CC BY
11
УДК 537.621.2
К расчету коэффициентов жесткости доменных границ в магнитоэлектроупорядоченных системах в линейной и слабо нелинейной областях
Л.П. Петрова, Н.М. Игнатенко, А.С. Громкое Юго-Западный государственный университет (Курск, Россия)
On Calculation of the Stiffness Coefficients of Domain Boundaries in Magnetic and Electric Ordered Systems in Linear and Weakly Nonlinear Domains
L.P. Petrova, N.M. Ignatenko, A.S. Gromkov Southwest State University (Kursk, Russia)
В работе, опираясь на макроскопический подход, проведены исследования особенностей динамики движения доменных границ, включая методологию расчета их коэффициента жесткости, являющегося одним из важнейших релаксационных параметров магнитоэлектроупорядоченных систем.
Предлагается алгоритм нахождения коэффициентов жесткости доменных границ (ДГ) в ферромагнетиках, сегнетоэлектриках и сегнетомагнетиках в линейной и слабо нелинейной области смещения ДГ под воздействием внешней силы. При этом последняя (на единицу ее площади) определяется как разность плотностей магнитоупругих (упругоэлектриче-ских) энергий кристаллов для доменов, разделенных ДГ. Это связано с различием их энергий, из-за того что в каждом домене имеется своя ориентация векторов спонтанной намагниченности 15 и поляризации Р5 при одних и тех же величинах компонент тензора внешних напряжений а... При этом искомые коэффициенты жесткости ДГ определяются как вторые производные по смещениям ДГ от энергий их упругой и магнитоупругой (упругоэлектрической) подсистем. Коэффициенты жесткости первого к1 и второго к2 порядка малости находятся аналогично через составляющие энергий подсистем кубичные и биквадратичные по смещению ДГ, т.е. по относительной деформации кристаллов.
Ключевые слова: ферромагнетики, сегнетоэлектрики, сегнетомагнетики, доменные границы, вектор спонтанной намагниченности, коэффициенты жесткости.
DOI: 10.14258/izvasu(2022)1-08
This paper presents the study of the features of domain boundaries dynamics based on the macroscopic approach. In addition, a methodology for the calculation of domain boundary stiffness coefficient due to its importance among the relaxation parameters of magnetic and electric ordered systems is included in the study.
The proposed algorithm allows the calculation of stiffness coefficients of domain boundaries (DB) in ferromagnetic, ferroelectric, and ferroelectromagnetic materials in linear and weakly nonlinear DB displacement areas caused by an external force. The external force is identified as the difference in the densities of magnetoelastic (electroelastic) energies of crystals for domains separated by the DB. It is related to the difference of their energies because each domain has its own orientation of spontaneous magnetization IS and polarization PS vectors at the same equal values of external stress components a... The desired stiffness coefficients of the DB are calculated as the second derivatives of magnetoelastic (electroelastic) subsystem energies with respect to DB displacements. The stiffness coefficients of the first k1 and the second k2 order of smallness are obtained in a similar way using cubic and biquadratic components of energies in terms of DB displacements, i.e. relative deformation of crystals.
Key words: ferromagnets, ferroelectrics, ferroelectromag-nets, domain boundaries, spontaneous magnetization vector, stiffness coefficients.
Введение
Исследования, посвященные изучению формы и размеров доменной границы, а также изучению движения доменной границы, являются актуальными как в прикладной, так и в фундаментальной физике. Это связано с применением электромагнитоупорядо-
ченных систем в современных технических устройствах как гражданского, так и двойного назначения. Среди множества публикаций можно выделить [1-6].
Данная работа посвящена исследованиям особенностей динамики движения доменной границы, нахождению коэффициента жесткости доменных
границ в ферромагнетиках, сегнетоэлектриках, сег-нетомагнетиках, слабых ферромагнетиках, антиферромагнетиках и антисегнетоэлектриках.
