CC BY
6
DOI: 10.18287/2542-0461-2022-13-3-138-147 ЮУ
НА УЧНАЯ СТА ТЬЯ УДК 330.42
Дата поступления: 20.07.2022 рецензирования: 29.08.2022 принятия: 28.09.2022
К теории взаимодействия связанных экономических систем
Е.А. Ильина
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева,
г. Самара, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2590-6138
Л.А. Сараев
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева,
г. Самара, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3625-5921
Аннотация: В публикуемой статье исследуется процесс взаимодействия нескольких связанных экономических систем, которые, с одной стороны, конкурируют между собой за основные фонды, необходимый человеческий капитал и природные ресурсы. С другой стороны, они, дополняя и развивая друг друга, образуют единый комплекс, внутри которого производятся совместные блага, происходит обмен товарами, услугами и финансовыми средствами и т. д. Предложена экономико-математическая модель динамики развития и взаимодействия связанных экономических систем, учитывающая как их конкурентную борьбу за ресурсы, так и их кооперацию при производстве совместных благ. Эта модель представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, с помощью которых рассчитываются показатели динамики развития связанных систем экономики. Значения этих показателей зависят от соотношения инвестиционных вложений в производство экономических систем и их амортизационных отчислений на восстановление объемов ресурсов и затрат. Особенность представленной модели состоит в том, что производственная функция каждой экономической системы содержит в качестве аргументов не только собственные производственные факторы, но и ресурсы всех остальных рассматриваемых связанных экономических субъектов. Показано, что, управляя выбором норм накопления внутренних инвестиций экономических систем, можно получать различные варианты их взаимодействия. При определенном выборе норм накопления экономические системы могут работать независимо друг от друга. При других нормах одни системы экономики становятся самостоятельными и системообразующими, а остальные системы является дотационными.
Ключевые слова: амортизация; выпуск продукции; инвестиции; производственная функция; ресурсы; факторы производства; экономическая система.
Цитирование. Ильина Е.А., Сараев Л.А. К теории взаимодействия связанных экономических систем // Вестник Самарского университета. Экономика и управление. 2022. Т. 13, № 3. С. 138-147. DOI: http://doi.org/10.18287/2542-0461-2022-13-3-138-147.
Информация о конфликте интересов: авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. © Ильина Е.А., Сараев Л.А., 2022
Елена Алексеевна Ильина - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и бизнес-информатики, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
Леонид Александрович Сараев - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и бизнес-информатики, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
SCIENTIFIC ARTICLE
Submitted: 20.07.2022 Revised: 29.08.2022 Accepted: 28.09.2022
On the theory of interaction of related economic systems
E.A. Ilyina
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2590-6138
L.A. Saraev
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3625-5921
Abstract: In the published article the process of interaction of several related economic systems, which, on the one hand, compete with each other for fixed assets, the necessary human capital and natural resources is examined. On the other hand, they complement and develop each other and form a single complex within which joint goods are produced, goods, services and financial resources are exchanged, etc. An economic-mathematical model of the dynamics of development and interaction of related economic systems is proposed, taking into account both their competition for resources and their cooperation in the production of joint benefits. This model is a system of non-linear differential equations, which are used to calculate indicators of the dynamics of development of related systems of the economy. The values of these indicators depend on the ratio of investment investments in the production of economic systems and their depreciation deductions for the restoration of resources and costs. The peculiarity of the presented model is that the production function of each economic system containing as arguments not only its own production factors, but also the resources of all other considered related economic entities. It is shown that by controlling the choice of the rates of accumulation of internal investments of economic systems, it is possible to obtain various options for their interaction. With a certain choice of accumulation rates, economic systems can operate independently of each other. Under other norms, some systems of the economy become independent and backbone, while the rest of the systems are subsidized. Key words: depreciation; output; investment; production function; resources; factors of production; economic system.
Citation. Ilyina E.A., Saraev L.A. On the theory of interaction of related economic systems. Vestnik Samarskogo universiteta. Ekonomika i upravlenie = Vestnik of Samara University. Economics and Management, 2022, vol. 13, no. 3, pp. 138-147. DOI: http://doi.org/10.18287/2542-0461-2022-13-3-138-147. (In Russ.) Information on the conflict of interest: authors declare no conflict of interest.
