая постоянная

интегрирования

С1= — (1 — Tx/Tr)/ P, (8)

где P = 1/kBi1+ 1/Bi2 — ink, Bi = aR2M.

Плотность теплового потока через наружную поверхность цилиндра определяется из уравнения Фурье

q = — Л dT/dr = — (Л^/ R2) d0/d^.

(1)

(2)

(3)

систему уравнений (1)

При £ = 1 значение производной из уравнения (7) определяется выражением

сЮ/сЩ = - С1.

Тогда с учетом (8) для плотности теплового потока будем иметь

Я = Л(Тг - Тх^Р. (9)

Из равенства ^ = Н можно получить, что К2 = Н/(1— к). Вводя эту зависимость в уравнение (9), получим формулу для плотности теплового потока через наружную поверхность трубки в виде

q = MTr — Tx)(1—k)/H Ph, (10)

где Ph = (1— k)/kBi1H + (1— k)/Bi2H — ink, BiH = aH/Л.

Математическая модель задачи теплопроводности приближенного метода в размерных величинах определяется следующими уравнениями:

d 2T / dx2 = 0, (11)

a1(Tr —T) = -Л dT/dx при x = 0, (12)

a2 (T —Tx) = -ЛdT/dx при x = H. (13)

Вводя безразмерные переменные и параметры, математическую модель задачи теплопроводности в безразмерном виде можно записать так:

С 20 / сЩ2 = 0, (14)

Ы1Н(1 — 0) = — С0/С^ при ^ = 0, (15)

Б12Н (0 —Тх/Тг) = — с10/сЩ при ^ = 1. (16)

Решение уравнения (14) имеет вид

0 = А + Б^. (17)

Из совместного решения уравнений (15) - (17) получим формулу для определения

плотности теплового потока в плоском теле

Я1= Л(Тг — Тх)/Р1Н, (18)

где Р1= 1/Б11Н + 1/Б12Н+1.

Площади поверхности теплообменника плоского и цилиндрического тел определяются из уравнений

Рпл ~ 0/Я1 , Р цил~ 0/Я.

Откуда

Р пл/ Р цил = (1 — к)Р1/РН. (19)

Возможность замены математической модели цилиндрического тела моделью плоского тела определяется величиной приведенного соотношения. Результаты численных расчетов приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Результаты расчетов по определению ошибок приближенного метода

Вин 0,1 (к = 0,8)

Н сч В 0.5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Р пл/р цил 0,832 0,820 0,816 0,815 0,813 0,812

Вин 0,5 (к = 0,8)

ВЧ2Н 0.5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Р пл/р цил 0,890 0,860 0,857 0,854 0,850 0,840

Вин 1,0 (к = 0,8)

В12Н 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Р пл/р цил 0,915 0,891 0,879 0,872 0.868 0,864

Вин 3,0 (к = 0,8)

В12Н 0.5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Р пл/Р цил 0,940 0,920 0,910 0,900 0,890 0,887

ВНн 3,0 (к = 0,9)

В12Н 0.5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Р пл/Р цил 0,973 0,963 0,956 0,952 0,950 0,948

Вин 0,5 (к = 0,99)

В12Н 0.5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Р пл/Р цил 0,995 0,994 0,993 0,993 0,992 0,992

Для труб размерами 20x2 и 25x2, широко используемых в теплообменниках, значение к составляет величины порядка 0,8. Из табл. видно, что для этого случая ошибка в определении площади поверхности теплообменника находится в пределах от 6 до 18%. Ошибка существенно зависит от значения критерия Вин. По мере возрастания величины к значение ошибки имеет тенденцию падать. При к = 0,99 математическую модель плоского тела можно использовать практически без ошибки. Применение приближенного метода дает заниженные значения площади поверхности теплообменника.

Обозначения

Тг — температура горячего теплоносителя, К; Тх — температура холодного теплоносителя, К; д - плотность теплового потока, Вт/(м2К); Т - температура материала стенки, К; Г — радиус цилиндра, м; х - координата, м; а1 - коэффициент теплоотдачи горячего теплоносителя, Вт/(м2К); а2 - коэффициент теплоотдачи холодного теплоносителя, Вт/(м2К); Л - коэффициент

теплопроводности, Вт / (м . К); 0 = Т/Тг — безразмерная температура; £= Г/Р2 - безразмерная координата цилиндра; £ = х/Н — безразмерная координата плоского тела; ^ и Р2 — внутренний и наружный радиусы цилиндра, м; С и С — внутренний и наружный диаметры цилиндра, м; ВЧ -критерий Био; Вн= а1Р2/Л; В12 = а2Р2/Л; В1щ= а1Н/Л; В12Н = а2Н/Л; Рцил и Рпл — площади поверхности теплообменника цилиндра и плоского тела; к = С /С — коэффициент; О — тепловая нагрузка, Вт.

Литература

1. Иоффе И. Л. Проектирование процессов и аппаратов химической технологии / И. Л. Иоффе

- Л.: Химия, 1991. - 351с.

2. Павлов К. Ф. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии / К. Ф. Павлов, П. Г. Романков, А. А. Носков - М.: АльянС, 2006. - 576с.

3. Борисов Г. С. Основные процессы и аппараты химической технологии / Г. С. Борисов [и др.] -М.: АльянС, 2007. - 494с.

© Р. Ш. Гайнутдинов - д-р техн. наук, проф. каф. оборудования химических заводов КГТУ, Grafail@mail.ru.