К проблеме счетной аддитивности произведения абстрактных мер Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.2.1996

К 517.987.1

К ПРОБЛЕМЕ СЧЕТНОЙ АДДИТИВНОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АБСТРАКТНЫХ МЕР

В. Н. Исаков

Рассматриваются векторнозначная и полугрупповозначная меры, заданные на алгебрах множеств, и конечно-аддптпвные. Обосновывается способ выделения класса множеств, где произведение этих мер, существует и оно счетно-аддитивно.

Введение.

Интерес к проблеме счетной аддитивности произведения мер со ачениями в абстрактных пространствах возник после обнаруже-я того факта, что, в отличие от случая со скалярными мерами, оизведение счетно-аддитивных векторнозначных мер V и за-нных на и-алгебрах, не всегда счетно-аддитивно даже на алгебре , порожденной измеримыми прямоугольниками. Поэтому, как от-~ил Сварц [1], одними из главных вопросов, связанных с произве-нием абстрактных мер, являются: Когда мера т = и х ц счетно-аддитивна на алгебре Л ? Если т счетно-аддитивна на Л, то когда существует счетно-аддитивное продолжение с А на порожденную ею сг-алгебру Е ? В математической литературе найдены условия, обеспечивающие ожительные ответы на эти вопросы в различных ситуациях от-ительно пространств значений мер и операций умножения (ин-рмацию об этом можно получить в [1],[2]). Проблеме обеспечения етной аддитивности меры-произведения на алгебре Л посвящена статья [3]. Надо сказать, что приведенные в ней требования к рам-сомножителям существенно отличаются от аналогичных тре-ваний в других работах.

В тех случаях, когда для мер йе удается определить "глобально" етно-аддитивное произведение (на алгебре Л или на сг-алгебре

©Исаков В Н., 1996.

к;

■■РВГ задача; найти способы выде-Ягйз А или Е; где существует «'летно-

* «их мер. .В данной стать*- иродаага-поставленной задачи в весьма общей, ситуа-мер. при этом мы ограничиваемся рассмотрением сотней аддитивности" в алгебре Д.

2. Необходимые понятия.

Пусть Х,г — действительные или комплексные нормированные векторные пространства, причем г— полное, У - абелева полугруппа с нулем и квазинормой:

(К |[ ГС IIС 00, II 0 ||= 0, ||.т + ?/|и II ж II+ 11 у II, Х,У€У.

Предположим, что определено непрерывное полубилинейное отображение • : X х У —> 2 со свойствами:

1) Ох* У — х 9 Оу = О г при, всех х € А', у £ У;

2) (ах 1 ±'Ьх2) • у — ■ах1 ® у ± Ьх2 • у для всех х\,х2 £ X, у еУ и чисел а, 6' > 0 ; '

3) х • (гл + у2) = х • у 1 + х © |/2 для всех х- £ А", у\, у2 € У ;'

4) существует такое число Р > 0, что || х • у \\х Р|| х Цд-|| у (|у для всех х 6 А', у € У .

Пусть (5, А/, и) и (Т,М,[1) - измеримые просп-и:'' '-н-> с я г-I е

брами Я ш М подмножеств непустых множесхв АЛ Т £

М) и конечно-аддитивными мерами V : Я —> А' и *( -У. Считаем, что /л(0) = Оу. Обозначим через ц ьо .,/< ^щчю шри ¡л относительно пространства А (А'--полувариацшо 1, ьо'.ор.ш определяется так же, как в [4]:

¡¡(Ё) = |У,

где вир берется по всем конечным дизъюнктным измеримым разбиениям (Е{) множества Е £ М и наборам элементов ж,- € А, II х* Их ^ Полувариация /I являтся субмерой, т,е н^арилатель-нбй монотонной субаддитивной функцией множества.

Субмера Д называется непрерывной внешней л у и (и в мерой}. если она конечна и.непрерывна сверху в нуле н • /Ч,

Как и в [4], на неизмеримых множествах В <_ " ;, заменяется ее распространением с М на 2Г :

/7(£) = т/ЩЕ) : Е £ М, В С Е}:

Ради простоты это распространение обозначаем также через /I.

