К расчету напряженности электрического поля у поверхности нелинейно-осциллирующей в однородном внешнем электростатическом поле заряженной капли Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. А. Коромыслов, А.И. Григорьев, М.В. Рыбакова, Ю.Н. Жигалко

К РАСЧЕТУ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ У ПОВЕРХНОСТИ НЕЛИНЕЙНО-ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ В ОДНОРОДНОМ ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

ЗАРЯЖЕННОЙ КАПЛИ

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000, Россия, grig@uniyar.ac.ru

Введение. Исследованию устойчивости линейных и нелинейных осцилляций заряженных капель во внешних электрических полях уделяется большое внимание в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями (см., например, обзоры [1-3] и указанную там литературу). Заряженная капля является главным объектом изучения в грозовых облаках [4-5], в жидкометаллических источниках ионов [6-7], устройствах для масс-спектрометрии термически нестабильных и нелетучих жидкостей [8-9], при распылении лакокрасочных материалов, горючего и инсектицидов [10].

Однако наибольший интерес заряженная капля во внешнем электрическом поле представляет для теории грозового электричества как в связи с процессами микроразделения зарядов, так и в феномене реализации разряда молнии [11-15]. Согласно существующим представлениям, инициирование разряда молнии связано с мощной электронной лавиной (переходящей в стример), зарождающейся при коронном разряде с группы близко расположенных капель или тающих градин, свободно падающих в грозовом облаке [11-13]. Однако натурные измерения в грозовых облаках внутриоблачных электрических полей и зарядов на каплях и градинах показывают (см., например, [14, гл.10]), что напряженности электрического поля и величины зарядов на каплях и градинах не достаточно велики как для реализации электростатической неустойчивости поверхности жидкости по отношению к собственному и индуцированному электрическим зарядам [1], так и для зажигания коронного разряда. Измеряемые напряженности внутриоблачных электрических полей и заряды капель и градин слишком малы, чтобы суммарная напряжённость электростатического поля индуцированного и собственного зарядов у невозмущенной сферической поверхности капли или обводненной градины в облаке достигла величины ~ 20 кВ/см, при которой на высоте 4 - 5 км (где давление воздуха изменяется в диапазоне 460 - 400 mm Hg), на уровне мокрого роста града и интенсивного разделения электрических зарядов, возможно зажигание коронного разряда [15, стр.507]. В то же время известно, что деформация заряженной свободной поверхности жидкости во внешнем электрическом поле, приводящая к локальному увеличению кривизны поверхности, вызывает и локальное увеличение напряженности электрического поля, пропорциональное амплитуде деформации [1,16-17], которая в непосредственной окрестности капли может превысить критическую для зажигания коронного разряда величину.

В работах [18, 19] было показано, что напряженность электрического поля, необходимая для зажигания коронного разряда, может наблюдаться у вершин нелинейно-осциллирующих слабо заряженных капель. Следует отметить, что задачи о расчете напряженности электрического поля в окрестности нелинейно-осциллирующей капли уже решались (см., например, [18-20]). Однако в них фигурировало либо только внешнее электрическое поле, либо только заряд, тогда как в реальных условиях присутствует и то и другое [14].

1. Постановка задачи. Будем решать задачу о нахождении напряженности электрического поля вблизи поверхности нелинейно-осциллирующей сферической идеальной несжимаемой проводящей капли (радиуса Я, плотностью р, коэффициентом поверхностного натяжения с и зарядом Q), находящейся в однородном электростатическом поле c напряженностью Е0. Все рассмотрение проведем на упрощенной модели, полагая, что капля движется относительно среды параллельно внешнему электрическому полю, но саму среду и ее аэродинамическое сопротивление движению капли во внимание принимать не будем. Роль среды в предлагаемой модели сведем к обеспечению капле равномерного и прямолинейного движения, а все рассмотрение проведем в сферической

© Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Рыбакова М.В., Жигалко Ю.Н., Электронная обработка материалов, 2009, № 6, С. 71-79.

системе координат, связанной с центром масс капли, в безразмерных переменных, в которых Я = с = р = 1. Примем, что в начальный момент времени (t = 0) равновесная сферическая форма свободной поверхности слоя жидкости претерпела виртуальную осесимметричную деформацию конечной амплитуды, существенно меньшей радиуса Я , пропорциональную одной из мод капиллярных осцилляций капли. Уравнение свободной поверхности жидкости запишется в виде

Е(г,з,г)=г-1 - ад о=0, |?| << 1. (1)

Течение жидкости в капле будем полагать потенциальным, т.е. примем, что поле скоростей V(г^) волнового движения в жидкости полностью определяется потенциалом поля скоростей

известным соотношением: V(r,t) = Уу(r,t) .

