CC BY
98
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 6(26)
УДК 532.542
В.Ш. Шагапов, Б.И. Тазетдинов, О.Р. Нурисламов К ТЕОРИИ ОБРАЗОВАНИЯ И РАЗЛОЖЕНИЯ ГАЗОГИДРАТНЫХ ЧАСТИЦ В ПРОЦЕССЕ ИХ ВСПЛЫТИЯ В ВОДЕ
Изучается задача о процессе всплытия газогидратной частицы в жидкости. Выделены характерные глубины, на которых всплытие сопровождается образованием гидрата или без изменений гидратной частицы, а также малые глубины, где всплытие сопровождается разложением гидратной частицы. Принято, что интенсивность образования и разложения гидрата определяется конвективным теплообменом с окружающей частицу водой.
Ключевые слова: всплытие гидратной частицы, образование газогидра-тов, разложение гидратной частицы.
Причины появления свободного газа на дне водоемов могут быть как природного характера (подводные грязевые вулканы, разломы осадочных пород), так и техногенного (аварии на подводных трубопроводах, буровых установках) [1, 2]. Одним из следствий достаточно длительного пребывания газовых пузырьков в области высокого гидростатического давления является образование на их поверхности гидратной корки. Последующее исчезновение гидратных частиц в приповерхностных слоях океана в процессе их всплытия происходит из-за их попадания в области термодинамических условий, соответствующих разложению газо-гидратов.
Процесс всплытия газового пузырька со дна океана можно разделить на три области. В первой, соответствующей высоким давлениям, происходит образование гидратной корки на поверхности газового пузырька. Будем считать, что доминирующим фактором образования гидрата является интенсивность отвода тепла, выделяющегося при образовании гидрата, в окружающую воду. Вторая характеризуется всплытием монолитной газогидратной частицы, образовавшейся в первой области, без изменений, пока она не достигнет глубин, на которой термобарические условия удовлетворяют разложению гидрата (третьей области). В третьей, когда газогидратная частица попадает в приповерхностные слои океана, начинается его разложение, которое определяется конвективным теплообменом с окружающей жидкостью.
1. Образование газогидратной корки на поверхности газового пузырька
Рассмотрим процесс образования газогидрата на поверхности одиночного газового пузырька при его всплытии в неограниченном объеме жидкости. Для теоретического описания процесса ось координат z направим вертикально вверх с началом в центре пузырька. Жидкость будем считать несжимаемой (р0 = const).
Для состояния газа примем уравнение Менделеева - Клайперона
Р = PgRgTg ,
где pg , Tg - плотность и температура газа при текущем значении давления p, Rg -
приведенная газовая постоянная с учетом коэффициента сжимаемости при высоком давлении. Здесь и в дальнейшем индексы «1», «в», «И» будем относить к параметрам воды, газа и гидрата.
На границе контакта газа с водой будет образовываться гидратная корка. Будем считать эту гидратную корку достаточно рыхлой, и поэтому ее диффузионным сопротивлением при прохождении через нее газа можно пренебречь. Тогда рост массы газогидратного пузырька будет происходить только вследствие поступления воды из окружающей среды. Пусть ]1 - интенсивность поглощения воды на образование гидрата, отнесенная на единицу площади сферической частицы. Тогда уравнение для изменения ее массы, состоящей из газового ядра и гидратной оболочки, запишем как
-тЬ 2
4ЧЛ. (11)
Здесь тЬв, аЬв - масса и внешний радиус газогидратной частицы.
Полагаем, что газ не уходит за пределы гидратной корки и с течением времени переходит в состав газогидата. Поэтому закон сохранения массы газа запишется как
3+ 4-«В)О = 4™>Ёо, (12)
где « - радиус газового ядра, рь - плотность гидрата, О - массовое содержание газа в гидрате. Здесь и в дальнейшем дополнительный нижний индекс 0 соответствует исходным значениям параметров.
Уравнение импульсов для гидратной частицы примем в виде
- (* (+ ^)) , , , (13)
^ _ул Л Л. (13)
—
Здесь силы Архимеда, тяжести, гидродинамического сопротивления соответственно определяются из выражений
/л = 4 П<Р° Я , /т = | п((( “ ( )р0 + «вЧ ) , /с = ^«- ^у-,
а масса газогидратной частицы и присоединенная масса имеют вид
4/з з \ 0 4 3 2 з о
= 3-«в) + 3павРв , = 3п«ЬвР1 ,
где * - скорость всплытия включения.
