CC BY
61
УДК 517.944.947
К расчету движения жидкости в трубе сложной конфигурации 1
В.Н. Самохин, П. Н. Силенко, Г. А. Чечкин
В статье приводится пример расчета движения вязкой несжимаемой жидкости в трубе сложной конфигурации. Такие задачи относятся к гидромеханике или гидравлике. В данном случае задача связана с расчетом и совершенствованием конструкции фрагмента трубопровода, по которому движется нефтеподобная жидкость с дисперсными включениями типа песка. В угловых точках участков диффузорного типа возникает вихревое движение, которое создает застойные зоны и прибивает твердые частицы к стенкам трубы, что нарушает технологический процесс. Конечной целью проводимых расчетов является определение кинетической энергии жидкой среды, необходимой для преодоления адгезии твердых частиц, и внесение для этого конструктивных изменений в изделие.
1. Движение жидкости в круглом диффузоре Гидравлику или техническую гидродинамику как прикладную инженерную науку широко используют в различных
1 Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ для господдержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых, в ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова» по договору JV* 11.G34.31.0054. Третий автор также частично поддержан грантом РФФИ № 12-01-00445.
256
областях техники, она дает методы расчета и проектирования разнообразных гидротехнических сооружений, гидромашин и состоящих из них самых различных гидросистем, которые широко используются в машиностроении, на транспорте, в авиации и других отраслях промышленности (см. |1]). Поскольку гидравлика изучает движение сплошных сред в областях определенной геометрии, — трубах, каналах, то имеется возможность конкретизировать некоторые из общих постулатов гидромеханики, тем самым упростив их. Это дает в свою очередь возможность рассчитать численно параметры физического процесса. Основным инструментом расчета движения жидкости в трубах является уравнение Д. Бернулли.
Постепенно расширяющаяся труба носит название диффузора. В нем происходит уменьшение скорости и рост давления в потоке. Помимо потерь на трение в диффузоре имеются потери на вихреобразование в слоях, прилегающих к стенкам.
Для круглого диффузора с углом при вершине а, радиусом входного отверстия и выходного г2, выделяя элементарный кольцевой участок с образующей dl, элементарную потерю напора на трение запишем в виде
или, поскольку,
АН _Л^ ±_ тр " А2г ‘ 2д
dl
dr (т\\г
= т-5-. v — V\ I I , sin £ V г /
в виде
Здесь Ат
dr
dH?r = ^9 1 О
2r sin Щ
V
(1.1)
2 w . 2 д'
коэффициент Дарси. Для ламинарного течения в
круглой трубе Ат = {И-, где Re — число Рейнольдса.
Интегрируя уравнение (1.1), получаем
^тр -
V\ 4 Г±
2 sin § 2д 1 JTX г5
2 д
257
или
где п = — степень расширения в диффузоре.
Потери на расширение и связанное с ним вихреобразова-ние находятся по формуле Борда, с поправочным коэффициентом к, то есть
И —к
11 расш —
{у\ - щ)'‘ 2 9
= <13>
причем приближенно можно считать к = sin а.
Окончательно напор, потерянный в диффузоре, выразится в виде
•^диф —
А т
8 sin |
I-<-4 " «
и, следовательно, коэффициент сопротивления диффузора равен
иф = ЙПГ| (1_^)л) • (и>
Исследование зависимости этого коэффициента от угла позволяет найти
ап
1п+ 1
= arcsm \ ----
V п — 1
Xf
Т
(1.6)
Если Ат = 0,0015 -г 0,025 и п = 2 4- 4, наивыгоднейший угол диффузора окажется порядка 6°, что соответствует эксперименту. Увеличение этого угла до 7 4- 9°производится в целях сокращения длины диффузора. Используются также диффузоры с криволинейной образующей, что обеспечивает постоянный градиент давления вдоль оси, а также ступенчатые диффузоры, составленные из диффузора с оптимальным утлом и последующего внезапного расширения. Последнее не вызывает больших потерь энергии, так как скорости на этом участке потока невелики.
