CC BY
21
К ПРОБЛЕМЕ
«ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗРЫВА» ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
CONCERNING THE PROBLEM OF «EXPERIMENTAL-THEORETICAL GAP» IN TEACHING MATHEMATICS
C.B. Ларин, B.P. Майер
S.V. Larin, V.R. Mayer
Системы динамической геометрии, компьютерные эксперименты при обучении математике, экспериментально-теоретический разрыв, математическое моделирование.
В статье представлена точка зрения авторов на проблему «Экспериментально-теоретического разрыва», актуальность которой особенно возросла в условиях широкого применения систем динамической геометрии при обучении математике. Представлено авторское видение возможности возникновения рисков экспериментально-теоретического разрыва и пути минимизации негативных последствий использования экспериментов при обучении математике.
The systems of dynamic geometry, computer experiments in teaching mathematics, experimen-tal-theoretical gap, mathematical modeling. The article presents the authors' point of view of the issue of «Experimental the oretical gap», the relevance of which has increased particularly in the conditions of widespread use of the systems of dynamic geometry in teaching mathematics. The authors also present their point of view of the possible risks of experimental-theoretical gap and the ways to minimize the negative impact of the use of experiments in teaching mathematics.
В связи с педагогическим осмыслением роли и значения компьютерных технологий сравнительно недавно в литературе по теории и методике обучения математике появился термин «Экспериментально-теоретический разрыв» [Шабанова, Котова, 2014]. Он обозначает ситуацию, когда некоторое утверждение благодаря экспериментам на экране компьютера становится настолько очевидным, что пропадает всякое желание его доказывать. Это нежелание доказывать «очевидное с помощью непонятного» естественно и не является специфическим для компьютерных технологий. Достаточно вспомнить очевидные теоремы Ролля и Лагранжа в математическом анализе [Фихтенгольц, 1968], очевидные в буквальном смысле: наши очи их видят, если эти утверждения сформулировать на геометрическом языке. Но их доказывают. Или еще пример. Никто не усомнится в том, что во всяком непустом подмножестве натуральных чисел со-
держится наименьшее натуральное число. А ведь это нетривиальная теорема [Ларин, 2001].
Чтобы нацелить на доказательство «очевидных» утверждений, следует поставить вопрос о выяснении причинно-следственных связей, которые и составляют суть всякой науки, и в первую очередь математики
Следует подчеркнуть, что роль доказательства не в «установлении истины», а в убеждении, что из одних положений (условий теоремы) следуют другие положения (заключение теоремы). В этом убеждении, доказательстве теоремы, и состоят смысл и значение математики. Указанием места и значения эксперимента (в том числе компьютерного) проблема «Эксперименталыно-теоретического разрыва» исчезает сама собой. Эксперимент и математическое обоснование (доказательство) сосуществуют во время математического исследования, выполняя каждый свою функцию, взаимно дополняя друг друга. Результатом эксперимента является гипотеза или ее опро-
<
m
Щ
I %
С и
о
ь
X
к
W m H
и
Рч
<
о ^
о о ^ h о Q
£
W H
S о
Рч
w
о §
X
«
«
и w
V
S
ь
l-ч
<с
ri w с
«
S Д
H U
W PQ
вержение. Доказательство выясняет, что первично в наших знаниях, откуда следует утверждение. Эксперимент и «теоретическое обоснование» идут рука об руку. Это две стороны одной медали, их «разрыв» является искусственным.
В качестве примера рассмотрим геометрическое утверждение о том, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке [Атанасян и др., 2001]. Проведем компьютерный эксперимент, например, в системе динамической геометрии беобеЬга [Ларин, Майер, 2013]. Строим на экране компьютера динамическую модель треугольника и трех его медиан. Наблюдаем, что медианы пересеклись в одной точке. Увеличиваем масштаб изображения, затем точность вычислений - картина не меняется: по-прежнему медианы имеют одну общую точку. Ухватимся мышкой за одну из вершин и изменим вид треугольника - снова наблюдаем единственную точку пересечения. Создается полная уверенность в истинности утверждения о том, что медианы в любом треугольнике пересекаются в одной точке. Эксперимент подтверждает (не доказывает) это утверждение. Можно поставить вопрос: а вдруг через несколько лет изобретут такой компьютер, который позволит разглядеть, что мы не правы? Этот вопрос мотивирует установить наблюдаемый факт «чисто теоретически», с помощью фор-
в
мальных рассуждений, исключая всякое обращение за информацией к компьютеру и визуальным возможностям человека. Другими словами, появляется необходимость в проведении доказательства, которое обнаружило бы первичные истины (условия), из которых следует утверждение.
