CC BY
7
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2000. N.l. С.14-16. © Омский государственный университет, 2000
УДК 519.8
К ОЦЕНКЕ ЧИСЛА ИТЕРАЦИИ ДЛЯ ДВОЙСТВЕННЫХ
АЛГОРИТМОВ ОТСЕЧЕНИЯ
А.В.Адельшин, А.Г.Аделынина
Институт информационных технологий и прикладной математики СО РАН 644099, Омск , ул. Певцова 13 1
Получена 13 октября 1999 г.
This paper presents the upper bounds on iteration number of several dual cutting-plane algorithms by the solving a class of integer programming problems on plane.
1. Предварительные сведения.
Рассматривается задача целочисленного линейного программирования (ЦЛП):
п
хц — cjXj —> max (1)
п.
У а, ,.г < hi, г ;= J ,гп (2)
Xj > О, j = 1~п (3)
Xj ел, j= l~n, (4)
где неравенства (2) и (3) порождают релаксационное многогранное множество G задачи, а условия ('2) - (4) - ее допустимую область D Предполагаемся, что все исходные данные atl, bi, cj являются целыми числами.
В статье рассматриваются двойственные алгоритмы отсечения Гомори для решения задачи (1) (4), а именно первый и третий (или полностью целочисленный алгоритм - ПИ А), а также алгоритм Данцига [1, 2]. Для алгоритмов отсечения значительный интерес представляют вопросы построения оценок числа итераций. Для 1-го алгоритма Гомори и ряда других двойственных дробных алгоритмов отсечения известны верхние оценки числа итераций [3, 4]. Они получены A.A. Колоколовым на основе свойств лексикографически монотонных последовательностей и L-разбиения. Для вполне регулярных алгоритмов отсечения найдены также нижние оценки [3, 4]. Среди особенностей этих оценок следует отметить их зависимость от коэффициентов целевой функции задачи. Возникает вопрос:
1 e-mail: adelshins@math.omsu.omskreg.ru
можно ли построить другие оценки числа итераций без указанной зависимости? Для вполне регулярных алгоритмов отсечения ответ отрицательный, а для алгоритмов Гомори вопрос остается открытым.
Для ПЦА к настоящему времени получено мало оценочных результатов. Нам известна лишь "алгоритмическая" верхняя оценка числа итераций [б], а также семейство "трудных" задач для этого алгоритма [5]. Упомянутая оценка получается как результат работы специального алгоритма построения лексикографически монотонных последовательностей.
В данной работе строятся верхние оценки числа итераций для некоторых вариантов 1-го и 3-го алгоритмов Гомори, не зависящие от коэффициентов целевой функции, на одном классе задач на конусе. Кроме того показывается, что алгоритм Данцига при решении этих задач не является конечным.
Дадим краткое описание рассматриваемых алгоритмов. Для теоретического исследования нами были выбраны варианты этих алгоритмов, основанные на лексикографическом двойственном симплекс-методе (ЛДСМ) [1]. Введем некоторые обозначения и напомним определения. Симплексные таблицы будем обозначать А^) ,
(М '---------
а их элементы - а^ , г — 0, п + т + I, 1 = 0. п, где к - номер итерации ( гам, где это не будет вызывать недоразумений, номер итерации в обозначениях будет опускаться). Строка с номером п + т+1 предназначена для коэффициентов отсечения. Столбцы таблицы А^) будем обозначать з — 0, п. Таблица А^) называется прямо допустимой, если а,о >0, г = 1, п •+ т.
К оценке числа итераций
Таблица А^) называется I-нормальной, если столбцы ] = 1, п лексикографически боль-
ше нулевого вектора. Таблица, являющаяся одновременно прямо допустимой и /-нормальной, называется I -оптимальной. Все таблицы, порождаемые алгоритмами Гомори и Данцига, являются /-нормальными. Если начальная таблица А^'' не является / -нормальной, то для ее приведения к /-нормальному виду во многих случаях можно использовать вспомогательное ограниче-
п
ние х.) < ¡1, где ^ > 0 - достаточно большое
целое число, и одну итерацию прямого симплекс-метода [1].
В двойственных дробных алгоритмах отсечения дополнительное ограничение (отсечение) присоединяется снизу к /-оптимальной таблице, затем производится одна симплексная итерация, в которой строка, соответствующая отсечению, выбирается в качестве ведущей. Это приводит к тому, что таблица перестает быть прямо допустимой. Затем, как правило, строка, соответствующая отсечению, исключается из таблицы и далее начинается новая итерация алгоритма отсечения, на которой вновь решается задача ЛП до получения /-оптимальной таблицы либо до остановки алгоритма в связи с неразрешимостью задачи. В ГЩА отсечение строится после каждой симплексной итерации, и его строка выбирается в качестве ведущей, а затем исключается из таблицы.
Напомним, что линейное неравенство
п
(5)
3 = 1
называется правильным отсечением для задачи ЦЛ11 (??) - (??), если выполняются следующие условия:
а) Оптимальное решение х задачи (1) - (3) не удовлетворяет (5), т.е. (7, х) > 70 .
б) Все допустимые решения задачи (1) - (4) удовлетворяют (5).
Способы построения отсечений отличаются для разных алгоритмов. Отметим особенности тех вариантов 1-го и 3-го алгоритмов Гомори, которые будут рассматриваться в статье. Начнем с первого из них, обозначим его С\. В алгоритме 6*1 отсечение строится по формуле
п
> Но}' (6)
3 = 1
где = 1,п - небазисные переменные те-
кущей таблицы, а р > 0 - номер производящей строки в этой таблице, который выбирается следующим образом:
р = тт{г : {аг-о} ф 0, г = 0, п + т}. (7)
Здесь и далее символы [а] и {а} обозначают соответственно целую и дробную часть вещественного числа а, т.е. [а] £ 2, [а] < а, [а] + 1 > а и {а} — а — [а].
