3. Путляев И. Е. Кинетика усадки и внутренние усадочные напряжения в полимерных материалах на основе реактопластов // Конструктивные и химически стойкие иолимербетоны. М., 1970. С. 70 — 81.
Поступила 12.03.2000.
4. Соломатов В. И. Технология полимербе-тонов и армополимербетонных изделий. М.: Строй издат, 1984. 144 с.
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ОСАДОК КРУГЛЫХ ФУНДАМЕНТОВ НА ПРЕДВАРИТЕЛЬНО УПЛОТНЕННЫХ ОСНОВАНИЯХ
А. Е. ДУРАЕВ, кандидат технических наук
В практике строительства возможны случаи, когда под фундаментами могут оказаться грунты с убывающими модулями деформации из-за их природного состояния или искусственного уплотнения (упрочнения) катками, трамбованием, поверхностным вибрированием и другими методами, в результате чего верхние слои становятся более плотными, с большим модулем деформации, чем нижележащие. В общем виде закон изменения модуля деформации с глубиной г примем в следующем виде
Е — Е
0
+ Епе
П1
(1)
где с — основание натуральных логарифмов; п — параметр, принимаемый в зависимости от характера изменения модуля деформации (п < 0). На поверхности грунта Е = + Еп. Метод определения параметров Еп и п приведен в работе [1 ].
При действии сосредоточенной силы Р (рис. 1) на поверхность грунта с модулем деформации, изменяющимся по закону (1), нормальные и касательные напряжения на горизонтальной плоскости можно определить по формулам |2]
3 Рг3 ,
а. = ^г —- к\
гх
2 яг5
3 Рг2х
2 лт*
к;
3 Рг2у 2 лг*
к,
(2)
где х, у, г — координаты точки Ь которой определяются напряжения;
1 + (Еп/Е0) е™
в
к
1 + 3(Еп/Е0)/ '
1 . яг . (кг)2 (пг) 3 1!4 2 !5 3!6
/
3
+ ...
... +
(иг)
т
т\(т Н- 3)
+ ...
у
/ / / / 7
///////
Р и с. 1
Приняв за основу эти формулы, найдем напряжения в грунте при действии на него нагрузки р> равномерно распределенной по площади круга. Проецируя точку В на горизонтальную поверхность грунта, получаем точку М, которая может оказаться как
© А. Е. Дураев, 2000
за пределами нагруженной площади (рис. 2), так и внутри ее (рис. 3).
р и с. 2
ds
Р и с. 3
А. Рассмотрим вначале случай, когда точка М располагается за пределами нагруженного круга (см. рис. 2).
Элементарная сила, приходящаяся на площадку dF, будет dP = psdcpds, а расстояние от элементарной площадки до точки В г — + z2. Из геометрических соображений вытекает, что
КМ — х cos (р — ^а2 — x2sin2<р;
СМ = х cos <р + ^^о2 — х2 sin2 ;
(Ж = 2^
2 • 2 sinz <р
Подставив значения dP и г в формулы (2) и использовав интегрирование, получим напряжения в точке В
от действия нагрузки р, равномерно распределенной по площади круга.
tfz =
<Р\СМ
Ч I
о км
3pz
71
3
(1+1* о
sd(pds
2 + z2
*2
/
Е
\ »
(3)
1 + 3^/
V
Е
о
/
3 pz
2
zr
л
(1 +
Е
п
Ео
enz)
<Р\СМ
II —
О KM (s2 + z2
s2d(pds cos <р
1 4- 3
(4)
где
максимальное значение уг-
ла у? для рассматриваемой точки М.
Напряжения а2 и х1Г найдем численным методом с использованием ЭВМ. Разделив диаметр нагруженного круга на N1 элементарных участков, а угол <р1 — на N2 элементарных углов,
формулы (3) и (4) представим, как и в работе [3], в следующем виде
а.
zr
ар; агр,
(5)
(6)
где
а
n2- 1
у=0
JV,( 1-
£2 sin2 о|г))1/2
ЛЛ
1
X
w=0
У /
/ [(У2 + Я2)у2(1 +
3£
п
Е
о
/¿w)
а
^2-1
Т1
у=О
Pi
2
и»=0
у2 х
X cos (y~r)/[{Y2 + Я2)у2(1 +
3 Е
П
n2
Е,
Т
6H3<p
О
hw) ];
1
л N\Ni
(1 +
Е
а „пНа\.
