К теории вырождающихся уравнений с особой характеристикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 57 7.946

К ТЕОРИИ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ С ОСОБОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

® 2009 Зайнулабидов М.М., Зайнулабидова З.М.

Дагестанский государственный педагогический университет

Исследованы задачи Коши, Дарбу и Гурса для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений как в их классических, так и видоизмененных постановках.

Koshy’s, Darbu’s, and Gursa’s problems have been researched for one class of degenerating hyperbolic equations both in their classical and in their changeable statement.

Ключевые слова: уравнение Абеля, задача Коши, Дарбу и Гурса.

Keywords: Abel’s equation, Koshy’s, Darbu’s and Gursa’s problems.

Актуальность проблемы поиска и исследования корректно поставленных краевых задач для уравнения гиперболического типа

а(х,у) ихх+Ь(х,у) иху=с(х,у), (1) задающего скалярное произведение вектора д^их=(ихх,иху) на вектор (а(х,у), Ь(х,у)), не вызывает сомнений, хотя бы потому, что существует немало процессов естествознания, математическое описание которых приводит к необходимости нахождения его решения и(х,у), удовлетворяющего определенным условиям.

Очевидно, что прямые y=const являются характеристиками

уравнения (1), а второе семейство характеристик определяется

равенством (p(x,y)=const, где функция <р(*>У) ~ решение уравнения в

частных производных первого порядка а(х,у)(рх+Ь(х,у)(ру=0.

Поэтому, легко показать, что при с(х,у)=0 всякое решение и(х,у) уравнения (1) представимо в виде:

х

и(х,у)= \f[(p(t,y)}lt + g(y), (2)

где f и д - произвольные дифференцируемые функции, х0 -

фиксированное число.

Представление (2) является базовой формулой для поиска корректно поставленных краевых задач для (1), точно так же, как и формула Даламбера для уравнения колебания струны [2]. Исходя из (2), единственные решения задач:

Коши с начальными условиями U(x,y)=T(y), Ux(x0,y)=v(y)\

Дарбу с краевыми условиями

и(х0,у)=т(у), U(x,y0)=v(x)\

Гурса с краевыми условиями

U(x,y0)=z(x), U(x,(p-i (х, (р0)) =v(x) могут

быть представлены соответственно в виде:

х

U(x,y) = ^v(q\[xQ,(p(t,y)])dt + T{yy, (3)

х0

X

и (х, у) = J v7 (ср2 [cp(t, у), }dt + т(у); (4)

х0

X

U(x,y = v[p3 (у, %)]+ J v7 (ср2 [(p(t, у),у0\, (5)

9з(У,%)

где х и v - заданные достаточно гладкие функции, а у=^1(х,^>0),

Х=<р2(у,у0), Х=(р3(у,(р0), - функции,

Естественные и точные науки •••

обратные соответственно для ф(х,у)=фо, ф(х,Уо)=У, ф1(х,фо)=у.

Как легко заметить в силу (2), вторая задача Дарбу с краевыми условиями Ux(xo,y)=r(y), U(x,yo)=v(x) поставлена некорректно, так как первое условие позволяет определить функцию f через т, а второе условие не позволяет определить функцию g через v.

Однако вторая задача Дарбу становиться корректно поставленной, если носителем краевого условия является характеристика другого семейства p(x,y)=const.

В самом деле, подчиняя решение (2) условиям Ux(xo,y)=r(y) и U(x,^1(x, 9o))=v(x) в результате простых преобразований получим, что единственное решение этой задачи имеет вид:

x

и (х, у) = р (y, j )] + J т{(р1 \х0, (fût, y%lt

Р( У,Ро) (6)

Таким образом, для уравнений вида (1) характеристики разных семейств как носители краевых условий неравноценны.

В зависимости от характера коэффициентов a(x,y) и b(x,y) уравнение (1) имеет и другие интересные особенности, в чем легко убедиться, рассмотрев в качестве примера простейшие

гиперболические уравнения

Uxx+Uxy=0, xUXX+UXy=0, yUxx+Uxy=0,

xyUxx+Uxy=0, и вырождающиеся гиперболические уравнения

Uxx+xUxy=0, Uxx+yUxy=0, xUxx±yUxy=0,

yUxx±xUxy=0, Uxx±xyUxy=0, семейство характеристик y(x,y)=c которых определяется соответственно

равенствами:

У - x = c, x exp(-y) = c, y2 - 2x = c,

x exp| —— j = c, 2y - x = c, y exp(-x) = c,

2 — 2 2 y = cx, yx = c, y m X2 = c, y + x = c,

f- x2)

y expl m — I = c, где с = const.

В результате исследования указанных уравнений на предмет

корректности постановки задач Коши, Дарбу, Гурса, а в случае их

некорректности, поиска новых, корректно поставленных задач, выявляются достаточно интересные свойства уравнений вида (1),

которые могут быть использованы при решении конкретных задач физики и других смежных наук.

Например, для уравнений

Uxx+УUxy-0, Хихх±уиху—0, ихх+хуиху-0, характеристика у—0 не может быть носителем краевых условий, так как решение и(х,у) этих уравнений при у—0 согласно (2) становится

линейной функцией.

Другим интересным примером является задача Дарбу с данными

U(0,y)=T(y), и

(

= n( х) для

x,exp

- 2 У 0

уравнения Uxx-xyUxy=0, общее

решение которого представимо в виде

х œ œ t2 ^

и (х, У ) = j f j У exP - — dt + g (y )

/0

Первое условие сразу определяет д(у)=т(у), а второе условие приводит к интегральному уравнению:

! f I

exp

n( х ) — t

2

œ

dt =

exp

00

x! ^

2 00

= m( x )

относительно неизвестной функции ї, которое в результате замены

переменной интеграции х2-?=в

сводится к интегральному уравнению Абеля [1. С. 100]:

A exp| —

2

Л

ds = 2ju(\fx )

f

exPl

2 d

л

!

с решением

m(ft )

dt

s

2

x

2

Примечания

1. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1988. С. 448. 2. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1977.

Статья поступила в редакцию 17.06.2009 г.