К НЕОБХОДИМЫМ УСЛОВИЯМ ОПТИМАЛЬНОСТИ В СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2021

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(55)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.917.52

К необходимым условиям оптимальности в системах с запаздыванием

К. Б. Мансимов

Институт систем управления НАН Азербайджана; Баку, Азербайджан kamilbmansimov@gmail.com, ORCID 0000-0002-1518-2279, AuthorID 247352

Рассматривается задача оптимального управления, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием и многоточечным функционалом качества. Получены необходимые условия оптимальности особых управлений.

Ключевые слова: система с запаздыванием; многоточечный функционал; формула приращения; особое управление; принцип максимума Понтрягина

Поступила в редакцию 23.10.2021, принята к опубликованию 10.11.2021

To the necessary optimality conditions in systems with delay

K. B. Mansimov

Institute of Control Systems of NAS Azerbaijan; Baku, Azerbaijan kamilbmansimov@gmail.com, ORCID 0000-0002-1518-2279, AuthorID 247352

An optimal control problem described by a system of ordinary differential equations with delay and a multipoint performance functional is considered. Necessary optimality conditions of singular controls are obtained.

Keywords: system with delay; multipoint functional; increment formula; singular control; Pontryagin's maximum principle

Received 23.10.2021, accepted 10.11.2021 DOI: 10.17072/1993-0550-2021-4-5-13

Введение

Принцип максимума Л.С. Понтрягина является самым сильным необходимым условием оптимальности первого порядка. Но нередки случаи, когда число управлений, выделенных среди всех допустимых управлений с помощью принципа максимума Понтрягина, является достаточно большим. Кроме того, не исключено также вырождение, т.е. тривиальным образом выполнение принципа максимума Понтрягина или же его следствий (см., например, [1-5]).

© Мансимов К. Б., 2021

Подобный случай называется особым, а управление, вдоль которого необходимое условие оптимальности вырождается называется особым управлением. Заметим, что термин особое управление в математическую теорию оптимального управления был введен Л.И. Розоноэром [5]. Все это привело к необходимости получения содержательных и конструктивно проверяемых необходимых условий оптимальности особых управлений.

Ранее Р. Габасовым был предложен [2, 3] метод исследования особых управлений в задаче терминального управления, описываемой системой обыкновенных дифференци-

альных уравнений. В дальнейшем этот метод был развит Р. Габасовым, Ф.М. Кирилловой и их учениками (см., например, [2-4, 6], а также обзоры из [7, 8]).

Как и в случае с принципом максимума Понтрягина, после получения различных критериев оптимальности особых управлений в задачах управления обыкновенными динамическими системами возник вопрос о распространении установленных результатов на более общие системы управления, в частности, на системы с запаздыванием.

Стало ясно, что для вывода необходимых условий оптимальности в более сложных задачах оптимального управления, чем обыкновенные динамические системы, надо иметь новые схемы исследования, носящие качественно новый, нетрадиционный характер.

В работе [9] была предложена новая схема исследования особых управлений в системах с запаздыванием и с распределенными параметрами. В предлагаемой работе с помощью метода предложенного в [9] исследуется особый случай в одной задаче оптимального управления с запаздыванием и многоточечным критерием качества. Получен ряд необходимых условий оптимальности. Заметим, что ряд необходимых условий оптимальности особых управлений в различных системах с запаздыванием и терминальным критерием качества различными способами исследованы в работах [9-14] и др.

1. Постановка задачи

Предположим, что управляемый процесс на заданном отрезке времени Т = [£0, £±] описывается системой дифференциальных уравнений с запаздыванием

c начальным условием

Здесь /( £, х, у, it) — заданная -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по х, у до второго порядка включительно, fi(t) — заданная непрерывно дифференцируемая скалярная функция, причем, ft(f) > 0, — заданная непрерывная на

Et начальная вектор-функция, а ы (f) — г-

мерный измеримый и ограниченный вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого и ограниченного множества i/cfl'' (допустимое управление)

В дальнейшем предполагается, что каждому допустимому управлению îi(t) € ¿„([tg, tj^i/) соответствует единственное абсолютно непрерывное решение jf(t) системы (1)-(2), определенное на

На решениях основной начальной задачи (1)-(2), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим многоточечный функционал типа Майера:

Здесь

заданные точки, а <р(а±,а2г...,ак) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция.

Допустимый процесс (u(f),:r (f)), являющийся решением задачи о минимуме функционала (4), при ограничениях (1)-(3), назовем оптимальным процессом.

Для вывода необходимых условий оптимальности предварительно будет построена пригодная для исследования формула приращения функционала качества.

