К расчету эффективных модулей упругости композитов с неравномерным распределением составляющих компонентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

118 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №2(68)

УДК 539.4

К РАСЧЕТУ ЭФФЕКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТОВ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ СОСТАВЛЯЮЩИХ КОМПОНЕНТОВ

© 2009 Н.А. Сизова, Л.А. Сараев1

В настоящей работе представлены модели композитов, компоненты которых образуют случайно неоднородную двухуровневую структуру. Рассмотрены два типа структур. В первом случае композит образован упругой матрицей и упругими сферическими включениями. При этом включения в матрице расположены не равномерно, а образуют скопления сферической формы. Во втором случае включения в матрице также расположены неравномерно, но образуют скопления в виде взаимопроникающих каркасов.

Ключевые слова: определяющие уравнения, эффективные модули упругости, матрица, включения, взаимопроникающие каркасы, статистическое осреднение.

Пусть рассматриваемая упругая среда занимает объем V, ограниченный поверхностью S. Объем связующей матрицы обозначим Vm, объем включений — Vf.

Кроме того, обозначим объем, занимаемый скоплениями включений, Wf, а объем оставшейся части матрицы — Wm. Таким образом, весь композиционный материал представляет собой двухкомпонентную среду, в которой включениями являются объемы скоплений, а каждый элемент скоплений включений в свою очередь представляет собой двухкомпонентный композит с равномерным распределением микросфер. При этом выполняются элементарные соотношения

Vm + Vm = V, Wm + Wf = V (Vm > Wm, Vf < Wf) .

Закон Гука микронеоднородной среды скоплений имеет вид

®ij = 2ßm£ij + &ijXm£pp, r E Wf Vf, (i)

(7 ij = 2ßf £ij + Öij Xf £pp, r E Vf.

хСизова Наталья Александровна ([email protected]), Сараев Леонид Александро-вич(вагаеу@вви.ватага.ги), кафедра математики, информатики и математических методов в экономике Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Здесь О г], Е] — тензоры напряжений и полных деформаций, ¡1т^, Xт^ — параметры Ламе компонентов.

Геометрическая структура такого двухкомпонентного материала описывается случайной изотропной индикаторной функцией координат к (г), равной нулю в точках первого компонента и единице в точках второго. С помощью этой функции локальный закон Гука для среды записывается в виде

*%3 (г) =2(^т + (^! - 1^т) к(г)) (г), (2)

Орр(г) = 3 (К + (К- - Кт) к(г)) Ерр(г).

Здесь

= 1 = 1 К =2 .

— Орр з $%] • О%], вг] — Ег] з О%]Ерр, Кт^ — з №т,$ + хт,$ ■

Индикаторная функция к (г), напряжения и деформации предполагаются статистически однородными и эргодическими полями, поэтому их математические ожидания совпадают со средними значениями по полному объему V и объемам фаз Ут^ [1]

а) = V /а(г)аг> {а= щ.! а(г)аг’ ^}т<f = у— / f(г)аг’

V Щ т’

угловыми скобками обозначена операция осреднения.

Для установления макроскопических определяющих уравнений рассматриваемой среды и вычисления ее эффективных характеристик необходимо установить связь между макроскопическими напряжениями и макроскопическими деформациями. С этой целью необходимо усреднить локальный закон Гука (2) по объему Wf

Су

{^1] )гш = 2^т {ег] )гш + 2 (^f 1^т) {ег] )f 1

Ст С (3)

{оРР)™ = 3Кт{Ерр)т + 3 (Kf Кт) {.Ерр) f ■

Ст

V- Wf

Здесь су = V — объемное содержание микросфер, ст = — объемное

содержание скоплений включений.

Соотношения (3) показывают, что для установления эффективного закона Гука необходимо выразить величины {в])f, {ерр)- через макроскопические деформации.

Это достигается статистическим осреднением системы деформирования среды, состоящей из локальных уравнений (2), уравнений равновесия

огр,р(г) = 0 (4)

и соотношений Коши, связывающих компоненты тензора деформаций с компонентами вектора перемещений щ(г). Граничными условиями такой системы являются условия отсутствия флуктуаций величин на поверхности скоплений, а сама система сводится к эквивалентной системе интегральных

уравнений, ядрами которой являются вторые производные тензора Грина [1, 2]

£'ч(г) = (г - г1) ТЫ (г1) • Л г1. (5)

Здесь штрихами обозначены флуктуации величин в объеме скоплений.

