CC BY
24
ИИ. Берил*, М.К. Болога*, СИ. Берил
К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ СЛАБОПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ ИНЖЕКТИРУЮЩИХ ЭЛЕКТРОДОВ (ЗАВИСИМОСТЬ ПОДВИЖНОСТИ)
* Институт прикладной физики АН РМ,
ул. Академией, 5, г. Кишинев, MD-2028, Республика Молдова, mbologa@vhys.asm.md
**
Приднестровский госуниверситет им. Т.Г. Шевченко, ул. 25 Октября, 128, г. Тирасполь, Республика Молдова
Ранее [1] была получена зависимость концентрации свободных электронов слабопроводящей жидкости от напряженности электрического поля и температуры.
Концентрация свободных электронов практически не зависит от напряженности поля вплоть до предпробивных значений.
Функция распределения по энергиям электронов проводимости также не зависит от напряженности поля и при низких концентрациях примесных центров имеет максвелловский вид.
Обоснована [1] применимость методов физики твердого тела для расчета электрофизических характеристик слабопроводящих жидкостей с периодически расположенными атомарными примесями.
Нелинейность вольт-амперной характеристики жидкости можно объяснить зависимостью подвижности носителей тока от напряженности.
Оценка поляронного эффекта дает малое значение константы поляронной связи, определяемая энергией взаимодействия зонного электрона с фононами, вычисляется по теории возмущений
и в случае слабой поляронной связи имеет вид [2]:
а =
V2
1 1
Л „2
VSo>
л J
3 1 h 2 ш2
(1)
где sœ, Sj - диэлектрические проницаемости, определенные при высокой и низких частотах; е - заряд электрона; m - эффективная масса электрона, п - постоянная Планка, ш - частота колебаний фононов.
Для рафинированного подсолнечного масла ранее измеренные [3] Sœ = 3,15 • s0; Sj = 3,5 • s0
m = 1 + а
me 6
(2)
Из (1) и (2) для акустических фононов, дающих наибольший вклад в а, получим, что m = me,
а ~ 5 •Ю-16, то есть а<<1. Столь малое значение а вызвано тем, что для сложных глицеридов жирных кислот, каковым является подсолнечное масло, молекулы имеют большой молекулярный вес, малый дипольный момент, и поляризация электроном такой молекулы ничтожно мала, то есть а практически равно 0. Безразмерная константа а равна отношению разности энергии полярона в поляронной зоне к энергии активации рассеивающих примесных центров а = AEn / AE, отсюда
*
AEn = аAE - малая величина.
Подвижность свободных электронов
e ...
Р = — < т >, (3)
me
где <т> - усредненное распределение по энергиям время релаксации состояний электрона [4],
© Берил И.И., Болога М.К., Берил С.И., Электронная обработка материалов, 2008, № 5, С.37-41.
37
1 = Z(1 - cos 0)W (0), (4)
T 0
где 0 - угол рассеяния на ионах примеси, W (0) - вероятность перехода между состояниями электрона.
Вычислим матричный элемент перехода между состояниями электрона в зоне проводимости:
M1 = J v1 (^ )VV2 (^2 ) r2dr sin (0) d0dф ^,
1 œ
где V = -eEx; Vi ft) = А'ф(-^); ф(^ ) = -^J
Vn о
cos
f u3 A
---+ ^1 du - функция Эйри;
V 3 J
4 x * M JfE]'; '-44 2-
П
(Ee) h3
2 A’eEœ —2—
; аналогично
f u3
для V2 (Y ) .
v—
HJ r3 sin2 (0)d 0d ф^т Jcos U— u | r sin (0)cos (0) +—
0 0 0
du x
œ
xJ cos
0
f
— - u I r sin (0) cos (0) + ~E
1 A
s^ Af2meEA3
l2
I
du.