У = L cos
£
<Р\
О
/ \
у
n2
1 - L2 sin2
У
\
\
N2
/
+ 4- + 2 w
J
N
l
n2'
fi
и>
i+5'
3 1!4
iw , (Eiw)
2
215
^ {Eiw? M 3Ï6
+ ... +
(Eiw)
m
m\(m 4- 3)
4- ...
E;
iw
H
na
^Y2 + H2 ;
a
L
a
Б. Рассмотрим случай, когда точка М располагается внутри нагруженного круга (см. рис. 3).
Нормальные и касательные напряжения получим по формулам
3 pz
л
3
(1 +
Е
п
Eq
enz) х
т см
11
о о
s d(p ds
s2 + z2^
/
1 +
3
(7)
\
E0
-f
Tzr
3pz
л
2
(1 +
E
n
E
0
enz)
n CM
*J /
0 0 isr. + z
s2d(pds cos <p
. 3En\'
)
1 +
V
Eo
'f
Разделяв по-прежнему диаметр круга на N1 частей, а угол л — на элементарных углов, формулу (7) запишем так же, как- формулу (5), то есть
о.
ар,
(8)
где
N.
а
Til
у=0
1
и>=0
У\/
/ [(У? + Я2)у2( 1 +
з Еп
Ео
fiw) 1'
Т
1
6Я3 Е
nxn2
п пНау^
у 1
1_+_2w
Ni
Значения коэффициента а, входящего в формулы (5) и (8), предлагается вычислить по программе MARS (язык Фортран), дающей возможность определить его значения на любом рассто-
янии х от центра нагруженного круга. Для этого следует подставить в программу числовые значения параметров ¿?о, а, х/а, которые в программе
именуются ЕО, ЕЫ, К, А, Ь. Коэффициент аг можно вычислить также с по-
мощью этой программы, для чего необходимо заменить одну строку. Вместо
К = К+ Y/((U** 2,5) *(1 + 3 *EN*F/EO))
следует записать К = К + у* у* х
х cos (y*Fi/N2)*(\/H)/((U**2,5)*(l + + 3 *EN*F/FO)).
Формулу (8) используем для определения осадок оснований круглых фундаментов, когда модуль деформации грунта изменяется по глубине. Формулы СНиП 2.02.01 — 83 [4] остаются без изменений, лишь значения а следует принимать не из табл. 1
прил. 2 СНиП, а вычислять по программе MARS.
Пример. Найти коэффициент а
для грунтового основания с деформации, уменьшающимся ной по закону (рис. 4)
Е = 20 + ЗОбГ0'72
модулем с глуби-
от действия равномерно распределенной по площади круга радиусом 2 м нагрузки Р.
Е
n
Е, мПа
у/ /у////
I
2
3
t
Z, м
Р и с. 4
Определим напряжения на вертикальной линии, проходящей через центр нагруженного круга. Приняв в
программе MARS Е020, EN=30, N= =-0,7. А=2, L=0 и сделав вычисления, получим значения а в зависимости от
H=z/a (табл.). Эпюра напряжений о~
дана на рис. 5. Здесь же для сравнения записаны в скобках значения а для грунта с постоянным модулем деформации.
Т а б л и ц а
с с
L M a
0 0,0 1,000
0 0,4 0,949
0 0,8 0,720
0 1,2 0,502
0 1,6 0,354
0 2,0 0,259
0 2,4 0,196
0 2,8 0,154
0 3,2 0,123
0 3,6 0,101
0 4,0 0,084
0 4,4 0,070
0 4,8 0,060
0 5,2 0,052
0 5,6 0,045
0 6,0 0,040
/
/
4м
Z, м
0,949р (0,949р) 0,720р (0,756р)
0,502р (0,547р) / 0.354р (0.390р)
/ 0,259р (0.284р) ' 0,196р (0,213р) /0.154р (0,165р)
0,123р (0,130р) U.lOlp (0.105p)
MARS
DIMENSION E(500)
7, 12
P и с. 5
REAL N, L, К
OPEN (UNIT=1, FILE='CON') OPEN (UNIT=6, FILE= 'RESU')
PRINT*, 'ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ'
PRINT*, 'EO=' READ (1,*) EO PRINT*, 'EN=' READ (1,*) EN PRINT*, 'N=' READ (1,*) N PRINT*, 'A=' READ (1,*) A PRINT* ,'L=' READ (1,*) L