© Ilyina E.A., Saraev L.A., 2022
Elena A. Ilyina - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Mathematics and Business Informatics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
Leonid A. Saraev - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Mathematics and Business Informatics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
Введение
Взаимодействие связанных экономических систем представляет собой сложный и противоречивый процесс. Для осуществления своего эффективного функционирования каждая такая система должна формировать и поддерживать на соответствующем уровне собственные основные фонды, привлекать необходимый человеческий капитал, использовать определенные природные ресурсы и т. д.
Все это в совокупности приводит к конкурентной борьбе систем за перечисленные производственные факторы. Однако все экономические системы образуют единый комплекс экономики, производят совместные блага, обмениваются товарами, услугами и финансовыми средствами, развивают друг друга.
Взаимосвязь систем экономики на региональном, национальном и международном уровне сопровождают интеграционные процессы. Этому способствуют такие формы организации производства, как концентрация, специализация, кооперирование и комбинирование.
Для развития связей между различными экономическими системами используется процесс их интеграции, состоящий в структурном объединении экономических субъектов, установлении между ними широких и глубоких производственно-технологических связей, организации параллельной эксплуатации используемых ресурсов и капиталов, осуществлении взаимно благоприятных и безбарьерных условий их экономической деятельности.
Примером таких неразрывно взаимосвязанных экономических систем могут служить отрасли промышленности, добывающие сектора экономики, сельское хозяйство, бюджетно-финансовые средства государства, кластеры, образованные различными предприятиями, и т. д. Поэтому проблема прогнозирования закономерностей динамики развития подобных систем экономики является особенно актуальной.
Построение соответствующих экономико-математических моделей позволяет проводить реальный анализ деятельности экономических систем, достаточно точно описать динамику выпуска продукции и привлекаемых ресурсов. Основы теории экономического развития экономических систем подробно представлены в работах [1-6].
На базе этих теоретических положений создан целый спектр моделей роста экономических систем, учитывающий роль различных технических инноваций и информационных технологий [7-11].
Динамика развития систем экономики определяется взаимодействием инвестиционных вложений в отраслевые производства и амортизационных отчислений на восстановление объемов ресурсов и затрат. Одним из главных математических инструментов для построения моделей развития экономических субъектов является аппарат дифференциальных уравнений и их систем [12-20].
Целью публикуемой работы стала разработка новой экономико-математической модели динамики развития и взаимодействия связанных экономических систем, которая помимо конкурентной борьбы систем за ресурсы учитывает их кооперацию при производстве совместных благ, обмене товарами, услугами и финансовыми средствами.
Научная новизна предлагаемой модели заключается в использовании для экономических субъектов производственных функций, содержащих в качестве аргументов производственные факторы всех рассматриваемых связанных экономических систем.
1. Постановка задачи
Рассмотрим экономическую систему, образованную произвольным числом совместно взаимодействующих отраслей народного хозяйства. Объемы выручки этих отраслей V!, V , • • •, Уп обеспечиваются соответствующими объемами определенных ресурсов Оу, ^ , • • •, Оп , которые включают в себя объемы основных капиталов, производственных фондов, трудовых ресурсов, используемые в производстве материалы, применяемые технологии, инновации и т. д.
Выпуски продукций отраслями V , У2 ,..., Уп полностью определяются факторами производства
О1,02 , к , Оп с помощью производственных функций. Предполагается, что рассматриваемые взаимосвязанные экономические системы существовать отдельно друг от друга не могут. Обнуление ресурсов одной системы и прекращение ее деятельности приводит к прекращению деятельности всех других систем, поэтому производственные функции для них имеют общий вид
V = VО02,к,Оп),(I = 1,2,к,п). (1.1)
Ограничимся в соотношениях (1.1) мультипликативными функциями
п
V = Р -ИО?* . (1.2)
Здесь а*, (0 < а* < 1) - эластичности выручки по ресурсам О*, Р1 - выручка, соответствующая единичным объемам ресурсов.
Непрерывные и непрерывно дифференцируемые функции = (I) ограничены на временном
интервале (0 < I < т)
О0 <О(г)<ОТ,
где О°, От - начальные и предельные значения факторов производства. Значения считаются заданными, значения О подлежат вычислению.
Динамика развития рассматриваемых систем может быть описана уравнениями балансов для объемов факторов производства = (£) .
За время А £ на малом отрезке [г, £ + А £ ] изменения объемов ресурсов А)г- = (£ + А£)- (£) можно разделить на два слагаемых:
aQi (t) = aQf (t) + aQl (t),(5 = 1,2,...,n),
(1.3)
где А)А (£) - изменения факторов производства за счет механизмов амортизации, АО1 (£) - изменения восстановления факторов производства за счет внутренних инвестиций в рассматриваемые экономические субъекты.
