CC BY
59
УДК 621.382
К НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОВОЙ МОДЕЛИ ПОВРЕЖДЕНИЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
ЧУМАКОВ В.И.___________________________
Приводится анализ тепловых повреждений полупро водниковых приборов с помощью нелинейной модели. Строится модельная схема, описываются выражения для временных зависимостей температуры полупроводника.
1. Введение
Возникновение нелинейных тепловых эф -фектов в полупроводниках и учет их при анализе процессов деградации полупроводниковых приборов составляет суть нелинейной тепловой модели (НТМ). Нелинейность обусловлена температурными зависимостями тепло- и электрофизических характеристик полупроводниковых материалов, а также учетом конечной величины скорости распространения тепла в среде. В частности, с помощью нелинейной тепловой модели можно объяснить процессы локализации тока в классической модели повреждений W-B [1]. Наиболее общая математическая формулировка НТМ основана на составлении нелинейного уравнения теплопроводности и нахождении его решения при заданных начальных условиях. Кроме того, необходимо рассмотреть конкретную схему включения полупроводникового элемента в электрическую цепь и электрический режим работы прибора.
2. Построение модельной схемы
Для построения уравнения, описывающего процесс разогрева полупроводникового образца, рассмотрим схему (рис.1), которая обычно используется при анализе теплового пробоя полупроводниковых приборов. Для анализа деградационных эффектов разделение механизмов пробоя (тепловой, электрический) важно лишь только с точки зрения их временных масштабов, поскольку электрические явления в материалах происходят, как правило, значительно быстрее, чем диффузия тепла. Поэтому будем рассматривать процессы в образце в установившемся электрическом режиме, основываясь на методике, изложенной в [2].
Пусть в приведенной схеме через сопротивление R к образцу полупроводника приложено напряжение источника e(t). Его характер определяется следующими соображениями:
в отсутствие пробоя полупроводникового образца ток через структуру таков, что величина uq = iG достаточно мала по сравнению с напряжением на образце uc = E(t)d, т.е. источник близок к источнику ЭДС;
в случае пробоя образца Ur значительно превышает
напряжение на образце и источник близок к источнику тока. Здесь E(t) представляет собой напряженность электрического поля в полупроводниковом образце.
Протекание тока между контактами образца под действием приложенного напряжения описывается
законом Ома i = U / R , где величина R характеризуется резкой нелинейностью.
i(t)
1
R
J ' d <
'У
Рис. 1
В основе электрической модели лежит представление о микроскопически неоднородном распределении электропроводности примесного полупроводника, что приводит к образованию неоднородного токораспределения в образце и, в дальнейшем, неоднородной тепловой структуры. При этом электрическая схема может быть представлена в виде рис.2.
Рис. 2
Сопротивление отдельных токовых каналов зависит от удельной проводимости материала и начального сечения канала Sk (длины токовых каналов считаем одинаковыми и равными толщине образца d):
Gk (T) =
(T)S(T)
d
(1)
Выражение для элементарного тока в к-м сопротивлении выглядит как
Jk =
Gk
eGk
f
\
R +1E Gi
i )
E Gi 1+R E Gi
(2)
Элементарные сопротивления считаем равномерно распределенными по поверхности образца. Их величины имеют пуассоновское распределение [3]. Дальнейший сценарий формирования токовой структуры определяется температурными зависимостями со-
e
РИ, 2000, № 1
33
противлений Rk . Очевидно, что в (1) термозависимыми величинами являются как удельная проводимость ст£ (T), так и сечение токового канала S(T). Из
(2) получим условие роста тока в ^-сопротивлении:
'_±_ + у GLЇ dGk
у RGk і Gk J dT
>E
i
dGi dT ■
В противном случае ток может уменьшаться, несмотря на повышение температуры в среде.
3. Особенности температурной зависимости проводимости
Характер установления тепловой структуры в полупроводнике существенным образом зависит от установившейся “электрической” структуры, т.е. от механизма переноса электрических носителей в материале. Зависимость электропроводности примесного полупроводника с концентрацией доноров Nd может быть выражена как
ct(T) = enopn + а2е Є2Іk°T +ст3е Єз1k°T , (3)
где no — концентрация неосновных носителей; ц n — подвижность электронов [4].
Первое слагаемое в (1) определяет проводимость материала, обусловленную движением носителей во внешнем электрическом поле, а термозависимыми
являются no и цn. С величиной проводимости связан такой параметр среды, как время диэлектри -
ческой релаксации Ted = sa la, где єa — диэлектрическая проницаемость. Время диэлектрической релаксации характеризует возможность нейтрализации объемного заряда с помощью процессов проводимости.
