К проблеме локализации в решетках нелинейных осцилляторов с пространственной неоднородностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 33-37

УДК 519.6, 530.182, 534.1

К ПРОБЛЕМЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ В РЕШЕТКАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

© 2012 г. А.В. Вильдеманов, И.Б. Крылов1, Т.В. Лаптева2, М.В. Иванченко1,2

1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems, Dresden, Germany

ivanchenko @rf. unn. ru

Поступила в редакцию 10.09.2012

Исследованы явления андерсоновской локализации и распространения волновых пакетов в одномерных пространственно-неоднородных решетках нелинейных осцилляторов. Получены оценки снизу для вероятностей потери устойчивости и разрушения локализованных периодических и квазипериоди-ческих траекторий в фазовом пространстве. Для любой произвольно малой нелинейности (или, что эквивалентно, энергии) они оказываются отличными от нуля. Также существует порог по плотности энергии в начальном волновом пакете, при превышении которого локализация отсутствует с вероятностью 1. Аналитические результаты подтверждаются результатами численного моделирования динамики решеток на больших временных масштабах.

Ключевые слова: нелинейная динамика, андерсоновская локализация, динамический хаос.

Введение

Андерсоновская локализация - фундаментальное волновое явление, состоящее в экспоненциальной локализации линейных мод пространственно-неоднородных колебательных решеток [1]. В этом случае бегущие волны в системе отсутствуют, экспоненциально слабыми становятся процессы переноса заряда, энергии, вещества в физических системах [2, 3]. Нелинейность, неизбежная в реальных физических системах, приводит к взаимодействию между андерсоновскими модами. Закономерен вопрос: сохраняется ли андерсоновская локализация в нелинейных системах с беспорядком или начальное возбуждение будет делокализовываться с отличной от нуля вероятностью для сколь угодно малой, но конечной нелинейности?

Ответ на этот вопрос до сих пор оставался неизвестным, несмотря на многочисленные работы в данной области. Так, было показано, что для класса нелинейных решеток с конечным радиусом взаимодействия андерсоновских мод (суперэкспоненциальной локализацией) можно построить продолжение бесконечномерных торов из линейного режима в нелинейный [4]. Из этого следует, что для достаточно слабой нелинейности существует область фазового пространства, обладающая конечной мерой, принадлежащие ей начальные условия будут находиться на торе, а соответствующие траектории

- отвечать колебаниям, локализованным в пря-

мом пространстве решетки. Исходя из этого, делается вывод о существовании андерсонов-ской локализации в нелинейных системах такого класса. Для систем общего вида - с экспоненциальной локализацией - получены аналитические и численные свидетельства в пользу продолжения торов в нелинейный режим [5]. Более того, была высказана гипотеза, что конечная локализация неизбежна, так как для больших энергий расплывание волнового пакета неизбежно приводит к уменьшению плотности энергии и эффективной нелинейности. Наконец, в численных экспериментах было получено, что точечные возбуждения оставались локализованными в течение всего времени наблюдения, если их энергия была достаточно мала [6]. С другой стороны, систематические численные исследования не обнаруживают замедления расплывания для достаточно больших энергий [7-9].

Недавно нами был дан ответ на вопрос об андерсоновской локализации в нелинейных системах в пределе сильного беспорядка (случай компактных линейных мод) [10]. Было показано существование конечной вероятности того, что локализованное решение нелинейной системы (периодическое или квазипериодиче-ское во времени) разрушается для произвольно малой нелинейности/энергии. Верхняя граница для вероятности локализации уменьшается экспоненциально с возрастанием энергии пакета/коэффициента нелинейности.

Целью данной работы является обобщение результатов [10] на общий случай колебательных решеток с экспоненциально локализованными модами.

Математическая модель

Парадигматической моделью нелинейных пространственно-дискретных колебательных

систем является решетка осцилляторов Клейна -Гордона (КГ), гамильтониан которой имеет вид

РІ +S„x„2 +1 4 + -W У (Xm -Хп )4

4 4W meD(n)

, (і)

где хп - отклонение п-го (п = п1, ..., па) осциллятора из состояния равновесия, рп - ее импульс, Дп) - множество его соседей, случайные величины еп є [1/2,3/2] являются равномерно

распределенными, параметр W задает характерную длину локализации линейных мод

96/W2. Мы ограничимся рассмотрением одномерной решетки. Обратим внимание, что изменение полной энергии в (1) полностью эквивалентно изменению параметра нелинейности, который в данном случае выбран единичным и фиксирован.

