К решению задач нестационарной теплопроводности в слоистых средах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вендин С.В., д-р техн. наук, проф. Белгородский государственный аграрный университет имени В.Я. Горина

Щербинин И.А., канд. техн. наук, доц. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СЛОИСТЫХ

СРЕДАХ

31rusacpirant@mail.ru

Рассмотрены вопросы нестационарной теплопроводности в многослойных объектах. Предложено решение краевой однородной задачи с нестационарными граничными условиями третьего рода. В основу решения положены: метод разделения переменных Фурье по собственным функциям задачи и интеграл Дюамеля. Предложенная форма решения имеет явный вид и благодаря рекуррентной форме записи основных соотношений может быть полезной при численных расчетах и анализе кинетики нестационарного нагрева (охлаждения) многослойных объектов.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение теплопроводности Фурье, многослойный объект, нестационарные граничные условия третьего рода, явная рекуррентная форма решения._

Многие важные практические задачи расчета температурных полей в многослойных объектах могут рассматриваться как одномерные. Ранее автором было предложено аналитическое решение однородной задачи нестационарной теплопроводности в многослойных объектах при стационарных граничных условиях третьего рода [1].

Ниже приведено решение такой задачи при нестационарных граничных условиях третьего рода.

В общем случае математическая постановка одномерной задачи теплопроводности для многослойных объектов определяется следующей системой дифференциальных уравнений:

ôT (r, t )

ôt

= aiV2Tt(r,t), xM < r < x; , i = 1, 2,...n

(1)

где асоответственно коэффициенты температуропроводности 1-го слоя; Т(г,0 - температурное поле 1 -го слоя; х0, хп - соответственно координаты нижней и верхней геометрической (свободной) поверхности объекта;

Будем полагать также, что объект является изотропным, т.е. теплофизические параметры в каждом слое постоянны и однородны по всему занимаемому ими объему.

Граничные условия на свободных поверхностях г = х0 ,г = хп определим как граничные условия третьего рода, полагая, что граничные условия первого и второго рода могут быть представлены как частные случаи граничных условий третьего рода.

В таком случае согласно [2] запишем:

T(r, t ) + h

етг(г, t ) '

ôr

= n(t)

T(r,t)+ h

ôT„ (r, t ) ' ôr

= p2(t )

(2)

Граничные условия сопряжения температурных полей и тепловых потоков на границах

раздела слоев в общем виде определяются следующими выражениями:

T (r, t ) = T,+,(r, t

Л.0Ш1 = ,

l Л i+

ôr

i = 1, 2,...n-1,

ôTM(r, t)

где ^ - теплопроводность > го слоя.

Начальное распределение температурных полей в каждом слое имеет вид:

ôr

T (r, t) = f (r) + v t (r, t)

(3)

(5)

T(r,0) = f (r), i = 1, 2,...n

(4)

Если представить искомое решение задачи в виде суммы

то задача сводится к определению функций

V ¡(т, t) , которые являются решением задачи с

нулевыми начальными условиями и удовлетворяют следующим уравнениям:

r=x,

r=x

r=x

У1(г, г) + к

8у1 (г, г) 8

(г, г)

8г

= а2^(г,г) , хи < г < X! , i = 1, 2,...п

= )

уп (г, г) + к

8у„ (г, г)" 8г

= Ф2(г)

V (Г,г) = vi+l(г, г )| г

(г, г)

8г

8г

i = 1, 2,...п-1, (г,0) = 0 , i = 1, 2,...п

(6)

(7)

(8)

(9)

В общем случае решение задачи с неодно- где V, (г,т, г) - решение задачи при условии, что т родными граничными условиями, зависящими является параметром

от времени, может быть определено интегралом Дюамеля [2, 3]:

г 8

v. (г, г) = I —V,. (г, т, г - т)йт , при 1>0 (10) 8г

8ух (г,т, г)

Тогда функции Vi (г,т, г) должны удовлетворять дифференциальному уравнению (5) с начальными условиями Vi (г, т,0) =0 и граничным условиям на свободных поверхностях г=х0 хп, а также условиям сопряжения:

v (г,т, г) + к ■

8г

= я\(г)

v (г,т,г) + к

8уп (г,т, г) 8г

= Ъ(*)

■V, (Г,T, г) = V¡+l(г,T, г ^ Г

8vi (г, т, г) 8ум(г,т, г)

8г

8г

(11)

(12)

! = 1, 2,...п-1

В соответствии с найденным решением функции V (г,т, г) определяются следующими выражениями:

да

v¡ (гТ, 0 = (Г, 0 +Е Ст (т)К-,т (М-,тГ )еХР(-М2,,таЛ

а функции V, (г, г) имеют вид:

v (г, 0 = £

I

- 1 Ст (т)

рш (итГ)ехР(-и1таг)

где Кт (и„ г) - собственные функции задачи

к (и г)=

п ^

В1,т = -

x[у. (и г) + в к (и г )1 , ! = 1,2,...п

¥!(М1,тХ0) + к!¥'(М1,тХ0) У2(М1тХ0) + к1¥2(и1,тХ0)

к

К'(МтХ-1 К'(М-итХ,-! ) + В-Г2(М,-итХ,-1 )

- К (и х ,) - К (и х ,) + В X (и 1 х. ,) К (и х. ,)

К'Ли х. ,) К (и ,, тх ,) + В ,У' (и . х ,) у (и х )

1 К (и х. ,) К (и , х. ,) + В ,К (и , х. ,)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

! = 2,3,.п.

