К построению математической модели двухфазного течения в осесимметричном сопле Лаваля Текст научной статьи по специальности «Физика»

2023

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 84

Научная статья УДК 532.529

doi: 10.17223/19988621/84/8

К построению математической модели двухфазного течения в осесимметричном сопле Лаваля

Владимир Петрович Бушланов1, Владимир Григорьевич Бутов2, Анатолий Алексеевич Глазунов3

1 Государственный морской университет им адмирала Ф.Ф. Ушакова, Новороссийск, Россия 23 Томский государственный университет, Томск, Россия 1 [email protected]

2 bvg@niipmm. tsu. ги

3 gla@niipmm. tsu. ги

Аннотация. В трудах И.М. Васенина разработан кинетический подход для создания математических моделей двухфазных сред. На его основе создана и реализована модель двухфазного течения в соплах Лаваля с учетом вращения капель конденсата. Показано, что при многочисленных столкновениях моменты вращения некоторых капель могут превысить критическое значение и произойдет разрушение капель центробежными силами. Данный подход распространен на построение математической модели двухфазного течения в осесимметричном сопле Лаваля с учетом силы Магнуса, действующей на вращающиеся капли.

Ключевые слова: кинетический подход, осесимметричное сопло Лаваля, момент вращения капли, система уравнений двухфазного течения с учетом силы Магнуса

Благодарности: Исследование выполнено при поддержке Программы развития Томского государственного университета (Приоритет-2030) и Государственного морского университета им. адмирала Ф.Ф. Ушакова в г. Новороссийске.

Для цитирования: Бушланов В.П., Бутов В.Г., Глазунов А.А. К построению математической модели двухфазного течения в осесимметричном сопле Лаваля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 84. С. 93-108. doi: 10.17223/19988621/84/8

Original article

On the development of a mathematical model of a two-phase flow in an axisymmetric de Laval nozzle

Vladimir P. Bushlanov1, Vladimir G. Butov2, Anatoliy A. Glazunov3

1 Admiral Ushakov Maritime State University, Novorossiysk, Russian Federation 223 Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 [email protected]

© В.П. Бушланов, В.Г. Бутов, А.А. Глазунов, 2023

2 bvg@niipmm. tsu. ru

3 gla@niipmm. tsu. ru

Abstract. When modeling the flow of two-phase media, a number of authors use the kinetic approach. In the 1980s, I.M. Vasenin et al. obtained equations describing the flow of gas and liquid particles based on the equation for a drop distribution function in terms of masses, velocities, temperatures, and intrinsic angular momentum. They differ from the known equations by an additional equation for the mean square of the rotation moment. A numerical solution to the equations shows that due to numerous collisions and coagulation, the rotation moments of some drops exceed the critical value, and the drops are destroyed by centrifugal forces. In this paper, the kinetic approach is extended to the model of a two-phase flow in an axisymmetric de Laval nozzle with account for the radial diffusion of drops under the action of the Magnus force acting on a rotating drop. The system of equations is derived from the kinetic equation up to second-order moments using the method of moments. Only second-order moments, which affect diffusion to the wall, are taken into account. Diffusion leads to an earlier occurrence of drops on the wall and therefore must be considered when profiling the contour of the nozzle. Keywords: kinetic approach, axisymmetric de Laval nozzle, moment of drop rotation, system of two-phase flow equations with allowance for the Magnus force

Acknowledgments: This study was supported by the Tomsk State University Development Programme (Priority 2030) and by the Admiral Ushakov Maritime State University in Novorossiysk.

For citation: Bushlanov, V.P., Butov, V.G., Glazunov, A.A. (2023) On the development of a mathematical model of a two-phase flow in an axisymmetric de Laval nozzle. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 84. pp. 93-108. doi: 10.17223/19988621/84/8

Авторы посвящают статью памяти своего Учителя Игоря Михайловича Васенина, основателя кинетического подхода в теории двухфазных течений в соплах

Введение

Широкое применение ракетных двигателей на твердом топливе обусловливает проведение работ по созданию новых и совершенствованию существующих конструкций. Такие работы проводятся по ряду направлений [1, 2], и одним из них является углубленное изучение двухфазной газодинамики продуктов сгорания в сопле Лаваля. Это связано с тем, что интегральные энерго-тяговые характеристики двигателя определяются параметрами двухфазного течения, силами, действующими на стенки сопла. К настоящему времени выполнено большое количество исследований по разработке физико-математических моделей и изучению особенностей в них [3-17], которые усовершенствуются путем учета новых физических эффектов в соплах. В большинстве моделей рассмотрены эффекты, связанные с поступательным движением капель, хотя в ряде работ отмечается возможность вращения капель за счет различных процессов [15, 18-20]. В работах [12-15] показано, что в результате многочисленных столкновений капель различ-

ных размеров момент импульса у них может накапливаться и даже достигать критических значений для их разрушения центробежными силами [1, 18]. Для описания разрушения капель из-за вращения в [1, 12-15] к системе газодинамических уравнений двухфазного течения добавлено уравнение для квадрата момента вращения капель.

