CC BY
11
Розглядаеться розповсюдження подовжнiх хвиль у пружно-пластичному стрижнi, HanieHecKiH4eH0My або закртленому на торцi, по якому вдаряють, при дИ удару з постшною або залежною eid часу швидюстю i з юнцевим часом прикладення навантаження. Рух стрижня описуеться тазжншним рiвнянням гiпeрболiчного типу, до якого приеднують спiввiдношeння дeформацiя-пeрeмiщeння та визначальнi спiввiдношeння, в яких припускаеться, що швидюсть деформацИ можна розкласти на пружну та пластичну складовi. Задача вирiшyеться чисельно за допомогою приведенихрiвнянь характеристик та умов на них.
Spreading of longitudinal waves in elastic-plastic rod, semi-infinite or fixed on nonstruck butt-end is considered, under the action of stroke with stationary or time-dependent velocity and with finite time of load application. Rod movement is expressed by the quasilinear equation of hyperbolic type together with strain-displacement correlation and defining correlation in which it is supposed, that the strain velocity can be decomposed on elastic and plastic component. The problem is solved numerically with the help ofreduced equations of characteristics and conditions on them.
УДК 539.3
Я. В. Чумаченко, Т. И. Левицкая Национальный технический университет, г. Запорожье
К РАСЧЕТУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ КРУЧЕНИЯ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ СТЕРЖНЕЙ, ОСЛАБЛЕННЫХ ПРОДОЛЬНЫМИ РАЗРЕЗАМИ
Задача кручения полигонального стержня решается методом произведения областей. Получены формулы, упрощающие в рамках этого метода нахождение коэффициентов интенсивности напряжений, возникающих вблизи края разреза. Теория применяется к расчету квадратного и треугольного стержней с трещинами.
Введение
Коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) играют весьма важную роль в механике разрушения, являясь объектами аналитических и экспериментальных исследований [1, 2]. При кручении призматических стержней касательные напряжения вблизи края продольного разреза (трещины) могут быть описаны [3] асимптотическими формулами
K
111 sin 1,
K
T<pz
111 cos1.
(1)
где (г, ф) - полярная система координат в поперечном сечении стержня с полюсом на краю трещины и полярной осью вдоль ее продолжения, г - ось кручения, а постоянная Кщ является коэффициентом интенсивности. В работе [4] для нахождения Кщ в рамках метода произведения областей (ПО) был адаптирован подход, развитый в [5], который сводится к нахождению некоторого интеграла вдоль контура, охватывающего край трещины. В настоящей работе получены формулы, которые (при решении задачи кручения методом ПО) позволяют избежать указанного ин-
тегрирования. Выполнено систематическое численное исследование зависимостей КИН от геометрии скручиваемого объекта для квадратного стержня с произвольно-ориентированным внутренним разрезом и правильного треугольного стержня с перпендикулярным или наклонным разрезами, выходящими на его поверхность.
Вывод расчетных соотношений
Пусть (х, у) является основной прямоугольной системой координат на (в общем случае) многосвязном поперечном сечении полигонального стержня с границей, состоящей из N прямолинейных звеньев. Поставим в соответствие каждому такому звену
(] = 1, N) систему локальных координат (Х], у]-), начало которой находится в центре звена, а орт у ] направлен в сторону материала стержня. Ориентацию системы выберем так, чтобы X] х у ] = г . Дополнительно, с помощью соотношений
х] = I] сЩ ] сое п ], у] = ^ ] вш п ]. (2) где - половина длины ] -го звена, введем локаль-
т rz
2
2
© Я. В. Чумаченко, Т. И. Левицкая, 2008
130
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
ные эллиптические координаты /, п /). Сторону звена I/, отвечающую значению у/ = 0 + , обозначим
Ч +.
