CC BY
40
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ и А Г И
Т о м X/ 19 8 0
№ 6
УДК 518.5-г533.6.011.3,5:629.7.025.1
К РАСЧЕТУ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛЬЕВ СО СВЕРХЗВУКОВЫМИ ОСТРЫМИ КРОМКАМИ
А. Г. Зарубин
Численным методом Годунова решена задача обтекания треугольного крыла со сверхзвуковыми острыми кромками. /Методика расчета предусматривает выделение границы возмущенного течения в качестве границы области расчетов, а также выделение особенности на кромке для течения над крылом.
Сверхзвуковая острая кромка является особой линией течения над верхней поверхностью крыла. На кромке пересекаются характеристические поверхности волны разрежения, поэтому здесь вдоль некоторых направлений градиенты параметров потока неограниченно растут. Если разностная сетка не учитывает этого (сквозной расчет), в области кромки погрешность вычислений значительно выше, так как конечно-разностные соотношения плохо аппроксимируют исходные дифференциальные уравнения движения газа.
Погрешность можно рассматривать как результат схемной диффузии, которая в окрестности кромки особенно велика и приводит к интенсивным необратимым процессам. Энтропия газа, прошедшего через эту область, возрастает и на поверхности крыла образуется энтропийный слой.
Принято считать, что при сквозном расчете обтекания крыла со сверхзвуковыми кромками погрешность, вызванная ухудшением аппроксимации схемы, локализуется в области кромки и не искажает решения в остальной части счетной области. В какой-то степени это верно только для давления газа. Что же касается других параметров, в энтропийном слое на поверхности крыла они плохо соответствуют реальному течению.
Энтропийный слой можно устранить, только повысив точность вычислений в окрестности кромки. Эффективным средством для этого является локальное измельчение ячеек сетки в направлении наибольших градиентов параметров потока, что можно рассматривать как одну из форм выделения особенностей течения.
Рассмотрим методику расчета, обеспечивающую в указанном выше смысле выделение волны разрежения на кромке на примере плоского треугольного крыла со следующими параметрами: стреловидностью-/_ = 45°, числом М невоз-мущениого потока Ма0 = 2,94 и углом атаки а = 12°. Результаты сравним с экспериментом [2] и со сквозным расчетом того же течения по методике, близкой к [1].
Все расчеты проводятся в декартовой системе координат (ж, у, г) по схеме [3], которая является одним из вариантов метода Годунова [4|. Центр координатной системы совмещен с носком треугольного крыла, расположенного в плоскости у = 0 симметрично относительно оси х. Ось г направлена по размаху крыла. В качестве поверхностей начальных данных используется семейство
Рис. I
плоскостей х= const. Компонент скорости газа вдоль оси х должен быть сверхзвуковым всюду в области расчетов. Параметры течения обезразмериваются так же, как в [4].
При вычислениях сквозным методом счетная область представляет собой пирамиду с вершиной в начале координат, охватывающую все возмущенное течение. На ее боковых поверхностях граничными условиями являются параметры невозмущенного потока. Они же используются как начальные данные. Расчет проводится методом установления по переменной х. На рис. 1. а показано сечение разностной сетки плоскостью х = const. Все ячейки сетки являются одинаковыми прямоугольниками. Поперечные размеры области расчетов подбираются так, чтобы кромка крыла совпадала с одним из узлов сетки. Тогда в любом поперечном сечении сетки на крыле размещается одинаковое число ячеек. На принадлежащих крылу сторонах ячеек выполняется граничное условие непроницаемости.
На рис. 1,6 показано сечение л: = const разностной сетки при расчете с выделением границы возмущенного течения. Разностная сетка и параметры в ячейках рассчитываются методом установления по переменной Л'.
Выделение волны разрежения обеспечивается тем, что у кромки расстояние между узлами сетки по нормали к крылу уменьшается. Ячейки сетки, непосредственно примыкающие к кромке, в процессе установления принимают форму треугольников. Это достигается благодаря специальной методике выделения границы возмущенного течения в качестве границы счетной области. Последняя определяется точками пересечения с лучами сетки — прямолинейными отрезками, начинающимися на крыле и пронизывающими область расчетов до пересечения с внешней границей.
Точку на крыле, из которой исходит луч, назовем основанием. Луч полностью определен, если заданы его основание и направление, т. е. угол относительно оси у.
Опишем алгоритм построения сетки для расчета течения над верхней поверхностью крыла. Этот алгоритм можно использовать и для течения под крылом. Разобьем отрезок, представляющий крыло в сечении х = const, на заданное число К одинаковых интервалов. Точки разбиения (основания лучей) пронумеруем в порядке возрастания г-координаты. Каждому лучу присвоим номер его основания.
Первый луч совпадает с положительной частью оси у. Направление последующего луча получается из предыдущего поворотом на угол а< 1. Угол между последним (К -г I = М) лучом и осью у не должен превышать 90°.
С ростом х точки пересечения внешней границы с лучами сетки сдвигаются вдоль лучей. Сначала вычисляется величина сдвига по нормали к границе, затем ее проекция на луч. Для вычисления сдвига по нормали используется алгоритм решения задачи о взаимодействии двух однородных сверхзвуковых потоков [4].
