К расчету сложных замкнутых сетей с учетом статистических характеристик нагрузок Текст научной статьи по специальности «Математика»

К РАСЧЕТУ СЛОЖНЫХ ЗАМКНУТЫХ СЕТЕЙ С УЧЕТОМ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НАГРУЗОК

Г, А, Назаренкова (Представлена профессором, доктором техн. наук В. К. Щербаковым)

При рассмотрении необходимости учета статических характеристик (нагрузок в расчете линий электропередачи было выяснено [6], что ошибка в расчете без учета статических характеристик ¡нагрузок достигает порядка 10%. При этом ошибка ¡возрастает с увеличением отклонения напряжения у потребителя от номинального, а отклонение напряжения от номинального у потребителя будет тем больше, чем больше передаваемая мощность и длина передачи.

Современные замкнутые сети имеют протяженность отдельных участков сети порядка 80—100 км и более. Конфигурация замкнутых сетей может быть очень сложная. Поэтому определение потокораспределения в таких сетях — задача весьма трудоемкая.

Нагрузки в узлах замкнутой сети задаются обычно мощностями, которые при

определении потокораспределения считаются неизменными. В действительности мощность питаемых от сети нагрузок изменяется в зависимости от подведенного напряжения.

В практике расчета замкнутых сетей имеется /несколько ¡методов их расчета (метод преобразования сети, метод контурных уравнений, метод узловых напряжений и др.).

Наиболее общим из них является /метод узловых напряжений. Используя этот метод расчета, можно наиболее просто учесть статические характеристики нагрузок. По закону Кирхгофа составляются уравнения равновесия токов в узлах сети. Нагрузки по звеньям сети можно выразить через напряжение узлов и постоянные звеньев. В результате получится система уравнений с неизвестными напряжениями в узлах [1].

Для рис. 1 уравнения баланса токов узлов имеют следующий вид:

ва1

0, -л12и2

В12

йо — В Q-.fi Ъ

В21

в

32

Вя

+

в

13-

23

/2; [

(1)

)

Токи в узлах должны быть известны. Кроме того, напряжением одного из узлов необходимо задаться. Таким образом, составляется (п — 1) уравнение (п—число узлов). Ввиду того, что нагрузки узлов обычно задаются в мощностях, токи правых частей уравнений можно заменить отношениями мощностей к сопряженным значениям напряже-12—1383 1?7

ний узлов Решив полученную систему уравнений, ¡находят на-

пряжения в узлах, а затем и потоки мощности в звеньях сети.

Полученную систему уравнений (1) можно записать в общепринятой форме [2]:

или

в,

и.

01

в

01

Вгг)

в,

В,

2 .

В12 В,2/ Во* \в0,

в

3 ' в ~2

V и —V О 4~ У и 1 10 0 1 11й 1 1 12 2 ,

О 2

А - у, А + У Л

и.

V*

I _

• ^ «» - А >

23 из )

(2)

У г

В общем виде система уравнений узловых напряжений может быть записана:

.

г[)±1> О =-1.

П1 1 I п2 2 I ПП П ^

Таким образом, получается система нелинейных уравнений. Решить эту систему уравнений прямым путем — задача очень трудная. Наиболее просто система нелинейных уравнений решается методом итерации [2 и 4]. Прежде чем воспользоваться методом итерации, необходимо систему уравнений привести к виду, удобному для итерирования. Это можно сделать двумя способами. В одном из способов предполагается, что сеть имеет одну ступень напряжения, а узел с заданным напряжением совпадает с узлом, примыкающим к регулирующей станции (на-•

пример, и2). Из соответствующих узловых уравнений (3) выделяется по одному напряжению узлов. Для этого все уравнения системы делятся на свои диагональные коэффициенты.

О г = а12и2 + а^и, + • • • + а1пйп

Ч1

= ¿а1Ог + а2303 +. .. + а2Оп - А ;

и 2

Оз = а3 Д + а1гОя +... + ¿зА - 'ь

33

и.

и

п=а.01+ая902+.. .+а М Ь

п п\ 1 1 п2 * 1 I щп—I) П—I /

и.

^12 ■ * У 21

&12 -у ) #21 - V- ^ ^'

1 П 1 22

¿и = 77/ Ь» = 7Гг и т" д|

Привести систему уравнений (3) к виду, удобному для итерации, можно и другим способом.

В уравнениях системы (8) известные члены переносятся в правую' часть, и полученная система уравнений решается относительно неизвестных напряжений узлов (лучше для этого воспользоваться матрицами).