[вызываемый здесь /1-интегралом. Если /7 конечна на М, то ¡¡-интегрируемости функцни д необходимо и достаточно суще-ше такой последовательности (</„) /7 простых функций, что по ]1 на Т, а последовательность /7 интегралов от них рав-епенно абсолютно непрерывна относительно /7. Везде далее считаем, что /I конечна на М. . Применяем определенный в диссертации автора (Исаков В.Н. ?гралы по обобщенным мерам и их применения: Дне... канд. -мат. наук/РГПУ им. А.И.Герцена. С.-Пб.,1993.107 с.) 2-1й полубилинейный -интеграл от функций / : Т —> А' по полу-ювозначной, мере р, (ц-интеграл). Функция / там называется шеримой, если она является проделом сходящейся по ]х после-гельности //-простых функций / : Т —> А' ; /¿- интегрируемой,

она //-измерима и функция || /(•) || у /7.....интегрируема. Для /г-

эала справедлива теорема Лебега о мажорантном предельном соде под знаком интеграла: Лемма 1. Если последовательность (/„) ц-измеримых функ-сходится по /г к функции / : Т X и существует такая

/»(<) Их ^ 9 И) на Т,

тгегрируемая функция у, что »/ fi-интегрируема и

limn jE fn dfi - JE f -dy.

•умерно относительно E € Л4 . Отметим, что в лемме 1 функцин g(t),f(t) и /„(f) не обязательно гены.

: Определения.

Обозначим через А алгебру, порожденную декартовыми произ-1ями множеств из N и М (измеримыми прямоугольниками). Обозначим А1 == {в 6 5 : А} — Усечение множества

|С 5 х Т.

Определение 1. Скажем, что множество А С 5" х Т

ю, если А1 £ N при всех £ £ Т. Ясно, что множества из А ЛА-измеримы.

Всякий конечный или счетный набор попарно непересекающихся сеств будем называть спектром. Если (А*) некоторый спектр У^ Ль, то называем этот спектр А-образующим. Определение 2. Пусть (А*)— А -образующий спектр М-шх множеств из 5 х Т, и множество А также ю. Скажем, что мера и декартово счетно-аддитивна от-

посителъно ц. (короче: декартово fi -счетно-аддитивна) на спек тре (Аь), если

Нтп ЦТ{ || v(Al)-v(\J Ai) К >а)) -0 ,

¿=1

при всех а > О . Другими словами, если последовательность функций hn{i) — i/flJLi A-'k) сходится по Ji к функции h(t) — iл(А*) на Т.

Понятие декартовой счетной аддитивности одной меры относительно другой впервые было введено автором данной статьи в совместной работе [3]. Оно позволяет рассматривать перемножаемые меры во бзаимосвязи, что представляется более естественным при решении различных задач, связанных с произведением мер, нежели подразумеваемая до сих пор их независимость. В частности, именно это свойство мер даст нам возможность получить счетную аддитивность произведения v п // на некотором классе множеств без требования счетной аддитивности сомножителей по отдельности.

Замечание 1. В определении 2 функции hn(t) и h(t) не обязательно измеримы в каком-либо смысле. Однако, если Ak 6 А, к EN, то функции hn(t) являются ¿¿-простыми и потому /¿-измеримыми. А так как hn(t) —► h (t.) по Д, то функция h(t) также /¿-измерима.

Определение 3. Обозначим через 8 монотонную, равную нулю на пустом множестве и К -субаддитивную функцию множества 6 : Л/* —»• [0, +оо] , а через А(8, /¿) - класс таких множеств A G А , для которых функция <5(А') : Т —* [0,+оо] Ji-интегрируема.

(Л'-субаддитивность: 3 К > 0 : А,В Е J\f, А П В = 0 S(AUB) ^ К[6(А) + 6{В)].)

Функции S (А1) из определения 3 являются /¿-простыми.

Далее в примере 1 будет показано, что класс A(8,fi) может быть не тривиальным (т.е. А(8, /¿) ф {0} ).