Обозначим пространственные компоненты

v-й линейной моды как АЩ, а квадрат ее частоты (собственное значение линейной задачи) -как о2 . Каноническое преобразование

ип=х Qvа: , Рп=х Pvа:

задает переход в пространство нормальных мод. Уравнения движения в модовом пространстве принимают вид

= -ю^ - X^^3^^2Qv3, (2)

V1.V2.V3

где =Х Ап Ап А12 Ап3 - интегралы пере-

крытия мод.

Локализация

неограниченному движению в фазовом пространстве и делокализации волнового пакета. Таким образом, определяющими являются вероятности существования локализованных устойчивых периодических траекторий и торов. Как мы увидим в дальнейшем, для того чтобы показать разрушение андерсоновской локализации, достаточно получить верхние грани для этих вероятностей. Более того, поскольку в центрах торов находятся периодические траектории, само существование последних является необходимым условием существования первых.

Будем строить точное периодическое решение системы (2) с центром в моде v0, используя полную энергию в качестве малого параметра. В качестве нулевого приближения возьмем саму

линейную м°ду: V0{) и й^^10 = 0,

где принят во внимание нелинейный сдвиг частоты

- 3 2

ю\<0 = юv0 + 41',0''0''0''0 А0 /ю V,). (3)

В первом порядке теории возмущений поправки к модам ц Ф V 0 имеют следующий вид:

0ц = A COS (В V01, A

т/ а3

3 Ц.Ур.Ур.Уо 1о

4 2 _2

Вц -ВУо

(4)

Достаточным условием потери сходимости является \Лц /А0\> 1/к, где к > 1 - некоторая константа. Вероятность, с которой это происходит, равна

2 I 2

4 к|1^0^0^0"

Для того чтобы вычислить эту вероятность, необходимо знать плотность вероятности для расстояния между собственными значениями

Ру-ц = Pr°b[|вЦ -в2о| < 3к/ц.У0.У0.У0 A02^• (5)

Как обсуждалось выше, в линейных системах возбуждения, локализованные в прямом пространстве, также локализованы и в модовом. Для того чтобы локализация сохранялась и в нелинейных системах, начальные условия должны лежать на регулярных траекториях, также отвечающих колебаниям, локализованным в прямом пространстве (будь то периодические или квазипериодические траектории). Напротив, если начальные условия находятся в хаотическом слое, то это неизбежно приведет к

линейной задачи Ж(5), 5 = -юV 0. Для линейных локализованных мод имеет место эффект «отталкивания уровней»: Ж(0) = 0, а для близких собственных значений (5 ^ 0) плотность вероятности имеет вид Ж(5) ж 5 [2]. Отсюда получаем, что вероятность делокализации квадратична по энергии Е ж Д2 :

Р- ~ С1 I Е2

^0|1 оVоV-IVоVоVоVо-'J •

Соответственно, вероятность локализации ограничивается сверху

(6)

P+ =П (1 - P) *1 - CE 2.

где С - некоторая константа. Таким образом, для конечной, пусть и произвольно малой, энергии существует ненулевая вероятность делокализации периодической траектории, что, в свою

п

ц

очередь, гарантирует делокализацию соответствующего волнового пакета.

Подчеркнем, что такая оценка является оценкой сверху для вероятности локализации волнового пакета, поскольку существование периодической траектории еще не гарантирует существования семейства торов вокруг нее и попадания начальных условий в эту область.

Отметим, что вероятность (6) может быть также получена из критерия нелинейного резонанса Израилева - Чирикова [11], что свидетельствует о связи между нелинейным резонансом, генерацией хаоса и делокализацией.

Одной из причин разрушения торов вокруг периодической траектории может являться потеря устойчивости. Для исследования устойчивости линеаризуем уравнения движения (2)

вблизи точного решения Qv (t) с центральной модой Vo, обозначая Qv (t) = Qv(t) + -v(t):

-, = ---,- з XW3QvQv2^. (7)

v1.v2.v3

Заметим, что «отталкивание уровней» запрещает только парные резонансы, в то время как плотность вероятности точного резонанса в триплетах —,+—v = 2—vo остается конечной.

Оставляя в линеаризованных уравнениях только резонансные члены, получаем уравнения Матье

-,=-( — +Т^vovoi! ^vovovAvoc0s(2“vof)^v>

- = Г 2 з 13 2 - (8)

—v I-v + 2 Ivv0v0v l—v 2 Ivv0v0^ AoC0s(2—vot)—,.

