К оценкам сейш в бухтах Крыма методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.67

К оценкам сейш в бухтах Крыма методом конечных элементов1

В.Н.Чехов, В. А. Л ушников

Крымский федеральный университет им. Вернадского В.И., Симферополь 295007. E-mail: chekhov40@mail.ru

Аннотация. Получены приближенные оценки решения задачи о собственных колебаниях уровня моря в системе девятнадцати бухт, которые объединены общим названием «Севастопольская бухта». Оценки частот и собственных форм колебаний получены с помощью метода конечных элементов. Обмен водой между бухтами и Черным морем учитывался в первом приближении для всех собственных форм колебаний (так, как это принято [13] для моды Гельмгольца).

Ключевые слова: длинные гравитационные волны, теория мелкой воды, сейши, мода Гельмгольца, метод конечных элементов.

Введение

Исследование собственных частот и собственных форм колебания ВОДЫ в бухте является необходимым этапом для оценок состояния бухты при вынужденных колебаниях и резонансах, вызванных волновыми воздействиями моря на границе с бухтой, а также атмосферными условиями, ветром и сейсмическими явлениями [1-5], [9-14]. Для Крымского региона такие оценки являются актуальными.

Кроме того наблюдения за собственными колебаниями уровня моря в бухтах могут быть использованы для прогнозов землетрясений с большими магнитудами. Связь между сейшевыми колебаниями и землетрясениями обусловлена тем, что длинные волны в море и в больших по размерам бухтах приводят к периодическим колебаниям давления на дне моря или бухты. Колебания давления с частотой сейш приводят к колебаниям литосферных деформаций, которые могут измеряться лазерными интерферометрами [6] в береговой зоне моря или бухты. Амплитуды сейшевых литосферных деформаций малы по сравнению с приливными деформациями литосферы. Однако они значительно увеличиваются [6] примерно за неделю перед землетрясениями с большими магнитудами. И это усиление литосферных деформаций с частотами сейш может быть одним из признаков близкого начала землетрясения. Некоторые итоги мониторинга сейсмических процессов в Крымско-Черноморском регионе с помощью лазерных интерферометров -деформографов, установленных возле «Казачьей бухты» (г. Севастополь) представлены в монографии [12].

Отношение многих сейсмологов к возможности краткосрочных предсказаний землетрясений в настоящее время является весьма пессимистическим [15]. Обусловлено это бесплодностью усилий по созданию надежных методов прогнозирования и катастрофами, которых не удается избежать никакими усилиями. Однако имеются и оптимисты [10,16], которые объясняют неудачи чрезвычайной сложностью общения с природой на

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ 12-05-00475-а

© В. Н. ЧЕХОВ, В. А. ЛУШНИКОВ

этой малодоступной для наблюдений области исследования и призывают к большим финансовым усилиям с целью привлечения специалистов и совершенствования техники.

1. Дифференциальные уравнения и граничные условия теории «мелкой воды»

Математические модели для приближенных оценок динамических характеристик бухт основаны [7,13] на линеаризированных дифференциальных уравнениях идеальной несжимаемой жидкости, которые при относительно малых амплитудах волн по сравнению с глубиной бухты и при относительно малых глубинах бухты по сравнению с длинами волн не приводят к большим ошибкам в оценках. Дополнительно не будем учитывать вращение бухты вместе с Землей. При этом распределение давления р(х, у, г, ¿) в бухте не отличается от гидростатического

р = Ро + рд(((х,у,г) - г). (1.1)

Здесь ось Ог направлена против силы тяжести, плоскость г = 0 совпадает с плоской поверхностью воды при равновесном состоянии; р — плотность воды; g — ускорение свободного падения; г = ((х,у,1) — уравнение поверхности воды в зависимости от времени.

Дифференциальные уравнения, учитывая зависимость (1.1), состоят из двух уравнений Эйлера:

§Х+д|=0 %+д°Фу=0 ™

и закона сохранения массы в бухте переменной глубины Н (х, у)

д д ОС

ЭХ (Н^> + 8У (НУ) + Ж

T^H"') + ЪТ.Н« ) + (1.3)

где ух, Уу — координаты вектора скорости.

Дифференцируя члены уравнения (1.3) по времени и исключая производные по времени от координат вектора скорости с помощью уравнений Эйлера (1.2), приходим к обобщенному волновому уравнению относительно функции ((х,у,1)

дхНдА) + ±ш9^) - 1 ^ = 0. (1.4)

дх дх ду ду д сЯ2 ' '

Представив элементарную гармоническую стоячую волну в форме:

С(х, у,г) = и(х, у)вгп(шЬ), (1.5)

где ш — круговая частота колебаний (период колебаний: Т = 2п/ш), приходим к обобщенному уравнению Гельмгольца относительно амплитуды колебаний и (х, у)

дх ( дх ^ + ду ( ду ^ + Л и 0 (16)

Здесь Л = ш/у/д.

