CC BY
12
Список литературы:
1. Apalkov V.M., Chakraborty T. Gap structure of the Hofstadter system of interacting Dirac fermions in graphene // Physical Review Letters. 2014. - Vol.112, p. 176401.
2. Badalyan S.M., Peeters F.M. Electron-phonon bound state in graphene
// Physical Review B. 2012. Vol. 85, p. 205453.
3. Calandra M., Mauri F. Electron-phonon coupling and electron self-energy in electron-doped graphene: Calculation of
angular-resolved photoemission spectra // Physical Review B. 2007. Vol. 76, p. 205411.
4. Pitaevskii L.P. Weakly bound excitation states in a crystal // JETP. 1976.
Vol. 43 no. 2, p. 382-388.
5. Song J.C.W., Shytov A.V., Levitov L.S. Electron interactions and gap opening in graphene superlattices // Physical Review Letters. 2013. Vol. 111, p. 266801.
К ТЕОРИИ ШТАРК - ФОНОННОГО РЕЗОНАНСА В ДВУМЕРНОЙ
СВЕРХРЕШЕТКЕ
Завьялов Дмитрий Викторович
Д-р физ.-мат наук, профессор, Волгоградский государственный технический университет, г. Волгоград
Ионкина Елена Сергеевна
Канд. пед. наук,
Волгоградский государственный технический университет,г. Волгоград
Крючков Сергей Викторович
Д-р физ.-мат. наук, профессор, Волгоградский государственный социально-педагогический университет, г. Волгоград
АННОТАЦИЯ
Изучаются электрические свойства двумерной сверхрешетки в условиях квантующего электрического поля. Вычислена плотность тока при явном учете рассеяния носителей заряда на оптических фононах. Зависимость тока от напряженности поля носит ярко выраженный резонансный характер.
ABSTRACT
We study the electrical properties of two-dimensional superlattice in a quantizing electric field. We calculate the current density at an explicit account of the scattering of charge carriers by optical phonons. The current dependence on the field strength has a pronounced resonant character.
Ключевые слова: Двумерная сверхрешетка, квантующее электрическое поле, плотность тока.
Keywords: two-dimensional superlattice, quantizing electric field, current density.
Исследование электрических свойств двумерных (2D) структур в последние годы получило новый импульс. Основными причинами этого являются кардинальное усовершенствование технологии создания всевозможных 2D структур и появление совершенно новых материалов с перспективными свойствами. Одним из таких материалов является двумерная сверхрешетка (СР), метод получения которой описан в [2]. Она обладает энергетическим спектром, описываемым приближением сильной связи
£ =
A (l - cos (kxd) cos (kyd))
ское поле
E (Ex ,0)
Q >> t
Q
. Считаем, что выполнено условие
l
\e\Exd
t
, где 1 1 - штарковская частота,
- частота столкновений носителей тока с нерегулярно стями решетки. При этом спектр носителей тока определяется следующим образом
£( Py ) = ÜQV + ^ J £( kx , ky ) dkx ,
п/d
. (1) Известно [1], что в сильном электрическом поле в спектре носителей тока сверхрешеток при определенных условиях появляется дискретная составляющая и для решения задачи о нахождении вольт-амперной характеристики нужно пользоваться квантовомеханическими методами.
В настоящей работе изучаются электрические свойства такого материала в условиях сильного (квантующего) электрического поля. Мы воспользуемся достаточно общей теорией электропроводности полупроводников с конечной шириной зоны проводимости, развитой в работах [1]. Будем считать, что к образцу, описываемому энергетическим спектром (1), приложено сильное постоянное электриче-
2п
v = 0, ±1, ±2, ±3...
— п/d
(2)
Выполняя в (2) интегрирование найдем ^ + . Отметим важную особенность данной 2D СР: спектр электронов в присутствии постоянного электрического поля становится полностью дискретным - появляется так называемая «штарковская лестница». Волновая функция электронов при этом имеет вид
^(^У)=
1
fid
j
—x/d
—cos(kyd) |exp(iyky)
Здесь у ( ^ - функция Ангера.