В двухфазных течениях в сопле Лаваля жидкие капли сталкиваются [1]. Если до столкновения они не вращались, то после коагуляции момент вращения образовавшейся капли равен

Мо=^Мг1+г2Кху, (1)

т1+т2

где 1 и 2 - индексы капель, у = м1 — иг - вектор относительной скорости капель, е0 - единичный вектор в направлении отрезка, соединяющего центры сфер в момент столкновения. Угловая скорость вращения капли ю = |Мо|// может достигать величин ~ 107 1/сек, где момент инерции образовавшейся сферической капли / = 0.4даг2, если принять радиусы частиц г = 5-10 '' м, и у| ~ 100м/с в минимальном сечении сопла.

Считая приближенно вращающиеся капли сферами, запишем уравнения вращения и движения сферы в газе:

с?М М г2р

= —Т"' ^ =ТТ^ (2)

с!и ит-и (и —и)хМ Згмг~м

— = 0.3ф—-+ —---, ф = —(1 +--!-1) (3)

Л / 8ту / 8 V

вр г вр г

где М , и . и, - момент количества движения, скорость сферы и скорость газа, V, рг - кинематическая вязкость и плотность газа, m - масса капли.

Выражение (2) получено в приближении Стокса, а (3) - в приближении Озеена для движения сферы в вязкой жидкости. В сверхзвуковых соплах Лаваля, как следует из многочисленных расчетов (см.: [1, 8, 17]), вектор разности скоростей V сталкивающихся капель в области сильной коагуляции (в области минимального сечения) почти параллелен оси сопла, поэтому момент вращения Мо перпендикулярен V и лежит в радиальной плоскости сопла. Вектор иГ - и

также почти параллелен оси сопла, поэтому вектор силы Магнуса (см. второй член правой части (3)) находится в радиальной плоскости сопла. В области горла сопла перемещения частиц в радиальном направлении за счет силы Магнуса отодвинут предельные линии частиц к стенке сопла и сдвинут место выпадения частиц к минимальному сечению, что важно при профилировании контура сопла.

Цель работы - на основе кинетического подхода [21] построить математическую модель двухфазного течения, описывающую диффузию вращающихся капель под действием силы Магнуса в осесимметричном сопле Лаваля.

Постановка задачи

Среднестатистические параметры будем задавать с помощью функции распределения. Разобьем все капли на входе в сопло на Кр фракций. К каплям /-той фракции отнесем все капли массой т в интервале масс т,- < т < т+\.

Пусть XI, х2, х3 - декартовы координаты. Обозначим функцию распределения /-той фракции

р (г, х, х, х,т, и, и, и ,Т, М, М2, М3). (4)

В дальнейшем вместо (4) будем использовать компактную форму записи:

0. = {х1,х2,х3,и1,и2,и3,Т,М1,М2,М3) (5)

Число капель /-той фракции с параметрами О , принимающими значения в фазовом объеме с1(Л , равно /' тЛУ)с1<1.

Выделим в момент времени I капли /-той фракции с параметрами О в фазовом объеме сЮ. . В момент времени I + А/ у этих капель параметры станут О- , и они займут фазовый объем йО . Разность числа выделенных капель в моменты / + Д/ и / равна

— — — — д 3' —

Д У = | /' (/ + Ы, - | /' (/, = Atf , (6)

ОХ О 91

где скорость прихода капель в единицу времени в единице фазового объема О

9 у

в результате столкновений условно обозначена — . Из (6)

■дГ ~ Ш

f dQ. = lim — = lim — J f Г f (t + At, Q) - f (t, 1 -J dt At j J

+ lim— f f\t + At,n)dn= \^—dQ.+ (/'—ndTL, «At r I dt { dt

Q-Q Q E

(7)

где Е - поверхность, ограничивающая О., а п - единичная внешняя нормаль к ней,

дй • --скорость изменения вектора и .

Воспользовавшись теоремой Остроградского, с учетом произвольности О из (7) получим

тс„

f + + d_af_ +Bf_ + _d_| (8)

dt dxk duk dMk dT

dt

йи, „ йМ, йТ

где ак = ^7' В = —' (9)

аг аг аг mcv

S - площадь поверхности сферической капли, су - удельная теплоемкость вещества капли при постоянном объеме, q - поток тепла в единицу времени на единицу поверхности капли.

Уравнение переноса признака частиц

Запишем теперь уравнение для признака капли Ф , под которым будем

понимать произвольную величину, переносящуюся вместе с каплей и зависящую от ее массы, скорости, момента и температуры.

Уравнение для признака частиц получим способом, аналогичным [6]. Умножим левую и правую части (8) на функцию признака Ф и проинтегрируем по всему фазовому объему О и массам т, тогда

\ф^-с1Шт+\ф^-с1Шт+ \ф—(ак/')с1Шт + Г — Ф— ¿5/ £ дхк £ дик £ тсу дТ

(10)

с) 3 Зг + Гф-(.В,/')<КНт = .

О дмк I д!