Между прочим, проведенный эксперимент уводит от идеи доказательства, поскольку единственность точки пересечения трех медиан вытекает из того, что точка пересечения любой пары медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Доказательство этого факта связано с проведением средней линии и рассмотрением подобных треугольников. Быть может, на пути к теореме о точке пересечения медиан поставить вопрос и экспериментально обнаружить факт деления двух медиан AD и ВЕ треугольника ABC (рис. 1) их точкой пересечения М в данном отношении? Системы динамической геометрии позволяют сопроводить исследование таблицей, которая дает возможность для различных случаев расположения вершин треугольника ABC оперативно вывести на рабочее поле соотношения AM/MD и ВМ/МЕ между теми геометрическими объектами, которые участвуют в экспериментальной проверке. Здесь должно проявиться высокое искусство методики преподавания математики.
AM AM MD - ВМ MD 5,26 см 2,63 см 2,00000 5,67 см МЕ 2,84 см ВМ МЕ 2,00000
5,98 см 2,99 см 2,00000 5,27 см 2,64 см 2,00000
4,60 см 2,30 см 2,00000 5,55 см 3,84 см 1,92 см 2,00000 4,12 см 2,77 см 2,06 см 2,00000 2,00000
5,56 см 2,78 см 2,00000,5,38 см 2,69 см 2,00000
Мы изучаем окружающий мир через мате- ли изучаются математическими средствами. Ни-
матическое моделирование. Эта мысль не нова, какая практика, никакой эксперимент на экране
Ее активно пропагандирует А.Г. Мордкович в компьютера не могут иметь доказательную силу,
своих учебниках. Практика подсказывает целе- Рассмотрим пример формирования матема-
сообразность создания той или иной математи- тической модели на основе жизненного опыта,
ческой модели. Свойства математической моде- Коммутативность сложения подсказана практи-
кой вычислений: сначала находим 2+3 присчитыванием к 2 трех единиц: 3, 4, 5, а затем находим 3+2 присчитыванием к 3 двух единиц: 4, 5. В итоге получаем одно и то же. Подобного рода эксперименты преподносятся порой как экспериментальное обоснование свойства коммутативности сложения.
Математической записью частного эксперимента является равенство 2+3=3+2, а математической моделью коммутативности операции + является общая запись а+Ь=Ь+а. Последняя запись выражает свойство коммутативности операции сложения + на некотором множестве М. Опыт убеждает, что целесообразно изучать математическую модель, в которой сложение коммутативно. Только и всего. Никакого «экспериментального доказательства» свойства сложения в математической модели быть не может.
Математическая модель с коммутативным умножением применяется не только при сложении чисел, но и при сложении любых двух совокупностей предметов, если эти совокупности не имеют общих предметов. Например, на рынке мы купили сначала 3 яблока, а потом 2 груши. Всего купили 5 фруктов. А могли бы сначала купить груш, а потом яблок. Эти две покупки демонстрируют коммутативность сложения. Не доказывают, не обосновывают, а только демонстрируют.
Где мы используем коммутативность сложения чисел? Например, для рационального сложения. Что проще подсчитать: 2+5 или 5+2? Чтобы найти 2+5, нужно к 2 присчитать 5 единиц, а чтобы найти 5+2, нужно к 5 присчитать всего 2 единицы. Это проще. Коммутативность сложения (вместе с ассоциативностью) мы используем также при рациональном сложении нескольких чисел. Например, 2 + 5 + 7 + 8-7удобней подсчитать в последовательности (-7 + 7) + (2 + 8) + 5. Математическая модель ассоциативности сложения на множестве М выражается равенством (а + Ь) + с = а + (Ь + с). Эти и другие важные примеры использования свойств коммутативности и ассоциативности сложения обосновывают целесообразность изучения соответствующей математической модели.
Еще аналогичный пример «обоснования» свойства коммутативности. Найдем площадь
прямоугольника со сторонами а и Ь. Каждый школьник знает, что искомая площадь равна произведению длины на ширину. Но в качестве длины (ширины) можно взять как о, так и Ь. Следовательно, площадь одного и того же прямоугольника равна как а ■ Ь, так и Ь ■ а. Отсюда заключаем, что Ь • а = Ь • а. Эти рассуждения порой выдают за доказательство коммутативности умножения. Нет! Именно потому, что мы используем математическую модель коммутативного умножения, мы можем считать, что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину, которые можно выбрать произвольно из а и Ь.
