K-сублинейные многозначные операторы и их свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 3 (2011), с. 110-122.

УДК 517.981: 514.172

З. И. ХллиловА

К-СУБЛИНЕЙНЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

И ИХ СВОЙСТВА

В работе изучаются сублинейные многозначные операторы с компактными выпуклыми значениями. Показано, что в случае банаховых пространств такие операторы образуют упорядоченный банахов конус.

Ключевые слова: многозначный оператор, компакт, сублинейность, нормированный конус, квазиполнота.

Введение. Предварительные сведения

В современном выпуклом анализе и в задачах оптимального управления широко используются многозначные операторы (см., например,[1], [3], [9]), действующие из одного линейного пространства во множество подмножеств другого пространства: А : X ^ ехр(У).

Ещё одним важным объектом анализа являются сублинейные операторы (см., например, [2], [4], [6], [7],[8]), действующие из одного линейного пространства в некоторый частично упорядоченный конус элементов другого линейного пространства. Они обладают следующими свойствами: (1) А(х + у) < Ах + Ау; (п) А(Ах) < А Ах, при А > 0.

В некоторых современных проблемах бесконечномерного анализа возникает необходимость объединить эти понятия. К этому приводит, например, задача обобщения понятия компактного субдифференциала (К-субдифференциала) на случай векторного аргумента.

К-субдифференциал, введенный в работе [5] для отображений вещественного аргумента, в фиксированной точке является компактным выпуклым множеством. При переходе к векторному аргументу естественным образом возникает оператор с компактными выпуклыми значениями, обладающий свойством сублинейности.

Таким образом, мы приходим к новой задаче выпуклого анализа: исследовать операторы описанного выше типа, которые далее в работе названы K-операторами. При этом возникают принципиально новые моменты: как система компактных выпуклых подмножеств исходного нормированного пространства, так и система K-операторов с конечной нормой образуют абстрактный нормированный конус, который не может быть вложен ни в одно линейное пространство. Заметим, что общая теория абстрактных локально выпуклых конусов возникла сравнительно недавно ([4], [8]), и такой её существенный раздел, как теория абстрактных нормированных конусов, почти не разработан. Это привело к постановке следующих основных вопросов.

1) Ввести общие понятия нормированного и банахового конусов.

2) Для заданного нормированного пространства F изучить нормированный частично упорядоченный конус Fk всех его компактных выпуклых подмножеств. Доказать полноту Fk в случае, когда пространство F банахово.

3) Для заданных нормированных пространств E и F ввести понятие K-сублинейного оператора A : E ^ Fk. Ввести понятие нормы K-сублинейного оператора и исследовать вопрос о непрерывности ограниченных по норме K-операторов.

4) Исследовать нормированный конус Lk(E; F) всех ограниченных K-операторов, действующих из E в Fk. Доказать квазиполноту конуса Lk(E; F) в случае, когда F - банахово пространство.

5) Исследовать вопрос о композиции K-операторов.

Ответы на перечисленные вопросы составляют основное содержание работы.

1. Абстрактный нормированный конус.

Напомним вначале общее определение конуса.

Определение 1. Конусом X будем называть множество, снабженное сложением и скалярным умножением на положительные вещественные числа. Скалярное умножение ассоциативно и дистрибутивно, а сложение ассоциативно и коммутативно.

Замечание 1. Напомним, что по известному критерию (так называемый "закон сокращения"(сапсе11а^оп law) [8]) векторный конус X может быть изоморфно вложен в некоторое линейное пространство Y тогда и только тогда, когда для любых элементов x,y,z G X, для которых x + z = y + z, выполняется равенство x = y. Например, конус exp(F) всех подмножеств векторного пространства F = {0} не может быть изоморфно вложен ни в одно векторное пространство. Заметим также, что в конусе может быть определено умножение и на отрицательные, либо комплексные скаляры, но при этом, вообще говоря, (-1) ■ x не есть противоположный элемент к x.

Дадим теперь определение нормированного конуса.

Определение 2. Конус X назовём нормированным, если для каждого его элемента х € X определена неотрицательная ||х||, обладающая следующими свойствами: (^ ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0; (и) ||х + у|| < ||х|| + ||у||; (Ш) ||Ах|| = А||х||, для любого А > 0.