Обозначим

\ф^,тД)/\1,тД)аиШатат = (ф'(/,*)}(/'>,*)) = Ф'/'. (11)

о

Предполагая, что = 0 на границе О, интегрированием по частям из (10) получим (индекс i, указывающий номер фракции, опустим): д^ ,/дФ\ д .1 дф\ ./ дФ\ я ,/ дФ\ / дФ '

а(Ф/)—/\ д*)</< )—ф дф)—/(«к дф)—дф) -^

з т _^

:Д(Ф)= \ф^йШт. * Я/'

(12)

п 5*

Перейдем в (12) к новым переменным V, 6, Ь :

\> = и-(и}, В = т-(ту 1=м-(м} (13)

Из (12) и (13) получим

д , _ г!дФ\ д , ,, д

|,Ф/)—/{+±(/{ Фи),+£ (г{„,){ Ф»—/[< „>( +(« £,+

/, дФ\— в, дФ

т^ \ дв / \ к дЬ,

(14)

= А(Ф),

(15)

где из (2)-(3)

ак = аАмк — + Ь%„((() ¿4 + Ьр¿4 — (мрК — ЬЛ) ,

Вк = + ВЬк , А"к = "гк — (.

Поток теплоотдачи q = аДГ - а9, ДГ = Гг - (Т^, где и^ и Тг - компоненты скоростей газа и температура газа, а = 0.3ф, Ь = —1—, В = —1— коэффициенты, не

зависящие от V, 6, Ь , е^ - тензор Леви-Чевиты. Из (15)

дФ\ А /дФ\ / дФ\

к(^7/— ^У^/+ЬА(Ф), (16)

-k / \ / \ ^k

(

ЖФ) =

MLY ВШ •(' t)=£>--(

MO ОH^) -< ^f) -(

Полагая в (14) Ф = 1, т, ук, 0, Ьк, укик, укЬр, ЬкЬд, ук 0, Ьк 0,02 и пренебрегая моментами выше второго, получим систему уравнений до моментов второго порядка включительно. Величины (ур10Рбудем называть моментами порядка Р\ + Р2 + Р3.

В дальнейшем моментами выше второго порядка будем пренебрегать, а моменты первого порядка обозначать (ыр ) = Мр, (т) = Т, (ик) = ик.

Интегралы столкновений

д X

Выясним вид правой части (8). —2— будем называть интегралом столкнове-

дt

ний. Имеем

д Т'

т = ъ'=1 а А , (17)

где . I „ - скорость прихода капель /'-той фракции с параметрами О в результате коагуляции капель /-той и /-той фракций, / >], А,, - скорость ухода капель /-той фракции с параметрами в результате слияний с каплями /-той фракции. Такое отнесение образовавшихся после коагуляции капель к каплям большей фракции позволит далее решать уравнения методом Лагранжа. Здесь также предполагается, что после не слияния параметры сталкивающихся капель не изменяются.

Установим вид Ар. Обозначим параметры сталкивающихся капель как и £2„,2:

Птк =\тк,и1,Тк,Щ}, к = 1,2. (18)

Пусть капля с параметрами т,и,Т,М образуется при столкновении-слиянии

двух капель с параметрами £2Ш1 и О,,,,. Тогда имеем следующие уравнения законов сохранения:

т = т1 +т2,ти = т1и1 +т1и1,Еп(£2) = Еп) + Еп) ,

^^ —(19)

М =М\ +Мг +Мп,Е(Пк) = тксТк +тк— + —-Ч-сг^, , 0 " * 2 21к к

где М0 вычисляется из (1), Бк = 4пгк , ст - коэффициент поверхностного натяже-

1 2 2 ния, Ь = - т*гк.

Из (19) видно, что параметры И,„ вычисляются через О», и О,,,- и случайные координаты 9 и ф вектора столкновения е0 . Число столкновений в единице объема

за единицу времени капель /-той фракции с параметрами О1, с каплями /-той фракции с параметрами О»: равно

кд(С1т1,С1т2) = /¡(¿,х,01)/Д^,х,02)|и1-г^л^+г2)2, (20)

где п и г2 - радиусы сферических капель /-той и у-той фракций соответственно (индекс 1 относится к /-той фракции, а 2 - к /-той фракции).

Из (20) имеем, учитывая, что якобиан перехода 3 от переменных £1тг к О»

— / \4

¿Ют2

из (19) равен У =

\4

т

8С1т

А = f fc (0,1,0*2)1 —I у(е,ф)й?01й?6й?ф , (21)

где Q+ - область переменных Qmi, 0, ф, в которой происходит слияние капель с параметрами , - — - (£imi,

Qm,0,ф). Векторная функция 0т2(01,0,0,ф) вычисляется по формулам (19); i (0,ф) - вероятность того, что вектор е0 имеет координаты 6, ф.

При условии равнораспределенности в объеме капель, имеющих любые параметры О , будем считать, что на единицу площади, перпендикулярной ш-т, приходится равное число столкновений. Элементарная площадка на этой площади равна

dS = rdrdqt;г = {rl+r2)sin6,dr = + r2)eosQdQ , (22)

где 6 - угол между e0 и m —ui, угол ф отсчитьшается в радиальной плоскости.