В результате получается:

и

и, и3

¿Л

(5)

Рис. 2.

и» ,

Задавшись начальными значениями узловых напряжений, из системы уравнений (4) находим их первое уточненное значение. Затем по полученным напряжениям узлов находим вторые приближения и т. д. Аналогично и для уравнений (5). Для более (быстрого получения результата возможно применение ускоренной итерации (которая заключается в немедленном использовании полученных приближений неизвестных для определения последующих неизвестных). Следовательно, при решении системы уравнений узловых напряжений методом итерации учет статических характеристик нагрузок не усложняет расчета. После того как будут определены первые приближения узловых напряжений, по статическим характеристикам нагрузок находится мощность, потребляемая токоприемниками при данных напряжениях. Затем находятся вторые приближения напряжений узлов. По вторым приближениям напряжений вновь определяется по статическим характеристикам мощность, потребляемая токоприемниками, и т. д. Учет статических характеристик нагрузок процесс итерации не замедляет. При составлении системы уравнений узловых напряжений обычно нагрузка считается заданной на высокой стороне понижающих трансформаторов и напряжения определяются там же. Если потребуется найти напряжение на низкой стороне трансформаторов, то в случае, когда расчет ведется без учета статических характеристик нагрузок, это не вызовет затруднений. Сложнее этот вопрос решить при расчете с учетом статических характеристик нагрузок. Обычно же допускаемые отклонения напряжения от номинального в различных режимах работы сети даются по отношению к номинальному напряжению сети на низкой стороне трансформаторов. Поэтому удобнее, чтобы нагрузка была задана на низкой стороне понижающих трансформаторов, а система уравнений узловых напряжений составлена с учетом постоянных понижающих трансформаторов.

Пусть имеется сеть, изображенная на рис. 2. Нагрузки заданы мощностями на низкой стороне понижающих подстанций.

Фазное напряжение питающей точки и0 задано.

Параметры линии и трансформаторов известны. Необходимо найти напряжения на низкой стороне понижающих подстанций С/ь и2, ^з« приведенные к высокой стороне.

Связь между фазными напряжениями и токами в начале и конце любого звена электропередачи может быть выражена:

и

или

и =ш

к н

В1: 1

Син + А1н, }

(6)

где А, В, С, Б — обобщенные постоянные данного звена электропередачи, значения которых зависят от схемы замещения звена. Предполагается, что участки линий замещаются П-образной схемой замещения, а трансформаторы — Т-образной схемой замещения.

Уравнения балансов тока ¡по узлам можно записать:

А

Лп = '.„Г

В результате подстановки значений токов из уравнений (6) и некоторых преобразований получается система трех уравнений с тремя неизвестными напряжениями узлов:

21 2 .

Вб \ 2 ^ Вб ^ ве )

2 в.

\ вб ' вб ] < > вв Вв ^ \ 3 ^ в2 ^ вв ) 3 ва 1 вл \в2 ^ в8 ^ 3) 3

Аналогично можно составить систему узловых уравнений для любого количества узлов в сети. Число членов в коэффициентах при напряжении и токе узла, для которого составляется уравнение, равно ■числу подходящих и отходящих ветвей. Структура коэффициентов при токах и неизвестных напряжениях проста. Записать все коэффициенты для любого узла сети не составит особого труда. Токи узлов опреде-

лятся как— .

В случае учета при расчете статических характеристик мощности, потребляемые нагрузками, будут функциями подведенного к ним напряжения: 5 =/([/ ).

В общем виде система уравнений узловых напряжений с учетом трансформаторов может быть записана:

¿г А - -... - аыОп = а10О0 - бД +.. . +61д/я; |

—¿2 Д а2202 - ... - а2п(Уп = а2000 + Ь21!г - ¿22/2 +. . . + Ь2п1п; |

\ (?)

-апРг ~ апР\ - • • • + аппип=апРо + ¿„Л + - • ■ ~ Кп1 п>

где а с соответствующими индексами — коэффициенты при напряжениях узлов; Ъ с соответствующими индексами — коэффициенты при токах. Если обозначить известные правые части уравнений через С, то система уравнений (7) может быть записана и в матричной форме:

АО=с.

или иначе

и'

—а.

12'

22'

'П\

'пТ

\п

— а

2 п

) I

( . "г I 1 . ) С,

(8)

и с

Полученная система уравнений невелика и решать такую систему наиболее просто методом интерации.