Подставляем форму (1.5) в уравнения Эйлера (1.2). Получаем выражения для координат вектора скорости:

ух(х,у,Ь) = ^^совШ), Уу (х,у,г) = ддисо8(шг). (1.7)

ш дх ш ду

С их помощью можно задать скорости вытекания (втекания) воды из бухты в море. В частности, однородное условие непротекания воды из бухты в море и обратно принимает вид

Уи\г = (Ухсоз(п,х) + Уу сов(п,у))\г = 0 или с учетом зависимостей (1.7):

/ ди ди

г = I -дХС08{щх) + ~дус08(п'уУ)

dU dn

= 0. (1.8)

г

Получается известная спектральная задача (1-6), (1-8) для собственных частот и для собственных форм изолированной бухты в постановке теории «мелкой воды».

Однако, морские бухты не изолированы от моря. Поэтому нуль в правой части условия (1-8) должен быть заменен на заданный режим обмена водой между бухтой и морем. Эта ситуация обсуждается, в частности, в монографии [13]. В качестве первого приближения предлагается заменить условие (1-8) для части границы Го, соединяющей бухту с морем, на «классическое условие Гельмгольца»:

и (х,у)\г0 =0. (1.9)

Граничное условие (1-9) вытекания (втекания) воды не регламентирует скорости вытекания. Поэтому не приводит к единственности решения задачи. В работе [8, стр. 10 ]

Го

ся отрезком прямой, достаточно зеркально дополнить область бухты до симметричной

Го

всей внешней границе удвоенной области. Тогда в силу симметрии удвоенной области кососимметричная часть решения автоматически удовлетворит условие (1-9).

Эту мысль можно продолжить и на симметричную часть решения. Симметричная часть решения на удвоенной области удовлетворит условие (1-8) непротекания автома-Го

«удвоения бухты» с меньшим числом конечных элементов. Кососимметричную часть решения будем вычислять, решая спектральную задачу (1-6), (1-8) для удвоенной области бухты, чтобы в первом приближении выяснить влияние условия (1-9) на периоды и собственные формы сейш в бухте. Для всех сейш, а не только для моды Гельмгольца.

2. Решение спектральной задачи методом конечных элементов

Учесть зависимость глубины бухты от координат Н(х, у) можно только приближенно численными методами, в частности, методом конечных элементов. При этом накладываются «естественные» [6] ограничения:

а) на функцию глубин: Н(х, у) > 0, если точка (х, у) не принадлежит границе Г; если же точка (х, у) принадлежит границе Г и Н(х, у) = 0, то должно быть | дп | — С > 0,

Г

б) искомая функция и (х, у) на границе Г должна удовлетворять условию ограниченности: |и(х,уц < то для любых (х,у) € Г.

С такими ограничениями спектральная задача имеет счетное множество собственных функций ит(х, у) и собственных значений: 0 < Л2 < Л^ < • • • < ЛЛ < ... ■ Частоты и периоды мод собственных колебания вычисляются по формулам:

Шп = \Ли\у/д; Тп = 2п/шп. (2.1)

На рис.1, показан план бухты, разделенный на 546 примерно равносторонних треугольных элементов. Симметричная относительно границы Го удвоенная область показана на рис.2.

Рис. 1. Схема разбиения области бухты на конечные элементы.

Рис. 2. Удвоение области бухты посредством зеркального отображения.

Периоды (в минутах) изолированной от моря бухты (симметричная часть решения для удвоенной бухты) образуют убывающую последовательность с увеличением количества узловых линий. Первые 5 периодов представляются значениями:

26.3, 15.9, 13.2, 9.6, 8.3.

Периоды (в минутах) для бухты (кососимметричное решение для удвоенной бухты) с приближенным учетом для обмена водой между бухтой и морем по условию (1.9) также

образуют убывающую последовательность с увеличением количества узловых линий. Первые 6 периодов имеют значения:

50.0, 22.0, 14.7, 12.0, 9.5, 7.9.

На рис.3 изображена собственная форма колебаний с периодом То = 50 мин. Это

Го

Рис. 3 Собственная форма колебаний бухты с одной узловой линией.