Тогда, учитывая (22), имеем:

^ ч dS sin 6 cos 6d 6d ф

v(6, Ф) = —--2 =-. (23)

n(rt + r2 )2 л

Из (21)-(23)

■ - -J „ Л4

Atj = J ^(Oi,Qm2)

sin t) cost

dD.midQd(p, (24)

<□+

где параметры С1,,,? вьфажаются по формулам (19).

Для того, чтобы определить А , заметим, что любое слияние капель с параметрами О1 изменяет Г2т, поэтому

А- = т , (25)

О"

где И - область коагуляции для переменных О1.

Для того, чтобы выражения Л и Л- были полностью определены, установим

вид областей О и О. Условимся, что слияние происходит, если выполнены необходимые условия слияния капель при соударениях

7

:|м|=|М1+М2+Мо|<Ои»(рст(г13+г23))3, Ои„=5.23, (26)

7

О :\М+М1+Мо\<0.п,{р<з{г^ +г1)У . (27)

д У —

Вычислим А(Ф)Г Из (12) А(Ф), = [ Ф ——¿Шт. Здесь О - вся область

I д{

изменения параметров Q . Из (17) получим

Л-'

(28)

1А1 = \фа^,1 =

"J

'

Перейдем в этих интегралах от переменных О к Ог по формулам (19). Тогда будем иметь

h, = , ^ J = hj, V<J;

С 7n2f 7 /К ^ 4sin8cos( J fi?ej (/фФ^(о„1,а»,2)-

dD.mldD.m2. (29)

Задача о диффузии вращающихся капель под действием силы Магнуса в осесимметричном сопле

Применим полученные уравнения для описания диффузии вращающихся капель под действием силы Магнуса в осесимметричном сопле Лаваля. Пусть характерное время затухания колебаний Т\ в образовавшейся после коагуляции капле намного меньше характерного времени между столкновениями ТСТ, тогда в течение времени между столкновениями капли будут вращаться, как квазитвердые тела.

Рассмотрим осесимметричное двухфазное течение, когда ортогональные векторы базиса й, . е,. е. есть ег, ец>, е: - единичные векторы цилиндрической системы координат. Относительная скорость коагулирующих капель параллельна оси сопла х. Направление вектора е0 (см. формулу (1)) при столкновениях равновероятно в радиальной плоскости, а потеря момента количества движения за счет трения о газ (см. формулу (3)) не изменяет его направления, уменьшая только его модуль. Поэтому интеграл столкновения А(М) = 0 и величины вектора момента

вращения капель ^Му = 0, если нет градиента концентрации капель в радиальной

плоскости сопла. Но в двухфазном потоке в сопле имеются градиенты концентраций капель в радиальном сечении. Покажем, что в этом случае величины (М2}

уже не будут нулевыми. Действительно, сила Магнуса в радиальном направлении

8тг 4р

и если есть диффузионный поток капель в радиальном направлении, то в этом потоке капли имеют компоненту М2 того знака, который отвечает за перемещение капель в направлении меньших концентраций, т.е. к стенке, поэтому (М2) ф 0. Поток компоненты М2 в радиальном направлении пропорционален

{иМг) = (м1)(М2) + , поэтому величина (щМг) должна отвечать за создание ненулевого (М2). Заметим, что на самой стенке капли имеют М2 одного

знака, так что здесь (М2) может быть порядка (м2^ . Согласно формуле (3),

величина силы Магнуса пропорциональна (щМг) = {щ}(М2) + (чЬ) .

Приведенные выше рассуждения показывают, что при учете вращения капель в виде (2)-(3) в области больших градиентов нужно учитывать величины М2,(ухЬ2),{чЬ) . В ядре потока (вдали от стенки сопла) должны рассчитываться

величины (/) = и,(ш/) = Р,и,,(¿¡¿1 ),(44), где п - число капель в единице

объема, р - массовая плотность.

Помимо прочего, около стенки должны быть учтены величины ,(,

определяющие вектор плотности потока диффузионного количества движения относительно вектора средней скорости.

Для того чтобы более строго обосновать приведенные выше рассуждения, рассмотрим общую систему моментных уравнений до вторых моментов при следующих предположениях:

1) так как векторы |и1 — иг| и иТ -и имеют компоненты в направлении вдоль

оси сопла на порядок большие, чем радиальные, то из (1)-(3) будем считать, что векторы собственных моментов количества движения и векторы силы Магнуса лежат в радиальной плоскости сопла;

2) диффузия вращающихся капель к стенке сопла под действием большого градиента концентрации капель в радиальном направлении приводит к тому, что нужно рассматривать и моментные уравнения второго порядка в области больших градиентов концентраций;

3) в ядре потока отличны от нуля только следующие моменты второго порядка: (44 М¿2L2),(vv1),Ь^з);

4) из соображений симметрии и из-за равновероятности столкновений относительно вектора е0 и малых градиентов концентраций капель в направлениях 2