Привести систему уравнений (7) к виду, удобному для итерации, можно путем деления каждого уравнения системы на диагональный элемент (так как диагональные элементы матрицы А преобладают над остальными элементами).

и —

0,1

алл п

<1X ап

п2 Г

пп

или

и.

12

О = а .0 4-... а' ,0 ,4-С' ■

п п\ 1 I I п,п~ 1 п—1 ^п

(9)

Преобразовать полученную систему уравнений к виду, удобному для итерации, можно и другим путем. Для этого нужно решить систему уравнений (8) относительно неизвестных напряжений узлов. В общем виде это решение ¡может быть записано так:

где А

-1

ооратная матрица.

В развернутом виде:

и.

и.

6/

та/г

и, и2 ип

(10)

Таким образом, система узловых уравнений может быть составлена в виде системы уравнений (9) и в виде системы уравнений (10). Необходимо выяснить, в каких условиях будет обеспечена стоимость процесса итерации при решении подобных уравнений. Быстрота сходимости процесса итерации зависит от того, как удачно будет выбрана форма уравнений и как удачно выбраны первоначальные значения неизвестных, на основе которых будет строиться весь итеративный прощрс. Предполагается, что расчет ведется с учетом статических характеристик на-

грузок. Следовательно, мощности ¡нагрузок в уравнениях являются функциями подведенного напряжения.

Типовые статические характеристики для смешанной нагрузки достаточно хорошо определяются следующими эмпирическими формулами [3]:

При отклонениях напряжения до 20%' от номинального кривые, построенные по этим формулам, совпадают со статическими характеристиками для смешанной нагрузки, а при отклонениях свыше 20% Рас~ хождение кривых незначительное.

При исследовании сходимости процесса итерации в систему уравнений (9) — (10) вместо ,мощкости 5 нагрузок надставляется ее значение по формулам (11).

Общий вид системы уравнений (9) и (10):

Для уравнений типов (9) и (10) процесс итерации сходится тогда, когда соблюдаются следующие условия [5]:

др1 дО, + дРг дО, + •

дР, ди2 + дР2 ди2 + •

дР, + дР2 м» + •

ди1 дР,

ди9

<1; <1;

ди.

<1

Для того чтобы сходимость была достаточно быстрой и в данных условиях имело смысл применять метод итерации, необходимо, чтобы каждая из этих величин была бы значительно меньше единицы. Таким образом, чтобы получить критерии сходимости процесса итерации данной системы уравнений, необходимо все уравнения системы продифференцировать по всем неизвестным. При этом приходится иметь дело с комплексными числами и с величинами, сопряженными с неизвестными напряжениями. В случае расчета замкнутых сетей, когда длины отдельных участков линии порядка 80—100 км и меньше, поперечная составляющая падения напряжения мало ¡влияет на величину модуля напряжения. Следовательно, в первом приближении можно считать, ^то все неизвестные напряжения направлены по вещественной оси. Учитывая, что при получении критерия сходимости процесса итерации нужны модули соответствующих величин, большой ошибки при таком допущении не получится. Как показала практика расчетов, критерий сходимости для уравнений вида (10) почти всегда значительно меньше единицы, а для уравнений вида (9)—близок к единице. Следовательно, и сходиться процесс итерации для уравнений вида (10) будет быстрее, чем для уравнений (9).

Выводы

1. Наиболее, просто учесть статические характеристики нагрузок в расчете замкнутых сетей при использовании метода узловых напряжений.

2. Расчет желательно при этом еести с учетом -понижающих трансформаторов методом итерации.

3. Процесс итерации сходится быстрее для системы уравнений вида (10).

Литература

1. Щербаков В. К-, Расчет напряжений и токораспределения мощностей в сложных электрич-еских системах при нормальном режиме, Юбилейный сборник Томского индустриального института, 1940.

2. Ф а з ы л о в X. Ф., Теория и методы расчета электрических систем, АН Уз ССР, 1953.

3. Мельников Н. А., Расчеты режимов работы сетей электрических систем, Госэнергоиздат, 1950.

4. Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры, Гостехтеорет-издат, 1950.

5. Скарборо Дж., Численные методы математического анализа, Гостех-теоретиздат, 1934.

6. Щербаков В. К- и Назаренкова Г. А., Допустимо ли в расчетах электрических сетей пренебрегать изменением мощности нагрузок при отклонениях напряжений на потребительских подстанциях? Известия ТПИ, т. 72, 1952.