К оценке распределения собственных значений пучка дифференциальных операторов изгибных колебаний волновода Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ОБЗОРЫ раздел МАТЕМАТИКА и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.43 ББК 22.161

К ОЦЕНКЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПУЧКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВОЛНОВОДА

Гайдамак О.Г., Силова Е.В., Султанаев Я.Т., Урманчеев С.Ф.*

В работе построена математическая модель колебаний волновода, проложенного в неоднородном грунте при достаточно общих предположениях о характере взаимодействия волновода с грунтом. Для исследования распределения собственных частот волновода построенной модели поставлен в соответствие операторный пучок. Установлен характер спектра операторного пучка и получена асимптотическая формула для функции распределения собственных значений.

1. Математическое моделирование динамики волноводов

Сформулируем математическую постановку задачи. Рассмотрим волновод, проложенный в фунте, как бесконечно длинный упругий стержень, лежащий на сложном неоднородном вязкоупругом основании. Выпишем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

Ô2U(x,t)

д2 (

El

дх2 \

л

= -9о(*>0 + — m0(x,t), (1)

дх

где Е1 - изгибная жесткость стержня, ¿/0(х,/) - реактивные усилия, т0(х,1)~ реактивные моменты,

характеризующие взаимодействие стержня с основанием.

Следуя И. А. Биргеру [1], будем полагать, что реактивные усилия и моменты пропорциональны прогибу

и(х,1) и углу поворота оси стержня 1}х (х,1):

д0(х,/) = ки(х,Ои(х,г) + кп(х,/) и^х’^, (2)

дх

т0(х,1) = ¿21(х,0*/СМ) + к22(х,1) (3)

дх

где кц, (/ = 1,2, у = 1,2) - коэффициенты жесткости упругого основания.

Для получения уравнения колебаний используем соотношения (1)-(3) и прицип Д'Аламбера, согласно которому в правой части прибавляем силу инерции

- рРи„ (х,/) , где Р - площадь поперечного сечения, р - плотность стержня. Положим Е1=сог^, тогда

получим

Е13 '~ + М*>0иС*> 0 + (х>‘0

дх дх

0> Ф' (*> 0 + *22 (*. О + PF 9 = °-

дх I ох ) ot

* Гайдамак Ольг а Григорьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений математического факультета БашГУ.

Силова Елена Викторовна - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений математического факультета БашГУ.

Султанаев Яудат Талгатович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений математическою факультета БашГУ, проректор БашГУ.

Урманчеев Саид Федорович - кандидат физико-математических наук, и. о. директора Института механики УНЦ РАН

раздел МАТЕМАТИКА и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для учета диссипации механической энергии заменим в соответствии с принципом Вольтерра [2] коэффициенты ки(х^) и кп(х,() на операторы:

д д

кп(х,0^ки(х) + 7,,(х)—, к12(х,I) кхг(х) + Щ(х)~,

0( 01

и подставим в уравнение (4) При этом будем считать, что реактивный момент зависит только от упругих

свойств основания: к21 (*,/) — к2] (х), к22 (х^) = кп (х).

Учитывая, что для реальных сред к]2 (х) = к2] (X), ки (х) > 0, к22 (.х) >0 [1], получим

ы а^о+^ і (х) _ ^ (х))и{х^ 0+^ (х>/)

ох йх

оха/ ах ах

+pÄi>=o. а/2

V /

Разделим это уравнение на Е1 и введем безразмерные переменные: X =х/1, II = 11 //, / =//г, где

г = /у^/£/, / - некоторая величина, имеющая размерность длины. Относительно безразмерных переменных уравнение будет иметь вид

ö4t/(?,o ^аі/(Зс,Г)

----—-----+ q(x)U(x, t) + g(x)-----

ox at

d2U( х,ї) д

+ 2 р(х)

Ґ

fix)

\

дЦ(х,Т)

35с

dx dt дх

где q(x) = /4(Л,, (S') - k'2l (х))/EI - локальный безразмерный коэффициент упругости основания,

f(x) = l2k22(x)/EI - локальный безразмерный коэффициент трения между стержнем и упругим основанием,

g(x) = lirlu(x)/^F - локальный безразмерный коэффициент сопротивления основания,

пропорциональный скорости смещения (вязкое трение),

p(x) = lni!(x)/4ElpF - локальный безразмерный коэффициент сопротивления основания,

пропорциональный скорости угла поворота сечения.

Представим решение уравнения (5) в виде U(xJ ) = y(x)cxp(iÄt ). Получим следующую задачу на собственные значения

у{4) - (f(x)y'Y + q(x)y + Щ2р(х)у' + g(x)y) - Л2 у = 0. (6)

Рассмотрим задачу (6) в случае когда g(x) — p'(x)> Обозначим через ^ самосопряженный

дифференциальный оператор, порожденный в II = Ь2 (-оо,+со) дифференциальным выражением

у{1) — (/(х)у'У + q(x)y с непрерывно дифференцируемой положительной функцией f(x) и положительной функцией q(x), а через В самосопряженный оператор, порожденный в Н выражением ¡((р(х)у)' + р(х)у'), где р(х) - непрерывно дифференцируемая положительная функция. Мы получили квадратичный операторный пучок

ЦЛ) = А + 1В-Я21.