Математическая формулировка задачи расчета нелинейных осцилляций капли состоит из уравнений Лапласа для потенциала поля скоростей у(г^) и электростатического потенциала

Ф(г^):

Ау ( г,£) = 0; ДФ ( г^) = 0; а также граничных условий к ним на свободной поверхности жидкости:

кинематического

динамического

г=1+^: =ду____.

дt 6г г2 д9 д9 ’

- ~ 2 (У¥ )2+Др+ре - р°=0;

Ре = (УФ)2/8п ; р0 = Луп ;

постоянства электрического потенциала свободной поверхности жидкости

Ф(г , t) = Ф5 (t); а также граничных условий на бесконечности

г -УФ(г^) ^ Е0;

и в центре капли

г=0: Уу ^ 0.

В выписанных соотношениях Ар - перепад постоянных давлений внутри и вне жидкости в состоянии равновесия; РЕ - давление электрического поля собственного заряда и внешнего поля на свободную поверхность капли; ро - лапласовское давление; п = (г,3,t)/\УР(г,3,t)| -

единичный вектор внешней нормали к поверхности слоя жидкости; ф^ (?) - постоянный вдоль

свободной поверхности жидкости электрический потенциал.

Кроме перечисленных выше граничных условий следует учесть также условия:

- неизменности собственного электрического заряда системы

1 7 = 1 + ^, t);

Л (п.уф) = Q; ^ = ■

неизменности объема жидкости

0<Э< п;

0 <ф< 2п;

Г 2 4

I г drd^ dф = — п; у = <

3

у

0 < г < 1 +5(3, г);

0 <3< п; 1 = соэ3;

0 <ф< 2п.

неподвижности центра масс капли

| rd\l dф = 0.

у

Начальные условия к поставленной задаче сформулируем в виде задания начальной осесимметричной деформации равновесной сферической формы свободной поверхности капли и равенства нулю начальной скорости движения свободной поверхности:

г = 0: 5(3, г) = 5о • Ро(і) + • Л(і) + Є•Рк(і); (к > 2); = о.

дг

Здесь в - безразмерная амплитуда начальной деформации, являющаяся малым параметром задачи; Р- М- полином Лежандра к-го порядка; 50 и ^1 - константы, определяемые условиями

неизменности объема жидкого слоя и неподвижности центра масс системы.

Несложно показать, что если в начальный момент времени возбуждена только одна мода с номером к , то

5о = -Є272к!-17 + 0(0; 51 = 0 + 0(є3).

(2к +1)

2. Решение задачи. Сформулированную задачу в квадратичном по в приближении будем решать методом многих временных масштабов [21], как это ранее делалось при решении подобных задач [18-20]. Для этого искомые функции 5(3, г), Т(г, г), Ф(г,г), которые представим в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра в, считаются зависящими не просто от времени г, но и от разных его масштабов Тт, определенных соотношением Тт = Єт • г :

X х

5(3,г) = X Єт • 5(т|(3, Т>, Т1,...); Т(г, г) = £ єт • >(г,3, Т,, Т1,...);

т =1 т=1

X

Ф(г, г) = £ Єт -Ф(т)(г,3, Т),Т1,...). (2)

т=0

Производные по времени вычисляются по правилу [21]:

д д д 2 д

— —------+ є-----+ є-------+ 0(є ). (3)

дг дТ0 дТ1 дТ2

Подставляя разложения (2)-(3) в сформулированную краевую задачу и приравнивая в каждом из соотношений слагаемые одного порядка малости, легко получим набор краевых задач для последовательного определения неизвестных функций 5(т), у(т), Ф(т), которые для т > 1 будем искать в виде рядов по полиномам Лежандра:

X

5(т)(3, Т0,Т1,...) = £мПт)(Т0,21,...) Р„(і).

п=0

X

¥< т)(г,3,Т0,Т1,...) =£ &„т>( Т0 ,Т1,...) гпРп (I).

п =0

Ф(т)(г,3,Т0,Ті,...) = £ р(т)(Т0,Ті,...) г-п-1Рп (I).