2. Формула приращения критерия качества

Пусть (it (t).,:r(tj) некоторый, а

- произвольный - допустимые процессы.

Введем обозначения:

H(t, х, у, и, ф) = ip'f(t, х, у, и),

= f(t,x(t),y(t),v(t)) - f(trx(t)ry(t)ru(t))

Здесь, и в дальнейшем (') штрих означает операцию транспонирования, а !/'((') - измеримая и ограниченная вектор-функция, являющаяся решением уравнения (сопряженная система)

где ffj(t) — характеристическая функция области [t0JTj, a r(t) - функция, обратная к : : . Учитывая введенные обозначения и принимая во внимание (5), приращение функционала (4), соответствующее допустимым управлениям û (t) и u(t), может быть представлено в виде

+Ay'(t)Hyy[i\Ay(t)]dt-

-Il

+

и"ху

Мду(0

Здесь || а || - норма вектора а = (а1,а2, ■■■,апУ, которая определяется формулой || я || = £¡"=1!^ I, а величины определяются из разложений:

С другой стороны, из условий гладкости, наложенных на правую часть уравнения (1) получаем, что приращение Дл"(0 траектории А" ((:) является решением линеаризованной задачи:

=тую++

Здесь по определению

= А^ШАхф + Дй(>|/уМДуИ + Оз([|1М*}|| + ||Ду(011]>

Здесь величина о3(.) определяется из разложения

^Маиадо)+°3([1М£)н + шш.

Интерпретируя уравнение (7) как линейное неоднородное дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом, на основе аналога формулы Коши об интегральном представлении решении таких уравнений (см., например [15]), имеем

+ Щ (Ди),

где по определению

V3 (д") =

(12)

Из (9) следует, что

Положим

где

a F{ t, г) — (тс X тс) матрица Коши линеаризованной системы, являющаяся решением уравнения

Е — (л X п.) единичная матрица.

Займемся преобразованием отдельных слагаемых в формуле приращения (6).

Используя представление (9), и учитывая формулу Дирихле (см., например [16]), получаем, что

т^М^ВД^А. (14)

Принимая во внимание обозначение (14), используя представления (9), (13) и учитывая тождество из [17, с. 204], получим, что

д^м ¿y(t)+&y'(i)Hyxm<t) +

F(Tjrs)Au{s)f[S]dSdz

+ О")

(15)

где по определению выражение т;4 (¿и) определяется по формуле

■ 1

-I

11

<<

■УУ1-

Учитывая тождества (15), (16) в формуле (6), приращение функционала качества (4) представляется в следующем окончательном виде:

где (Ди) определяется по формуле

«у

+ Ay'(t)AuMH

MAy(t)

[t]Ai(t)

Определение. Допустимое управление та ^^ назовем особым, в смысле принципа максимума Понтрягина, если для всех V Е и и в Е [£0, О

Как видно, при выполнении (19), условие максимума Понтрягина (18) теряет свой содержательный смысл и становится неэффективным.

Построенная формула приращения (17) позволяет получить необходимые условия оптимальности особых управлений.

Пусть «((:) - особое оптимальное управление, т - произвольное натуральное число, е > 0 - произвольное достаточно малое число, 11 > О, I = 1, т - произвольные числа, viE.U1i = 1,т - произвольные векторы, & £ [^О'^и)'1 = ~ произвольные правильные точки управления «(£), причем

t0 < в., < в2 <

•ух

Одной из особенностей построенной формулы (1) является то, что в ней главные члены в явном виде от Дл:(£) и Ду£с) не зависят. Отметим, что формула приращения (17) существенно отличается от традиционных формул приращений второго порядка из [2-4, 6, 7, 10-13, 18].

3. Необходимые условия оптимальности особых, в смысле принципа максимума Понтрягина, управлений

Известно, что (см., например [1]) для оптимальности допустимого управления : в рассматриваемой задаче, необходимо, чтобы неравенство

выполнялось для всех V Е и и в 6

Здесь, и в дальнейшем в Е £|) -произвольная точка (точка Лебега) (см., например [19]) управления и({}

Неравенство (18) является аналогом условия максимума Понтрягина для рассматриваемой задачи. Изучим случай его вырождения.

а ¿ш(£,е; б, , игольчатая вариация

управления, т.е.

(20)

Специальное приращение ДиДО управления м(£) определим по формуле

(21)

Суммирование (21) игольчатых вариаций (20) понимается в смысле, например [6, 19].

Через Д.г, (tj обозначим специальное приращение траектории л" ft). отвечающее приращению () управления it(t).