2. Спектральные свойства квадратичного операторного пучка

Пусть функции р(х) и q(x) удовлетворяют следующим условиям

q(x) —> -fco при | х |—> оо, (7)

\р(х)-p(Z)\<cp{x)\x-Z\, | q(x) - q{^) \<cq23Щ~*1 (х) | x - £ |, (8)

при r(£) I x - 41< 1, где r(4) = ?*(#), 1/22 < X < 1/1 U £> > 0,

c\qUA(x) < p(x)Sc2qll22~%(x), s2 >0. (9)

f{x)<cqu\x), \f\x)\<cr{x)f{x), (10)

+00 1 г ах

17м

<оо, />3/22.

(11)

Известно [3], что при выполнении условий (7)-(9) спектр пучка ЦЯ) дискретен и состоит из двух серий

вещественных собственных значений, уходящих в +оо и -оо. Обозначим через Яч, Ят-,.................. Я+

собственные значения пучка ¿(Л) расположенные в порядке возрастания их абсолютных величин и положим

ЛГ-(А)= £1’ ЛГДЯ)= X1

А<Л„<0 0<Лп<Л *

Нас интересует поведение этих функций при Я —>±оо. Легко видеть, что если ЦЯ)у = 0, то

¿(-Л)У - 0. Это означает, что спектр пучка 1(Л) симметричен, поэтому функции ,¥_(Я)и N +(Я) в исследуемом случае совпадают.

Введем в пространстве Я х Н линеаризатор пучка ЦЯ) - оператор Р, заданный с помощью матрицы

'о /ч

р = А В;

Собственные значения пучка Ь(А) и оператора Р совпадают и имеют одинаковые кратности [4]. Пусть Я регулярная точка пучка ¿(Я), обозначим через Я{Л) резольвенту оператора Р. Матрица Я{Л) имеет вид

Г - (Л)(В - ЛІ) (Я)"

ч-ЯГ'(Я)(І-Я/) + / ЯГ'(Я)/

Так как оператор /?(Я) не является ядерным, рассмотрим оператор Я2 (Я). Этот оператор задает матрица

Я(Л) =

Я2(Л) =

- Г1 (Я)І'Г' (Я)(5 - Я/) + Г1 (Я)

-Г'(Я)ГГ'(Я)

ЯГ1 (Я)І'Г' (Л)(В -XI)- Г' (Я)І' I і (Я) - ЯГ1 (Я)£Т1 (Я)

где I' 5= І'(Я) = В-2ЛІ. Матричным следом оператора Я2 {Л) является оператор Vх (Л)Ь\Л)171 (Я)Г(Я) + 2Г1 (Я) .

Оператор Ь (Я) является интегральным оператором с ядром С(х, Я). С помощью метода параметрикса нами получена [5] равномерная по х и £ на всей числовой прямой асимптотика функции (?(*,£,/¿О при ц -> +оо

С(х, /» = в(х, £)О0 (х - £ £ і и) + —)/?; УГР(~С1Х"^~

//‘(/* +?(*))

0(1)р"7(лг)д2/||-‘(*)ехр(-с(//' + ?(*))"" | * - # |)

2/11

+

(12)

/г +д(х)

где С0(х — ^,7, Я) - функция Грина операторного ггучка с "замороженными" коэффициентами

(Я)* = /4) + <?(/7)^ + 21Лр{т])у’ - Л2у,

а 0(х,с^) бесконечно дифференцируемая финитная функция аргумента г(£) \ X — £ |, принимающая значения из отрезка [0; 1 ] и удовлетворяющая следующим свойствам: ©(*,£) = 1 при г(^) | X — £ |< 0,5; ©(*,£) = О при г(4) \х-£\>1.

Рассмотрим оператор — .¿'(Я)Х 1 (Я). Обозначим ядро этого интегрального оператора через

д(х,£,л)

д(х,£, Я) = 2ЯС(х, Я) - / р(х) ~С(х, £, Я) + ^-(р(х)С(х, £ Я) .

V. йхг ах у

Из асимптотического равенства (12) следует, что при выполнении условий (7) - (10) функция (г(х,£,///) удовлетворяет следующему неравенству

6

раздел МАТЕМАТИКА и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

G(x £ iu) I < Cg2/"(*)exP(~cl *-£1) | Сд*'"(х)ехр(-с(м2 + д(х))2,и\x-Ç\) ' Ms(ji2+q(x))1'2 (М2+Ф)У'2

+00

Из последнего неравенства следует, что при выполнении условия (11) интеграл сходится,

-00

поэтому оператор /?2 (///) является ядерным и справедлива формула

. 5рД2 (г» = ¿р(1'0»Г' ('» + 21' (/»).