иЗ (м^ = 0 и

д(цц) = ДЦ ¿2); (31)

5) в осесимметричном случае

<^2> = ^2) = (УзУ^ = 0,(У2Ц) = <У2Ь2) = VЬ) = 0 ; (32)

6) так как из предположения 3 имеем М3 = 0 для всех капель, то

Мз = 0,(Ьч) = (ЦУ2) = <ЬзУз) = 0,<ЦЦ) = (ЬзЬ2) = ЬЬз) = 0 ; (33)

7) пренебрежем величинами

= (0»2) = (0у3) = 0, (0^ ) = (0£2) = <ех^> = 0 . (34)

В системе уравнений моментов до второго порядка включительно в области больших градиентов пренебрежем градиентами всех моментов второго порядка по сравнению с градиентом концентрации в радиальном направлении. Тогда с учетом предположений \-7 будем рассматривать следующие уравнения для моментов второго порядка:

(е-2а)(уу) + Ь[2Дщ (Ьу)-2М2 (у3у1)] + Д (уу) = 0,

(е - Щ( уу) + Ь [дщ ( ^з)- М^ у у)- Дщ ( ¿2У1) + М2 {уу) ] = 0

(е - 2а) (у у) + Ь [-2Дщ {Ьу) + 2М2 (уу)] + Д (уу) = 0,

(е - а + Б) ( у1Ь1) + Ь [Дщ ( Ь2 Ь) - М 2 (у Ь) ] = 0,

(е - а + Б) (уЬ ) - ЬМ2 уЬ2) + ЬДщ (Ь2Ь2) = 0,

(е - а + Б) (уъЬ2) + ЬМ2(у^) - ЬДщ (Ь2Ь2) = 0,

(е - а + Б) (у ^ + Ь [-Дщ (Ь2Ь) + М2 (уу)] = 0,

(е-а + Б)( ЬЬ) = 0,

и 1 б/

где е= 77". (36)

г / аг

Из уравнения (35) (ЬЬ) = 0. Уравнение для (у^ и (у^ однородны, и определитель (е - а + Б)2 + Ъ2М2 > 0, тогда (у^ = 0, (у ^ = 0. Уравнения для (ухЬ2) и (уъЬ2) имеют решение

уь2) = ^ЬЬ^-[(е - а + Б)Дщ -ЬМ2Дщ ],

(у ^ = -^ЫЬй. [(е - а + Б)Дщ + ЬМ2 Дщ ], Д = (е - а + Б)2 + Ь2М2. Из уравнений для (уу), (уу,) получим (уу) = {[ (е - а + Б)2 + 2Ь2М2 ] [2ЬДщ (уЬ2) - Д(уу)] + 2Ь М (е - 2а) х х [Дщ (уЬ) - Дщ (уъЬ2)] + 2Ь2М2 [2Дщ (уЬ2 ) - Д(уу)]}/Д1, ' (у^ = {[(е - 2а)Ь] [Дщ (уЬ2) - Дщ (уЬ)] - ЬМ2 [2ЬДщ (уЬ2) - Д(уу)] + +ЬМ2 [2Дщ (уЬ2) - Д(у3у3)]} (е - 2а) / Д1, Д1 = (е - 2а) [ (е - 2а)2 + 4Ь2М22 ], (уу) = {[(е - 2а - 2ЬМ2)] [2ЬДщ (у Ь2) - Д(уу)] -- 2Ь2М2 [Дщ(уЬ2) -Дщ(уЬ)]+ '

+ (е - 2а) [2ЬДщ (у Ь2) - Д(у у)]} (е - 2а) / Д1.

(37)

(38)

Из решений (35)-(38) около стенки сопла видно, что влияние на диффузию членов (yL), (у4), (44) мало по сравнению с величинами (yy), (vy),

(V1L2) , (V3Ll) .

В уравнениях для моментов первого порядка только (yy), (yL) , (yy) входят с градиентом f в радиальном направлении. На этом основании уравнения для (yy), (yL2) рассматривать не будем, и в остальных уравнениях будем считать

(уу) = 0, (уL2) = 0 .

Так как (yy) входит в уравнение для u3, то будем принимать и (yy) = 0, так

как влияние диффузии за счет силы Магнуса на компоненту u3 мало по сравнению с влиянием на компоненту ui.