258
Постепенное сужение потока носит название конфузор. В отличие от диффузора здесь отсутствуют потери на вихреоб-разование, а потери на трение подсчитываются также, поэтому
где п = — степень сужения в конфузоре. Закругление
входной кромки значительно уменьшает потери напора на вих-реобразование.
При проектировании возможности установки инструментов в трубопровод возникает необходимость изготовления так называемых трапецевидных проточек трубы, когда диффузор и конфузор расположены очень близко друг от друга и угол а гораздо больше 6 Ч- 9° (до 45°).
2. Расчет движения вязкой среды в трубе сложной конфигурации
Как уже указывалось, при расчётах универсальных трубопроводов для передачи многокомпонентных жидкостей (как капельных, так и сжимаемых) всегда возникает задача контроля потока жидкости и контроля состояния трубопровода. Для этой цели применяются различные инструменты. Для фиксации таких инструментов в трубопроводе, а также для их извлечения из трубопровода, обычно в теле инструмента или трубопровода, делаются трапецевидные и цилиндрические кольцевые проточки. В гидравлике трапецевидная проточка является сочетанием диффузора и конфузора. Цилиндрическая проточка является сочетанием внезапного расширения и внезапного сужения потока. Рассмотрим классические методы расчета характеристик потока при прохождении выше перечисленных участков трубопровода. Назовём отрезок трубопровода, куда устанавливаются инструменты — трубой. Труба имеет вполне определённые размеры. Она имеет, также конечное число расширений и сужений. Выше было указано, что оптимальным является отношение длины участка расширения к его диаметру
259
в пределах 5 Ч- 6. Поскольку в реальном изделии эта величина не превосходит 3 и углы расширения и сужения потока раны 30° или 45°, то рассматриваемые участки можно считать внезапным расширением или сужением потока.
Рассмотрим для примера особый участок трубы трапециевидной конфигурации, что является сочетанием диффузора и конфузора.
Пусть сжимаемая жидкость (воздух или газ), имея безразмерные параметры: Х\ — скорость потока; Ту — температура; Р\ — давление, движется по трубе с площадью поперечного сечения F\. В некотором сечении площадь изменяется внезапно до F-i > F\ . Найдём скорость Л2 и отношение температур Ц, давлений плотностей ^ в сечении F2 и сравним эти значения с аналогичными значениями в таблице газодинамических функций. Течение будем рассматривать однородным. Трением и теплообменом с внешней средой пренебрегаем. Пусть течение будет одномерным.
Запишем необходимые уравнения для двух сечений потока. Уравнение неразрывности
где а, = const, критическая скорость (в отсутствии теплообмена).
Записывая уравнение (2.2) в виде
PlUyFy = P2U2F2 ,
(2.1)
уравнение сохранения количества движения
p,u21Fl - p-2>4F2 = F2(P2 - Р,) ,
(2.2)
уравнение сохранения энергии
и? к Pi v% к Р2 к + 1 а{
(2.3)
P\Fy + P\u\F\ — P2F2 + P2tt2F2
260
(2.4)
и, поделив это равенство на (2.1), получим
F% Pi , 2 Р2 . 0 2
—---U2 + ЩЩ = —Щ + 2щщ .
Flpi Р2
Из уравнения (2.3) найдем отношения ^ и jji. К примеру,
Р2 _ к + lal к и\ p-i к 2 к — 12
Подставляя данные соотношения в уравнение (2.4), получим квадратное уравнение для относительной скорости А2:
Лз + 1 — Лг
А
А
+
2 к
к + 1
^1
(2.5)
При решении уравнения (2.5) следует выбрать корень А2 < 1.