Рис. 4 позволяет сравнить первые собственные формы сейш в изолированной бухте и при учете обмена водой в соответствии с условием Гельмгольца (1.9). Втекающая вода заметно отодвинула узловую линию от границы с морем. При этом период колебаний уменьшился па 4.3 мин.

4а)

4Ъ)

Рис. 4. Влияние обмена водой между бухтой и морем при 1 узловой линии.

Качественно такое же влияние учета обмена водой (в первом приближении) следует из рисунков о, 6, 7, па которых сопоставляются следующие 3 собственные формы.

Рис. о. Влияние обмена водой между бухтой и морем при 2 узловых линиях.

6 а)

Рис. 6. Влияние обмена водой между бухтой и морем при 3 узловых линиях.

Рис. 7. Влияние обмена водой между бухтой и морем при 4 узловых линиях.

3. Обсуждение полученных результатов.

Интересно, что период То = 50 мин. сейши Гельмгольца совпал с периодом одной из экспериментально измеряемых сейпт [3, 4] в Севастопольской бухте. И это несмотря па «первое приближение» сештти Гельмгольца. С другой стороны авторы работ [3, 4] сообщают, что отит наблюдали в Севастопольской бухте сештти с периодами 75 и 180 митт, которые в нашем решении тте получаются.

Поэтому более точные оценки сейпт вычислять необходимо. Точность метода конечных элеметттов была убедительно подтверждена в работе [6], где вычислялись собственные формы и периоды сейпт Черттого моря, которые были подтверждены [6] экспериментальными измерениями с помощью лазерных интерферометров. А может быть в [3, 4] измерялись вынужденные колебания с периодами вынуждающих воздействий.

Приближенные оценки влияния обметта водой между бухтой и морем с помощью дополнительного условия (1.9) выполнены тте только для нулевой сештти Гельмгольца, тто и для всех остальных сейпт. При этом условие (1.9) выполнялось точтто методом удвоения плана бухты симметричного относительно отрезка прямой Го границы бухты с морем (рис. 2)

Контроль сешттевых колебаний в бухтах позволяет оцепить резонансные колебания, вызванные штормовыми волнами в море, движением судов в бухтах (тягутты), и сейсмическими событиями (цунами), что позволит предупредить возможные аварии и разрушения.

Отметим, что наблюдения за амплитудами длиттттопериодттых сейпт могут пригодиться и как предвестник землетрясений с большими магттитудами, потому что лазерные интерферометры имеются в районе бухты Казачьей [6], а это тте очень далеко от Севастопольской бухты, если учитывать высокую чуствительттость лазерных интерферометров.

1. Волъцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский Е.Н. Длинноволновая динамика прибрежной зоны / — Л.:Гидрометеоиздат, 1989. -272 с.

N.E. Voltzinger, К.A. Klevanny, E.N. Pelinovsky. Long-wave dynamics of the coastal zone (Russian). L.: Gidrometeoizdat. (1989).

2. Галенин Б.Г. Ветер, волны и морские порты / Б.Г. Галенин и др« j под ред. Ю.М.Крылова./ — Л.: Гидрометеоиздат, 1986. -264 с.

Список цитируемых источников

B.G. Galenin, В.A. Duginov, S.V. Krivitsky at all Wind,waves and sea ports (Russian). / B.G. Galenin etc.; ed. by Yu.M. Krylov.- L.: Gidrometeoizdat (1986).

3. Горячкин Ю.Н., Иванов В.А., Репетин Л.H., Хмара Т.В. Сейши в Севастопольской бухте // Труды УкрНИГМИ. - Вып. 250. - Киев, 2002. С. 342-353.

Yu.N, Goryachkin, V.A. Ivanov, L.N. Repetin, N.V. Khmara, Seiches in the Sevastopol bay (Russian). Proceedings UkrNIGMI.- No 250 -Kyiv. 342-353 (2003).

4. Горячкин Ю.Н., Иванов В.А. Уровень Черного моря: прошлое, настоящее и будущее / Под ред. В.М. Еремеева. — : НАН Украины, Морской гидрофизический институт. - Севастополь, 2006. - 211 с.

Yu.N. Goryachkin, V.A. Ivanov The level of the Black Sea: past, present, and future (Russian) / ed. by V.M. Eremeev. - National Academy of Science of Ukraine, Marine hydrophysical institute.

- Sevastopol,. 211 (2006).

5. Железняк M.И., Кантаржи И.Г., Сорокин М.В., Поляков А.И. Резонансные характеристики акваторий морских портов // Magazine of Civil Engineering. No. 5, 2015. — P. 3-19.