Умножая уравнения (5) на к!(г), усредняя их затем по объему скоплений и используя изотропность функции к!(г), находим

Здесь

{еі] )/ — / \ {еі] )ш,

1 + ат (^1 - С~) (Р/ - Цт)

{єрр) / — Т \ {єрр)ш ■

1 + 1т - С~) (К/ - Кт)

2 4 5^т 1 1 + Vт 1 3Кт

ат — Т^~х 5 1т Л*

(6)

15 1 - Vm 3 1 - Vm 2 3Кт + 2Цт

Подстановка формул (6) в соотношения (3) дает макроскопический закон Гука рассматриваемой микронеоднородной среды

{8і] )ш — 2цш {еі]) 5 {^рр)ш — 3Кш {єрр) ■ (7)

Здесь

I / (ц- Цт) .

Цт = Цт | 1 + -У--------^-------- | , (8)

1 + ат - С~) (ц- - Цт) /

Кт = Кт | 1 + -----------у [К‘ - Кт)-------- |. (9)

1 + 1т (1 - (К- - Кт) /

Совершенно аналогично рассчитываются формулы для эффективных

модулей упругости всего композита, образованного матрицей Wm и скоп-

лениями Wf. Макроскопический закон Гука в этом случае имеет вид

{в]) = 2ц*{в]), {Орр) = 3К * {Ерр). (10)

Здесь

ст (Ц т Ц-т)

* _ / 1 і

К * — Кт\ 1 +

1 + ат (1 сш) (цш Цт) / (11)

с (К — К ) N (11)

сш \Кш Кт)

1 + 1т (1 ст) (Кт Кт) ,

звездочкой обозначены эффективные модули упругости микронеоднородной среды.

На рис. 1 приведены кривые расчета эффективного модуля упругости сдвига. Нижняя кривая рассчитана при условии, что скопления включений занимают семьдесят процентов объема матрицы — ст =0, 7. Верхняя кривая соответствует классической модели, когда микросферы в объеме

композита V распределены равномерно. Построенная модель описывает известный механический факт ухудшения свойств смесей при неравномерном перемешивании составляющих компонентов.

Рис. 1

Если в композиционном материале матрица и объемы скоплений образуют взаимопроникающие каркасы, то выражения для эффективных модулей упругости соответствуют модели матричной смеси и рассчитываются по формулам [1]

* / \ I 1 , астст (цт Цт) \

Ц = {Ц) 1 + 1

К * = {К) 1 +

{ц) а (ст ст) (цт Цт)

1стст (Кт Кт)

{К) Т (ст ст) (Кт Кт) J (12)

/ \ 2 4 — 5{м)

{ц) ст Цт + ст Цт1 а 1 г 1 / \ 1

15 1 — {м)

{К) = ст Кт + стКт> Т =

15 1- М

Рис. 2

На рис. 2 приведены кривые расчета эффективного модуля упругости сдвига. Нижняя кривая рассчитана при условии, что скопления включе-

ний занимают семьдесят процентов объема матрицы — cw =0, 7. Верхняя кривая соответствует классической модели, когда микросферы в объеме композита V распределены равномерно. Построенная модель описывает известный механический факт ухудшения свойств смесей при неравномерном перемешивании составляющих компонентов.

Литература

[1] Сараев, Л.А. Моделирование макроскопических пластических свойств многокомпонентных композиционных материалов / Л.А. Сараев. — Самара: Изд-во ”Самар. ун-т”, 2000. — 282 с.

[2] Сараев, Л.А. Неупругие свойства многокомпонентных композитов со случайной структурой / Л.А. Сараев, В.С. Глущенков. — Самара: Изд-во ”Самар. ун-т”, 2004. — 164 с.

Поступила в редакцию 9/77/2009; в окончательном варианте — 9/77/2009.

ABOUT THE CALCULATION OF EFFECTIVE MODULUS OF ELASTICITY OF COMPOSITES WITH NON-UNIFORM DISTRIBUTION OF COMPONENTS

© 2009 N.A. Sizova, A.L. Saraev2

In the work models of composites, the components of which form accidentally non-uniform two-level structure are presented. Two types of structures are considered. In the first case, composite is formed by elastic matrix and elastic spherical inclusions. At the same time, inclusions are located in matrix unevenly, and they form congestions of spherical form.

In the second case inclusions are also located in matrix unevenly, but they form congestions in the form of interpenetrating skeletons.

Key words and phrases: determining equations, effective modulus of elasticity, matrix, inclusions, interpenetrating skeletons, statistical averaging.

Paper received 9/77/2009. Paper accepted 9/77/2009.

2Sizova Natalya Alexandrovna ([email protected]), Saraev Leonid Alexandrovich ([email protected]), Dept. of Mathematics, Computer Science and Mathematical Methods in the Economy, Samara State University, Samara, 443011, Russia.