Стандартный анализ [15] дает следующий критерий неустойчивости:

2Д—

3

A0 2-v-,

-(—v (

\ v0

3 j I

< 2 |j,v0v0v|'

(9)

где Дю = юц + юv - 2ю^. Поскольку плотность вероятности точного обращения в ноль для выражения слева конечна (и ж V-, где V - средний объем локализации линейной моды), вероятность того, что неравенство выполняется, равна

Р^* С 1^| Е/V. (10)

Отсюда для вероятности отсутствия неустойчивости в локализационном объеме имеем:

р=п I1 - ^)»1 - с (11)

Следовательно, вероятность неустойчивости периодического решения (а значит, и вероятность делокализации волновых пакетов) зави-

сит от энергии линейно. Неустойчивые, но сохраняющие свойство локализации периодические решения имеют меру ноль и не определяют динамику волновых пакетов.

Рассмотрим теперь многомодовые (а следовательно, многочастотные) возбуждения. Повторяя анализ методами теории возмущений, несложно показать, что если хотя бы две возбужденные моды эффективно взаимодействуют (то есть находятся в одном локализационном объеме), то становятся возможными триплет-ные резонансы. Как указывалось выше, три-плетные резонансы не подвержены «отталкиванию уровней», поэтому вероятность делокализации многомодового решения будет линейно зависеть от E в области малых энергий.

Среди класса многомодовых решений мыслимы такие, расстояние между центрами возбужденных мод которых много больше длины локализации. Поскольку в этом случае интегралы перекрытия между этими «разреженными» модами экспоненциально малы, триплетные резонансы оказываются «выключены», а вероятность делокализации - минимизирована. Нижняя граница для вероятности делокализации (и верхняя граница для вероятности локализации) задается произведением соответствующих вероятностей для одиночных мод (6). Для L эффективно возбужденных мод в разреженном волновом пакете, где E/L - энергия каждой моды, получаем

Р+ = (1 - C( E / L)2)l . (12)

Заметим, что такие локализованные решения могли бы, в принципе, существовать для произвольно большой полной энергии с вероятностью сколько угодно близкой к 1, если они достаточно разрежены, ввиду того, что Р„+ = 1.

Однако, как следует из (11), верхняя граница для устойчивости таких решений имеет другой скейлинг:

Р[ = (1 - CE/L)l, (13)

давая Р£ = exp(-CE) независимо от того, насколько разреженным является решение.

Таким образом, верхняя граница для вероятности существования устойчивых локализованных периодических траекторий в области малых энергий является линейной зависимостью и обращается в ноль при превышении некоторого порога по плотности энергии в начальном пакете E/L. Она также является верхней границей для вероятности существования бесконечномерных торов вокруг этих периодических траекторий, а также вероятности локлизации волновых пакетов. Для многомодовых решений,

в том числе и разреженных, характер зависимости аналогичен.

Численные результаты

Для проверки аналитических результатов были проведены систематические численные эксперименты. Здесь мы представим результаты моделирования эволюции одномодовых начальных возбуждений с энергией E в системе КГ (1) с параметрами d = 1, у = 4, Ж = 6.

Использование высокопроизводительных кластерных систем позволило осуществить крайне трудоемкое численное интегрирование дифференциальных уравнений до момента времени /епё = 109 и обеспечить необходимое для

количественного анализа число реализаций беспорядка для каждого значения энергии Ыг = = 103. Для того чтобы характеризовать ширину волнового пакета, вычислялись его второй момент распределения

т2 = ^ (п - п) Еп /Е,

п

где

п =Е пЕп / Е

п

- «центр масс» пакета,

Р = 1// Е )2

п

- число возбуждения, соответствующее числу эффективно возбужденных осцилляторов [6-10, 13, 14].

Упорядочив реализации в порядке возрастания чисел возбуждения в конечный момент времени /епё, получаем разбиение на группы с локализацией и делокализацией (рис. 1).

Рис. 1

На рис. 1 представлено число возбуждения для различных реализаций г при / = 108, 5-108, 109 (снизу вверх). На вставке: доля реализаций, в которых возбуждение осталось локализованным на одном осцилляторе (Р(/епа) < 1.2), численные результаты показаны символами, ли-

нейная аппроксимация P(tend) = 1 - 5E показана сплошной линией.