Для зависимости коэффициента гидродинамического сопротивления ^ от
числа Рейнольдса Яе используем следующее выражение [3]:
| = — (1 + 0,0811Яе0,879), Яе = 2«ЬвР1 * ,
Яе' ’ ц1
где ц1 - динамическая вязкость воды.
На внешней границе газогидратного включения (г = аЬё) выполняется условие баланса тепла
А к = Ч ~- Ч +, (1.4)
где А - интенсивность фазового перехода гидрата, отнесенная на единицу площади сферической частицы гидрата, ц-, ц+ - интенсивности тепловых потоков от стенки газогидратной частицы в воду и гидратную частицу, 1Ь - теплота образования гидрата, отнесенная на единицу его массы.
В составе газогидрата концентрация газа и воды подчиняются «стехиометрическому условию», поэтому интенсивности потребления газа А и воды ]1 с интенсивностью образования гидрата А связаны как:
А = GA, А =(1 -О)А. (1.5)
Примем, что процесс образования гидрата лимитируется отводом тепла от поверхности пузырька окружающей жидкостью, кроме того будем полагать, что ц+ << ц- . Тогда интенсивность поглощения воды, определяемая из (1.4) с учетом
(1.5), запишется как
А =(1 -О)ц-> = к(ТЬ -Т1), к =
1Ь 2«Ьв
где к - коэффициент теплообмена между частицей и окружающей водой, Х1 - теплопроводность воды. Число Нуссельта №ь справедливое для широкого диапазона чисел Рейнольдса Яе и Прандтля Рг, зададим в виде [4]
^ = 2 + 0,46Яе0,55 Рг0,33, 1 < Яе < 7-104, 0,6 < Рг < 400, Рг = vx|xx , где VI, х1 - кинематическая вязкость и коэффициент температуропроводности воды.
Будем полагать температуру всего включения однородной и равной равновесной температуре ТЬ = Т = Т (р) для текущего значения давления р, которая определяется из выражения:
Т (р) = ТЬ0 + Т.1п^-, (1.6)
РЬ0
где ТЬ0 - равновесная температура гидрата, соответствующая значению давления рЬ0, Т* - эмпирический параметр, зависящий от вида газогидрата [5].
Для распределения давления в воде по высоте примем гидростатический закон:
Р = Ра +Р0Я (к - 2)
где ра - атмосферное давление, к - начальная глубина, с которой начинается всплытие, 2 - текущая координата положения частицы. Для большей наглядности описания процесса перехода газового пузырька в гидратную частицу вместо переменной t примем вертикальную координату 2. В этом случае уравнение (1.1) примет вид
= 4»4/, , * = -2 (1.7)
-2 * А
Из закона сохранения массы газа (1.2) следует выражение для текущего радиуса газового ядра:
_3 (ав3°рв0 - «ЬврЬО)
«в =-----------------------------------------------7-^-. (1-8)
(рв -рЬ О)
С учетом уравнений (1.7), (1.8) и предполагая, что р8 « р80 , получим следующее дифференциальное уравнение, описывающее изменение радиуса газогидрат-
ной частицы:
ёа
Ъв _ А 1
1
О
(1.9)
«■ ( - О )1чрЬ Р80 )
Уравнение импульсов (1.3) после преобразования, с учетом малости реактив ных сил, примет вид
^ = ((2^ьв - шЪв ) £ - Л )
(110)
‘Ъ^ )
Таким образом, задача свелась к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (1.9), (1.10) для изменения внешнего радиуса частицы и скорости ее всплытия.
В исходном состоянии (г = 0) радиус, масса, скорость пузырька, а также температура газа внутри пузырька соответственно равны аЪв = ав0, шЪв = ш%0, V = ^0, Т = Г,.
При численных расчетах для теплофизических параметров рассматриваемой системы приняты следующие значения:
рЪ = 910 кг/м3 , /ь = 5 -105 Дж/кг , ТЬ0 = 283 К, рЪ0 = 6,95-106Па , р0 = 1000кг/м3, ^ = 0,556Вт/(м• К) ,
V[ = 10-6 м2/с, = 10-3 Н • с/м2 , Х1 = 1,324 • 10-7 м2/с , Г* = 10 К ,
Д8 = 519 Дж/(моль• К) , О = 0,12, £ = 9,81 м2/с , ра = 105 Па.