Величины А)А (£) могут быть представлены в виде
А)А (£)=-Ав(г)-) (0-А (1.4)
где А; - коэффициенты амортизации, выражающие доли выбывших в единицу времени объемов ресурсов.
Величины AQi (t) могут быть записаны с помощью выражения
n
AQi (t ) = в( t ) - 2 4 (t)-At,
(1.5)
5=1
или
AQ! (t ) = 0(t)-2 Bis-Vs (t)- At,
(1.6)
5=1
где I5 (£) = В5 - У5 (£) - инвестиции, вложенные в систему с номером I системой с номером 5 в момент времени £, В5 - нормы накопления внутренних инвестиций, в(£) - функция, описывающая
относительную скорость развития экономических систем.
Подстановка в формулы (1.6) выражений для производственных функций (1.2) дает
aq! =в( t)-
f \
n n
2 Bi5 P5 -П Qs4
5=1 p=1 J
at .
(1.7)
Таким образом, с помощью формул (1.4) и (1.7) уравнение баланса (1.3) принимает вид
г \
л п
a Q = в( t )-
- AiQi + 2 BisPs-П Q> p=1 j
5=1
At.
(1.8)
Предельный переход при А? ^ 0 в соотношениях (1.8), приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений
dt
= в( t)
Л
"sp
A-Q+2 BisPs-П Qs
p=1 J
5=1
с начальными условиями
QiL=o = Q (°) = Qi-
(1.9)
(1.1°)
Внешние воздействия на рассматриваемые экономические системы задаются в структуре системы дифференциальных уравнений (1.9) функцией в = в(£) , которая описывает скорость развития производственных факторов.
n
n
Стабильное и поступательное развитие систем соответствует постоянной и единичной функции в( £) = 1 . Отклонения ее значений на некотором временном интервале от единицы в сторону уменьшения будут соответствовать замедлению процесса развития систем, их временной остановке во время смены технологий производства, частичному сворачиванию производства.
Полную или частичную замену технологического оборудования производств экономической си-
(* * \
£ — О,£ + О) удобно описывать функцией [16]:
Í /
в( t) = 1 -a-exp
К)
2 а2
(1.11)
V У
! \ *
где (о - наибольший размер отклонения функции в(£) от единицы, £ - центр временного интервала, о - радиус временного интервала.
*
При (= 0 системы будут работать стабильно, при 0 <(< 1 в окрестности точки £ = £ рост функций ( (£) будет замедляться, при ( = 1 в момент времени £ = £ рост функций ( (I) прекра-
(* * \
I —О, £ +О) будет происходить переоснащение производств, при
(* * \
£ — О, £ +О) будет происходить переоснащение производств, сопровождаемое их некоторым сворачиванием.
Если эффекты стагнации и сворачивание производств экономических систем происходят в различные моменты времени неоднократно, то вместо функции (1.11) целесообразно выбрать произведение функций [16-20]:
Г ( , ^2 ^
©=rn (t )=п
s=1
s=1
1 -as - exp
M)
2 -02
(1.12)
Структура уравнений баланса (1.9) показывает, что предприятие будет развиваться при условии ( ( £ )
-> 0 , которое означает что, объемы внутренних инвестиций превосходят объемы амортизаци-
¿г
онных отчислений.
Предельные значения (( объемов производственных факторов ( = ( (?) находятся из уравнений:
л -q+1Bs -рпаУ = о.
s=1 p=1
(1.13)
Задачу Коши (1.9), (1.10) и систему уравнений (1.13) можно решить только численно. Варианты развития отраслей, согласно построенной математической модели, определяются коэффициентами норм накопления внутренних инвестиций В^ .
n
n
2. Модель взаимодействия двух связанных систем экономики
Рассмотрим модель совместного существования и взаимодействия двух экономических систем. Объемы выручки обеих систем у и обеспечиваются объемами определенных ресурсов. Эти
ресурсы включают в себя объемы основных капиталов, производственных фондов, трудовых ресурсов, используемые в производстве материалы, применяемые технологии, инновации и т. д.
Для каждой системы все эти ресурсы объединим в интегральные ресурсы в виде некоторых объемов факторов производства и .