Применяя лемму Гронуолла-Беллмана (см., например [1]) по схеме аналогичной схеме из [1], доказывается справедливость оценки

1|Л*Е(*)|| ii^tE^t,], (22) где L = const > 0 некоторая постоянная.

Принимая во внимание (22), получим,

что

Поэтому, из (17), в силу предположения об оптимальности особого управления и((), следует, что

+о(У) > о. (23)

Из последнего неравенства следует, что

tfi. г/л

II

¿=1 j=i

; =1

!=1

Сформулируем полученный результат.

Теорема 1. Для оптимальности особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, управления необходимо, чтобы для любого натурального числа ш неравенство (24) выполнялось для всех:

г = < в., <в2< - < вт <

Как видно, неравенство (23) представляет собой последовательность необходимых условий оптимальности особых, в смысле принципа максимума Понтрягина, управлений. В силу произвольности т полученное необходимое условие оптимальности, нося-

щее квадратичный характер, позволяет существенно сузить множество особых управлений, подозреваемых на оптимальность (19). Близкие результаты в случае обыкновенного дифференциального уравнения с терминальным критерием качества другими способами получены в работах [6, 7, 18] и др.

Из неравенства (24), в частности, следуют более простые и конструктивные, с точки зрения проверки, условия оптимальности. Но они оказываются менее информативными, чем (24).

Приведем некоторые из них.

Следствие 1. Вдоль особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, оптимального процесса («(£),*(£)) неравенство

+ А°Нх'[в]\ав] <0 (24) выполняется для всех и G U и в G [ta, t±].

Следствие 2. Если w(t) особое, в смысле (19) оптимальное управление, то вдоль процесса (u(t), *(£)) выполняются следующие соотношения:

WPJWWJ +

Vvlfv2 Е и,в1,в2 Е [t^tj,^ < в2). (26)

Отметим, что условия оптимальности типа (25), (26) в классе кусочно-непрерывных управлений, в случае терминального критерия качества разными способами получены в работах [2, 4] и др.

Критерий оптимальности (23) остается в силе также при вырождении условий оптимальности (25)-(26).

В заключение приведем один простой пример:

i±(t) = u(t), t ET = [0,2], Ä2(t) = х=(*-1)-и2(|)

5(it) = (2) x±(2)x2(2) —*■ min.

Нетрудно видеть, что допустимое управление ii(t) = 0 является особым, в смысле принципа максимума Понтрягина.

Ему соответствует решение = О, I = 1,2

системы уравнений.

При т = 1 условие (25) вырождается

А при т = 2,1± — 12 = 1 условие (26)

имеет вид

и нарушается, например при vl = = —

Следовательно, особое управление

= ~ неоптимальное.

Список литературы

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. М.: Либроком, 2011. 272 с.

2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Либроком, 2011. 256 с.

3. Габасов Р. К теории оптимальных процессов

в дискретных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. С. 780-796.

4. Срочко В.А. Исследование второй вариации на особых управлениях // Дифференциальные уравнения. 1974. № 6.С. 1050-1066.

5. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. I, II, III // Автоматика и телемеханика, 1959. № 10. С. 1441-1458.

6. Гороховик С.Я. Необходимые условия оптимальности в задаче с подвижным правым концом траектории // Дифференциальные уравнения. 1975. № 10. С .765-773.

7. Гороховик В.В. Необходимые условия оптимальности высокого порядка для задачи управления с терминальными ограничениями // ИМ АН БССР. Минск, 1982. №1(126). 50 с. (препринт).

8. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка (обзор) // ИМ АН БССР. Минск, 1982. № 30(155) 48 с. (препринт).

9. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. Баку, 1994. 42 с.

10. Гасанов К.К., Марданов М.Д., Юсифов Б.М. Об условиях оптимальности второго порядка в системах с запаздыванием // Доклады АН Азербайджанской ССР. 1979. №12. С. 17-22.

11. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 360 с.

12. Меликов Т.К., Марданов М.Д. К необходимым условиям оптимальности в системах с запаздыванием // Известия АН Азербайджанской ССР. Сер. физ. техн. и мат. наук. 1979. № 6. С. 119-125.

13. Срочко В.А. К оптимальности особых управлений в системах с последействием // Дифференциальные уравнения. 1976. № 12. С. 1275-1278.

14. Срочко В.А. Техника вывода условий оптимальности в непрерывных задачах управления со свободным правым концом траектории: сб. Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск, 1976. Вып. 4. С. 145-156.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: Изд-во БГУ. 1973.256 с.

16. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Физмат-лит, 2005. 429 с.

17. Федоренко Р.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 428 с.