M.J. Zheleznyak, I.G. Kantardgi, M.S Sorokin, A.I Polyakov. Resonance properties of seaport water areas, Magazine of Civil Engineering. No. 5, 3-19 (2015).

6. Иванов Ю.Б., Нестеров В.В., Насонкин В.А., Чехов В.И. Исследование литосферных деформаций, предшествующих землетрясениям, средствами болыпебазовой лазерной интерферометрии // Изв. АН СССР, Физика Земли. - 1995. - Вып. 7. - С. 51-62.

Yu.B. Ivanov, V.A. Nasonkin, V.V. Nesterov, and V.N. Chekhov. Studies of lithospheric deformations preceding earthquakes by large-base laser interferometry. Fiz. Zemli, No. 7, 51-62 (1995).

7. Ламб Г. Гидродинамика / M.-JL: Гостехиздат, 1947. - 928 с.

H. L. Lamb, Hydrodynamics, 6th éd., Cambridge Univ. Press, Cambridge (1932).

8. Левянт А. С. Моделирование и расчет сейш с применением конформного отображения морских акваторий / Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ-мат наук по специальности 11.00.08 - Океанология. - М. - 1991. - 21 с.

A.S. Leviant Modeling and seiche calculation using conformai mapping of maritime (Russian) / Abstract of dissertation for the degree of candidate of physical and mathematical sciences on a specialty 11.00.08 - Oceanology. - M. 21 (1991).

9. Лоскутов А.В. Исследование пространственной структуры собственных колебаний в бухтах Крабовая и Хромова о. Шикотан // Мореходство и морские науки - 2009. Южно-Сахалинск ИМГиГ ДВО РАН, 2010. - С. 161-166.

AV Loskutov The study of the spatial structure of oscillations in the coils of the Crab and Khrome. Shikotan. Sailing and marine sciences (Russian). 2009. Yuzhno-Sakhalinsk IMGG FEB RAS, 161166 (2010).

10. Моргунов В.А. Реальности прогноза землетрясений // Физика Земли. - 1999. 1. - С. 79-91.

V.A. Morgunov Reality of the earthquake prediction. Fiz. Zemli, No. 1, 79-91 (1999).

11. Морозов А.И, Лемешко E.M., Шутов С.А., Зима В.В. Течения в Севастопольской бухте по ДеШ H Ы M ADCP-наблюдений (июнь 2008 года)// Морской гидрофизический журнал. - 2012.

- № 3. - С. 31-43.

A.N. Morozov, Е.М. Lemeshko, S.A.Shutov , V.V. Zima Flows in the Sevastopol bay according to ADCP-observation (June 2008) (Russian). Marine Hydrophysical magazine. - 2012. - No 3, 31-43 (2012).

12. Пустовитенко В.Г., Лущик А.В., Воборыкина О.В. и др.; под ред. Б.Г. Пустовитенко. Мониторинг сейсмических процессов в Крымско-Черноморском регионе - Севастополь: НИЦ «ЭКОСИ Гидрофизика», 2014 -264 с.

B.G. Pustovitenko, A.V. Lushchyk, O.V. Boborykina at etc.; ed. by B.G. Pustovitenko. Monitoring of seismic processes in the Crimean Black sea region (Russian). Sevastopol: SIC "Ecos Hydrophysics"264 (2014).

13. Рабинович А.Б. Длинные гравитационные волны в океане: захват, резонанс, излучение / С-Пб.: Гидрометеоиздат, 1993. - 326 с.

А.В. Rabinovich Long ocean gravity waves: trapping, resonance,leaking (Russian). Saint-Petersburg .: Gidrometeoizdat, 326 (1993).

14. Фомичева Л.А., Рабинович А.Б., Демидов A.H. Уровень моря // Проект «Моря СССР». Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. T.IV. Черное море Вып.1. Гидромет. Исслед,-С-Пб.: Гидрометеоиздат, 1991. - С. 329-339.

L.A. Fomicheva, А.В. Rabinovich, A.N. Demidov Sea level (Russian). "Sea USSR"project. Hydrometeorology and Hydrochemistry of the Seas of the USSR. V. IV. Black Sea Issue 1. Hydromet. Issled.- Saint-Petersburg .: Gidrometeoizdat, - P. 329-339 (1991).

15. Geller R.J., Jackson D.D, Kagan Y.Y., and Mulargia F. Earthquakes cannot be predicted // Science 275. - 1997. - P. 1616-1617.

16. Wyss M. Why is earthquake prediction research not progressing faster? // Tectonophysics 338. - 2001. - P. 217-223.

Получена 18.06.2015