Лемма 2. Класс А(8,р) является кольцом множеств. Доказательство. Для А, В € А(6, /¿) имеем:

8{(АС\В)1} <8(А1)- ё[(А\ВУ]^8(А1);

¿[(AUB)1] = б[(А\ВУи{АПВ)1и{В\АУ] < ^ К8(А1) + К2[8(А1)+8(В1)]. Осталось учесть свойства /¿-интеграла.

Определение 4. Будем говорить, что мери v декартово ¡i -=~то-аддитивна на \кольце А{Ь,р) , ее.ли она обладает этим йством на любом A-образующем спектре множеств из А(Ь, //), S А(6, //}.

Основной результат.

Теорема 1. Пусть меры и и (i коцечно-аддитивны на алгебрах и Л4 соответственно, а кольцо А{8, р) нетривиальное. Если ра v декартово у-счетно-аддитивна на этом кольце, и для ка-3~го А 6 А(6,р) верны, неравенства || v(Al) ||Л> ^ НА1) р-почти ж всех t 6 Т , то на. этом кольце существует счетно-ад дитив-мера гп = /ух//, представимая полу билинейным р-интегралом

т(А) = j u{Al) dft, 4 .4 G А{6, //). (1)

Доказательство. Определим на А(Ь,р) меру-произведение. ::: Л £ А(6,р) и А = [j'U Fk х Дь где Fk х (Ffc G ÁÍ,Ek 6 Ir = 1 ,••-, n) являются попарно дизъюнктными измеримыми ■гоугольнпкамн, то положим

m(A) = v{Fk) • ft{Ek).

что мера rri определена корректно и конечно-аддитивна. Для А 6 .4(6,//) рассмотрим-функцию

является //-простой, а ее норма-функция |j - /7-

тгой. Так как || 1/(Л') ||A- ^ ó (Л') Jí-п.в. на Г, то и (Л1) р-грируема на Т. По определению /¿-интеграла:

самым представление (1) получено. Докажем счетную адди-ость т на А{Ь,р). Пусть А 6 A(6,[i) и {Ак) ~ его счетный Л-образующий спектр zeeтв из A(S,fi). Так как v декартово //-счетно-аддитивна, едовательность функций h„(t) = ^((JI-i Л[.) сходится по Д к -щии /i(¿) = //(Л'), причем || h„(t) \\х ^ б(Л') Jí -п.в. на 7\ j леммы 1 и аддитивности //-интеграла имеем:

т(А) = /г /¿(¿) dfi = /гт„ JT /¿„(/) dp == Iim„ JT. í/(A'fc) dp = limn ££=1m(Afc) = ^Xi т(Л^),

Замечание 2. В теореме 1 потребована декартова // счетная аддитивность меры //. Если и счетно-аддитивна на Л?", M является cr-алгеброй, a JÍ - н.в.мероЙ, то это свойство будет выполняться автоматически (см. теорему 1 из [3]).

В следующем примере показывается, что обоснованный в теореме 1 способ выделения "участка счетной аддитивности" произведения мер достаточно удобен. При этом следует заметить, что широта этого участка фактически зависит не только от функции множества S и меры ft, но и от меры v. В примере определяется нетривиальное кольцо Л(8, //,) при неограниченной мере и.

Пример 1. Пусть X — Z — loo - пространства ограниченных числовых последовательностей с 5"{ф нормой, Y - полугруппа ограниченных последовательностей неотрицательных чисел с sup-квазинормой. Полубилинейное отображение определим так: если х = (хп) G А', у - (ijn) G Y, то х • у = {хпуп) G Z. Ясно, что \\ х * У Hz ^ II г* 11л II У Ну-

Пусть Т = S = N. Л/' алгебра, порожденная системой ко- . нечных подмножеств множества N, -М — <7-алгебра всех подмножеств множества N. Меру v : N X зададим условиями: z/(S) = — Ox7 а для остальных множеств F G M положим

{J2 ses, если F конечно;

¿ —seg, если S\F конечно.