Замечание 2. Отметим, что норма позволяет создать на конусе X соответствующую нормированную топологию с помощью е - окрестностей:

ие(х) = {х + € X, ||Н|| < е} , (е > 0).

Эта топология соответствует общему определению локально выпуклой топологии в конусе (см. ,например, [10], [11]).

Таким образом, сходимость ^ х в нормированном конусе (X, || ■ ||) означает, что

хк = х + Нк (к = 1,2,...), ||Нк|| ^ 0.

Пример 1. Приведем простой пример. Пусть М+ - положительная полуось с топологией правостороней сходимости. Эта топология не согласована с линейной структурой М+, однако согласована со структурой конуса, так как здесь

ие(х) = [х; х + е) = {х + Н| Н € М+, ||Н|| < е}.

Далее, как отмечалось в [4], топология конуса не порождает равномерность (в отличие от топологии линейного пространства). Однако можно ввести квазиравномерность, не обладающую свойством симметрии, в которой "направленные"окружения диагонали А С X х X имеют вид:

0+(Д) = {(х;х + Н)|||Н|| < е,х € X}.

Это позволяет ввести соответствующие понятия фундаментальности и полноты.

Определение 3. Пусть (X, || ■ ||) - нормированный конус, {хпС X. Последовательность {хга}~=1 называется квазифундаментальной, если

V е > 0 ЗЖ(п > Ж,р € N0) ^ (х„ = хп+р + Нпр, ||Нпр|| < е).

Иначе говоря, хп € ие(хп+р) при всех р — 0,1, 2... для п > N(е). Нормированный конус X назовём квазиполным, если любая фундаментальная последовательность в X сходится. Наконец, квазиполный нормированный конус X назовём банаховым конусом.

2. нормированный конус ГК и его свойства.

Определение 4. Пусть Г - нормированное пространство, которое мы далее для определенности будем считать вещественным. Через Гк обозначим множество всех компактных выпуклых подмножеств Г. Нетрудно проверить, что Гк образует конус, относительно поэлементного сложения и умножения на скаляры из заданного поля (не только положительные). При этом нулём в конусе является множество {0}.

Замечание 3. Конус Гк индуктивно упорядочен отношением вложения:

т.е. введенный частичный порядок является индуктивным.

Замечание 4. Конус Гк не содержится ни в каком линейном пространстве.

Доказательство. Действительно, согласно известному критерию [8], конус может быть вложен в некоторое векторное пространство тогда и только тогда, когда в конусе выполнен "закон сокращения". Однако в нашем случае "закон сокращения"не выполняется, так как, например, С — С = {0}, при С € Гк и С = {0}. □

Введем норму в конусе Гк.

Определение 5. Нормой множества С € Гк назовём величину

Теорема 1. У С ||— норма в конусе Гк . Точнее говоря: (1) ||С|| = 0 тогда и только тогда, когда С = 0;

(и) ||С1 + С2|| < ||С1|| + ||С2||;

(111) ||АС|| = |А| ■ ||С||, для любого А € М. Доказательство.

(1) Пусть С € Гк. Тогда ||С| = 0 ^ ||у || =0 Уу € С ^ С = {0}. (п) Пусть С1,С2 € ГК. Тогда:

(С1 < С2) ^ С1 с С2.

Действительно, для любых С1,С2 € Гк множество

Сз = со(С^ С2),

компактно (см. [10]). При этом

С1 С Сз, С2 С Сз,

||С|| =8Пр ||у|

уео

||С1 + С2|

вир ||У1 + У21 < вир (|У1| + ||у21) <

У1 еСх У1€Сх

У2 еС2 У2^С2

< вир ||У1|| + вир ||У2| = ||С11| + 11С211.

У1 ео

У 2^.02

(iii) Пусть C G Fk , A G R. Тогда:

||AC II = sup{HAyHi У G C} = sup{|AHMH У G C} = |A| ■ sup{HyHI У G C || = |A|-||C ||.

yec yec yec

□

Таким образом, Fk — нормированный конус. При этом норма согласована с отношением порядка: (Ci С C2) ^ (|Ci| < ||C21).

Замечание 5. Отметим, что норма в конусе Fk обладает тем же свойством оценки нормы снизу, что и обычная норма в линейном пространстве:

||Ci + C2||>|||Ci|| + HCaNi- (1)

Доказательство. Действительно, поскольку 0 е C2 — C2, то C1 + C2 — C2 D C1, а значит,

||Ci|| < ||(Ci + C2) — C21| < ||Ci + C21| + ||C2|,

откуда

||Ci + C2| > |Ci| — |C2|.