Одним из важнейших релаксационных параметров, предопределяющих интенсивность диссипации энергии в магнитоэлектроупорядоченных материалах (МЭУМ)
[7], к которым можно отнести системы, содержащие домены и доменные границы (ДГ), является коэффициент жесткости доменных границ. Он содержит линейную часть к, равную отношению силы Р0, действующей на единицу площади ДГ, к ее смещению х, а также коэффициенты жесткости к, первого и к2 второго порядков малости.
Нами предлагается способ нахождения этих коэффициентов в ферромагнетиках, сегнетоэлектриках, сегнетомагнетиках, слабых ферромагнетиках, антиферромагнетиках и антисегнетоэлектриках. к, к и к2 имеют по несколько составляющих, каждая из которых связана с конкретным механизмом взаимодействия ДГ с дефектами кристаллической решетки (моно-, би- и поливакансии, внедренные и примесные атомы, линейные дефекты и пр.). Влияние прогиба сегментов доменных границ, закрепленных в том числе линейными дефектами, на коэффициент жесткости доменных границ исследовано в работе
[8]. Но, как будет видно ниже, ДГ имеют жесткость и в идеальных (бездефектных) магнетиках.
Методы исследования
При феноменологическом описании уравнение движения доменной границы (ДГ) можно представить в виде:
mx + ß x + kx = F.cos w • t,
'c 0
(1)
где m, ß — соответственно, масса единицы площади и коэффициент вязкости ДГ, а kx — упругая сила (в линейной области), действующая на ДГ при ее смещении на расстояния x (в квазистатическом приближении) от ее исходного положения. Коэффициент жесткости k некоторые авторы связывают с взаимодействием ДГ с включениями, т.е. дефектами кристаллической решетки, а k считают структурночувстви-тельным параметром [9].
Однако в идеальном бездефектном кристалле также есть составляющие k, k1 и k2. Метод их нахождения в настоящей работе основан на определении силы F0, движущей ДГ за счет либо упругого, либо электрического, либо магнитного поля. При этом используется макроскопический подход, впервые предложенный профессором, доктором физико-математических наук А.А. Родионовым [10, 11]
Рассмотрим два домена, разделенных 90° ДГ. Сила F0, движущая эти границы, может быть найдена как разность объемных плотностей магнитоупругих энергий для соседних доменов, и возникает она тогда, когда эти энергии в поле упругих напряжений с тензором а. =acosß. - cosß} (однородные деформации) неодинаковы, в то время как для системы 180° ДГ они совпадают. Здесь ß. — направляющие углы для приложенного напряжения относительно главных осей <100>, например, для железа, совпадающих с «легкими» осями кристалла, для которого магнито-упругая энергия по [12]
Fa =-2А100 (^11C0S «1+^22 C0S «2+^33COS «3 )-
—3АШ (a12 cosa1 cosа2+ а23 cosa2 cosа3+ a13 cosa1 cosа3).
(2)
Здесь а— направляющие углы для намагничен- и с 151| [010] и лежащей в плоскости (010). Отсюда ности Ь для 90° ДГ, разделяющей домены с Ь || [100] имеем
Fa =-2А100 (cos ß1-cos ß2
(3)
Видно, что F ~ а, а потому все компоненты тен- а суммарная деформация состоит из гуковской ы..
дF
зора магнитоупругой деформации ы..м =—— явля- не зависит. В этом случае энергия деформированно-
4 до.
ются величинами независимыми от а.., т.е. и от F ,
и ы м где первая линейно связана с а , а вторая от а зав
го напряжением а тела будет равна:
U = —\(a u + a u + a u ) + (a u + a u + a u )|,
0 2 \ xx xx * yyyy zz zz j \ xy xy xzxz yz yz ¡Y
где u.. = u..r+ u, ,.
^ i} ijF i}M
При увеличении а от нуля работа силы а будет затрачиваться на возникновение энергии (У0 из (4). Если ДГ отпустить, то она под действием а, а точнее Я0 из (1), сместится от исходного ее положения (при а = 0).
Остановка ДГ произойдет тогда, когда противодействующая сила Я0 = кх будет скомпенсирована соз-
данным на нее давлением а, т.е.
ди,
дх
■, если и = и (х).