Проинтегрируем по ф:
œ — œ
^ -2A'eE J J r3 sin2 (0) d0dr J J1 (2ubr sin 0)
- cos2 — sin (uba1 + uba2 ) +
3 3
u u
+2sin -^cos ^3cos(uba1 + uba2 ) + sin2 u3sin(uba1 + uba2 )
du
, f 2meE A3 s, s2 r ^
где b = l -2— I ; a1 =— ; a2 =— ; J1 - функция Бесселя.
V h J eE eE
Проинтегрируем по 0 и по u:
3
4 A'eE J
— 3— 1 Z
2br br 6br k=0
(-1) + 1lP‘+1 f 1 Yf fk +1A . ,
■\ — I rl------Ix cos(-2k +1) —
П П 1
2br br
6 (br )
-Z-
k=0
(k +1)! V 3 J
(- 1)k +1 {br + b (a1 + a2 )k+1 - (b2 - b (a1 + a2 )k+1 )}
(k +1)!
k+1
2 f k +1A , чП n 1 ^
I cos (-2k +1) +----+-----Z
V ’ 6 2br 3brf~0
YJ rV 3 J
П
:sin (-2k +1) —
6l 12(br)2
Z
(-1)k +1 r f 2 A-k? rf k+1A (k +1)! V3J rV 3 Jx
(-1) + 1 {br + b ( + a2 )2 - (b2 - b ( + a2 )2 )}
k =0 k+1
(k + 2)!
x\rf k +1J cos(-2k +1)— >r3dr
3 J
где P = b (a1 +a2 ).
1
38
При s1 ~ s2 ~ 2 kT, а1 ~ а2 ~ 10 8 << 1, b = 108 >> 1, m = 9,1 -10 3 кг, h = 10 3 Дж-с,
E1 = 3 -105 В/м, a1b ~ a2b = 1, так как под всеми суммами присутствует множитель bk (а1 + а2 ) или bk+1 (а1 + а2 )2, то есть (а1 + а2 ) всегда в степени на 1 больше, поэтому bk (а1 + а2 )1 << 1 или
1 к+1 / \ к+2 - j
b ( а1 + а2 ) << 1, значит, в сумме можно ограничиться к = 0, кроме того, в подынтегральном
выражении отсутствует обрезающий множитель по г, поэтому при интегрировании по г необходимо ограничиться объемом с единичным радиусом:
4 A'eE[
—
—- Z
2br 3br k=0
(-1)k+1>“ r 1 ïT1 J к+1
(k +1)! 13J [ 3 г
l 0 7 1 \ п 3п 1 X-'
x cos (-2k +1)-— >
V — 2b b3r k=0
k+1
xff]J Г(~г)cos(-2k++§+àz
(-1)k + 1 {bk+1 [г +—1 + а2 )]^'- b+1 г -(а1 + а2 ) }
(k + 1)!
Hk + 1]pk+1 r 2'
(k +1)! V 3.
k+1
3
rf k Jx
x sin —2k +1) —
6
■z
— 1)k + 1 bk+2 {[г + —1 + а2 )]^ + [г - (а1 + а2 j
12b 2г j=0
k+1
Г1 Y~
(k + 2)!
rfJ cos(-2k +1)) >г2ёг
4 (2m)3 eE
V—(eE)6 h
1 2 3
2
—h3
1 1 6 (2m )3 (eE )3
‘ а,,
0,42(s1 +s2) -0 75Г2mE^3 s1 +s2
eE
(eE )
= а, (eE )3 2 (S| +,S| ) - (1 +S1 ) = M,.
(eE )
(eE )
Вероятность перехода
2—i
Г = — MJ2 5(sj-s.-As),
где s k, s. - конечная и начальная энергии электрона, As - разность энергий электрона:
(5)
(6)
sj-s.=f- -= f (1 - cos2- v),
2m4 ’
2m
2m
где v - угол рассеяния.
1 p2 — = JJ(1 - cos v) Ж ((, v) 5 — (1 - cos2 v) - As
V n
d vdp
После интегрирования по v получим:
2—
^ ~h
J irnvi.