При постоянной температуре торможения Т0 отношение р1 выразим через газодинамическую функцию для адиабатического процесса:
т, 7уг„ к +1 - (* - 1)Л|
Т, Т,/Г0 * + ! — (*— 1)Л? ' { '
Из уравнения неразрывности (2.1) выводим отношение плотностей
2 = ^.£ = (2.7)
р\ U2 F2 Л2 F2
Учитывая (2.4),(2.6) и (2.7), найдем отношение давлений:
Р2 Р2 ^2 А: Ч-1 — (к — l)A2 F\
Pi pi Т\ к + l - (к - 1)А? F2
Все полученные соотношения пригодны для расчетов как внезапного расширения, так и для внезапного сужения.
Приведем пример конкретного рсчета.
Исходные данные: жидкость с мелкими пузырьками газа и абразивными частицами.
Газ — воздух, азот или другой с аналогичными свойствами. Максимальная скорость истечения газа — 120 млн. куб. фу-тов/сутки или 1388,88889 куб. футов/сек, или 39,328953642574
261
куб. м/сек. Максимальное давление при поступлении газа — 7500 psi = 51,7106775 MPa. Газ может включать абразивные частицы песка.
Жидкость: Максимальная скорость истечения жидкости — 2804 куб.м/сутки или 0,032453704 куб.м/сек.
Дисперсные частицы: песок — 2% от объема потока, размер 150-180 мкм, вязкость 70 (+/—) 5 с. При расходе газа 39,33 куб.м/сек, расход песка будет 0,7856 куб.м /сек.
Плотность и вязкость сырой нефти соответственно 869 (кг/м3) и 1,91 х 10~3 (Pa-s).
Для участка внезапное расширение получились следующие результаты. При скорости газа на участке до расширения v = 4,1937 м/с безразмерная скорость Ai = у/а, = 0,01391, к = 1,4 ; Fi = 0,0183761; F2 = 0,0213716. Решение уравнения (2.5) дает значение скорости в расширении |Л2| = 0,01195 и v2 = 3,602995 м/с. Отношение температур, согласно (2.6) равно
Г2/Т, = (к + 1 - (к - 1)А\)/{к + 1 - (к - 1)А?) = 1,000008448, отношение плотностей:
р2/рх = 1,000802993,
отношение давлений согласно (2.8) получается равным
Р2/Ру = 0,85984197.
Сравнение полученных результатов с таблицами газодинамических функций показывает их полное соответствие. Расчет других участков с помощью формул (2.1) -(2.8) так же подтверждает соответствие результатов значениям таблиц газодинамических функций. Поэтому в дальнейшем вместо вычислений в инженерных расчетах можно использовать готовые результаты таблиц.
Использование приведенного метода и теории гидродинамических решеток, см. [ 2 ] дало возможность расчитать конструктивную модификацию изделия, позволяющую избежать отложений в трубопроводе твердых частиц, см. ( 3 |.
262
Список литературы
1. Самойловин Г. С. Гидрогазодинамика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности «Турбостроение». - 2-е изд.. перераб. и доп. — М.: Машиностроение. 1990. 384 с.
2. Викторов Г. В. Гидродинамическая теория решёток. — М.: Высшая школа. 1969. 368 с.
3. Самохин В. Н., Силепко П. Н., Чечкин Г. А., Ибрагимов А. П., Липкевич А. Ю., Самойлович Г. С. Способ и устройство ;1дя очистки газо-нефтепроводов от отложений твёрдых включений. — ОИС: произведение науки, свидетельство Серия SRI jV9RU02R1RU20120008, дата регистрации в Реестре: 05 июня 2012 года, учетный номер заявки: RU110520120008.
Самохин Вячеслав Николаевич
Московский государственный университет печати
имени Ивана Федорова.
E-mail: vnsamokhin@mtu-net.ru.
Силенко Петр Николаевич
Московский государственный университет печати имени Ивана Федорова.
E-mail: piotr-silenko@rambler.ru.
Чечкин Григорий Александрович Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.
E-mail: chechkin@mech.math.msu.su.
Поступила 29 апреля 2013 г.
263
