К теории гибридных равновесий при неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оператор F : В —► В назовем улучшающим, если образом любого ограниченного множества U является множество элементов с равностепенно непрерывными нормами, т. е. Ve > 0 3<5 > 0 Vx Є Є U Vr,7 |т — 7І < S =>• |||nrFх||в(Єт) - ||n^Far||s(e^)| < e; |r| < S => ||nTFx||B(er) < €.

Теорема 1. Пусть в пространстве В выполнены условия V,C, оператор Q : В -> В представши в виде Q = I — К, где I - тождественный оператор, К - линейный улучшаюший воль-терровый на v оператор. Тогда оператор Q обратим и оператор Q~l является вольтерровьш ограниченным.

В случае однозначной разрешимости задачи (2, 3) ее решение представимо [1] в виде х = = Xa+Cf. Конечномерный оператор X : Rn —> D определяется фундаментальной системой X Є Dn решений однородного уравнения. Линейный ограниченный оператор С = ЛQ-1 : В —> D назовем оператором Коши. В условиях теоремы 1 оператор Коши является вольтерровьш на системе V. Предположим, что для любой последовательности {у*} С D из Цз/iIId -> 0 при і —> оо следует |j/,-(<)| —> 0 для всех t Є [о, 6]. В этом случае оператор Коши можно записать в виде (Cf)(t) = = (c(t),f), где компоненты m-мерного вектора c(t) являются элементами сопряженного пространства В*. Пусть сопряженное пространство В* является пространством функций [a, b] —> Rm, и выполнено следующее условие: при любом 7 Є [0,6 - а], если элемент g Є В* принадлежит ортогональному дополнению к подпространству Л/7 = {у Є B\y(s) = 0 при всех s Є е7}, то g(s) = 0 на [а, 6]\е7. Обозначим значение функции c(t) : [а, Ь] —► Rmxm при s Є [а, 6] через c(t,s) и назовем его значением функции Коши уравнения (3) в точке (£, s).

Теорема 2. Для волътеррового на v оператора Коши С : В —> D при любом е1 Є v, если i € е7, s Є [а, Ь\\ето c(t, s) = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь, 1987. С. 3-11.

2. Сумин В. И. Функциональные вольтерровые уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Нижний Новгород: Изд-во ННГ'У, 1992. 110 с.

3. Гусаренко С.А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора // ДАН СССР. 1987. Т. 295. № 5. С. 1046-1049.

4. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 9. С. 1599-1605.

К ТЕОРИИ ГИБРИДНЫХ РАВНОВЕСИЙ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ © В.И. Жуковский, В.В. Золотарев (Москва)

1. ” Бескоалиционный характер” игры подразумевает также возможность игроков (при выборе своих стратегий) следовать различным концепциям оптимальности из теории бескоалиционных игр: равновесиям по Нэшу, по Бержу, угроз и контругроз, активным равновесиям, максиминным стратегиям [1,2]. В этом случае возникают новые ’’гибридные” равновесия, в которых часть игроков выбирает свои стратегии на основе, например, концепции равновесности по Нэшу, другая - на основе равновесности по Бержу, третья использует равновесие угроз и контругроз и т. д.

2. В современных задачах экономики появляется необходимость учета неопределенных факторов, о которых известны лишь границы изменений, а какие-либо статистические характеристики просто отсутствуют. К ним относятся изменение количества и номенклатуры договорных поставок, непредсказуемые скачки спроса, погодные условия, неожиданное появление конкурентов на рынке

сбыта и т. п. Учет подобного вида неопределенных факторов привел к появлению бескоалиционных игр при неопределенности, теоретическим основам которой посвящена монография [1]. Однако в ней не рассматривался возможный ” гибридный характер” равновесий из пункта 1 настоящих тезисов.

3. Сами управляемые объекты (математическими моделями которых являются бескоалиционные игры) меняются с течением времени. Таким образом возникает небходимость учета динамики игры, что приводит к рассмотрению дифференциальных бескоалиционных игр. Теория таких игр активно развивается в последнее десятилетие, однако в них также не учитывался ’’гибридный характер” возможных равновесных решений.

4. Объединение трех указанных факторов - ’’гибридность” равновесий, наличие неопределенностей и учет динамики - составляет содержание нового направления теории игр: дифференциальные бескоалиционные позиционные игры при неопределенности и с гибридными равновесиями. При построении теории таких игр следует дать ответ на три вопроса [3]:

- что такое решение игры (иными словами, в чем состоит оптимальное поведение участников данной игры)?

- существует ли решение игры?

- каковы свойства такого решения и, в частности, как его найти?

5. В докладе будет предпринята попытка ответить на указанные три вопроса на примере дифференциальной позиционной линейно-квадратичной игры 4-х лиц при неопределенности. При этом предполагается, что первые два игрока формируют свои стратегии, следуя концепции равновесности по Нэшу, оставшиеся два - на основе равновесия угроз и контругроз. Учет же неопределенных факторов проведен с помощью аналога векторной седловой точки из теории динамических многокритериальных задач при неопределенности [4]. Получены коэффициентные условия существования гарантирующего гибридного равновесия и, при выполнении этих условий, найден явный вид такого решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997. 462 с.

2. Vaisbord 'S.М., Zhukovskiy V.J. Introduction to Multi-Player Differential Games and Their Applications. N.Y., etc.: Gordon and Breach Sei. Publ., 1988. 581 p.

3. Воробьев H.H. Современное состояние теории игр// Успехи матем. наук. 1970. Т. 25. Вып. 2. С. 81-140.

4. Zhukovskiy V.l., Salukvadze M.S. The Vector-Valued Maximin. N. Y., etc.: Academic Press, 1994. 399 p.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

%

(с) М.Г. Завгородний, С.П. Майорова (Воронеж)

В докладе рассматриваются математические модели малых упругих деформаций и малых упругих колебаний плоской стержневой системы. Для их построения использовались методы вариационного исчисления. Вариационные постановки задач, моделирующих малые упругие деформации и малые колебания одного стержня, выполнены достаточно давно (см. [1, 2]). Предпринимались (см. [3, 4]) отдельные попытки перенести их на стержневые системы. Однако в полной мере осуществить это до недавнего времени не удавалось.

1. Рассмотрим систему, состоящую из тонких упругих массивных стержней. Свяжем ее с геометрическим графом Г, поставив осевой линии каждого стержня ребро 7* графа Г. Пусть осевые