На рис. 1 представлена динамика изменения радиусов газового ядра и газогид-ратной частицы (а), скорости всплытия пузырька (б) со дна водоема при различных значениях начальной глубины к = 1500 (сплошная линия), 1000 (пунктирная линия) и 800 м (точечная линия). Для исходного состояния (г = 0) приняты значения аьв = 2 мм, V = 0,1 м/с .
аЪ£, ав, мм
V, м/с
Рис. 1. Динамика изменения радиуса газогидратного и газового пузырьков (а) и скорости (б) при различных значениях глубины к
Видно, что по мере всплытия газогидратного включения газ полностью переходит в состав частицы гидрата (это положение на рис. 1, а для ав соответствует точке пересечения с осью г).
Для скорости всплытия газогидратной частицы отчетливо выделяются три характерных этапа (рис. 1, б). На начальном этапе скорость быстро растет до без-инерционного режима, когда силы тяжести, Архимеда и сила гидродинамического сопротивления уравновешены. Далее скорость всплытия монотонно снижается и приобретает постоянное значение, с постепенным переходом газа в состав гидрата. Расстояние, пройденное газогидратной частицей до полного исчезновения газового ядра, будем называть пробегом. Из графика видно, что конечный радиус гидратной частицы зависит от начальной глубины всплытия газового пузырька. Причем чем больше глубина, тем больше радиус. Это связано с тем, что начальная плотность газа в пузырьке определяется значением давления, вследствие этого масса газа в пузырьках одинакового радиуса, всплывающих с различных глубин, отличается (чем больше глубина, тем больше масса газа содержится в пузырьке).
Следует также отметить, что с увеличением глубины всплытия пузырька растет интенсивность образования гидрата. Это объясняется увеличением интенсивности теплообмена с окружающей жидкостью из-за роста разницы температуры воды и поверхности гидратной частицы (поскольку с увеличением давления равновесная температура фазовых переходов гидрата также растет).
Рассмотрим процесс всплытия сферической гидратной частицы, сопровождаемый ее разложением. Для исходного положения (г = 0) будем считать, что температуры частицы и окружающей воды равны равновесной температуре фазовых переходов для значения гидростатического давления на этой глубине (Г10 = ГЬ0 = Г (р)). Температуру воды по всей глубине примем постоянной (Г = Г10). Тогда при дальнейшем всплытии частицы гидрата давление окружающей воды будет снижаться (р < р0), вследствие этого будут реализовываться термобарические условия, соответствующие разложению гидратной частицы.
Будем полагать, что в процессе всплытия мелкие пузырьки газа, образующиеся на поверхности гидратной частицы за счет разложения гидрата, отрываются от поверхности гидратной частицы. Это можно обосновать малой величиной силы тяжести и относительно большой величиной выталкивающей силы, действующей на пузырьки газа. С учетом этого предположения, уравнение для изменения массы сферической гидратной частицы запишется в виде
где А - интенсивность разложения газогидрата, отнесенная на единицу площади сферической гидратной частицы; V, шЪ, аЪ - скорость всплытия, масса и радиус гидратной частицы.
Уравнение импульсов запишем аналогично уравнению (1.3):
2. Разложение газогидратной частицы
ёшЪ А 2 ■ 4 3 0
™~т = -4паьА , шъ = тпаъРъ, аг 3
(2.1)
/А - /т - fc,
(2.2)
у 4 зо „ 4 з о 2 р1^ 2 зо
/л = 3™ьР1 ^ , /т = 3паЬРЬ^ , /с = ^паЬ ~, = 3паЬр1 ,
здесь ть и аь - масса и радиус монолитной газогидратной частицы, цЬ - присоединенная масса.
Примем, что в процессе всплытия температура поверхности гидрата равна равновесной температуре фазовых переходов для текущего значения давления воды (Ть = Т (р), г = аь ) . Кроме того, на границе частицы гидрата будет выполняться условие баланса тепла (1.4), в котором д_ = к ( - Т (р)) . Будем полагать влияние тепловых эффектов внутри гидратной частицы на процесс разложения незначителеным (д+ << д_).