Выпуски продукций экономическими системами V и У2 полностью определяются факторами производства )1 и о2 с помощью производственных функций.
Предполагается, что рассматриваемые взаимосвязанные отрасли существовать отдельно друг от друга не могут. Обнуление ресурсов одной отрасли и прекращение ее деятельности приводит к прекращению деятельности и другой отрасли, поэтому производственные функции для таких отраслей имеют общий вид:
V = V ( )1, )2 ) ,
к = V ( )1, )2 ) .
(2.1)
Ограничимся классической производственной функцией Кобба - Дугласа
V=р -оа11 -оа12,
V=рг -оа21 -оа22.
Приращения объемов факторов производства (1.3) могут быть представлены в виде
[А)1 (£) = аОА (£)+А)1 (£), [а)2 (г ) = аоА (г) +А)2 (г),
приращения частичных амортизаций (1.4) принимают вид
\А)А (£ ) = - А-)1 (£ )-д, [аоА (£) = -А2-)2 (£)-А,
приращения внутренних инвестиций (1.7) определяются соотношениями:
Ао1=( Вц - р - о11 - оа12+В12 - р) - ог1 - оа22) - д ,
\
о=( В21 - р - о11 - оа12+В22 - Р2 - оа21 - оа22) - д .
Подстановка формул (2..4) и (2.5) в уравнения баланса (2.3) дает
да=(-А -о+в» - р -оа11 -оа12+в^ -р, -оа21 -оа22) - д,
\
ао2 =(-а2 - о2 + В21 - р - оа11 - оа12 + В22 - р, - оа21 - оа22) - д.
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Переходя к пределу в соотношениях (2.6) при условии А£ ^ 0 , получаем систему нелинейных дифференциальных уравнений:
Щ1=- а - о+вп - р - оа11 - оа12 + В12 - р2 - оа21 - о
?a22
dQ2=- A2 - Q2+B21 - р - Qa11 - Qa12 + B22 - p - Qa21 - Qa22
(2.7)
dt
с начальными условиями
Q L=° = Q1 (°) = Q10, Q2It=° = Q2 (°) = Q°,
(2.8)
Предельные значения объемов производственных факторов , находятся из уравнений
- Д • О + вп • р • д?1 • е?2 + в12 • р • ОТ21 • 62е22 = 0, 9)
-Л2 • О2 + В21 • Р • ОТ1 • + В22 • р2 • оа21 • б*22 = 0.
Задачу Коши (2.7), (2.8) и систему уравнений (2.9) можно решить только численно.
На рисунке показаны графики функций О = О (?) и 62 = О2 (^) , построенные по результатам
численных решений двух вариантов задачи Коши (2.7), (2.8).
В первом варианте численных расчетов предполагалось, что обе экономические системы работают независимо друг от друга. В этом случае нормы накопления внутренних инвестиций принимались
В12 = В22 = 0 .
Во втором варианте численных расчетов предполагалось, что первая система является самостоятельной и системообразующей, а вторая система - дотационной. В этом случае нормы накопления внутренних инвестиций принимались В12 = -0,005; В22 = 0,01.
40
20
0__t
0 40 80
Рисунок - Графики функций Qy = Q1 (t) и Q = Q2 (t) , построенные по результатам численных решений двух вариантов задачи Коши (2.7), (2.8)
Figure - Graphs of functions Qy = Qy (t ) and Q2 = Q2 ( t ), constructed from the results of numerical solutions of two variants of the Cauchy problem (2.7), (2.8)
Сплошная линия соответствует развитию первой системы Qy = Qy (t) , штриховая линия - самостоятельному развитию второй системы Q2 = Q2 ( t ) , штрих-пунктирная линия - дотационному развитию второй системы Q2 = Q2 (t) . Расчетные значения: р = 7,0; P2 = 5,0; a11 = 0,25;
a12 = 0,22; a21 = 0,24; a22 = 0,21; Д = 0,1; A2 = 0,1; B11 = 0,1; B12 =-0,005; B21 = 0,1; B22 = 0,01.
Заключение
Разработана экономико-математическая модель динамики развития и взаимодействия связанных экономических систем, учитывающая как их конкурентную борьбу за ресурсы, так и их кооперацию при производстве совместных благ.
Модель представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, с помощью которых рассчитываются показатели динамики развития связанных систем экономики.
Значения этих показателей зависят от соотношения инвестиционных вложений в производство экономических систем и их амортизационных отчислений на восстановление объемов ресурсов и затрат.