Построение сетки эквивалентно разбиению сечения х = const области расчетов на элементарные четырехугольники. Для этого отрезок каждого луча между крылом и внешней границей разбивается на заданное число интервалов одинаковой длины. Точкам разбиения присваиваются номера от 0 до N. Нулевой номер соответствует точкам на крыле, номер N — точкам на внешней границе. Точки разбиения с одинаковыми номерами, лежащие на соседних лучах, соединяются отрезками прямых. Тем самым построена разностная сетка в сечении х = const.
Все приводимые ниже результаты были получены на сетке с JVX К = 8X20 в случае расчета с выделением границы возмущенного течения и на сетке размером 45X45 —при использовании сквозного метода. В последнем случае для возмущенного течения над крылом использовалась часть сетки размером 30X30 (на поверхности крыла укладывалось 30 ячеек).
На рис. 2 сравниваются экспериментальные данные [2] и результаты расчета с выделением границы возмущенного течения. В поперечном сечении потока вдоль нескольких прямых у =const показано распределение величины полного давления р', которое было бы в данной точке потока за прямым скачком, отнесенное к своему значению за прямым скачком в невозмущенном потоке Данные эксперимента и расчета хорошо согласуются всюду за исключением малой окрестности границы возмущенного течения. В эксперименте на этой границе реализуется слабая ударная волна (см. [2]). Это приводит к тому, что полученная в эксперименте граница возмущенного течения (см. пунктирная линия на рис. 1) несколько выше расчетной. По мнению авторов [2], причиной, вызывающей скачок, является отрыв потока на кромке.
На рис. 3 сплошной линией показано распределение давления по верхней поверхности крыла, полученное при расчете с выделением волны разрежения. От кромки до точки г\Ь ж 0,35 давление постоянно. Рост давления при 0,35 связан с внутренним скачком. Это полностью соответствует структуре течения,
°-------сквозной насчет I
— расчет С Выселением I результаты [f] J
I
/
У
02 0,ч 0.6 0,8 г/Ь Ю
Рис. 3
---- cutизной расчет
----расчет с Выделением
с результаты (У)
Рис. 4
которое представляет собой волну разрежения, ограниченную ударной волной вблизи плоскости симметрии.
Распределение давления при сквозном расчете (пунктирная линия на рис. 3) и при расчете с выделением волны разрежения удовлетворительно согласуется при 0<г6<0,6. При больших значениях г/6 разница между ними быстро растет, достигая на кромке очень большой величины. Область повышенного давления у кромки можно сузить, используя более густую сетку, однако это приводит к значительному увеличению времени счета.
Для оценки погрешности энтропии на рис. 4 показано распределение энтропийной функции pjfx (где />, р — соответственно давление и плотность, отнесенные к своим значениям в невозмушенном потоке, *. — показатель адиабаты) по верхней поверхности крыла. Сплошная линия соответствует расчету с выделением волны разрежеиия, пунктирная — сквозному расчету. В последнем случае на поверхности крыла из-за погрешности расчета у кромки образуется энтропийный слой—энтропийная функция возрастает у кромки на 14% и затем медленно убывает вблизи оси симметрии. Внутренний скачок не обозначен.
При расчете с выделением волны погрешность энтропийной функции пренебрежимо мала (~0,03|’4) вплоть до скачка. На скачке происходит прирост энтропийной функции до максимальной величины 0,7%.
На рис. 5 при помощи изолиний р = const изображено поле возмущенного течения в сечении % = const при сквозном расчете (справа) и при расчете с выделением особенностей (слева). Характерное искажение изолиний вблизи крыла при сквозном расчете указывает, что фиктивный энтропийный слой образуется как на верхней, так и на нижней поверхности. Левый рисунок свободен от этого недостатка и значительно точнее описывает поле течения, особенно вблизи кромок.
На рис. 3 и 4 кружками представлены результаты, полученные в [5] методом второго порядка аппроксимации. Разностная сетка [5] аналогична показанной на рис. 1 слева и несколько более густая, чем та, которая использовалась
Рис. 5
в данной работе. Результаты (5] и расчеты по методу Годунова в целом согласуются хорошо, однако характерный для схем второго порядка заброс давления на скачке (см. рис. 3) и довольно ощутимые колебания энтропии (см. рис. 4), наблюдаемые в расчетах по методу [5], свидетельствуют об эффективности процедуры выделения особенностей.
Указанные погрешности метода [5] проявляются в области внутреннего скачка, где второй порядок схемы не обеспечивает увеличения точности. Вообще сложные газодинамические течения в изобилии содержат разного рода сингулярности, которые при сквозном расчете могут свести на нет преимущества схем высокого порядка аппроксимации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Базжин А. П., Челышева И. Ф. О численном решении задачи обтекания плоского треугольного крыла сверхзвуковым потоком газа под малыми углами атаки. .Ученые записки ЦАГИ’, т. 5, № 5, 1974.
2. В а п п i г. k W. J., Ni Ь Ь е 1 i п g С. Investigation of the expansion side of a delta wing at supersonic speed. .AIAA" J., vol. 11, N 4, August 1973.
3. 3 a p у б и н А. Г. О точности метода Годунова в различных системах координат. .Ученые записки ЦАГИ", т. 8, № 4, 1977.
4. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., К р а й-ко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., .Наука", 1976.
5. Воскресенский Г. П., Ильина А. С., Татарен-ч и к В. С. Сверхзвуковое обтекание крыльев с присоединенной ударной волной. Труды ЦАГИ, вып. 1590, 1974.
Рукопись поступила IOj VII 1979 г.