Из уравнения (2.1) следует
ЩГ = ЧЪ (25)
аг рЬ w
Уравнение (2.2) с учетом (2.1) в случае пренебрежения реактивными силами примет следующий вид:
dw = ((2ЦЬ - ть ) g - /с )
аг w (ть +цЬ )
(2.6)
Получаем замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(2.5) и (2.6).
На рис. 2 показаны законы изменения радиусов (а), скорости всплытия (б) в процессе всплытия при начальных значениях радиуса гидратной частицы аЬ0 = 2-10-3 м и скорости w0 = 10-3 м/с , а для температуры Ть = Т (р). Значением исходной глубины, с которой начинается процесс всплытия гидратной частицы, принято считать 377 м, на этой глубине значение давления, которому соответствует равновесное значение температуры фазовых переходов Т0 = 277 К составляет р0 = 3,8 МПа. Видно, что в процессе всплытия гидратной частицы происходит ее полное разложение.
аь, мм w, м/с
Рис. 2. Эволюции радиуса гидратной частицы (а) и ее скорости всплытия (б)
На рис. 3 показана зависимость времени от пройденного пути, откуда видно, что процесс разложения гидратной частицы занимает гораздо более длительное время, чем ее образование. Например, образование гидратной частицы радиусом около 2 мм занимает всего лишь 3-4 секунды, в то время как разложение соответствующей частицы происходит за 7 минут.
Рис. 3. Зависимость времени от пройденного пути при начальном значении радиуса аЬ0 = 2-10-3 м
Это объясняется тем, что газовый пузырек изначально попадает в среду с большой разницей текущего давления и соответствующего данной температуре равновесного давления, следствием которого является высокая интенсивность образования гидрата. Разложение же гидратной частицы начинается с попадания ее в область пониженного давления по сравнению с равновесным давлением. Всплытие гидратной частицы происходит медленно (скорость всплытия составляет порядка нескольких см/с), а значит, и снижение давления и, как следствие, рост интенсивности разложения протекают также медленно.
Заключение
Построена теоретическая модель динамики всплытия газового пузырька, сопровождаемого образованием и разложением гидратной частицы.
Показано, что интенсивность образования гидратной частицы зависит от начальной глубины газового пузырька. Установлено, что процесс разложения гид-ратной частицы при всплытии занимает гораздо более длительное время, чем образование гидрата.
Отметим, что принятая здесь схема является предельной. Она описывает наиболее быстрый темп образования и разложения гидрата. В действительности, наиболее полная модель должна учитывать неравновесные фазовые переходы с диффузией.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дмитриевский А.Н. Газогидраты морей и океанов - источник углеводородов будущего. М.: ООО «ИРЦ Газпром», 2009. 416 с.
2. Sauter E.J., Muyakshinb S.I., et al. Methane discharge from a deep-sea submarine mud volcano into the upper water column by gas hydrate-coated methane bubbles // 2006. No. 243. P. 1-36.
3. Кутепов А.М., Полянин А.Д., Запрянов З.Д. и др. Химическая гидродинамика. М.: Кван-тум, 1996. 336 с.
4. НигматулинР.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.
5. Истомин В.А., Якушев В.С. Газовые гидраты в природных условиях. М.: Недра, 1992. 235 с.
Статья поступила 17.06.2013 г.
Shagapov V.S., Tazetdinov B.I., Nurislamov O.R. A CONTRIBUTION TO THE THEORY OF GAS HYDRATE PARTICLE FORMATION AND DECOMPOSITION IN THE PROCESS OF THEIR ASCENT IN WATER. The problem about the process of gas hydrate particle ascent in a liquid is studied. Typical depths at which the ascent is accompanied by hydrate formation or occurs without changes in hydrate particles and small depths where the ascent is accompanied by decomposition of hydrate particles are obtained. It is assumed that the intensity of hydrate formation and decomposition is determined by the convective heat exchange with water around the particle.
Keywords: ascent of hydrate particles, formation of gas hydrates, decomposition of hydrate particles.
SHAGAPOV Vladislav Shaihulagzamovich (Academy of Sciences of the Republic of Bashkortostan)
E-mail: [email protected]
NURISLAMOV Oleg Robertovich (South Ural State University)
E-mail: [email protected]
TAZETDINOV Bulat Ilgizovich (Birsk State Social and Pedagogical Academy)
E-mail: [email protected]