Qi (t )
---— -
7
0 40 80
Особенность представленной модели состоит в том, что производственная функция каждой экономической системы содержит в качестве аргументов не только собственные производственные факторы, но и ресурсы всех остальных рассматриваемых связанных экономических субъектов.
Показано, что, управляя выбором норм накопления внутренних инвестиций экономических систем, можно получать различные варианты их взаимодействия. При определенном выборе норм накопления экономические системы могут работать независимо друг от друга. При других нормах одни системы экономики становятся самостоятельными и системообразующими, а остальные системы остаются дотационными.
Библиографический список
1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Москва: Наука, 1976, 286 с. URL: https://www.fb2portal.ru/other/matematicheskaya-teoriya-borby-za-sushchestvovanie/.
2. Месарович М., Такахара И. Общая теория систем: математические основы. Москва: Мир, 1978. 311 с. URL: http://www.sci.aha.ru/ots/doc/book026.pdf.
3. Глухов В.В., Колобов А.В., Игумнов Е.М. Методика оптимизации набора инструментов для повышения эффективности бизнес-системы // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Экономические науки. 2020. Т. 13, № 5. С. 95-105. DOI: http://doi.org/ 10.18721/JE.13507. EDN: https://www.elibrary.ru/bldars.
4. Романов В.П., Ахмадеев Б. А. Моделирование инновационной экосистемы на основе модели «хищник -жертва» // Бизнес-информатика. 2015. № 1 (31). С. 7-17. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23609921. EDN: https://www.elibrary.ru/twrbev.
5. Волик К.М., Смирнов Н.В. Построение области достижимости в управляемой динамической модели межотраслевого баланса // Процессы управления и устойчивость. 2015. T. 2, № 1. С. 597-604. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=24327257. EDN: https://www.elibrary.ru/umjerh.
6. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Прогнозирование макроэкономических тенденций и управление многопродуктовой экономикой на основе динамических моделей межотраслевого баланса // Финансы и бизнес. 2015. № 1. С. 42-53. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23841035. EDN: https://www.elibrary.ru/ ubsoav.
7. Смирнов Н.В., Пересада В.П., Гирдюк Д.В., Постнов К.В., Попков А.С. Модель межотраслевого баланса - один из базовых элементов информационного обеспечения работы ситуационных центров регионов // Информатизация и связь. 2019. № 3. С. 20-25. DOI: http://doi.org/10.34219/2078-8320-2019-10-3-20-25. EDN: https://www.elibrary.ru/aezxeq.
8. Смирнов Н.В., Пересада В.П., Попков А.С., Смирнова Т.Е. Применение динамических балансовых моделей для прогнозирования, планирования и коррекции макроэкономических тенденций // Система распределенных ситуационных центров как основа цифровой трансформации государственного управления. Труды всероссийского форума. Санкт-Петербург, 2018. С. 119-121. URL: https://www.elibrary.ru/ item.asp?id=39122693&pff= 1. EDN: https://www.elibrary.ru/ohhbzs.
9. Гирдюк Д.В. Динамическая модель межотраслевого баланса на основе таблиц OECD. URL: https://github.com/iom2020/input_output_modelling (дата обращения: 22.06.2022).
10. Бабкин А.В., Ташенова Л.В., Елисеев Е.В. Цифровой потенциал системообразующего инновационно активного промышленного кластера: понятие, сущность, оценка // Экономика и управление. 2020. Т. 26. № 12 (182). С. 1324-1334. DOI: http://doi.org/10.35854/1998-1627-2020-12-1324-1334. EDN: https://www.elibrary.ru/rsjjxm.
11. Лутошкин И.В., Липатова С.В., Ярдаева М.Н. Разработка инструментария оценки деятельности предприятия в условиях цифрового производства // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Экономические науки. 2018. Т. 11, № 6. С. 9-21. DOI: http://doi.org/10.18721/JE.11601. EDN: https://www.elibrary.ru/yukchz.
12. Нижегородцев Р.М. Модели логистической динамики как инструмент экономического анализа и прогнозирования // Моделирование экономической динамики: риск, оптимизация, прогнозирование. Москва, 1997. С. 34-51.
13. Бадаш Х.З. Экономико-математическая модель экономического роста предприятия // Вестник Удмуртского университета. Серия: Экономика и право. 2009. № 1. С. 5-9. URL: https://www.elibrary.ru/ item.asp?id=11700881. EDN: https://www.elibrary.ru/jwbhyv.
14. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Сравнительный анализ применения пакетов имитационного моделирования и систем компьютерной математики для анализа моделей теории экономического роста // Экономический анализ: теория и практика. 2007. № 5 (86). С. 23-30. URL: https://www.fin-izdat.ru/journal/analiz/detail.php?ID=5120; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=9337066. EDN: https://www.elibrary.ru/ hwikhf.
15. Прасолов А.В. Математические методы экономической динамики. Санкт-Петербург: Лань, 2015. 352 с. URL: https://knigogid.ru/books/383585-matematicheskie-metody-ekonomicheskoy-dinamiki/toread.
16. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Трехфакторная математическая модель развития предприятия за счет внутренних и внешних инвестиций // Вестник Алтайской академии экономики и права. 2020. № 2. С. 7785. DOI: http://doi.org/10.17513/vaael.1002. EDN: https://www.elibrary.ru/jdatyn.
17. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Многофакторная математическая модель развития производственного предприятия за счет внутренних и внешних инвестиций // Вестник Самарского университета. Экономика и управление. 2020. Т. 11, № 2. С. 157-165. DOI: http://doi.org/10.18287/2542-0461-2020-11-2-157-165. EDN: https://www.elibrary.ru/wdbmkv.
18. Сараев А. Л., Сараев Л.А. Математические модели стохастической динамики развития предприятий // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2020. Т. 24, № 2. С. 343-364. DOI: http://doi.org/10.14498/vsgtu1700. EDN: https://www.elibrary.ru/mltmba.
19. Ilyina E.A., Saraev L.A. Predicting the dynamics of the maximum and optimal profits of innovative enterprises // Journal of Physics: Conference Series. 2021, Vol. 1784, p. 012002. DOI: http://doi.org/ 10.1088/1742-6596/1784/1/012002. EDN: https://www.elibrary.ru/xwxltx.
20. Saraev A.L., Saraev L.A. Mathematical models of the development of industrial enterprises, with the effect of lagging internal and external investments // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1784. P. 012010. DOI: http://doi.org/10.1088/1742-6596/1784/1/012010. EDN: https://www.elibrary.ru/qvnrzq.
References
1. Volterra V. Mathematical theory of struggle for existence. Moscow: Nauka, 1976, 286 p. Available at: https://www.fb2portal.ru/other/matematicheskaya-teoriya-borby-za-sushchestvovanie/. (In Russ.)
2. Mesarovic M.D., Takahara Ya. General systems theory: mathematical foundations. Moscow: Mir, 1978, 311 p. Available at: http://www.sci.aha.ru/ots/doc/book026.pdf. (In Russ.)
3. Glukhov V.V., Kolobov A.V., Igumnov E.M. Technique for optimizing a set of tools to improve the efficiency of a business system. St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Economics, 2020, vol. 13, no. 5, pp. 95-105. DOI: http://doi.org/10.18721/JE.13507. EDN: https://www.elibrary.ru/bldars. (In Russ.)
4. Romanov V.P., Akhmadeev B.A. Innovation ecosystem modeling based on «predator-prey» model. Biznes-Informatika = Business Informatics, 2015, no. 1 (31), pp. 7-17. Available at: https://www.elibrary.ru/ item.asp?id=23609921. EDN: https://www.elibrary.ru/twrbev. (In Russ.)
5. Volik K.M., Smirnov N.V. Construction of the attainability domain for a controlled dynamic input-output model. Control processes and stability, 2015, vol. 2, no. 1, pp. 597-604. Available at: https://www.elibrary.ru/ item.asp?id=24327257. EDN: https://www.elibrary.ru/umjerh. (In Russ.)
6. Smirnov N.V., Smirnova T.E. Prediction of macroeconomic trends and control of a multicommodity economy based on the dynamic input-output models. Finance and Business, 2015, no. 1, pp. 42-53. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23841035. EDN: https://www.elibrary.ru/ubsoav. (In Russ.)
7. Smirnov N.V., Peresada V.P., Girdyuk D.V., Postnov K.V., Popkov A.S. The input-output model: one of the basic elements of information support for the work of regional situational centers. Informatization and communication, 2019, no. 3, pp. 20-25. DOI: http://doi.org/10.34219/2078-8320-2019-10-3-20-25. EDN: https://www.elibrary.ru/aezxeq. (In Russ.)