Если жесткость ДГ к, то ¡(
д2и0
дх2
= к, где 10 = 1см. В (4)
деформации и..Г~ а. Т.е. упругая энергия и0Г~ и2г ~ а
В то же время магнитоупругая ее составляющая и0М ~ а. Для нахождения коэффициента жесткости к от и0 надо брать вторые производные. Это значит, что энергия и0М вклада в жесткость ДГ не дает.
Запишем выражение для силы Я0 в (1) в общем виде. Обозначая спонтанную намагниченность в доменах а и Ь через 1а, 1Ь, направления приложенного напряжения определяем через а.. = асс^р, созр., для силы Я0 получаем соотношение:
Я = Р(а, а, р(, р.) - ¥а (аь, а, Р(, р.) = ф (а, съ в, Р)а,
(5)
где а — направляющие углы вектора спонтанной на- да для двухдоменной системы коэффициент жестко-магниченности в домене а, а ф — функция, зависящая сти не дает, выражаем и0 через х. Беря далее для и..
только гуковскую деформацию, записываем упругую энергию в виде (например, для кристалла с кубической кристаллической решеткой):
от а , аь, р., р.. Тогда ст = -
Я
фК ,аь, в., в.)
Беря далее в энергии только ее составляющую, квадратную по а, ибо магнитоупругая энергия вкла-
и„= -0 2
Т
&уу + + &уу & ;;
= -Щ , в, Cl, ^2 , С3 =
2ц>2
(6)
где с1, с2, с3 — компоненты тензора модуля упругости по [13]. Отсюда
к = ,02*. т.е. к = £.
0 дх2 ф2 Т
(7)
Результаты и обсуждение
Используя (2), например, для 90° ДГ железа с 1а || [100], 1Ь || [010], величина
<Р = —2Лоо (сов А — сов Р2). Заметим, что ¡оио в (5) име-
. 2 кх2
ет размерность эрг/см2, поскольку, как и энергия ——,
она реализуется на поверхности доменной границы. Произведем оценку величины к по (7), где ф = 2,5 • 10-5,
Т = к ~ 1оМ , т.е. к = 6,25 • 10-ю • 2 • ю9и п • ю-^Н с1 2 -10 дин см
по порядку величины. Для получения более общего и точного значения к необходимо выбрать 1а, 1Ь и углы р., а также учесть значения с1, с2, с3 из (6). Таким образом, в бездефектном кристалле железа с плоской
ДГ к ~ 1,2 ддиНН-. При таких значениях коэффициента см
жесткости для железа при массе ДГ на единицу ее площади 1,2 • 10-10 г /см2 получается ш0 ~ 105рад /с, что согласуется с опытом.
Найдем также коэффициенты жесткости первого и второго порядка по [14], считая в квазистатическом приближении, что Я0 = кх + к1х2 + к2х3. Так, записывая и0(х) с учетом, например, модулей 1 и 2 порядков и опуская слагаемые квадратичные по а, поскольку
к =д3и0 (х)
дх3
= к , получаем:
А и 0= ¡0 [с11 (их + иуу + игг ) + с21 ( и1хиуу + ии + ^у^ ) + с31 К + ия + иу; )] ,
(8)
где еи — модули упругости первого порядка малости, ы. через а. с привлечением модулей нулевого поряд-которые можно найти, по-видимому, лишь из экспе- ка е., получаем: римента. Выражая компоненты тензора деформации
=
c11 (cos6 ß+ cos6 ß2+ cos6 ß3
c21 (cos ßjCOS ß2+ cos ß3COS ß+ cos ß2cos ß3
(9)
c31 (cos ß1cos ß2+ cos ß1cos ß3+ cos ß2cos ß3
3 Ь 3
a .
