CC BY
63
УДК 629.114.2
К РАСЧЕТУ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ МОТОРНО-ТРАНСМИССИОННОЙ УСТАНОВКИ ТРАНСПОРТНЫХ И ТЯГОВЫХ МАШИН
Б.М. Позин
CALCULATION OF THE NATURAL FREQUENCY OF TORSIONAL VIBRATIONS OF ENGINE-TRANSMISSION UNIT OF TRANSPORT AND TOWING VEHICLES
B.M. Pozin
Предлагается метод расчета собственных частот крутильных колебаний моторно-трансмиссионной установки транспортных и тяговых машин без составления и решения частотных уравнений.
Ключевые слова: тяговая машина, моторно-трансмиссионная установка, крутильные колебания, собственная частота.
Method is proposed for calculating the natural frequencies of torsional vibrations of a motor vehicle transmission setting and traction machines without setting up and solving the frequency equations.
Keywords: traction machine, the motor-transmission unit, torsional oscillations, the natural frequency.
В практике машиностроения крутильные колебания, возникающие в двигателе внутреннего сгорания (ДВС) или моторно-трансмиссионной установке (МТУ) транспортных и тяговых машин, неоднократно становились непреодолимым препятствием при создании разного рода машин. Известен опыт Челябинского тракторного завода, Курганмашзавода и др., когда неверное задание некоторых параметров этих систем на ранней стадии проектирования серьезно задержало, а в ряде случаев сделало невозможным доводку машин.
Существуют методы оптимального совмещения характеристик ДВС и гидротрансформатора (ГДТ), обеспечивающие машине наивысшую эффективность путем введения между ними согласующего редуктора [1], однако в практике отечественного и зарубежного тракторостроения не удалось решить проблему крутильных колебаний в системе ДВС - редуктор - ГДТ даже при постановке довольно мощных гасителей.
Методы расчета крутильных колебаний сложных машинных систем достаточно хорошо разработаны. Однако они довольно трудоемки. Расчет включает в себя два основных этапа: составление уравнений движения колебательной системы и нахождение частот собственных колебаний как результат решения частотного уравнения [2, 3].
Покажем, как упростить нахождение собственных частот, если известна динамическая модель системы, без составления и решения частотных уравнений, сведя задачу к нахождению корней характеристического уравнения некоторой матрицы, численное решение которой дается в пакете Mathcad, встроенными процедурами.
Рассмотрим для примера динамическую модель МТУ (рис. 1).
I I сі I3 с2 In- 1 In- сп-1 1-
Рис. 1. Динамическая модель МТУ
Расчет и конструирование
Математическая модель движения этой динамической системы может быть представлена в виде системы п дифференциальных уравнений второго порядка:
/1(р1 = сх (2 -ф1 );
12ф2 = _С1 (ф2 - ф1 ) + c2 (ф3 - ф2 );
(1)
4—1фn—1 = cn—1 (n (n—1 ) cn—2 ( (n—1 (n—2 );
In ф n =—cn—1 ((n — Фп—1 )
где сi - жесткость i-го участка трансмиссии; I - момент инерции i-й массы; фг- - угол поворота i-й массы.
Решениями системы (1) являются уравнение равномерного вращения ф0 = a0 + roí и уравнения упругих колебаний:
фг- = a, sin (pí + a). (2)
Подставляя (2) в (1) получим: c1 p2—a1 )=— 11 p 2a1;
c2(a3 - a2) -c1(a2 - a1) = -I2p a2;
cn-1 (n - an-1 ) - Cn-2 (n-1 - an-2 ) = -In-lP4-1;
- cn-l(°n - an-1 )=- InP 2an ■
Элементарными преобразованиями система (3) приводится к виду:
2 *
(-c1 +11 p )а1 + с1а2 = 0;
2
с1а1 + (- c1 - c2 +12p )а2 + с2а3 = 0; с2а2 + (-c2 - c3 +13p )а3 + с3а4 = 0;
(3)
сп-2аn-2 + (-Cn-2 - cn-1 + In-1 p H-l = 0; сn-1аn-1 + (-cn-1 + Inp 2)аn = 0
(4)
Система (4) есть система однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд. Условием существования ненулевого решения этой системы является равенство нулю определителя матрицы А (рис. 2).