Из асимптотического равенства (12) следует, что при выполнении условий (7)-(11) при /л —> +со справедливо равенство

—со

где

ц>д^) = -Д)Л „¡^--(1 + 0(1)). (13)

l'ilia1,2(x,iju)

+со

, , , .УрЧ*) (^+Ф)У |>Ум,

У х1 4 V 16 27 V 4 V 16 27

Введем в рассмотрение функцию распределения собственных значений Л^(Я), равную ЛГ+ (Я) при

Я > 0 и — (Я) при Я < 0.

Так как для функции Л^(Я) при г =/// справедливо равенство

(М (Я)

-¿(Я-2)

то из асимптотической формулы (13) следует при 2 = //Л, // —> +00

+ Г^(Я) г2 7 ск /Л ....

-----Ц- = —т= ——---------------------------------(1 + 0(1)). (15)

.¿(Я-г) 2л/2_1а (х,г)

Введем в рассмотрение функцию

1 +Г 2сЬ

Р(г) = /-1727----7‘ (16)

721а (х,г)

/?(г) - аналитическая функция в плоскости С с разрезом вдоль действительной оси, причем

р(г) = р{г), и функция 3/?(<Т + / г) имеет предел при Г —» +0. Продифференцировав функцию р(г), получим следующую асимптотическую формулу при 2 = ///, ¡Л —» +оо

. 22 +Г сЬс

dz 2-slî ¿аУ12(х,г)

Обозначим через ^(Я) функцию

(,7)

у/(Я) = — lim |3р(сг + /г)с/сг. (18)

о

+О0

/Ч*)- о»)

-00

JÇ Г->+0

По формуле обращения Стилтьеса получим

•dl//(À)

Л-z

Выпишем ^(Я) явно. Обозначим через £2 множество в пространстве переменных х, S для которых выполнено 21s*р\х) >\6(q(x)-s2)\ В силу (16) и (18) имеем

1 ^ /у

1//(Л) = —-=\sds\-———jjj, =-1//(Л), Л> 0. (20)

Продифференцируем равенство (19) по z, получим

(1 , . Ыц/{Х)

-гЖ>= \тгЧт- <2»

Объединяя (15), (17) и (21) получим, что при 2 = ///,// —» +оо

(22)

-¿(¿-г) 1(Л-2)!

Предположим теперь, что для функции Ц/{Л), определяемой равенством (17), выполнено следующее

( V

X

условие: каково бы ни было С>/ существуют константы у и /V, 1 < у < 2, N>0 такие, что - ^ <

Ну)

для x>y>N

Тогда при Л —» ±00 справедливы асимптотические формулы

dx

N{X) = —j= f*fe Г-——(1 + 0(1)). (23)

W20J ¿|a(x,s)|

Доказательство формул (23) следует из асимптотического равенства (22) в силу тауберовой теоремы 4.1

[б].

Полученный результат позволяет произвести анализ распределения собственных частот колебаний волновода, так как производная от функции распределения собственных значений оператора (6) представляет собой спектральную плотность частот рассмотренного волновода на неоднородном вязкоупругом основании.

ЛИТЕРАТУРА

1. Прочность. Устойчивость. Колебания. Т.1 ( под ред. Биргера И. А., Пановко Я. Г.) М.Машиностроение, 1968.-382с.

2. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-712 с.

3. Гайдамак О. Г., Султанаев Я. Т. Об асимптотике спектра одного квадратичного пучка дифференциальных операторов.// ДАН 1996. Т. 351. X? 3. С. 297-298.

4. Введение в спектральную теорию полиноминальных операторных пучков. Кишинев.: Штииница, 1986.-398с.

5. Султанаев Я. Т., Гайдамак О. Г. Асимптотика функции Грина одного квадратичного пучка дифференциальных операторов// Вестник Башкирского университета 1996. № 1. С. 14-19.

6. Костюченко А. Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979.- 400 с.

ББК 22.193 УДК 519.62

Поступила в редакцию 01.02.05 г.

ПОСТРОЕНИЕ АДАПТИВНЫХ СЕТОК НА ОСНОВЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ ДЕЛОНЕ ДЛЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Морозкин Н.Д., Г плёв А.Ю.

Рассматриваются аспекты построения треугольных сеток в многосвязных двумерных областях. Предлагаются алгоритмы получения первоначального разбиения, измельчения и оптимизации сетки и их временная сложность.

Введение

В последнее время интенсивно развиваются методы построения неструктурированных сеток. Наиболее простыми и универсальными сетками являются треугольные сетки, построенные по критерию Делоне. Этот критерий позволяет из всевозможных треугольных сеток на заданном множестве узлов, выбрать сетку с наибольшим минимальным уг лом. Однако трудности в определении множества узлов сетки остаются.

' ’Иорозкин Николай Данилович - д.ф.-м.н., профессор, проректор по учебной работе ЬашГ'У Гилев Антон Юрьевич - аспирант кафедры вычислительной математики БашГУ