Отсюда /0 Д U =
D(ß., ß s, c 1, c ) - k3 x3
кости ДГ первого порядка малости к1 выражается гд е через структурные постоянные кристалла и уже найденную величину к. Для нахождения коэффи-в F0 = (кх + к1х2)3 мы ограничились ввиду относи- циента жесткости ДГ второго порядка к2 записыва-тельной малости остальных слагаемых, величиной ем 8Ц0 — составляющие (У0 биквадратичные по ы.., к3х3, ибо уже слагаемым 3к2к1х4 можно пренебречь. а значит, ~ а4:
д№ )
D
Тогда —4 0 3 ° = k1 = — k3. Т.е. коэффициент жест-
дх ф
SU о = [
c12 (cos8 ß1+ cos8 ß2+ cos8 ß3
c22 (cos ß1cos ß2+ cos ß1cos ß3+ cos ß2cos ß3
(10)
c32(cos ß1cos ß2+ cos ß1cos ß3+ cos ß3cos ß1
1 4
]-a .
4 k x
где а =—-
ф
Отсюда
с отбрасыванием величины высшего порядка малости.
д 4(loSU ° ) дх4
= k2 = E(ß, ß С, c12, c22> C32)
д4 k4x4
дх4 ф4
24 Ek4
(11)
Из (10) и (11) аналогично видно, что k > k1 > k2.
Таким образом, можно находить также коэффициенты жесткости ДГ в сегнетоэлектриках, ферритах, сегнетомагнетиках. Величина F0 при этом по-прежнему определяется как разность упругоэлектрической составляющей энергии для соседних доменов, разделенных ДГ, в которых компоненты о. одинаковы в обоих соседних доменах, а векторы спонтанной поляризации Pa и Pb разные. При этом, например, в титанате бария упругоэлект-
рическая энергия — это электрострикционная составляющая термодинамического потенциала ~ а • Р2, а в сегнетовой соли есть еще и пьезострикционная его часть, которая пропорциональна ~ а • Р, т.е. вклад в F0 в сегнетовой соли дают обе стрикции для 90° ДГ, однако в ¡оио входит только упругая энергия сегне-токристалла.
Для титаната бария, пренебрегая малой степенью его тетрагональности, записываем:
3
c
2
3
4
c
2
3
F = — с. (u-
e 2 1l- х
x + + ul ) + c2 (uxxuyy + uxxuz + uyyuz ) + 2c3 (uXy + ul + U
(12)
дР
Выражая отсюда из системы —- = ст.. компонен-Р Д дпц "
ты и. через в.. и вынося общий множитель в правой части (12), получаем Ре = Ф(с1, с , с, Р1, Р2, Р3)в2. Для нахождения величины силы Р0, движущей ДГ, разделяющей домены с Р = Р0 и с Р02 = Р0, разность упруго-электрических энергий Р - Р = Р0 = Фв2 = Р02 (х1 - Х2) (ео82Р1 - ео82Р2)в2 по [8], где х1 и х2 компоненты тензора электрострикции. Здесь предполагается, что нет сопровождающего электрического поля или упругого, которые могут создавать индуцированную поляризацию р << Р0. Далее для нахождения жесткости
этой ДГ вводим обозначение F0 = T • а и получаем
I
dL
'dx2
Фк2 x2
T2
= к =
2Фк2 ~РГ
В перовскитовых сегнетомагнетиках структурная составляющая термодинамического потенциала (упругая, упругоэлектрическая, магнитоупругая) такая же, как и в титанате бария. При наложении в ДГ смещается за счет сил Р и Р02, действующих на ДГ, а суммарная жесткость кг = кр + к,.
Для сегнетовой соли (квасцы) можно показать, что:
F = а Р а + у Р2а + у Р2а - а Р а - x P2 а - x P2а - x P2а
0 125 0^31 1 А22 0 22 1 0^33 1l4 0^23 All^^ll Al^ 22 Ml 0W 3:
(13)
Если, например, магнитное поле силой Р1 тянет ДГ влево, а электрическое вправо силой Р2, то эта ДГ при критическом значении суммарной растягивающей ее силы может расщепиться на ее составляющие, если при этом превышается удерживающая ее сила, наведенная магнитоэлектрической энергией
ч дШ
(Р1 + Р2)кр = ме . Измеряя поля Нр и ер, когда ДГ разрывается, можно оценить магнитоэлектрическую энергию Ш .