Следуя методу ПО, функцию напряжений при кручении и можно теперь представить в виде
N
U = Zu, -(x2 + y2)/2 + C, j =1
tj = D0%j +£Dne ПJ cosпПj , n=1
(3)
(4)
где коэффициенты Б]п и с определяются путем решения методом усечения некоторой бесконечной системы алгебраических уравнений, следующей из граничных условий, накладываемых на функцию и [6].
Пусть теперь / -е звено представляет собой сечение разреза. Если его конец имеет координаты
(Х} , У}) = (//,0), то
"xjz l + т
(5)
Из этой формулы, учитывая асимптотическое равенство (см. (1), где Ф = п)
K
III
следует, что
Km = - lim (V2rcr"т
r
(6)
(7)
Так как
dU
дУ,
1 dU
Vp1P2 d% j
(Pl, P2 - расстояния
точки наблюдения до концов / -го звена), то с учетом (3) и (4) касательное напряжение (5) можно представить в виде
= GQ
dU
дУ,
7 ^ j
(
= GQ
dy
Z uk -
2 2 ^ X2 + У2
k Ф J
D0 - ZDjjncosnnj
n=1
(8)
Здесь О - модуль сдвига материала стержня, а 6 -угол закручивания на единицу длины его волокон.
Слагаемое
д дУ,
(
Z uk -
k Ф j
22 X 2 + у 2
в квадратных
скобках в (8) ограничено и непрерывно в окрестности точки (fj ,0), а lim P2 = s, , где s, - ширина разреза.
r^0
Поэтому, подставив (8) в (7) и учитывая, что n j ^ 0 , когда r ^ 0 , мы получим
-f
Km = -GQ
\
D0 -Z nD]n
n=1
(9)
Если конец разреза имеет координаты (X/, у/) = (-// ,0), то аналогичные рассуждения приводят к формуле
Kiii = -GQ I—
D0 -Z (-1) nnD
n=1
(10)
Численные результаты
На рис. 1 показана геометрия исследуемых объек-
тов.
Таблица 1 представляет результаты расчета значений нормированного коэффициента интенсивности
k =-
2 K
III
п GQb
3/2
(11)
в
Рис. 1
2
х
rz
x
l+
т
xjz
+
2
1
+
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2008
131
в зависимости от числа слагаемых М , учитываемых после усечения в каждом из рядов типа (4), для правого конца разреза в квадратном стержне (рис. 1, а) при Ь / а = 0,5 и а = 45 Сравниваются результаты полученные методом [5], а также с помощью формулы (9). Видно, что эта формула позволяет эффективно находить значения КИН для трещины, не прибегая к более сложному подходу, развитому в [5].
Таблица 1
к
М [5] (9)
1 -0,2691 0
2 -0,2691 0
3 -0,2360 -0,2408
4 -0,2364 -0,2413
5 -0,2334 -0,2334
7 -0,2341 -0,2341
10 -0,2340 -0,2340
20 -0,2340 -0,2340
Рис. 2
На последующих рисунках приводятся рассчитанные значения коэффициента интенсивности напряжений, возникающих у края продольного разреза при кручении стержней, чьи профили показаны на рис. 1. Использована более употребительная нормировка
Заключение
В рамках метода ПО для расчета значений КИН, связанных с краями продольных разрезов в полигональных стержнях при их кручении, получены простые формулы, выражающие эти значения через Фурье - коэффициенты функции напряжений, относящиеся только к граничному звену, представляющему разрез. Выполнено численное исследование зависимостей КИН от геометрии скручиваемых объектов для нескольких конкретных стержней, ослабленных продольными трещинами.
14
12
10
14
12
10
П 4 \ -
//¡11
/ с/> 0:2
0.2
0.4
Ь/а
Рис. 3
0.6
0.8
У 90- ■■■
$1/ 36 '7 ./* 0*4 \
V \
0.2
0.4
Ж
0.6
0.8
к > = -Кша2
М
(12)
где М = 09 - крутящий момент, а С - жесткость стержня при кручении (расчет С методом ПО рассматривался в [6]).
Рис. 4
Перечень ссылок
1. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. - 640 с.
2. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. - Киев: Наук. думка, 1991. - 441 с.
5
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГИ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
3. Механика разрушения и прочность материалов: Справочное пособие: В 4-х т./Под общей редакцией Пана-сюка В.В. - Киев: Наук. думка, 1988. Т.2: Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами / Саврук М.П. - 1988. - 620 с.
4. Пожуев В.И., Чумаченко Я.В. К расчету коэффициентов интенсивности напряжений при решении задачи кручения призматического стержня с продольными полостями полигонального профиля // Новi матерiали i технологи в металургй та машинобудуванш. - 2005. -№ 1. - С. 137-141.
5. Арутюнян Н.Х., Баблоян А.А. Об особенностях напряжений вблизи угловых точек профилей однородных и составных призматических стержней при кручении // ДАН СССР. - 1982. - Т. 264. - № 4. - С. 842-845.
6. Пожуев В.И., Чумаченко Я.В. О кручении призматических стержней многосвязного полигонального профиля // Новi матерiали i технологи в металургй та машинобудуванш. - 2004. - № 2. - С.79-83.
Одержано 12.06.2008
Задача скруту пол^онального стрижня розв 'язуеться методом добутку областей. Отримаш формули, як спрощують в рамках цього методу знаходження коефщент1в ¡нтенсивностг напружень, що виникають бшя краю розр1зу. Теоргя застосовуеться для розрахунку квадратного та трикутного стрижнгв з трщинами.
The torsion problem of a polygonal cross-section bar with longitudinal slits is considered using the domain-product technique. Formulas, which simplify computing the intensity factors of stresses that are formed at cut edge, have been obtained. The theory is applied to the square and the triangular bars with cracks.
УДК 621.771.23.09
Канд. техн. наук А. Б. Максимов Государственный морской технологический университет, г. Керчь
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЕМ СТАЛЬНЫХ СТЕРЖНЕЙ
В работе представлены данные о характере развития пластического течения стали при кручении стержней круглого поперечного сечения. Предложена схема напряженно-деформированного состояния при пластическом кручении.
Введение
Известно, [1] что при деформации кручением как в упругой, так и в пластической области происходит уменьшение диаметра образца и увеличение его длины. Однако, количественные и качественные характеристики, а также сведения о механизме деформации в литературе не обнаружены. Поэтому представляло интерес определить количественные характеристики деформации и рассмотреть возможное напряженно-деформированное состояние при кручении стержней круглого поперечного сечения.
Материал и методика исследования
Из листовой стали 17Г1С-У в отожженном, нормализованном и термоупрочненном состояниях изготавливали цилиндрические образцы с головками. Диаметр рабочей части образца составлял 6мм, а длина - 60мм. Деформирование кручением проводили в специальной установке [2], соединенной с универсальным дилатометром ДКМ для определения изменения длины образца. Деформирование осуществляли кручением в одну сторону (односторонним) и циклическим по же© А. Б. Максимов, 2008
ISSN 1607-6885 Hoвi матерiали i технологи в металургй' та машинобудуванш №2, 2008 1 33
сткой схеме нагружения с симметричным циклом с амплитудой углов закручивания ±720 ±540 ±360 ±180 ° до полного разрушения образца при комнатной температуре. Изменение диаметра рабочей части образца проводили при помощи индикатора часового типа с точностью до 0,001 мм.
Теория и анализ полученных результатов
В результате проведенных экспериментов установлено, что при пластическом деформировании кручением стержней круглого поперечного сечения происходит увеличение их длины. При одностороннем кручении увеличение длины больше, чем при циклическом, рис. 1. Если при одностороннем кручении длина возрастает монотонно, то при циклическом кручении при изменении направления деформации происходит уменьшение длины, но в целом за цикл деформации наблюдается увеличение.
Величина амплитуды циклической деформации практически не влияет на конечное изменение длины образца, но значительно меньше, чем при одностороннем кручении, рис. 2.