п=0

3. Отыскание решений различных порядков малости. Не останавливаясь подробно на математической процедуре отыскания решения, детально описанной в [18-21], приведем сразу окончательное решение сформулированной задачи:

5(0, г) = є 5(1) (3, г) + є 2 5(2) (3, г) + 0(є3 г) =

X X

= Є £ М™ Т)Рп(і)+Є2 £М(/> Т)Рп(і)+0(є3 г);

п=0 п=0

X

Т = є¥(1) + Є2 ^(2) - є£ (т ) + євп2)(Т0) )гпР„ (I) + О (Є3 г);

Ф = Ф^0)+вФ(1) +Є2 Ф(2) -

_ Я ' X

где

Е)Ф (1 - г-1) + Є£Є>(Т0) + єР„(2)(Т0))г-(п *1>Р„(I) + 0(Є3 г),

п =0

М(1)(Т0,Ті,...) _ 0; М(1І(Т0,Ті,...) _ 0;

->. АМт,ТТ , , в Эмп-^^Т^...) ,32М<11>(Т0,Т1,...) +

2 АпМп-2(Т0,11,...) + Вп-------—----------+----------—2------------+

ОІ0 дТ0

+а>2М<п1)(Т0,Т1,...) + Сп Ш,п1<ТТ1',..> + ЭМ^М,...) = 0; (4)

дТ0

А ; =_^ п(п+1)(2п -1);

п (2п - 3)(2п -1) п л/ (2п + 3)

1—г— п2(2п - 3) п2(п +1 )(п + 2) 9Е0 Я2

Сп —-JwW —!---------------; Бп =-п—!-------------; п =--------; Ж = — ;

п У (2п -1) п (2п + 3)(2п + 5) 4п 4п

2 х їх, п2(4п3 + 2п2 - 6п -1) . 1 ,ттг

(дп = п(п - 1)(п + 2) - п--------------------------------п(п -1 )Ж;

п (2п - 1)(2п + 1)(2п + 3;

С(11(Т0,Т1,...) = І ^міі(1 ((То’Т1’,..);

п дТ0

(Т^Т,,...) _ 0; РІ1^^...) _ 0;

Р^ПТ,,...) = ЯМ,,!1(Т0,Т1,...) +

+3Е0

мСУт^,...)+——мШт,^,...)

2п-1 * 2п + 3

п > 2:

_0; ф^ = £ F^1>пт0,тl,...lr ~("*1Рп(ео.і 0);

^) _ 0- ^

п=0

X - 2

М02)(Т0) =£т~~ЛМп (Т

п=0 2п + 1

лм^м,...)+в, +дЩ!^

дг0 дг0

+

+o2M<„2>1T0,Ti,...) + C„ мМЪ’1'1:..) + DnM<„ DlToJI,...) = Hn(T0): n > I.

dTo

x x Г г

Hn(To) = E Yi\M,„!,(T„)M<I>(T0)І Kmln

m=21=2 I I

n(13m(m +1) - 7; n

2n

l(l + I)-I

+

+We"' 1 ^—iz. + W—[(2n -2m +1 -7) +1 + 3] l +

(2m-1)( 2m + 3; 2L J

11nWe

2(2m +1)

m(m-1)

i ; + m-2, l, n 1

(m + 1)(m + 2)

K

m+2, l , n

n^WeW

K

(2m +1)

+nm^We W

m+I,l,n

(2m -1) m~^'n (2m + 3;

+ 2j2 -11) + -I,l,nm(m + 3)2 - I3j

(n +1 )(n + 2) 2n + 3

m

K

m,l,n+I

+

+-П— K„

2n -1 ”

,l,n-I

n

+ W—am

,l,n-I

+

+

nm

(2m - iM'i^ nm+i)

x

xi

mWe

,2

n

-We-

2m -1 m +1

K +

iVm,l,n-I "r

(n + I)(n + 2^ 2m + 3

K

m,l,n+I

2m + 3

(m + 2j Km +I,l + m(m + 3jKm -

I,l„

+

+—"JWeW [( - 7 + m(2n - 7 - 2m + l»Km,l,n + am,l,n_

+

+ [(m + 1)(l + 1)Km,l,n + am,l,n ]

lM^lTo) + (l + IMlDlTo)

(2l -1)

(2l + 3;

xi

WWMd’do) + We

2m -1

■ +

+

dT0

(m - n - 1 )Km,l,n -

2m + 3

am,l,n

+

+

+

dM(n^)(To) dM(I)(To)

dTo

dTo

ґ l пл m -1--------

v 2 у

m

K n + 2l

Km,l,n I J- am,l,n

2ml

+

m.l.n

C

nO

mOlO

a,

•3,l,« _ -4mcm+i)l(l^i') CmOlo ■ c

«0

m-I lO:

Gi2‘(To) =

l (dM'^lT,,) x x

--EE

dT0 it 2

V 0 m=2l=2

(m - I)Km,l,n -

a m,l,n

m

дТ0

= 0;

р(2)(Т0) = 0;

рП,2>(То) = аМ(„2)(Т0) + 3Ео

2-п-7 М(21(Го) + ^мЦ^Го) 2п -1 2п + 3

+

X да

+Е Е

т =1 /=1

3Е0

( /- м(>1(То) + т(т ++1 мЦ>1(То) 2т -1 2т + 3

+ там^п)

*Кт,шМ(°(То); п > 1.