$eS\F

Меру fi : M —> Y определим так: д(0) = Оу, а если Е ф 0, то для некоторого числа р ^ 2 положим:

№) = Е

teE

Здесь e¡¡ и et — единичные координатные векторы пространств А", У.

Эти меры конечно-аддитивны, причем и не ограничена по норме пространства А', а А'-полувариация JÍ меры ц определяется равенством JÍ(E) = sup{l/tp, t G E} и является н.в.мероЙ.

Для определения класса А(Ь, /л) зададим на Т какую-либо неотрицательную /7 -интегрируемую функцию, например g(t) = tq, где О < q < р — 1. Это неограниченная функция, ее можно записать в

оо

виде g(t) = Y1 п<1 Х{п}{*)- Она Д-измерима, ибо последовательность и— i

эостых функций дп{1) = Е ^ Х{к)(1) сходится к д по /г. Для

к- \

зтегралов от дп верны неравенства

' Е , е с к.

к ^ п, кеЕ '

"рудно проверить, что последовательность интегралов 1(д„, Е, /I), € равностепенно абсолютно непрерывна относительно р. Сле-гельно, функция д действительно Д-инт'егрируема. Теперь определим на множествах Г 6 N неотрицательную мо-гсзную и субаддитпвную функцию множества 8:

8(F)

О,

F =

s: se F}, F ф

множеств A G A, таких, что Л1 С {s G S : s t'1}. t G T, функ-"'(A1) /¡i-интегрируемы, ибо 8(Al) ^ t'1. t G 'Г- Все такие мно-.ва А и объединим в класс А(6,р). Для A G А{8, р) верны нера-

и(А1) II < S(A'), teT .

Пусть теперь (Ак) — .4 образующий спектр множеств из А(8, р) A G А(8,р). Зададим произвольное число м > 0. Найдется /о G Г, что Ji(Fio) = ji({t G T : t ^ ¿о}) < По конструкции A{8, //), при любом а > 0 3 n0 G N: п ^ /¿о =>

г(|нл')-ки 4)11 ^«) с е1о. к=1

озательно, мера и декартово /¿-счетно-аддитивна на А(8, р). Таким образом, все условия теоремы 1 выполнены, и на постро-классе А(8,р) можно определить счетно аддитивное произве-т — и х р.

Обратим внимание на то, что в примере 1 класс А(6,р) может тем шире, чем меньше значения р. Если в определении меры р р = 2, то широту этого класса можно определять функцией V? , если р == 4, то функцией </(/) — ¿2. Ясно, что в последнем класс А{8, р) охватит больший участок из А.

ЗАМЕЧАНИЕ. В статье [3] при подготовке к публикации допущены неточно-I пространство 2 должно быть полным; 2) в теореме 1 алгебра М должна 3"-алгеброй.

Литература

1. Swartz С. A generalisation of a theorem of Duehon on product of vector measures,// Math, Anal Appl. 1975 . 51. P. 621-628.

2. Chivukula R.R., Sastry A.S. Product vector measures via Bar tie integrals 11 J. Math. Anal Appl 1983. 96. P. 180-195.

3. Арешкин Г.Я, Исаков B.H. О счетной аддитивности произведения мер/ Коми' гос. пед. ин-т. Сыктывкар, 1994. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 20.04.94, № 954-В94.

4. Bartle R.G. A general bilinear vector integral.// Studia Math. 1956. 15. P. 337-352.

5. Алексюк B.H. Функции множеств/ Коми гос. пед. пн-т. Сыктывкар, 1981. 165 с. Деп. в ВИНИТИ 21.09.81, № 4543-81. (См. также: Функции множеств: учебное пособие. Л.: Лен. гос. пед. ин-т им. А.И.Герцена, 1982. С. 77.)

Summary

Isakov V. N. On the problem of countable aclditivity of the abstract measures product

Vector-valued and semigroup-valued finitely additive measures on algebra of sets are considered. The method of picking out the class of sets is given where the product of these measures exists and is countably additive.

Коми педагогический институт. Поступила 5.02.96