21 H=0 IF(L-l) 1,
1 ALFA=1.
GOTO 6 7 ALFA=0.5
GOTO 6 20 ALFA=0
GOTO 6 9 N1=70 N2=70
IF (L. GT.l) GOTO 14
P=N*H*A
13 T=6*H**3*(l+EN*EXP(P)/EO)/ *(N1*N2) GOTO 15
14 T=6*H**3*F1*(.1+EN*EXP(P)/E0)/ *(3.1416*N 1*N2)
15 K=0 J=0
4 W=0
IF (L.GT.l) GOTO 16 19 Y= (1+2*W)/N1 GOTO 17
16 G=(1-L*L*(SIN(J*F1/N2)**2))**0.5
2 Y=L*C0S(J*F1/N2)-G+1./N1+W*2/ *N1
17 U=Y*Y+H*H E(1)=N*A*(U**0.5) F=l./3+E(l)/4 DO 22 IJ=2,500
E(IJ)=E(1)*E(IJ-1)/IJ
22 F=F+E(IJ)/ (IJ+3)
K=K+Y/((U**2.5)*(l+3*EN*F/EO)) IF (L.GT.l) GOTO 18 C=COS(J*3.1416/N2) S=SIN(J*3.1416/N2) W=W+1
IF(W-0.5*N1*(L*C+(1-
*L*L*S*S)**0.5) + 1) 19, 19, 3 18 W=W+1
IF(W-N1*G+1) 2, 2, 3 3 J=J + 1
IF (J-N2+1) 4, 4, 5
5 ALFA=T*K
6 WRITE (6,8) L, H, ALFA PRINT*, 'L=',L,' H=\ H,' ALFA=',
*ALFA
8 FORMAT (3H L=, F6.3, 3H H=, F4.1, *6H ALFA=, F6.3)
H=H+0.4
IF (H-12) 9, 9, 11 12 F1=ASIN (l./L)
GOTO 20 11 STOP END
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дураев А. Е. Определение модуля деформации предварительно уплотненных оснований фундаментов // Вести. Морд, ун-та. 1998. № 1 — 2." С. 128—131.
2. Дурасв А. Е. Определение напряжений в грунте с убывающим (возрастающим) по глубине модулем деформации от действия сосредоточенной силы и нагрузки, равномерно распределенной по площади прямоугольника / Морд. ун-т.
Поступила 19.06.2000.
Саранск, 1993. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 16.03.93. № 628 — В93.
3. Дураев А. Е. Расчет конструкций на грунтовом основании с возрастающим по глубине модулем деформации. Саранск: Изд-во Мордов. унта, 1991. С. 192.
4. СНиП 2.02.01 — 83. Основания зданий и сооружений. М.: Стройиздат. 1984. 85 с.
ОБ ОПТИМИЗАЦИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ
В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук
При фиксированной геометрии тела и заданных нагрузках оптимизация напряженного состояния может быть достигнута посредством применения материалов с градиентными свойствами. Это особенно актуально для композитов.
В статьях [Г) и [2] показано, что в случае полярно-симметричной задачи при заданных напряжениях (радиальных а2 и окружных о@) для модулей
упругости должно выполняться соотношение согласно формуле
Е
Е
а
exp F(r) exp F(a)'
(1)
Здесь Е — модуль упругости в точках, отстоящих на расстояние г от полюса; Еа — модуль упругости в точках,
находящихся от полюса на расстоянии а.
Для функции Fir) справедлива формула
F(r) = [
1
OQ — V о г
(1{рг + ав)
х-т- dr
dr
(2)
Коэффициент Пуассона V предполагается одинаковым во всех точках.
Рассмотрим толстостенный цилиндр с заданным распределением окружных напряжений сг# (рис. 1). Внутренний и
наружный радиусы равны соответственно а и Ь. Внутренняя и наружная равномерно распределенные радиальные нагрузки обозначены через q\ и
Окружные напряжения представлены в виде
© В. А. Карташов, 2000