С010 и ст- /о - коэффициенты Клебша-Гордана.

Как видно из выписанных выражений, коэффициенты Е(^(То ,Т 1,...), С^п^(То,Т1,...)

выражаются через мП/>{То,Т„...) , которые определяются путем численного решения связанных систем дифференциальных уравнений (4)-(5).

4. Расчет напряженности электрического поля у поверхности заряженной градины. Выражение для напряженности электростатического поля Е (г , ?) = -УФ ( г , ?) в окрестности свободной поверхности нелинейно-осциллирующего заряженного жидкого слоя имеет вид

г > 1 + 5(3, ?):

Е = Е<°> + в Е Е<!> + в2Е Е<2>;

теО п=0

Е0Ц1 1 + “Т 1 + “Т

3 2

г ) г

Е1=е„ Е (п+1)^1 >г-<п+2)Рп( ц) - е& Е р<1,г ~<п+2) ■

п=0 п=0 55

Е(2) = er Е (п + 1)¥г

(2) -(п+2)

Рп(ц) - езЕ Еп

п=0

п=0

(2)г-(п+2) дрп(Ц)

д3

(6)

где ег и еи - орты сферической системы координат. Из полученного выражения найдем напряженность электрического поля на невозмущенной сферической поверхности свободной поверхности жидкого слоя. Для этого разложим (6) в окрестности равновесной сферической формы по амплитуде деформации. На ней же определим производные по координатам:

Е (г, 3, t )|

г=1+5

г=1

да

е {3Е0Ц + а} + в er Е{(1 + п)^(1) - 2(3Е0Ц + а)мП1} }Рп (Ц)

п=0

-в ез Е { ^ + ЗЕ^^/Т-Ц^мП1)Рп (ц)

П = 0 ^

да

+є\ £ {(1 + п)РІ2) - 2(3Е0і + Я)мп2) }Рп (і) +

п=0

+єЧ £ £^3(4Е0і + ЯМ^М^ - (т + 1)(т + 2)Мті)Р/(1)](і)Р(і)'

т=0І=0

+Є'

: е3 £ Р(2) ^3 + ЗЕ0Л/Ї^М<2)Р„ (і) +

п=0

+Є Є і

■ ££

т=0 І=0

(т + 2) Р,® дР3 + 6 Е0 ^-і^М І(1) Рт (і)

М® р (і).

Чтобы найти нормальную компоненту электрического поля в окрестности свободной поверхности нелинейно-осциллирующего жидкого слоя Еп = п • Е , выпишем в явном виде аналитическое выражение для вектора нормали к свободной поверхности жидкого слоя:

п _ УР(г, 3, г)/|УР(г, 3, г)| _ пг ■ єг + п3 ■ є3. (8)

С точностью до слагаемых второго порядка малости по в вблизи свободной поверхности проекции пг и п3 на орты сферической системы координат єг и Є3 вектора нормали определяются выражениями:

дРк (і) д3

п, = -Є а95(1)+Є2 (5 (35(1)+3<2)) = -Є) (юкЧ^рг

+8

)]2 рк (і)

+ £м 22)(г) д3 р0 2] д3

\

Скалярное произведение выражений (7) и (8) с учетом пг и пе даст выражение для нормальной компоненты электрического поля на поверхности градины:

да

Еп=ЗЕ0Ц+а+в е {(1+п) { - 2(3 Е0Ц+амП1} рп (ц)+

п=0

да (

+в2 Е {(1 + П)еП,2 - 2(3Е0ц + а)мП2' +

п=0

XX.

+ ££ {[3(4Е0! + О)МЦ)М(2) - (т + 1)(т + 2^ р(1)

т=0І=0

"Р^М^ - (3Е0і + ОМтМ?1' 3т(т +1)

**т,І ,п

2т +

— Е0Мі1)МІ(1) \_ат+1,І,п - ат-1,І,п ] [ Рп (і).

(9)

5. Обсуждение полученных результатов. На рис. 1 и 2 приведены результаты расчета по соотношению (9). На всех рисунках прямая линия Е = 2,5, параллельная оси абсцисс, соответствует безразмерной напряженности электростатического поля 20 кВ/см, критической для зажигания коронного разряда в грозовом облаке, на высоте « 4 ^ 5 км .