8. Smirnov N.V., Peresada V.P., Popkov A.S., Smirnova T.E. Application of dynamic balance models for forecasting, planning and correction of macroeconomic trends. In: System of distributed situational centers as a
basis for digital transformation of public administration: proceedings of the All-Russian forum. Saint-Petersburg, 2018, pp. 119-121. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=39122693&pff=1. EDN: https://www.elibrary.ru/ ohhbzs. (In Russ.)
9. Girduk D.V. Dynamic Input Output Model Based on OECD Tables. Available at: https://github.com/iom2020/ input_output_modelling (accessed 22.06.2022) (In Russ.)
10. Babkin A.V., Tashenova L.V., Eliseev E.V. Digital Potential of a Systemically Important Innovation-Active Industrial Cluster: Concept, Essence, Assessment. Economics and Management, 2020, vol. 26, no. 12 (182), pp. 1324-1334. DOI: http://doi.org/10.35854/1998-1627-2020-12-1324-1334. EDN: https://www.elibrary.ru/ rsjjxm. (In Russ.)
11. Lutoshkin I.V., Lipatova S.V., Yardaeva M.N. Developing a toolbox for evaluating enterprise performance in the conditions of digital production. St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Economics, 2018, vol. 11, no. 6, pp. 9-21. DOI: http://doi.org/10.18721/JE.11601. EDN: https://www.elibrary.ru/yukchz. (In Russ.)
12. Nizhegorodtsev R.M. Models of logistics dynamics as a tool for economic analysis and forecasting. In:
Modeling of economic dynamics: risk, optimization, forecasting. Moscow, 1997, pp. 34-51. (In Russ.)
13. Badash Kh.Z. The economic-mathematical model of the economic growth of enterprises. Bulletin of Udmurt University. Series Economics and Law, 2009, no. 1, pp. 5-9. Available at: https://www.elibrary.ru/ item.asp?id=11700881. EDN: https://www.elibrary.ru/jwbhyv. (In Russ.)
14. Kuznetsov Yu.A., Michasova O.V. Comparative analysis of the application of simulation packages and computer mathematics systems for the analysis of models of the theory of economic growth. Economic Analysis: Theory and Practice, 2007, no. 5 (86), pp. 23-30. Available at: https://www.fin-izdat.ru/journal/ analiz/detail.php?ID=5120; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=9337066. EDN: https://www.elibrary.ru/hwikhf. (In Russ.)
15. Prasolov A.V. Mathematical methods of economic dynamics. Saint Petersburg: Lan', 2015, 352 p. Available at: https://knigogid.ru/books/383585-matematicheskie-metody-ekonomicheskoy-dinamiki/ toread. (In Russ.)
16. Saraev A.L., Saraev L.A. Three-factor mathematical model of enterprise development at the account of internal and external investments. Vestnik Altaiskoi akademii ekonomiki i prava, 2020, no. 2, pp. 77-85. DOI: http://doi.org/10.17513/vaael.1002. EDN: https://www.elibrary.ru/jdatyn. (In Russ.)
17. Saraev A.L., Saraev L.A. Multi-factor mathematical model of development of a production enterprise accounted by internal and external investments. Vestnik Samarskogo universiteta. Ekonomika i upravlenie = Vestnik of Samara University. Economics and Management, 2020, vol. 11, no. 2, pp. 157-165. DOI: http://doi.org/10.18287/2542-0461-2020-11-2-157-165. EDN: https://www.elibrary.ru/wdbmkv. (In Russ.)
18. Saraev A.L., Saraev L.A. Stochastic calculation of curves dynamics of enterprise. Journal of Samara State Technical University. Ser. Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 2, pp. 343-364. DOI: http://doi.org/10.14498/vsgtu1700. EDN: https://www.elibrary.ru/mltmba. (In Russ.)
19. Ilyina E.A., Saraev L.A. Predicting the dynamics of the maximum and optimal profits of innovative enterprises. Journal of Physics: Conference Series, 2021, vol. 1784, p. 012002. DOI: http://doi.org/10.1088/1742-6596/1784/1/012002. EDN: https://www.elibrary.ru/xwxltx.
20. Saraev A.L., Saraev L.A. Mathematical models of the development of industrial enterprises, with the effect of lagging internal and external investments. Journal of Physics: Conference Series, 2021, vol. 1784, p. 012010. DOI: http://doi.org/10.1088/1742-6596/1784/1Z012010. EDN: https://www.elibrary.ru/qvnrzq.