Запишем, используя результаты [1], выражение для плотности тока вдоль оси ОХ:
2пейпп
Й
X X (У-У')И2п (ру ру - Чу )-
Ру ,Чу
е(ру ) + Йю0 - Й(у-^')О)
Здесь
-(Ру) -
по поперечным импульсам. - частота фононов, С
нонами, Р - поверхностная плотность кристалла, у
■ поверхностная концентрация электро-ехр (-/4
на волновых функциях (3)
Ж
имеет вид
2
V'-V
2А
Ю
-cos
(куб) -т
чА
- 2 уу
, Чу, ку
(5)
-=п («у) * (2А - ()™(¥ )>
хЗ(£( ку - Чу )- £ (ку ) + Й®0 - Й ¿чх1!Чу(]ку
с, = С / д (6)
(4)
Для полярных фононов Вводя безразмерные переменные
Чх = Чхб, = , «у = М
, где С - константа.
О = О / ¿эп
функция распределения носителей тока
Н = Й / (2^4^ )С ^
IX IX 1 1у 1у 5 у у
отношению
' = уо *110со- («у) *
придем к следующему со-
ёЧхёЧуёку
1
(1 -V«) (ю0г)2 +1
(7)
Ч - константа связи электронов с фо-
I,, I,
X ' у
- длина нормировочной поверхности вдоль осей ОХ и OY
Здесь
'о =
ч
еС2п0 (2^0рЙ (2п)2)
. Переходя по пе-
п0
соответственно, 0
Ж,
нов, V ^ - матричный элемент оператора
Будем считать, что основным каналом рассеяния носителей тока является рассеяние на бездисперсионных полярных оптических фононах. Так как константа связи для таких фононов обратно пропорциональна их квазиимпульсу, то наиболее интенсивно носители тока взаимодействуют с фононами с малыми волновыми векторами. Таким образом, можно считать, что для актуальных значений квазиимпульсов выполняется неравенство: Р'у . С учетом этого
ременным в полярную систему координат, и интегрируя
Ч
по модулю получим
'х = '0 XJV( С0-(ку ) С0-М I Г( 2V)X
{V,1 + V};!! + v,1 + v,1 + 2v};-41 пАсо-(ку)со-
2^
Г(1 + v)Г(l + v)Г(l + 2v)((l-V«)2 (®0г)2 +1)
Г( X) Л (с; б; X)
где 4 ' - гамма-функция, а " 4 '
,(8) гиперге-
ометрическая функция.
'X (О)
Типичная зависимость , построенная по фор-
муле (8), показана на рисунке 1. На ней отчетливо видны пики, представляющие собой штарк-фононные резонансы,
возникающие при выполнении условия
V« =
Переходя в (4) от суммирования по " ^ "у' у к интегрированию получим следующее выражение для плотности тока
и
Рисунок 1. Зависимость плотности тока от напряженности электрического поля
Отметим, что в случае сверхрешетки со спектром (1) штарк-фононный резонанс проявляется гораздо ярче, чем в сверхрешетке на основе трехмерного материала (с аддитивным спектром), где он виден только как изломы на вольт-амперной характеристике.
Сделаем некоторые численные оценки. При типичных параметрах исследуемых сверхрешеток d = 10-7 см, Д = 10-2 эВ, , поверхностная плотность тока j0 = 10-2 А/см, что вполне доступно для экспериментального наблюдения. При этом условие существования «штарковской лестни-
цы» Ш >> 1 при типичных значениях времени релаксации т = 10-12 с выполняется уже для полей напряженностью Е >105 В / м .
Список литературы:
1. Брыксин В. В., Фирсов Ю. А. Общая теория явлений переноса для полупроводников в сильном электрическом поле // ЖЭТФ. 1971. - Т. 61. - N6(12). - С. 2373-2390.
2. Ферри Д., Эйкерс Л., Гринич Э. Электроника ультрабольших интегральных схем. М.: Мир, 1991, 327 с.
О СУБПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Кузнецов Геннадий Васильевич
К.ф-м.н, доц.кафедры «Математика и информатика», директор Тульского филиала Финуниверситета
АННОТАЦИЯ
В данной статье рассматриваются некоторые геометрические объекты, связанные со структурными параметрами сердечно - сосудистой системы.
ABSTRACT
In the given paper some geometrical plants connected with structural paramétrés warmly - vascular system are considered.
Ключевые слова: субпроективное пространства, конформно-евклидово пространство, конформное отображение.
Keywords: Subprojective spaces, konformno-evklidovo space. A conformal mapping.
г Для представления данного определения можно рассмо-
k кратно проективными В.Ф. Каган называл про- треть отображение такого пространства на евклидово. Гео-
странства аффинной связности, геодезические которых дезические линии будут отображаться в линии, находящи-в некоторой системе координат выражаются системой из
k еся в
(п-1)-го уравнения, из которых /v линейных уравнений.
(n - k ) -
мерных плоскостях
E
n-k
евклидова