Рис. 1. Зависимость от полярного угла 3 величины безразмерной напряженности электрического поля на поверхности капли в момент времени г = 1 для различных мод, определяющих начальную деформацию: к — 8 (тонкая кривая), к— 10 (кривая средней толщины), к-12 (толстая кривая). Ж = 0,1, п = 0,1, є— 0,1

0 0,25 0,50 0,75

0,25 0,50 0,75 і

д

Рис. 2. Зависимость от безразмерного времени величины безразмерной напряженности электрического поля в окрестности свободной поверхности капли для различных мод, определяющих начальную деформацию: к — 8 (тонкая кривая), к— 10 (кривая средней толщины), к—12 (толстая кривая). При Ж = 0,1, п = 0,1, є— 0,1 и различных углах 3 к оси симметрии капли: а) 0, б) 0,15, в) 0,3, г) п/2, д) п

б

а

в

г

Работа выполнена в рамках тематического плана университета при поддержке грантов: Рособразования №2.1.1/3776, РФФИ № 09-01-00084 и № 09-08-00148.

ЛИТЕРАТУРА

1. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и электродиспергирование жидкостей (обзор) // Изв. РАН. МЖГ. 1994 № 3. С. 3-22.

2. Григорьев А.И., Ширяева С. О., Жаров А.Н., Коромыслов В.А. Нелинейные осцилляции заряженных капель (обзор). Часть 1. // Электронная обработка материалов. 2005. № 3. С. 25-35.

3. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н., Коромыслов В.А. Нелинейные осцилляции заряженных капель (обзор). Часть 2. // Электронная обработка материалов. 2005. № 4. С. 24-34.

4. Мучник В.М., Фишман Б.Е. Электризация грубодисперсных аэрозолей в атмосфере. Л.: Гидроме-теоиздат, 1983. 280 с.

5. Мазин И.П., Шметер С.М. Облака. Строение и физика образования. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. 280 с.

6. Дудников В.Г., Шабалин А.Л. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор) // Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск, 1987. 66 с.

7. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Электрогидродинамические аспекты функционирования жидкометаллических источников ионов // 1992. ЖТФ. Т.62. Вып.12. С. 9-20.

8. Галль Л.Н., Краснов В.Н. и др. Электрогидродинамический ввод жидких веществ в масс-спектрометр // ЖТФ. 1984. Т. 54. Вып. 8. С. 1559-1571.

9. Золотой Н.Б., Карпов Г.В., Скурат В.Е. О механизмах образования ионов и ионных кластеров из заряженных капель // ЖТФ. 1988. Т. 58. Вып. 2. С. 315-323.

10. Кожевников В.И., Фукс Н.А Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор) // Успехи химии. 1976. Т. 45. № 12. С. 2274-2284.

11. Дьячук В.А., Мучник В.А. Коронный разряд с обводненной градины, основной механизм инициирования молнии // ДАН СССР. 1979. Т.248. № 1. С. 60-63.

12. БейтугановМ. Н. Об обусловливаемых сильными электрическими полями физических явлениях в облаках // Метеорология и гидрология. 1989. № 9. С. 49.

13. Grigor’ev A. I., Shiryaeva S. O. The possible physical mechanism of initiation and growth of lightning // Physica Scripta. 1996. V. 54. P. 660-666.

14. Облака и облачная атмосфера. Справочник / И.П. Мазин, А.Х. Хргиан, И.М. Имянитов. Л.: Гид-рометеоиздат, 1989. 647 с.

15. РайзерЮ.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987. 592 с.

16. Ширяева С. О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости // ЖТФ. 1999. Т.69. Вып. 7. С. 15-22.

17. Григорьев А.И. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости сильно заряженной вязкой капли // ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып. 10. С. 1-7.

18. Григорьев А.И., Ширяева С.О., ВолковаМ.В. О возможности зажигания коронного разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей слабо заряженной капли // ЖТФ. 2003. Т. 73. Вып. 11. С. 31-36.

19. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. О возможности зажигания коронного разряда у поверхности нелинейно-осциллирующего жидкого слоя на поверхности заряженной градины // ЖТФ. 2009. Т. 79. Вып. 11. С. 10-19.

20. Ширяева С. О., Григорьев А.И., Волкова М.В. О возможности зажигания коронного разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей во внешнем электростатическом поле электропроводной капли // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 7. С. 40-47.

21. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1983. 455 с.

Поступила 25.08.09

Summary

The derivation of nonlinear oscillation charged drop in external uniform electrostatic field problem is found. The electric field intensity near the drop surface is found. It is found that the value of the electric field intensity near the drop surface is sufficient for corona discharge ignition.