Уравнения для моментов с учетом рассмотренных выше предположений (1-7) и (yy) = (yy) = 0, (v3L2) = 0 следующие:

Dn = A(i), DP = A(m), (39)

Л 1 д

f D,PU1 + (xi(vivi)P-P[°AMi + bM2АИз] = A(mVi), (40)

f D<PU -p[aAu - bM, Aux + b(yL2)] = A(my), (41)

л 1 д

fD,PM2 + - — (x^vD f) - bM2f = A(L2), (42)

Xj dx

Л sa

fD,PT--ATP = A(m9), (43)

mcy

D,((vyi)P) + ЦVP1V^^ -P[-2a (yy) + 2^ViL^] = A(ViVi), (44)

D, ((vL) n)+n

, ,du . ,dM2

г[(B -a) (v1L2) + bAu3L2L2] = A(v1L2), (45)

D,«44)n) -2^LiL^n = A(LiLi), (46)

D, ((L2L2)n) + 2n(yL2)M -2B(L,212)n = A(L2L2), (47)

где применены обозначения:

^ 1 3 , ч 3 , ч

Пч = ——(хич>)+—(«з у),

X сХ1 дх3

П} У = Щ — (х1и1 у) + « —. ' йх3

Сделаем еще одно допущение. В уравнении (47) будем считать произведение (у£2) м2 величиной более высокого порядка малости, чем члены, порождаю-

щие диффузионные поправки в рассматриваемых уравнениях. Другими словами,

, . дМ? М7 если ЫЬ2)~еЦМ и--8-, где е - малая величина, равная нулю, если

дх1 Ц

диффузии нет, а и, М2, L\ - масштабы скорости, момента количества движения и

дМ2 2 UM2

длины, то ЫЬ2

дхх Ц

Заметим также следующее. В уравнениях (46)-(47) {Ь1Ь)1 = (ЬЬ) = Л((М ^- М; | что следует из предположения 4. Тогда, вычитая уравнения,

получим — (Ь2Ь2>)[] — 2 В({Ь1Ь1) — (¿212>)/ = 0. Решением этого

уравнения при начальном условии на входе в сопло (Ь1Ь)1 _ (ЬЬ) = 0 является

(Ь1Ь)1 - {1212) = 0. Так как 1^М2 ^ = (Ь1Ь)1 + (Ь2Ь2) + М2, имеем

\L\L), = L Ь2) =

((м)-м22).

(48)

Поэтому вместо уравнений (46), (47) будем рассматривать только уравнение для (м ^, которое будет иметь следующий вид:

Л ) ") + ^ (*1м2 (^Л) п) - 2В (м2 У = Д(М2). (49)

Система моментных уравнений до второго порядка включительно с учетом сформулированных предположений окончательно в консервативной форме будет иметь следующий вид:

дА 1 5 / т ^

^+7д7(х1Б) = с. (50)

Здесь

A = u

n v

р Pv

pu puv

pv Pv' + p( vivi)

рт , B = f pvT

(«'} у(м2^+м2 (у!,)

M2 vM2 + (vxL2)

vM2 + (vlL2) 2v(vL2) + M2 (у^ + v2M2

pv' +(pvivi) pv(v2 + 3( уу))

(51)

1

2

С =

где

Д(1) Д(ш)

Д(дау) - р(йу (и - иг) - bfM-iДу + b/ )) Д(шv) - р [öy- (v - vr) + bfMiДи J A(mT)-af(T -Тт)p

Д(М2) - 2Bf (м2 ^ w Д(M2) - BfM2n

Д( vM2) - n {(a7 + B )(M2v + (^2)) - afM2vT + ^ Ди (M, Д(шv2) - р {2^ (( vv) - vДv) + 2^ Дu(M2v + (v^}) J

m = m3, v = Mi, a/ = a, Bf = -B, bf = -b. Заключение

M ))/2

(52)

(53)

В настоящей статье кинетический подход распространен на модель двухфазного течения в осесимметричном сопле Лаваля, которая учитывает радиальную диффузию капель под влиянием силы Магнуса, действующей на вращающуюся каплю, движущуюся со скоростью порядка 100 м/сек относительно газа в минимальном сечении сопла. Система уравнений с диффузией получена методом моментов из кинетического уравнения с точностью до моментов второго порядка. Учтены только моменты второго порядка, которые влияют на диффузию к стенке. Диффузия приведет к более раннему выпадению капель на стенку и разрушению сопла, поэтому она должна учитываться при профилировании контура сопла таким образом, чтобы срез сопла был ближе места выпадения.

Список источников

1. Васенин И.М., Архипов В.А., Бутов В.Г., Глазунов А.А., Трофимов В.Ф. Газовая динами-

ка двухфазных течений в соплах. Томск : Изд-во Том. ун-та, 1986. 262 с.

2. Алиев А.В. и др. Внутренняя баллистика РДТТ / РАРАН / под ред. А.М. Липанова, Ю.М.

Милёхина. М. : Машиностроение, 2007. 504 с.

3. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин Л.Е. Механика многофазных

сред // Итоги науки и техники Гидромеханика. М. : Изд-во ВИНИТИ, 1972. Т. 6. С. 93-174.

4. Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. М. : Машинострое-

ние, 1974. 212 с.

5. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М. : Наука, 1987. Ч. 1. 464 с.; Ч. 2. 360 с.

6. Крайко А.Н., Шрайбер А.А. К построению модели, описывающей в одномерном при-

ближении двухфазное течение с коагуляцией частиц полидисперсного конденсата // ЖПМТФ. 1974. № 2. С .67-74.

7. Стернин Л.Е., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А., Подвысоцкий А.М. Двухфазные моно- и по-

лидисперсные течения газа с частицами. М. : Машиностроение, 1980. 172 с.