18. Срочко В.А. Многоточечные условия оптимальности для особых управлений: сб. Численные методы анализа (прикладная математика). Иркутск, 1976. С. 43-50.

19. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамк-релидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

References

1. Gabasov R., Kirillova F.M. Princip maksi-muma v teorii optimal'nogo upravleniya. M.: Librokom, 2011. 272 s.

2. Gabasov R., Kirillova F.M. Gabasov R., Kirillova F.M. Osobye optimal'nye upravleniya. M.: Librokom, 2011. 256 s.

3. Gabasov R.K teorii optimal'nyh processov v diskretnyh sistemah // ZHurnal Vychis. ma-tematiki. i mat. fiziki. 1968. T. 8. S. 780-796.

4. Srochko V.A. Issledovanie vtoroj variacii na osobyh upravleniyah // Differenc. uravneniya. 1974.№ 6. S. 1050-1066.

5. Rozonoer L.I. Princip maksimuma L.S. Pontryagina v teorii optimal'nyh sistem, I, II, III. //Avtomatika i telemekhanika, 1959. №10. S.1441-1458.

6. Gorohovik S.YA. Neobhodimye usloviya opti-mal'nosti v zadache s podvizhnym pravym koncom traektorii // Differenc. uravneniya. 1975. № 10. S. 765-773.

7. Gorohovik V.V. Neobhodimye usloviya opti-mal'nosti vysokogo poryadka dlya zadachi up-ravleniya s terminal'nymi ogranicheniyami // IM AN BSSSR. Minsk, 1982. № 1(126). 50 s. (preprint).

8. Gabasov R., Kirillova F.M., Mansimov K.B. Neobhodimye usloviya optimal'nosti vtorogo poryadka (obzor) // IM AN BSSR. Minsk, 1982. № 30(155). 48 s. (preprint).

9. Mansimov K.B. Neobhodimye usloviya opti-mal'nosti osobyh processov v zadachah opti-mal'nogo upravleniya: avtoref. diss. d-ra fiz.-mat. nauk. Baku, 1994. 42 s.

10. Gasanov K.K., Mardanov M.D., YUsifov B.M. Ob usloviyah optimal'nosti vtorogo por-yadka v sistemah s zapazdyvaniem // Dokladi AN Azerb. SSR, 1979. № 12. S. 17-22.

11. Morduhovich B.SH. Metody approksimacij v zada-chah optimizacii i upravleniya. M.: Nau-ka, 1988. 360 s.

12. Melikov T.K., Mardanov M.D. K neob-hodimym usloviyam optimal'nosti v sistemah s

zapazdyvaniem // Izvestiya AN Azerb SSR, Ser. fiz. tekhn. i mat. nauk, 1979. № 6. S. 119-125.

13. Srochko V.A. K optimal'nosti osobyh uprav-lenij v sistemah s posledejstviem // Differenc. uravneniya. 1976. № 12. S. 1275-1278.

14. Srochko V.A. Tekhnika vyvoda uslovij opti-mal'nosti v nepreryvnyh zadachah upravleniya so svobodnym pravym koncom traektorii: sb. Differenc. i integral'nye uravneniya // Irkutsk, 1976. Vol. 4. S. 145-156.

15. Gabasov R., Kirillova F.M. Optimizaciya linejn-yh sistem. Minsk: Izd-vo BGU. 1973. 256 s.

16. Alekseev V.M., Tihomirov V.M., Fomin S.V. Optimal'noe upravlenie. M.: Fizmatlit, 2005. 429 s.

17. Fedorenko R.P. Priblizhennye metody resh-eniya zadach optimal'nogo upravleniya. M.: Nauka, 1978. 428 s.

18. Srochko V.A. Mnogotochechnye usloviya op-timal'nosti dlya osobyh upravlenij: sb. CHislennye metody analiza (prikladnaya ma-tematika). Irkutsk, 1976. S. 43-50.

19. Pontryagin L.S., Boltyanskij V.G., Gamkreli-dze R.V., Mishchenko E.F. Matematicheskaya teoriya optimal'nyh processov. M.: Nauka, 1969. 384 s.

Просьба ссылаться на эту статью:

Мансимов К.Б. К необходимым условиям оптимальности в системах с запаздыванием // Вестник ПГУ. Математика. Механика. Информатика. 2021. № 4(55). С. 5-13. DOI: 10.17072/1993-0550-2021-4-5-13.

Please cite this article as:

Mansimov K.B. To the necessary optimality conditions in systems with delay // Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2021. № 4(55). P. 5-13. DOI: 10.17072/1993-0550-2021-4-5-13.