Меняя теперь местами Ci и C2 в предыдущей выкладке, мы приходим к неравенству (1). □

В соответствии с замечанием 2, опишем нормированную топологию в конусе Fk .

Определение 6. Пусть F — нормированное пространство. В нормированном конусе Fk, введём следующие понятия:

a) е — окрестность точки C G Fk :

Oe(C) = {C + H| H G Fk, ||H|| < е};

b) сходящаяся последовательность: Cn —> Co, в Fk при n ^ то, если

Vе > 0 3N (n > N) Cn = Co + Hn, ||Hn|| < е;

c) квазифундаментальная последовательность {Cn}^=i :

Vе > 03N(n > N,p > 0) Cn = Cn+p + HnP, ||Hnp|| < е;

d) квазиполнота: конус Fk — квазиполный, если любая квазифундаментальная последовательность в нем сходится;

e) ограниченность: множество C = {C} С Fk ограниченно, если

sup ||C|| < то; с ее

f) если нормированный конус Fk квазиполный, то назовём Fk банаховым конусом.

Покажем, что полнота F влечёт квазиполноту конуса Fk.

Лемма 1. Если последовательность {Cn}^=i в нормированном конусе Fk квази-фундаментальна, то она ограничена.

Доказательство. Зафиксируем ео > 0 и найдем также Жо, что для всех р > 0 :

СМ = СМ0+р + HN0p, гДе ||НМ0рУ < ео. Отсюда, в силу замечания 5, получаем:

||СМ0+р|| < ||См0 У + ||нм0р|| < ||См0 У + е0.

Следовательно, при любом п € N имеем:

||Сп|| < тах(||С1||,..., ||См0-1|, ||См01| + ео) < то,

т.е. последовательность {||п||}£=1 ограничена в . □

Лемма 2. Если С2 € 0£1 (С1),Сз € 0£2(С2), то С3 € 0£1+£2(С1).

Теорема 2. Пусть последовательность {Сп}^= квазифундаментальна в . Если некоторая подпоследовательность {СПк сходится в к С0, то и последовательность {Сга}^=1 сходится к Со.

Доказательство. Для любого е > 0 выберем К такое, что

(к > К) ^ (С„к € О|(Со)) и (п > пк,р > 0) ^ (Сп € О|(Сп+р)). Тогда при к > К и Пк < п < Пк+1 : получаем, в силу леммы 2:

(Сп € О1 (С„к+1), С„к+1 € О2 (Со)), (Сп € Ое(Со)),

откуда по определению 6, Сп ^ Со в . □

Докажем теперь основной результат.

Теорема 3. Если ^ - банахово пространство,то - банахов конус.

Доказательство. Покажем,что любая квазифундаментальная последовательность {Сп}~=1 в содержит сходящуюся подпоследовательность. По условию фундаментальности, Сп = Сп+р + Нпр, где ||Нпр|| ^ 0 при п ^ то равномерно по р. Выберем некоторую последовательность номеров п1 < п2 < ... < пк < пк+1 < ... так, чтобы

\Нк := Нпк у < ек, где^ ек <

к=1

Покажем, что соответствующая подпоследовательность {СПк = СПк+1 + Нк}^=1 сходится в . Положим, что

Нк = {^ ^ | Нг € Н*}, (к = 1, 2,...).

г=к

те

Заметим сначала, что любой ряд ^ Нг абсолютно сходится, так как

г=к

те те

^ 11М < ^ £ < То.

г=к г=к

Отсюда также следует, что

те

||НкУ < £ ^ 0 при к ^ то.

г=к

Покажем, что Нк € Ек. Сначала докажем вполне ограниченность Нк. Так как

те N ,к+р— 1 те N

£Ч = { £ Нг + £ ы\,

- г=к ^ г=к г=к+р '

то

к+р—1

к

Нк = £ Нг + Нк+р.