Г=х

г=х

Г=х

Г=х

Г=х

г=х

т=0

т=0

0

к =1

Т (ц , х. ,) + В (ц . х ,)

г, = 1; 2 = 1 '-1)-'-1 2(ц~1ш '-1) ,х = 2,3,...п

' Т1(и,шХ'-1) + В'Т2(и,шХ'-1)

Цш =ЦП,ш4ап 1 а' , Цп,ш - собственные числа задачи, определяемые согласно уравнения

(18)

Т^Х) + КТЩшХп) + Вя^2(ЦшХ„) + \Т'2(цПшшХп) = 0, т = 0,1,2..

С (г) =-

/ Ц2

_'=1 а'х-1 _

щ (г, т) = (р1 (т) + [а, (т)р2 (т) - (р1 (т)]х

[у(г) + 0 (т)]

0(т) = -[У(Хо) + КУ'(х0)] = о 0(т) =^Цу(х-1) + 0-1 ]-У(х,-1) , х = 2,3,...п

¿-1

■ 4

а, = —— х -

¿+1 У(хп ) + 0п (т) + н2У(хп )

х'

| О(г^ I (Цшг^г

х = 1, 2,.п.

(19)

(20)

(21) (22)

(23)

= 4

Весовая функция О(г), а также конкретный а). Декартова (прямоугольная) система ко-

вид функций у (г) и (цг) определяются выра- ординат: жениями:

О(г) = 1,У(г) = г, Т (цг) = ът(цг), Т2(цг) = ооа(цг)

б). Сферическая система координат:

2 1 1 1

О(г) = г , у (г) =-, Т (ц) = - $т(цг\ У2 (цг) = - сояЦг) г г г

в). Цилиндрическая система координат:

О(г) = г, у (г) = Ы г, Т (иг) = ^ (иг), Т2 (цг) = N (цг)

(24)

(25)

(26)

Важное замечание:

ет ограниченности в центре шара или на оси ци-

Иногда при решении задач для сплошного линдра. Тогда нижние и верхние граничные шара или цилиндра полученное решение требу- условия записываются в следующем виде:

\дТх(г, Г) 1 = 0

_ дг _ г=Хо

Тп (г, Г) + И

дГп (г, Г) дг

= Р2({ )

(27)

В таком случае в полученном решении для ционарного нагрева (охлаждения) многослойных объектов.

Различные частные решения подобных задач могут быть сразу же записаны с учетом граничных условий (2), а также выражений (4), (5), (14) и (24) - (28).

многослойных объектов следует полагать

В,ш = 0, щ(г,т) = р2(т) , х=1,2...п (28)

и далее все расчеты проводятся в соответствии с основным решением.

Таким образом, нами получено общее решение краевой однородной задачи с нестационарными граничными условиями третьего рода. Предложенная форма решения имеет явный вид теплопроводности в многослойных объектах

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Вендин С.В. К расчету нестационарной

и благодаря рекуррентной форме записи основных соотношений может быть полезной при численных расчетах и анализе кинетики неста-

при граничных условиях третьего рода // ИФЖ. 1993. Т.65. №1. С. 98-100.

2. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: Учеб.

х

1

х

'-1

г=х

Пособие. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.:

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 835 с.

4. Вендин С.В., Щербинин И.А. к расчету

распространения электромагнитного импульса при СВЧ обработке диэлектрических сред // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2015. № 2. С. 204-206.

Vendin S.V., Shcherbinin I.A

TO SOLVING THE PROBLEM OF UNSTEADY HEAT CONDUCTION IN LAYERED MEDIA

The problems of non-stationary heat conduction in multilayer objects. The solution of the boundary of the homogeneous problem with unsteady boundary conditions of the third kind. The basis of the solutions put: the Fourier method of separation of variables in eigenfunctions of the integral of Duhamel. The proposed solution has the form of an explicit form and thanks to the recurrent form of recording basic relations can be useful in numerical calculations and analysis of the kinetics of transient heating (cooling) multilayer objects. Key words: boundary value problem, the Fourier heat equation, multi-object unsteady boundary conditions of the third kind, explicit form of recursive solutions.

Вендин Сергей Владимирович, доктор технических наук, профессор.

Белгородский государственный аграрный университет им. В.Я. Горина.

Адрес: 308503, пос. Майский Белгородского района Белгородской области, ул. Вавилова, д.1.

Щербинин Игорь Алексеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры ЭЭиА. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова Адрес: Россия, 308012, Белгород, ул. Костюкова, д. 46 E-mail: 31rusacpirant@mail.ru