8. Яненко Н.Н., Солоухин Р.И., Папырин А.Н., Фомин В.М. Сверхзвуковые двухфазные тече-

ния в условиях скоростной неравновесности частиц. Новосибирск : Наука, 1980. 160 с.

9. Шрайбер А.А. Многофазные полидисперсные течения с переменным фракционным

составом дисперсных включений // Итоги науки и техники. Комплексные и специальные разделы механики. М. : Изд-во ВИНИТИ, 1988. Т. 3. С. 3-80.

10. Рынков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах. Новосибирск : Наука, 1986. 222 с.

11. Шишков А.А., Панин С.Д., Румянцев В.В. Рабочие процессы в ракетных двигателях твердого топлива. М. : Машиностроение, 1989. 239 с.

12. Липанов А.М., Бобрышев В.П., Алиев А.В., Спиридонов Ф.Ф., Лисица В.Д. Численный эксперимент в теории РДТТ / под ред. А.М. Липанова. Екатеринбург : Наука, 1994. 304 с.

13. Glazunov A.A., Vasenin I.M., Ivanov V.A., Kuvshinov N.E., Narimanov R.K. Two-Phase Flow in the Nozzles of Solid Rocket Motors // Journal of Propulsion and Power. 1995. V. 11 (4). P. 583-592.

14. Глазунов А.А., Васенина Т.В., Ерёмин И.В., Кувшинов Н.Е. Исследование неравновесных пространственных двухфазных течений в эллиптических соплах с учетом коагуляции, дробления и вращения частиц и полидисперсной модели осколков // Известия вузов. Физика. 2004. № 10. С. 31-36.

15. Стернин Л.Е., Шрайбер А.А. Многофазные течения газа с частицами. М. : Машиностроение, 1994. 320 сс.

16. Бутов В.Г., Васенин И.М., Дьяченко Н.Н. Модель движения полидисперсного конденсата с учетом случайных пульсаций скорости и температуры коагулирующихся частиц // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1981. № 3. С. 33-39.

17. Губертов А.М., Миронов В.В., Борисов Д.М. и др. Газодинамические и теплофизиче-ские процессы в ракетных двигателях твердого топлива / под ред. А.С. Коротеева. М. : Машиностроение, 2004. 512 с.

18. Архипов В.А., Бушланов В.П., Васенин И.М. и др. Равновесные формы и устойчивость вращающихся капель // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1982. № 4. С. 13-20.

19. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Течение газа с частицами. М. : Физматлит, 2008. 600 с.

20. Наумов В.А., Соломенко А.Д., Яценко В.П. Влияние силы Магнуса на движение сферического твердого тела при большой угловой скорости // Инженерно-физический журнал. 1993. Т. 65, № 3. С. 287-290.

21. Гиршфельдер Дж., Керпис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М. : Изд-во иностр. лит., 1961. 932 с.

References

1. Vasenin I.M., Arhipov V.A., Butov V.G., Glazunov A.A., Trofimov V.F. (1986) Gazovaya

dinamika dvukhfaznykh techeniy v soplakh [Gas dynamics of two-phase flows in nozzles]. Tomsk: Izdatel'stvo Tomskogo universiteta.

2. Aliev A. V., Amarantov G. N., Akhmadeev V. F., Babuk V. A. (2007) Vnutrennyaya ballisti-

ka RDTT [Internal ballistics of solid propellant rocket engine]. Moscow. Mashinostroenie.

3. Krayko A.N., Nigmatulin R.I., Starkov V.K., Sternin L.E. (1972) Mekhanika mnogofaznykh

sred [Mechanics of multiphase media]. Itogi nauki i tekhniki. Gidromekhanika. 6. Moscow: Izdatel'stvo VINITI.

4. Sternin L.E. (1974) Osnovy gazodinamiki dvukhfaznykh techeniy v soplakh [Fundamentals

of gas dynamics of two-phase flows in nozzles]. Moscow: Mashinostroenie.

5. Nigmatulin R.I. (1987) Dinamika mnogofaznykh sred [Dynamics of multiphase media]. Part I.

Moscow: Nauka.

6. Krayko A.N., Shrayber A.A. (1974). K postroeniyu modeli, opisyvayushchey v odnomernom

priblizhenii dvukhfaznoe techenie s koagulyatsiey chastits polidispersnogo kondensata

[On the development of a one-dimensional model describing a two-phase flow with coagulation of particles of polydisperse condensate]. ZHPMTF. 2. pp. 67-74.

7. Sternin L.E., Maslov B.N., Shrayber A.A., Podvysotskiy A.M. (1980) Dvukhfaznye mono-

i polidispersnye techeniya gaza s chastitsami [Two-phase mono- and polydisperse flows of gas with particles]. Moscow: Mashinostroenie.

8. Yanenko N.N., Soloukhin R.I., Papyrin A.N., Fomin V.M. (1980) Sverkhzvukovye dvukhfaznye

techeniya v usloviyakh skorostnoy neravnovesnosti chastits [Supersonic two-phase flows under conditions of velocity nonequilibrium of particles]. Novosibirsk: Nauka.