Рис. 2. Матрица А
Это обстоятельство и служит основанием для составления частотного уравнения. Действительно, вычисляя определитель матрицы А, получаем алгебраическое уравнение порядка п относительно квадратов частот. Решая это уравнение тем или иным способом, получим п - 1 час-
Позин Б.М.
К расчету собственных частот крутильных колебаний моторно-трансмиссионной установки...
тот собственных колебаний и одну скорость общего вращения. Можно, однако, предложить другой способ нахождения собственных частот системы без составления и решения частотного уравнения.
Разделим в матрице А каждый /-й столбец на -1/.
Матрица А преобразуется к виду (рис. 3).
7 с Л
А1 :=
/'-о Л
( -о1 1
ч :2 у
о1 + о21
^ у
"(-о)2_
_ :2 _
/'-о Л
Г с2 + оз1
I
( -о 2 1
п-2
о о + о і
п-2 п-1
I
2
Р
п-1 у
(о Л (о Л
п-1
п-1
п-1
I
Рис. 3. Матрица А1
Ясно, что определители этих матриц равны.
Матрица А1 является характеристической матрицей матрицы А2 (рис. 4) [4].
(оЛ /'-сЛ
Г-сЛ
о + о 1 2
-о
'(-о)2' (о + о ^ 2 3 ( -о3 1
Л2:= □ _ Д2 _ ч Т3 у Ч *4 У
п-2
п-2 п-1
п -1
Рис. 4. Матрица А2
Характеристические корни А2 имеют, таким образом, в рассматриваемой задаче смысл квадратов собственных частот колебаний.
В пакете Mathсad имеется встроенная программа нахождения характеристических корней матрицы eigenvals, применив которую к матрице А2 получим весь спектр квадратов собственных частот.
Пример. Путь имеется трехмассовая система с характеристиками: с = 211 • 106; с2 = 14,8 • 106;
1\ = 17 000; 12 = 85 000; 13 = 27 000; р = ю = 122,166 (пример заимствован у Я.Г. Пановко [4]).
Составим матрицу А2 и применим к ней встроенную процедуру eigenvals (рис. 5).
1
2
Р
I
2
2
Р
I
I
3
2
Р
I
3
I
2
Р
п
1
I
2
1
2
I
I
2
3
Расчет и конструирование
Извлекая квадратные корни из членов результирующей матрицы, получим собственные частоты: р1 = 26,303 (26,3) с-1; р2 = 122,147 (122,5) с-1; частоту общего вращения р3 = 0. В скобках приведены собственные частоты, вычисленные Я.Г. Пановко.
( 4 ^
1.492 • 10
eigenvals A2) :=
-3.305 • 10 691.833
- 13
V
У
А2 :=
-С,
^2
-с
2
L
С
2
L
2 3
Рис. 5. Применение процедуры eigenvals к матрице А2
С
1
Литература
1. Бабаков, И.М. Теория колебаний /И.М. Бабаков. - М. : Наука, 1963. - 559 с.
2. Злотник, М.И. К вопросу оптимального совмещения характеристик двигателя и гидротрансформатора /М.И. Злотник // Тракторы и сельхозмашины. - 1967. - № 6. - С. 18-19.
3. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. - М. : Физматгиз, 1968. - 431 с.
4. Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний /Я.Г. Пановко. - М. : Машиностроение, 1967. - 316 с.
Поступила в редакцию 27 февраля 2012 г.
Позин Борис Михайлович. Доктор технических наук, профессор кафедры «Автомобили», Южно-Уральский государственный университет. Область научных интересов - колесные, гусеничные и дорожно-строительные машины (теория движения, устойчивость, оптимальное проектирование). Тел.: (351) 772-83-40; e-mail: POBOR1@mail.ru
Boris M. Pozin. The doctor of engineering science, professor of “Automobile” department, South Urals state university. The area of scientific interests - wheel, track and road-construction vehicles (the theory of motion, stability, optimum design). Tel.: (351) 772-83-40; e-mail: POBOR1@mail.ru