г=к

Выберем р > 0 так, чтобы ||Нк+р|| < |, и затем выберем конечную | — сеть

к+р—1

{Ое (Zj)}/=1 для Нг. Следовательно, {О£^)}^=1— конечная £—сеть для Нк,

2 г= к

к € N. Из определения множества Нк следует его выпуклость и замкнутость. Следовательно, Нк € Ек. Положим

Со := СП1 + Н1 = СП1 + (Н1 + Н2) = С„2 + Н2 = ... = Спк + Нк = ...

Из ||Нк|| ^ 0 следует Спк ^ С0 в ЕК. Тогда, по теореме 2, также и Сп ^ С0, т.е. Ек — квазиполный конус. □

3. К-сублинейные операторы (К-операторы). Связь ограниченности и

непрерывности К-операторов.

Вначале дадим определение К-сублинейного оператора.

Определение 7. Пусть Е— линейное пространство, Е — нормированое пространство.

Отображение А : Е —> Ек назовём К-сублинейным оператором (или К -оператором), если для любых Н1, Н2, Н € Е верно: (1) А(Н1 + Н2) С АН1 + АН2; (п) А(АН) = А ■ АН, при любом А € М.

Заметим, что, ввиду упорядоченности конуса Ек отношением вложения, свойства оператора А можно записать в виде:

(Г)' А(Н1 + Н2) < АН1 + АН2; (и)' А(АН) = А ■ АН, при любом А € М.

Рассмотрим случай,когда E также нормированное пространство. Пусть A - K-оператор, действующий из E в Fk .

Определение 8. Будем говорить, что K-оператор A ограничен (по норме), если

sup ||Ah|| < то (2)

М<1

Если A ограничен, то величину (2) назовём нормой оператора A и обозначим обычным символом

Замечание 6. Нетрудно убедиться, что норма К-оператора обладает обычными свойствами нормы:

(a) ||А||> 0, (||А|| =0) ^ А = 0;

(b) ||А + В||<||А|| + ||В||;

(c) ||А ■ А|| = |А| ■ ||А||, при любом А € М.

Кроме того, введем операцию разности К-операторов: А — В = А + (—1) ■ В. Заметим, что из определения 7 следует, что (А — В) - также К-оператор. Из неравенства (1) немедленно следует соответствующее неравенство для норм К-операторов: ё) ||А ± В||>|||А|| —||В|||.

Покажем также, что для К-операторов сохраняется основное свойство нормы линейного оператора:

е) ||АЛМ > ЩАМ ■ ИЛИ!-Доказательство. Имеем согласно определению нормы К-оператора:

= sup ||Ah|| > sup ||Ah|| = sup ||h||<1 ||hH = 1 h=0

. h

A

||Ah||

= sup ■

h=0

откуда

(||Ah|| < ||A||.||h||).

□

Изучим теперь связь непрерывности и ограниченности по норме К-оператора. Вначале приведём определение полунепрерывности сверху для произвольного отображения Ф : Е ^ Ек.

Определение 9. Назовём отображение Ф полунепрерывным сверху в точке х € Е, если

V е > 0 3 5 > 0: (||Л|| < 5) (Ф(х + Л) С Ф(х) + Се(Л), где ||Се(Л)|| < е).

Теорема 4. К-оператор А : Е ^ Ек ограничен по норме тогда и только тогда, когда А непрерывен в 0 или, что равносильно, тогда и только тогда, когда А равномерно полунепрерывен сверху всюду на Е.

Доказательство.

1) Если А ограничен по норме, то из неравенства ||АН|| < следует непрерывность А в нуле, т.к. (||Н|| ^ 0) (|АН| ^ 0)

2) Пусть А непрерывен в нуле. Тогда

V £ > 0 з г > 0 (||Н|| < г) (||АН|| < £).

При этом, ввиду субаддитивности А, для любого х € Е :

А(х + Н) С Ах + С, где ||СЙ|| < £,

немедленно

(3)

т.е А равномерно полунепрерывен всюду на Е.

3) Пусть А равномерно полунепрерывен всюду на Е. В частности, это означает, что А непрерывен в нуле, т.е. выполнено условие (3). Отсюда

= вир ||АН|| = вир ПУК 1 1М <1

А

гН

= вир 1М <1

А

гН

<7 < ТО,

г

т.е. А ограничен по норме.

□

г

г

4. Нормированный конус ограниченных К-операторов и его свойства

Обозначим множество всех ограниченных К-операторов А : Е ^ Ек через Ьк(Е; Е).