9. Shrayber A.A. (1988) Mnogofaznye polidispersnye techeniya s peremennym fraktsionnym

sostavom dispersnykh vklyucheniy [Multiphase polydisperse flows with variable fractional composition of dispersed inclusions]. 3. Moscow: Izdatel'stvo. VINITI.

10. Rychkov A.D. (1986) Matematicheskoe modelirovanie gazodinamicheskikh protsessov v kana-lakh i soplakh [Mathematical modeling of gas-dynamic processes in channels and nozzles]. Novosibirsk: Nauka.

11. Shishkov A.A., Panin S.D., Rumyantsev V.V. (1989) Rabochie protsessy v raketnykh dvigatelyakh tverdogo topliva [Working processes in solid propellant rocket engines]. Moscow: Mashinostroenie.

12. Lipanov A.M., Bobryshev V.P., Aliev A.V., Spiridonov F.F., Lisitsa V.D. (1994) Chislennyy eksperiment v teorii RDTT [Numerical experiment in the theory of solid propellant rocket engines]. Ekaterinburg: Nauka.

13. Glazunov A.A., Vasenin I.M., Ivanov V.A., Kuvshinov N.E., Narimanov R.K. (1995) Two-phase flow in the nozzles of solid rocket motors. Journal of Propulsion and Power. 11(4). pp. 583-592.

14. Glazunov A.A., Vasenina T.V., Eryomin I.V., Kuvshinov N.E. (2004) Issledovanie neravnovesnykh prostranstvennykh dvukhfaznykh techeniy v ellipticheskikh soplakh s uchetom koagulyatsii, drobleniya i vrashcheniya chastits i polidispersnoy modeli oskolkov [Investigation of non-equilibrium spatial two-phase flows in elliptical nozzles with account for coagulation, breakup, and rotation of particles and polydisperse model of fragments]. Fizika. Izvestiya VUZov - Russian Physics Journal. 10. pp. 31-36.

15. Sternin L.E., Shrayber A.A. (1994) Mnogofaznye techeniya gaza s chastitsami [Multiphase flows of gas with particles]. Moscow: Mashinostroenie.

16. Butov V.G., Vasenin I.M., D'yachenko N.N. (1981) Model' dvizheniya polidispersnogo kon-densata s uchetom sluchaynykh pul'satsiy skorosti i temperatury koaguliruyushchikhsya chastits [Model of polydisperse condensate motion with allowance for random pulsations of velocity and temperature of coagulating particles]. Izvestiya AN SSSR. MZHG. 3. pp. 33-39.

17. Gubertov A.M., Mironov V.V., Borisov D.M., Baskakov V.N., Volkova L.I., Volkov N.N., Gollender R.G., Gurina I.N., Dolganov Ya.A., Kalinin S.V., Kochetkov Yu.M., Kuranov M.L., Sivenkov V.N., Sonin V.I., Trusov Yu.D., Filimonov M.L., Yakovleva T.A. (2004) Gazo-dinamicheskie i teplofizicheskie protsessy v raketnykh dvigatelyakh tverdogo topliva [Gasdy-namic and thermophysical processes in solid rocket propulsion]. Moscow: Mashinostroenie.

18. Arkhipov V.A., Bushlanov V.P., Vasenin I.M., Rusakov V.V., Trofimov V.F. (1982) Ravnovesnye formy i ustoychivost' vrashchayushchikhsya kapel' [Equilibrium shapes and stability of rotating drops]. Izvestiya. AN SSSR. MZHG. 4. pp. 13-20.

19. Volkov K.N., Emel'yanov V.N. (2008) Techenie gaza s chastitsami [Flow of a gas with particles]. Moscow: FIZMATLIT.

20 Naumov V.A., Solomenko A.D., Yatsenko V.P. (1993) Vliyanie sily Magnusa na dvizhenie sfericheskogo tverdogo tela pri bol'shoy uglovoy skorosti [Effect of the Magnus force on the spherical rigid body motion at high angular velocity]. Inzhenernofizicheskiy zhurnal -Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 65(3). pp. 287-290.

21. Hirschfelder J.O., Curtiss Ch.F., Bird R.B. (1954) Molecular Theory of Gases and Liquids. New York: John Wiley and Sons.

Сведения об авторах:

Бушланов Владимир Петрович - доктор физико-математических наук, профессор Государственного морского университета им. адмирала Ф.Ф. Ушакова, Новороссийск, Россия. E-mail: [email protected]

Бутов Владимир Григорьевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом математической физики Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: [email protected]

Глазунов Анатолий Алексеевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: [email protected]

Information about the authors:

Bushlanov Vladimir P. (Doctor of Physics and Mathematics, Admiral Ushakov Maritime State University, Novorossiysk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Butov Vladimir G. (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Glazunov Anatoliy A. (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 13.06.2023; принята к публикации 10.07.2023

The article was submitted 13.06.2023; accepted for publication 10.07.2023