Здесь qí. — компоненты тензора пьезострикции, а х. — электрострикции. Энергия же Р, необходимая для нахождения жесткости ДГ к по [13], равна
^ClMXx + ^c2ul„ + \L C3Ulz + C4UxxUyy + C5UxxUzz + C6UyyUzz + 2C7UXy + 2CSMXz + 2сУуг + + 2Cl0UxxUxy + 2CllUyyUyx + 2Cl2UxyUzz + 4Cl3UxzUyz •
В случае если ДГ 180° и располагаются в плоскости (010) в одном домене, а Р01 = Р0, а в соседнем Р = -Р0, из (13) получаем, что сила Р0 = 2q14P0в23.
Порядок величины этой критической силы (Р1 + Р2) , а значит, и полей Н и е определяется из соотноше-
' кр кр £ ^
Рк
ния 6 = 10ШМЕ, где 5 толщина совмещенной ДГ сег-нетомагнетика. Здесь Р, = 1Н , а Р. = е Р.
1 5 кр 2 кр 5
Заключение
Предложенный алгоритм поиска величин к, к1 и к2 применим для ферромагнетиков, сегнетоэлек-триков и сегнетомагнетиков. Однако он работает
также и для антиферромагнетиков, в которых магнитный вектор изначально (до наложения внешних полей) нулевой, и мультиферроиков (слабые ферромагнетики, у которых по модулю магнитный вектор заметно меньше спонтанных намагниченностей его подрешеток), а также пригоден и для антисегнето-электриков. То же самое можно сказать и о нахождении силы Р0, движущей ДГ, в бездефектных (идеальных) кристаллах. При наличии же несовершенств в них к найденным значениям к, к1 и к2 для идеальных МЭУМ необходимо добавить соответствующие составляющие, учитывающие все необходимые параметры этих несовершенств.
Библиографический список
1. Williams H.J., Walker J.G. Domain Patterns on Nickel // Phys. Rev. Vol. 83. Iss. 3. 1951. DOI: 10.1103/ PhysRev.83.634.
2. Gumerov A.M., Ekomasov E.G., Kudryavtsev R.V., Fakhretdinov M.I. The effect of dissipation and an external magnetic field on the resonance dynamics of a domain wall
in a five-layer ferromagnetic structure // Letters on Materials. 10 (3). 2020. DOI: 10.22226/2410-3535-2020-3-260-265.
3. Hrabec A. Domain wall dynamics in magnetic nanostructures : Effect of magnetic field and electric current. Materials Science [cond-mat.mtrl-sci]. Université de Grenoble, 2011. English. NNT : 2011GRENY056.
4. Belashchenko K.D., Tchernyshyov O., Kovalev A.A., Tretiakov O.A. Magnetoelectric domain wall dynamics and its implications for magnetoelectric memory // Applied Physics Letters. 108, 132403 (2016). DOI: 10.1063/1.4944996.
5. Evans D.M., Garcia V., Meier D., Bibes M. Domains and domain walls in multiferroics // Physical Sciences Review. Vol. 5. № 9. 2020. DOI: 10.1515/psr-2019-0067.
6. Шамсутдинов М.А., Назаров В.Н., Харисов А.Т. Введение в теорию доменных стенок и солитонов в ферромагнетиках : учебное пособие. Уфа, 2010.
7. Родионов А.А., Игнатенко Н.М. Упругие и неупругие явления в сегнетоэлектриках в области линейного отклика : монография. Курск, 2006.
8. Гадалов В.Н., Родионов А.А., Самойлов В.В. О коэффициенте жесткости доменных границ в магнитоэлектро-упорядоченных системах, связанном с прогибом их сег-
ментов во внешних полях // Фундаментальные исследования. 2012. № 6-3.
9. Мишин Д.Д. Магнитные материалы. М., 1981.
10. Родионов А.А. Релаксационные эффекты в ферромагнетиках в сложных полях : дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. Курск, 1994.
11. Петрова Л.П. Диссипация волновых процессов, генерируемых в магнетиках переменным магнитным и упругим полем : дисс ... канд. физ.-мат. наук. Курск, 2004.
12. Кринчик Г. С. Физика магнитных явлений. М., 1976.
13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. М., 1965.
14. Постников В.С. Внутреннее трение в металлах. М., 1969.
