CC BY
28
УДК 621.860.68
© 2010 г. В.Б. Федосеев, И.А. Зацаринная
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОМЕНТОВ ОБРАЗОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОДОВ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ ИСТЕЧЕНИЯ ЗЕРНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ
Решается задача установившегося режима истечения сыпучих материалов из бункеров с определением законов распределения моментов образования и разрушения динамических сводов в произвольный момент времени. Установлено, что моменты образования динамических сводов при установившемся режиме истечения сыпучих материалов распределены по закону Пуассона, а промежутки времени между ними распределены по показательному закону; основными характеристиками законов распределения, описывающими установившийся режим истечения сыпучих материалов, являются частота образования динамических сводов и частота их разрушения.
Ключевые слова: сыпучий материал, истечение, своды, время, распределение, стохастические процессы.
It is solved a problem of established regime of bulk materials outflow from the bunkers with a determination of distribution of dynamic vault forming and destruction moments in any time. It is established that dynamic vault forming moments at established regime of bulk materials outflow are distributed according to Puasson’s law and intervals among them are distributed according to exponential law. The basic characteristics of distributive law, describing established regime of bulk materials outflow, are dynamic vault forming and destruction frequency.
Keywords: bulk materials, outflow, vault, time, distribution, stochastic processes.
Известно, что процесс истечения зерновых материалов из выпускных отверстий бункеров сопровождается образованием и разрушением динамических сводов [1]. Эти сводчатые структуры образуются по всей высоте движущегося потока через различные интервалы времени и имеют при этом различные периоды существования. Каждый из возникающих динамических сводов некоторое время выдерживает давление вышележащих слоев сыпучего материала, а затем разрушатся. Следствием этого является нарушение равномерности и увеличения времени протекания процесса выгрузки материала из бункера.
В связи с этим возникает необходимость создания адаптивных математических моделей, позволяющих описывать стохастические процессы образования и разрушения сводчатых структур при установившемся режиме истечения сыпучих материалов с целью получения их количественных характеристик [2].
Для описания стохастического процесса образования и разрушения сводчатых структур при установившемся режиме истечения сыпучих материалов из выпускного отверстия бункера, предположим следующее [3].
1. Вероятность образования одного динамического свода в сечении бункера на высоте Н за малый промежуток времени длиной А/ равна: X ■ А/ + 0(Д/% где X -некоторая постоянная;
2. Вероятность разрушения одного динамического свода в сечении бункера на высоте Н за малый промежуток времени длиной А/ равна: и ■А/ + 0(А/), где и -некоторая постоянная;
3. Стационарность. Каковы бы ни были / > 0 и целое п > 0, вероятность того, что за промежуток времени (/0, /0 + /) будет зафиксировано п моментов образования и разрушения динамических сводов,
одна и та же для всех /0 > 0. Обозначим эту вероятность через Рп (/);
4. Ординарность. Вероятности образования и разрушения более одного динамического свода в сечении бункера на высоте Н за малый промежуток времени длиной А/ - величина большего порядка малости, чем А/;
5. Отсутствие последействия. Вероятности образования и разрушения П динамических сводов за промежуток времени
(/0, /0 + А/) не зависят от чередования об-
разования и разрушения динамических сводов до момента /0 . Обозначим через Е0, Е, Е ,••••, Е,. состояния, при кото-
рых в бункере существует соответственно
0, 1, 2,„„, п,•••• динамических сводов.
С учетом предположений 1, 2, 3, 4 и 5 запишем все возможные переходы из одного состояния в другое за промежуток времени длиной А/ .
Дифференциальные линейно-разностные уравнения состояния запишутся в следующем виде:
Р (ї + Аї) — Р (ї) • (1 — Л • Аї — іл • Аї) + (ї) • ЛАї +
Р+і (ї) • (і +1) л • Аї + 0( Аї), і > 1.
Изменение состояния Вероятность перехода
Е0 ^ Е1 Е1 ^ Е0 Е1 ^ Е1 Е1 ^ Е2 е2 ^ Е2
1 — Л • Аї Л •Аї 1 • л • Аї
1 — Л • Аї — 1 • л • Аї Л •Аї
1 — Л • Аї — 2 л • Аї
і • л • Аї
1 — Л • Аї — і • л • Аї
Л Аї
Граф перехода процесса образования и разрушения динамических сводов можно представить следующим образом (рис. 1).
Перенеся налево слагаемое Р (/) и разделив на А/, получим в левой части соотношение Р (/ + А/) — Р (/) к А/ . Положив / ^ 0, получим
Р (ї) — —(Л + ;'• л)Рі (ї) + Лрі—1(ї) + (і +1)л- рі+1_
і
где і >1.
При і — 0 аналогичным образом выводится уравнение
р (ї) — — Л • Р(ї) + л Р(ї).
(1)
(2)
Так как в момент ї0 — 0 перехода от неустановившегося режима истечения к установившемуся все динамические своды в бункере разрушены, то начальным состоянием системы является Еп , то есть
Р(0) = 1, Р(0) = 0 при I Ф 0. (3)
Решим дифференциально-разностное уравнение (1) методом производящих
ТО
функций. Положим Ф(I, /) = ^ Р (/)I .
Рис. 1. Граф переходов процесса образования и разрушения динамических сводов и соответствующие вероятности перехода
Заметим, что
дФ( z, ї) дї
=1 £ Р (/)■ ,-2‘. (5)
01 I 0
ТО 0
: £ Р[ (/)I , (4) Умножив обе части (1) на 1 и про-
0 суммировав по / от нуля до бесконечно-
сти, получим
XР (ї)zг — —ЛХР(ї)zг — лХіР>(ї)zг + ЛХР—1(ї)zг + лЕ(і +1)Р—1(ї)zг
0 0 0 0 0
откуда
дФ( z, ї) ч дф( z, ї ) -А і—і -А..