J ( A1s + A2 s2 + A3s3 + A4 s 4 + A5s6 )J—d s :
v V2s
где A1 = -8,21а1а2 (eE)3 ; A2 = -
0,587а.
28,5аа
(2m) (eE)3
2 r; A3 = 2 ; A4 =-6,42а2аъ;
eE
2
39
A _ 48,5a
2
(E )
n(2m)2 f 2 -2 -2 -2 -2 13 ^
——— — As2 +—A2s2 +—A3s2 +—A4s 2 +----A5s 2
3 1 5 7 3 9 4 13
так как s ~ 0,04 эВ, то оценка A1, A2, A3, A4, A5, A6 дает
3 - - - 13
4s2 >> A5s2.
A1s2 >> A2s2
■4° ^i5<-
5 1 3
2nm2 2 _ 8nm6 (eE)3 s
2
3h
T_-
-A,s2 _
5
h3
5
h3
5 1 I’
8nm5 6 (eE)3 s2
Усредним T по распределению Максвелла:
5
h3
f
3 __s_
s 2 e kT ds
- 1 c ——
8nm6 (eE)3 f e kT ds
(7)
— _ x; ds _ kTdx ; kT
> 3 1 e-x
s2e kTds _------- f—— dx
(kT)2 s x2
—^ e x _ 24nerf yjx
f Г~Г\
(kT )
2 (kT )2 e--T л/s e
_ 2^nerf
V ’ J.
(kT )2
v, kT j
_--2e kT _2j~nerf sTs \ kT J
_3 __L
fs 2e kTds
_s_ __s_ J
f e kT ds _-kTe kT ; ---s-----
f
2 ,2л/П kT / ПР
f
e kT ds
-s/skT
(kT )
ekT erf
v kT J
(8)
Второй член при комнатной температуре >> первого. Ограничиваясь вторым членом, получим
Подвижность электрона
h 34nekT erf
f Г7ГЛ
V kT J
4nm6 (eE)3 (kT)
eh 3yfnekT erf
f ПГЛ
|Д_-
4nm6 (eE)3 (kT)2
(9)
(10)
5
11
40
С учетом первого члена
|Д =
5
eh3
4Пв
kT
4пт6 (eE )3 Vs(kT )2 (kT )
erf
f ПГ\
(11)
Используя формулу для концентрации электронов из [1] и подвижность (11) для плотности тока, получаем
J = ■
(eh )3
5 2
О 3
4п(.- М.,п.ц)т
-AE 8h3 (es)3
kT +____У )
7 5
3m16 AE2
Vrce
kT
erf
Г ^
4S(kT)2 (kT)2
С учетом малости 2-го члена в 1-х квадратных скобках и 1-го во 2-х квадратных скобках
(12)
J =
(13)
Для сравнения с экспериментом необходимо аналитически определить ионную электропроводность с определенными константами и учесть ее в плотности тока.
ЛИТЕРАТУРА
4
1. Берил И.И., Болога М.К., Берил С.И. К теории электропроводности слабопроводящей жидкости в поле инжектирующих электродов (концентрационная зависимость) // Электронная обработка материалов. 2008. № 4. С. 55-59.
2. Фейнтман Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1978.
3. БологаМ.К., Берил И.И. Рафинация подсолнечного масла в электрическом поле. Кишинев: Штиин-ца, 1984.
4. Стильбанс Л.С. Физика полупроводников. М.: Советское радио, 1967.
Поступила 06.02.08
Summary
Calculation of free electrons mobility at injection of electrons from high voltage needle electrodes on the surface of liquid using the methods of solid state physics is conducted. Applicability of the methods of solid state physics is substantiated. The dependence of mobility on electric field intensity ~ Е"1/3 is achieved on account of the dependence of the wave function of electron on electric field intensity. It is substantiated that the energy distribution function of electron does not depend on electric field intensity.
41