Также будет рассматриваться алгоритм С\ , который отличается от G\ тем, ч то строки, соответствующие отсечениям, не вычеркиваются из симплексной таблицы, т. е. таблица последовательно увеличивается.
Теперь опишем вариант ПЦА, который будем обозначать Gз . Отсечения в этом алгоритме имеют вид:
п 3 = 1
где р > 0 - номер производящей строки, который находится по правилу:
р — rninjt : «¡о <0, i = I, п + m). (9)
Число Л > 1 выбирается таким образом, чтобы ведущий элемент был равен (—1), что позволяет сохранить целочисленность таблиц. Существует несколько способов выбора числа А. В алгоритме Сз оно находится следующим образом:
А -— max { ¡0.pj I : apj < 0, j = 1, n) . (i 0)
Напомним, что в алгоритме Данцига отссче-
п
ния строятся по формуле: tj > 1.
2. Задачи на конусах специальной структуры.
Нами рассматривалось семейство задач ЦЛП вида:
Сухх + с2х2 шах (I I)
х} — ах2 < 0 (12)
х\ + ах-2 < а (13)
Х1,Х2>0 (И)
xux2ez (15)
где с;, с2 - целые числа такие, что с\ + с| > 0, а - натуральный параметр. Далее будем называть задачу (1.1) - (15) задачей К (а). Отметим, что К (а) для фиксированного а это бесконечное семейство задач с одним и тем же релаксационным множеством, но различными градиентами целевой функции. Релаксационный многогранник задачи - это конус, лежащий в полосе
> 0, 0 < Х2 < 1} (см.рис.).
Для этого семейства задач нами получены следующие результаты.
Утверждение. Для решения задачи А'(Г) алгоритмом Gi потребуется не более 6 отсечений.
16
А. В.Адельшин, А. Г.Аделыиина
2 1 _______
0 1 2 3
Рис. 1. Релаксационный многогранник задами К (а) при нечетном а
Доказательство основано на рассмотрении всевозможных соотношений между и с2 и анализе симплексных таблиц.
Теорема 1. Для решения задачи К (а) алгоритмом С\ потребуется не более, чем отсечений.
Доказательство основано на утверждении, что для любой /-оптимальной таблицы имеет место соотношение {арД + {ар2} = 1, где р номер производящей строки, а также на явном перечислении целочисленных точек, через которые могут проходить прямые, соответствующие отсечениям.
Для алгоритма 0\ такого результата получить не удалось, так как было показано, что в процессе решения задачи К (а) алгоритмом бд отсечение, построенное на более раннем этапе, может повториться снова. Например, этот факт имеет место для задачи К(1) с целевой функцией г = (234, 19).
Замечание. Утверждение и теорема 1 остаются в силе при любом выборе числа р во вспомогательном ограничении (лишь бы это ограничение не исключало допустимых решений задачи ЦЛП). Для алгоритма Сз предполагается, что указанное ограничение имеет вид
а + 1 Х'1 + х2 < —----
для нечетного а и
а + 2 + х2 < —------
для четного а.
Теорема 2. Для решения задачи К (а) алгоритмом С;) потребуется не более а отсечений при нечетном а и не более а + 1 в противном
случае.
Доказательство проводится путем рассмотрения соотношений между с.х и с2 ■ Показывается, что градиенты целевой функции задачи К (а) при фиксированном а разбиваются на классы
эквивалентности. Например, в один класс попадают задачи, коэффициенты целевой функции которых удовлетворяют условию:
си С-2 > о, с, > г:2-
Наглядно это разбиение можно представить так: плоскость разбивается на несколько конусов лучами, выходящими из начал^координат. Количество этих конусов явно зависит от а. Ес ли градиенты целевой функции попадают в один и тот же конус, то процесс решения соответствующих задач алгоритмом Су, будет идти одинаково. Был проведен вычислительный эксперимент с помощью написанного авторами пакета программ, реализующих несколько вариантов ПЦА (не только Сз), для ряда других задач на плоскости. Во всех рассмотренных задачах наблюдалось аналогичное разбиение градиентов на классы эквивалентности.
Нами было также показано, что для задачи А'(а) при С1 = 1, с2 = 0 алгоритм Данцига не является конечным для а > 3.
[1] Колоколов A.A. Методы дискретной оптимизации: Учеб. пос. Омск: ОмГУ, 1984. 75 с.
[2] Корбут A.A., Финкелыитейп Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969. 368 с.
[3] Колоколов A.A. Регулярные разбиения в целочисленном программировании // Методы решения и анализа задач дискретной оптимизации: Сб. науч. тр. / ОмГУ. Омск, 1992. С. 67-93.
[4] Колоколов A.A. Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном программировании // Сибирский журнал исследования операций. 1994. Т. 1. №2. С. 1.8-39.
[5] Финкелъштсйн Ю.Ю. Теоретическая оценка максимального числа итераций для полностью целочисленного алгоритма Гомори // Проблемы кибернетики: Сб. ст. под общ. ред. А.А.Ляпунова. Вып. 26. М., 1973. С. 315-326.
[6] Колоколов A.A. О длине лексикографически монотонных последовательностей // Оптимизация территориальных и отраслевых систем, методы решения экономических задач. Новосибирск, 1973. Ч. III. С. 93-99.