— —Лф(z,ї) — л — -------------------+ Л • ¿Х Р—1(ї)z + X (і + 1)Р+1(ї)z
і+1
дї дz 0
После некоторых преобразований получим
дФ( z, ї) _ ч дФ( z, ї) .ч
4 ’ ■ —л(1 — z)----— — Л(1 — z)ф(z, ї).
(6)
дї дz
Таким образом, мы привели систему альному уравнению в частных производ-
дифференциальных линейно-разностных ных (6).
уравнений (1) и (2) к одному дифференци- Для решения уравнения (6) рассмот-
рим соответствующие уравнения Лагранжа:
дї /1 — дz /[— л(1 — z)] — дФ /[— Л(1 — z)ф],
(7)
где знаменатели пропорциональны коэффициентам при д^^д%2 и Ф в уравнении (6). Последняя система содержит два независимых уравнения. За первое из них можно принять
дї — —дz / л(1 — z).
Это дифференциальное уравнение имеет решение вида
ехР( —и)(1 —1) = (8)
Второе дифференциальное уравнение можно записать так:
дг = и/Х^дФ / Ф.
от
зо
от
от
0
Решение имеет вид Общее решение уравнений (7) полу-
Ф^,t) = С2ехр(Л/¡и-z), (9) чим, исключив одну из двух постоянных
где C и C - некоторые постоянные. C1 и С2 из уравнений (8) и (9). Таким об-
разом,
Ф(z, t) = g(С)ехр(Л/ и - z)
или Ф(г.,t) = g-((1 -z)exp(-pf))exp(A/ц-z) .
(10)
Используя начальные условия (3),
ад
находим, что Ф( z,0) = IP (0) z = 1.
0
Пусть 1 — z = y, тогда
g( У) = exP [(—Л/ U)(1 — y)\, (11)
При произвольном значении / аргументом функции g является (1 — 1)ехр( —и/), поэтому в правой части выражения (11) нужно заменить у на значение этого аргумента. Получим
g((1 — z) exp( — Ut)) = exp[— Л / и(1 — (1 — z) exp( —Ut)) \
Подставив это выражение в общее решение (10), получим
Ф( z, t) = exp {— Л/и(1 — z)(1 — exp(—и))}.
Тогда вероятности перехода рассматриваемого процесса примут вид
Рп(/) = (1/п!)-(дпФ(I,/)/дгГ) I I = 0,
откуда
Pn (t) = (Л/ ц)п
(1 - exp(-^t ))n n!
exp {- Л / ц(1 - exp (-Ц))}.
(12)
(13)
Математическое ожидание и дисперсия числа динамических сводов, имеющихся в бункере в произвольный момент времени, соответственно имеют вид
M (х)
дФ( z, t)
dz
г=і = Л- (1 - exp(-ц )Х ц
D(x) = b 2(x) = d ф(zt)
і +
дФ( z, t)
dz
дФ( z, t)
dt
(14)
(15)
z=1 J
Предельные значения математического ожидания и дисперсии при t ^ 0 соответственно равны:
* * Л Л
M (x) = D (x) = lim — • (1 - exp(-ßt)) = —.
t^0 ß ß
2
z=1
Итак, среднее число динамических сводов, имеющихся в бункере (как образующихся, так и разрушившихся) в произвольный момент времени /, распределено по показательному закону. Причем это распределение является стационарным и находится в состоянии статического равновесия.
Эксперименты показывают, что частота образования X и частота и разрушения динамических сводов для каждого сыпучего материала вполне конкретны и
зависят от его физико-механических свойств и конструктивных параметров бункера.
Отметим, что непрерывность и устойчивость истечения наблюдаются, если
X = и.
Если X > и, то происходит накопление неразрушившихся динамических сводов, приводящих к полному прекращению истечения сыпучих материалов из бункерных устройств.
Выводы ному закону. Основными характеристика-
Моменты образования динамических ми законов распределения, описывающими
сводов при установившемся режиме исте- установившийся режимы истечения сыпу-
чения сыпучих материалов распределены чих материалов, являются частота образо-
по закону Пуассона, а промежутки времени вания динамических сводов и частота их
между ними распределены по показатель- разрушения.
Литература
1. Богомягких В.А. Интенсификация разгрузки бункерных устройств в условиях сводообразования зернистых матриалов / В.А. Богомягких, А.П. Пепчук. - Зерноград, 1996. - 164 с.
2. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. - Изд. 8-е, стереотипное. -Москва: Высшая школа, 2002.
3. Богомягких, В.А. Статистическая теория сыпучих тел / В.А. Богомягких, А.И. Па-хайло, В.С. Кунаков и др. - Ростов-на-Дону: Валеология БИОС РГУ, 1998. - 147 с.
Сведения об авторах
Федосеев Владимир Борисович - д-р техн. наук, доцент Донского государственного технического университета (г. Ростов-на-Дону). Тел. 8(863) 273-85-73.
Зацаринная Ирина Александровна - старший лаборант кафедры «Тракторы и автомобили» Азово-Черноморской государственной агроинженерной академии (г. Зерно-град). Тел. 8(86359) 43-6-51. E-mail: zacar75@mail.ru
Information about the authors
Fedoseev Vladimir Borisovich - Doctor of Technical Sciences, assistant professor, Don State Technical University (Rostov-on-Don). Phone: 8(863) 273-85-73.
Zatsarinnaya Irina Alexandrovna - senior laboratory worker of department of tractors and automobiles, Azov-Blacksea State Agroengineering Academy (Zernograd).
Phone: 8(86359) 43-6-51. E-mail: zacar75@mail.ru