Покажем, что Ьк(Е; Е) - нормированный конус.

Теорема 5. Для любых нормированных пространств Е и Е множество Ьк(Е; Е) образует нормированный конус. При этом конус Ьк(Е; Е) индуктивно упорядочен отношением

(А1 < А2) : ^ (А1Н С А2Н), Н € Е, и норма в Ьк(Е; Е), согласована с отношением порядка:

(А1 < А2)=^ (|А11 < ||А21).

(a) ||А|| = 0 ^^ А = 0, то есть АН = {0};

(b) ||А1 + А2|<|А1| + ||А2|;

(c) ||АА||< А - ПАП, где (А > 0);

(ё) (А1 < А2), следовательно, ||А1| < ||А2||; (е) ||АН|| < ||А|| ■ ||Н||.

Доказательство. Из свойств нормы К-оператора (см. замечание 6) вытекает, что Ьк(Е; Е)— нормированный конус; при этом, в силу свойства ё), норма в Ьк(Е; Е) согласована с отношением индуктивного порядка в Ьк(Е; Е). □

Теорема 6. Если пространство Е — банахово, то Ьк(Е; Е)— банахов конус.

Доказательство. Пусть последовательность K-операторов {Anквазифунда-ментальна в Lk(E; F). Следовательно, согласно определению 6,

V е > 0 3 N (n > N, p > 0) (An = Ara+P + Brap, где ||Bnp|| < е). (4)

1) Зафиксируем h G E, ||h|| < 1 и покажем, что последовательность ква-зифундаментальна в Fk . Действительно, в силу (4),

V е > 0 3 N (n > N, p > 0) (Anh = Ara+P + Braph), (5)

причём из неравенства ||Enp|| < е следует ||Enph|| < ||Enp|| ■ ||h|| < е. Таким образом, последовательность {Anh}^=1 квазифундаментальна при любом h G E, ||h|| < 1. Но тогда для любого h G E, h = 0, имеем

{A„h}~i = ||h||-( An( ш.

1 n=1

откуда вытекает квазифундаментальность {An}^=1 при любом h G E. В силу квазиполноты Fk , для всякого h G E в Fk существует предел

Ah := lim Anh.

и^-те

2) Проверим сублинейность оператора A : E —> Fk :

a) A(h1 + h2) = lim An(h1 + h2) С lim (Anh1 + Anh2) = lim Anh1 + lim Anh2 =

и^те и^те n^-те n^-те

— Ah1 + Ah2;

b) A(Ah) = lim Au(A ■ h) = lim (A ■ Anh) = = А ■ lim Anh = А ■ Ah.

и^те и^те и^те

Таким образом, A — K-оператор.

3) Проверим ограниченность по норме оператора A. В силу лемму 1, последовательность {Au}^°=1 ограничена: ||Au|| < C (n = 1,2,...). Отсюда следует,

||Arah|| < C ■ ||h|| (V h G E V n G N).

Переходя к пределу при n ^ то, получаем

||Ah|| < C ■ NhN,

откуда ||A|| < C < то. Таким образом, A G LK(E; F).

4) Проверим, что Au ^ A в Lk(E; F). Из условия (5) получаем (при заданном е > 0, n > N(е), p > 0):

Bnph — Anh An+ph.

Переходя к пределу при p ^ то, отсюда получаем:

Enh := lim Enph — Anh — Ah.

p^-те

При этом из неравенства ||Bnp|| < е в пределе следует ||En|| < е, при n > N(е), откуда En ^ 0 в LK(E; F). Следовательно, An — A + En —> A в LK(E; F) при n.

Таким образом, нормированный конус Ьк(Е; Е) - квазиполный, т.е. Ьк(Е; Е) -банахов конус. □

5. Композиция К-операторов.

Введем понятие композиции К-сублинейных операторов. Пусть А : Е — Ек и В : Е — О к - К-сублинейные ограниченные операторы.

Определение 10. Композицией [В ■ А] операторов А и В будем называть следующее многозначное отображение:

[В ■ А]Н = соВ(АН) = со( У Ву).

уеЛЬ

Теорема 7. Если А € ЬК(Е, Е) , В € ЬК(Е, О), то [В ■ А] € ЬК(Е, О).