Что такое «операция сложения»? Это сопоставление упорядоченной паре чисел (о, Ь) (слагаемых) нового числа, называемого суммой, которое записывается в виде а+Ь. Правило нахождения суммы двух натуральных чисел определяется следующим образом. Сначала определяем прибавление единицы: о+1 есть то число, которое следует в натуральном ряду чисел за о. Чтобы найти о+2, нужно назвать число, следующее в натуральном ряду за числом о+1. Чтобы найти о+З, нужно назвать число, следующее в натуральном ряду за числом о+2. И так далее.
Правило образования суммы можно изменить и получить новое «сложение». Например, на множестве целых чисел определим «сложение» по правилу а © Ь = а + 2Ь. Это новое «сложение» не коммутативно. Такого рода примеры формируют у школьника общее представление об операции (алгебраической операции).
Казалось бы, некоммутативные операции никому не нужны, поскольку не могут описывать реальную жизнь. Оказывается, и в «реальной жизни» много некоммутативных операций. Например, в школе изучаются движения. Произведением двух движений называется результат их последовательного выполнения. Отражение от прямой в плоскости есть движение - отражение от оси. Возьмем два отражения от не взаимно перпендикулярных осей. Выполнение отражения сначала от первой оси, а потом от второй совсем не то же самое, что отражение сначала от второй оси, а потом от первой. Следовательно, умножение движений (в частности, отражений от осей) не коммутативно.
<С
Î
ч
с m
о
ь
X
Щ
w m н о
Рч <
о ^ о о ^ h о я
EÎ W H
s о
Рч
w
0
1
X %
«
«
о w
V
s
ь
l-ч
<с п w с
« s
X
H
и
W
м
Итак, психолого-педагогическая проблема «экспериментально-теоретического разрыва» состоит в том, что учителя порой отрывают «экспериментальную» часть исследования от «теоретической» части, объявляя экспериментально подтвержденную «очевидность» доказательством. В результате у учащегося может создаться впечатление, что суть доказательства утверждения состоит в подтверждении его истинности путем наглядных, чувственно воспринимаемых как очевидные, экспериментов.
Устраняется «экспериментально-теоретический разрыв» очень просто, если вещи называть своими именами. Необходимо разъяснить ученику, что доказательство истинности утверждения не может быть сведено к наглядному эксперименту. Что суть доказательства - в установлении причинно-следственных связей, в обнаружении первичных истин, называемых аксиомами. Доказательства являются инструментом выстраивания теории - системы выводов из аксиом новых содержательных утверждений, называемых теоремами.
Обратим внимание на одну терминологическую коллизию. Иногда (см., например, [Шамин]) термином «математический эксперимент» обозначают символьные вычисления, проводимые на компьютере с использованием пакета программ типа Maple. Как разъясняет автор этой публикации, «Экспериментальная математика - получение математических положений с помощью вычислительной техники». Мы не касаемся этого аспекта, но разделяем мнение большинства математиков, считающих символьные вычисления вполне надежными элементами традиционных доказател ьств.
Проблема «Экспериментально-теоретического разрыва» может быть осмыслена как «Роль чертежа (или более широко-анимационногочер-тежа) при доказательстве теоремы». Порой чертеж настолько информативен, что запись доказательства заменяют одним словом: «Смотри!». Например, вместо доказательства теоремы Пифагора можно сказать: «Смотри рисунок 2». На рисунке видим, что (а + d)2 = с2 + 2ab, откуда а2 + Ь2 = с2, и теорема доказана.
Подробное обоснование теоремы Пифагора вскрывает первичные истины (в конце концов -аксиомы), из которых вытекает заключение теоремы. При этом сама теорема Пифагора может быть вписана в различные теории и, как следствие, получить различные доказательства.
Библиографический список
1. Атанасян С.Л, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., По-зняк Э.Г. Геометрия, 7-9. М.: Просвещение, 2001.
2. Ларин C.B., Майер В.Р. Задачи на построение, неразрешимые циркулем и линейкой, и их решение в компьютерной среде GeoGebra // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. 2013. №1 (23). С. 223-228.
3. Ларин C.B. Числовые системы. М.: Академия, 2001.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука, 1968. Т. 1.
5. Шабанова М.В., Котова С.Н. «Экспериментально-теоретический разрыв» и способы его преодоления при обучении математике с использованием систем динамической геометрии // Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и вузе: материалы II Международной научной конференции, 2-4 октября 2014 г. М.: ФГБОУ ВПО МПГУ. 2014. С. 190-196.
6. Шамин Р.В. Манифест экспериментальной математики [Электронный ресурс]. URL: http://xmath.ru