В согласии с теоретическими предсказаниями, учеличение энергии начального возбуждения увеличивает долю делокализации. Положим для определенности, что волновой пакет остается локализованным в одной моде, если его конечное число возбуждения не превышает P(tend) < 1 + а = 1.2. Зависимость доли реализаций, для которых волновой пакет остается локализованным, от энергии демонстрирует спадание, близкое к линейному, и находится в хорошем качественном согласии с аналитической оценкой (13) (см. рис.1, вставка).

Заключение

В данной работе мы развили вероятностный подход к анализу андерсоновской локализации в нелинейных системах с беспорядком, распространив наши предыдущие результаты (справедливые только для случая компактных локализованных мод) [10] на общий случай решеток с экспоненциально локализованными андерсо-новскими модами. Мы подтвердили, что (ан-дерсоновские) моды линейной системы с беспорядком делокализуются с ненулевой вероятностью для любого произвольно малого значения энергии/нелинейности. Зависимость вероятности делокализации от плотности энергии аппроксимируется линейной в области малых энергий. При превышении определенного порога по плотности энергии локализованные начальные возбуждения делокализуются с вероятностью 1. Эти выводы согласуются с результатами прямых численных экспериментов по моделированию распространения волновых пакетов в нелинейных колебательных решетках с беспорядком.

Авторы благодарят С. Флаха за плодотворные научные обсуждения и замечания, а также Институт Макса Планка физики сложных систем (Дрезден) за гостеприимство.

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда «Династия», гранта Президента РФ МК-4028.2012.2, РФФИ 12-02-31403 и Федеральной целевой программ-мы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (контракт

№ 14.B37.21.0247).

Список литературы

1. Anderson P. Absence of diffusion in certain random lattices // Phys. Rev. 1958. Vol. 109. P. 1492.

2. Evers F., Mirlin A. Anderson transitions // Rev. Mod. Phys. 2008. Vol. 80. P. 1355.

3. Billy J., et al. Direct observation of Anderson localization of matter waves in a controlled disorder // Nature. 2008. Vol. 453. P. 891.

4. Froehlich J., Spencer T., Wayne C. Localization in disordered, nonlinear dynamical systems // Chaos. 2003. Vol. 13. P. 596.

5. Johansson M., Kopidakis G., Aubry S. KAM tori in 1D random discrete nonlinear Schroedinger model? // Europhys. Lett. 2010. Vol. 91. P. 50001.

6. Pikovsky A., Shepelyansky D. Destruction of Anderson localization by a weak nonlinearity // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 094101.

7. Flach S., et al. Universal spreading of wave packets in disordered nonlinear systems // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. P. 024101.

8. Skokos C., et al. Delocalization of wave packets in disordered nonlinearchains // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79. P. 056211.

9. Lapteva T., et al. The crossover from strong to weak chaos for nonlinear waves in disordered systems // EPL. 2010 Vol. 91. P. 30001.

10. Ivanchenko M.V., Laptyeva T.V., Flach S. Anderson localization or nonlinear waves: A matter of probability // Physical Review Letters. 2011. 107. 240602.

11. Izrailev F.M., Chirikov B.V. Statistical properties of a non-linear string // Soviet. Phys. Dokl. 1966.Vol. 11. P. 30.

12. Flach S., Ivanchenko M.V., Kanakov O.I. q-breathers in Fermi-Pasta-Ulam chains: Existence, localization, and stability // Phys. Rev. E. 2006. 73. 036618.

13. Fishman S., Krivolapov Y., Soffer A. On the problem of dynamical localization in the nonlinear Schroedinger equation with a random potential // J. Stat. Phys. 2008. Vol. 131. P. 843.

14. Albanese C., Froehlich J. Perturbation theory for periodic orbits in a class of infinite dimensional Hamiltonian systems // Comm. Math. Phys. 1991. Vol. 138. P. 193.

ON LOCALIZATION IN NONLINEAR SPATIALLY INHOMOGENEOUS LATTICES A.V. Vildemanov, I.B. Krylov, T. V. Laptyeva, M. V. Ivanchenko

Anderson localization and wave packet spreading have been studied in one-dimensional spatially inhomogene-ous nonlinear oscillatory lattices. Probability lower bounds have been obtained for stability loss and break down of localized periodic and quasiperiodic trajectories in the phase space. They have been found to be different from zero for an arbitrarily small but finite nonlinearity (or, equivalently, energy). There is also a certain energy density threshold in the initial wave packet above which the localization is lost with probability 1. Analytical results are confirmed by extensive lattice dynamics simulation and studies on long time scales.

Keywords: nonlinear dynamics, Anderson localization, dynamical chaos.