Доказательство. Пусть Б = У Ву. Для произвольной последовательности

уеЛЬ

{^п}те=1 С Б, возможны два случая:

1) вся последовательность {¿п}те=1 или хотя бы некоторая её подпоследовательность содержится в одном Ву, при некотором у € АН. Так как множество Ву компактно, то из {^=1 можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

2) Никакая подпоследовательность из {¿п}те=1 не содержится в каком - либо одном Ву, где у € АН, то есть в каждом Ву может содержаться только конечное число ¿п. Следовательно,существует некоторая последовательность {укС АН, такая,что каждое Вук содержит некоторую точку ¿пк.

a) Так как АН— компакт, то из {ук }те=1 можно выделить некоторую сходящуюся подпоследовательность у^ — у0 € АН.

Поскольку В— полунепрерывный сверху сублинейный оператор, то

Ву^ С Вуо + Е^, где ||Е^|| = вир —^ 0.

геЕщ

b) Следовательно, для любого г = 1, 2,... найдётся такой элемент ¿Гг € Ву0, что

х,Пк. = Г + ег, где ег € Е^, 11ег| — 0, при г — то.

Так как последовательность {¿гг}?=1 содержится в компакте Ву0, то из нее можно выделить некоторую сходящуюся подпоследовательность — ¿0 € Ву0. При этом:

кг,- — ¿пк. || = ||ег,-1| — 0 при — то,

Ъ

откуда следует,что ¿пк, — ¿0, где ¿0 € Б. Следовательно, множество Б компактно,

ъ _

откуда множество со(Б) = со(Б) также компактно.

Проверим теперь сублинейность отображения [В ■ А] : Е —^ Ок:

[В ■ А](АН) = соВ(А(АН)) = соВ(ААН) = со(АВ (АН)) = АсоВ(АН) = А [В ■ А]Н;

[B ■ A](hi + h2) = coB(A(hi + h2)) с coB(Ahi + с co(B(Ahi) + B(Ah2)) с С coB(Ahi) + coB(Ah2) = [B ■ A]hi + [B ■

□

Следствие 1. ||[B ■ A]У < ||B|| ■ ||A|| Доказательство. Имеем:

||[B ■ A]|| = sup ||coB(Ah)|| = sup ||B(Ah)|| < sup (||B|| ■ ||Ah||) =

HhM<i l|hN<i l|hN<i

= ||B|| ■ sup ||Ah|| = ||B| llh||< i

□

Автор выражает признательность И.В.Орлову за постановку задачи и полезные обсуждения.

Список литературы

[1] Алексеев В. М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - Москва: Наука, 1979.

[2] Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. - Москва: Наука, 1967.

[3] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. - Москва: Мир, 1971.

[4] Keimel K., Roth W. Ordered Cones and Approximation, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1517 - Springer-Verlag, Heidelberg-Berlin-New York, 1992.

[5] Орлов И. В., Стонякин Ф. С. Компактные субдифференциалы: формула конечных приращений и смежные 'результаты // Современная математика.Фундаментальные направления. 2009. - Том 34. - C. 121-138.

[6] Люстерник Л. А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа - Москва: Наука, 1965.

[7] Линке Ю.Э. Универсальные пространства субдифференциалов сублинейных операторов со значениями в конусе ограниченных полунепрерывных снизу функций // Математические заметки. 2011. - Том 89. Выпуск 4. - C. 547-557.

[8] Ranjbari A., Saiflu H. Some results on the uniform boundedness theorem in locally convex cones // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2009. - Vol. 15 , no. 4. - P. 361-368.

[9] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ - Москва: Мир, 1973.

[10] Шефер Х. Топологические векторные пространства - Москва: Мир, 1971.

[11] Энгелькинг Р. Общая топология - Москва: Мир, 1986.

K - сублшшш багатозначш оператори та ix властивост

У роботг вивчаються сублгнгйнг багатозначнг оператори з компактни-ми опуклими значеннями. Показано, що в разг банахових просторгв такг оператори утворюють впорядкований банахов конус.

Ключов1 слова: багатозначний оператор, компакт, сублшшшсть, нормований конус, квазшовнота

K - sublinear multivalued operators and their properties

The sublinear multivalued operators with compact convex values are studied in the work . It's shown that in the case of Banach spaces such operators form a ordered Bana^ cone.

Keywords: multivalued operator, compact set, sublinearity, normed cone, quasicompleteness.