Второе и третье слагаемые в (1) определяют два различных вида переноса электронов между донорами. В первом случае энергия ионизации донорных атомов зависит от концентрации ионизованных доноров Ndi как
єd =єd0
1 {Ndi 1N кр )113
(4)
Здесь NKp — критическая концентрация примесей, при превышении которой полупроводник становится примесным металлом. Переход от температурной зависимости проводимости, характерной для полупроводника, к “металлической” проводимости (переход Мотта) наступает при NKpaB = 0,2. Здесь aB -боровский радиус примеси. Значения NKp для германия и кремния составляют соответственно 1017 и 3*1018 см-3.
Слагаемое стзе Єз/ k°T представляет собой прыжковую проводимость электронов. В этом случае перенос носителей осуществляется в результате туннельного перехода электронов из нейтральных атомов на ионизованные доноры. Если концентрация примеси такова, что боровские орбиты примесных атомов
перекрываются, то электроны, освободившиеся в результате ионизации примеси, “обобществляются” всеми ионами примеси. События, заключающиеся в нахождении электрона вблизи одного из таких ионов, равновероятны независимо от места расположения иона в образце полупроводника. В результате ионы с перекрывающимися боровскими орбитами образуют центры на траекториях, которые могут связывать противоположные стороны образца.
В этом случае движение электронов под действием поля представляет собой перколяционный процесс вдоль связанных электронных траекторий, соединяющих токовые контакты, в то время как другие макроскопические области не позволяют обеспечить связности между противоположными сторонами полупроводника, а значения сопротивлений Ял областей, показанных на рис.2, определяются числом электронных траекторий, связанных в ортогональном направлении. Перекрытие боровских орбит в направлениях, ортогональных плоскости токовых контактов, объединяет электронные траектории и приводит к образованию кластеров.
Рост числа носителей и увеличение их подвижности с повышением температуры приводит к тому, что в диапазоне от 300 К до температур плавления полупроводниковые материалы характеризуются резко возрастающей температурной зависимостью прово -димости.
Отметим, что эффект локализации токовых каналов (шнурования тока) сопровождается деформацией ВАХ полупроводникового прибора и образованием на ней участка с отрицательным сопротивлением. При этом ВАХ приобретает S-образную форму (рис.3). Важно отметить, что эффект локализации токовых каналов отличается от эффекта пинчевания тока, который имеет место в газовой плазме под действием сил давления собственного магнитного поля. Распад квазиоднородного токового канала на отдельные нити происходит вследствие перераспределения сопротивления полупроводникового образца, которое приводит к адекватному перераспределению тока в каналы с меньшим сопротивлением.
Положение рабочей точки b на участке с отрицательным дифференциальным сопротивлением является неустойчивым, поэтому ток в цепи образца будет стремиться принять значение, соответствующее устойчивым точкам Ii или І2-
34
РИ, 2000, № 1
Процесс образования нитей тока зависит от объемной плотности подвижных носителей тока в материале, а также от диффузии в поперечном направлении. Характерный размер нити составляет величину порядка
rn
2
dD_\_
vs
(5)
где Dl — поперечный коэффициент диффузии носителей; vs — дрейфовая скорость.
Неоднородность распределения температуры в полупроводнике приводит к возникновению градиен -тов в скоростях переноса зарядов, что также является причиной изменений в распределении тока и усилении положительной обратной связи.
4. Нелинейное уравнение теплопроводности
Одним из возможных способов построения модельного решения нелинейного уравнения теплопроводности (НУТ) в модели электрических перегрузок является поиск обобщенного решения при специфической форме младшего члена в правой части уравнения. Используя аналогию с линейными системами, получаем выражения для импульсной характеристики.
Рассмотрим зависимость распределения температуры в токовом канале при джоулевом разогреве. Одномерное НУТ в этом случае имеет вид
двух функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента:
T(r, т) = V(p)U(х) . (9)
Здесь V (ц), U (т) — неизвестные пока функции, при-
r
чем л =----, где Я(т) — также пока неизвестная
Я(т)
функция.
Подстановка (9) в уравнение (8) позволяет получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций V(ц), U(т),Я(т), из которой имеем
V (л)
Bm
2
ц0-ц
-| 1/m
(10а)
U(т) = [(2с + m)aoB(xQ + т)] ^ ^, (10б)
Я(т) = [(2с + m)aQВ(х0 + х)] , (10в)
где B и c — постоянные разделения переменных в
выражении (9); цо и то — постоянные величины, определяемые начальными и граничными условиями
задачи. Точное решение НУТ получается при с = 1/ а и с = 1/2.
Срр
dT (r, t)
dt
1
„а-1
V| r а 1kT (T)VT(r, t)
(6)
T (r, t)
Здесь Ср, p, kT — соответственно теплоемкостъ, плотность и теплопроводность среды, r — координата точки в прямоугольной (а = 1) и цилиндрической (а = 2) системе координат.
Случай с = 1/ а , а = 1. Решение НУТ представляется в виде
Г ,, і
[(2с + m)aoВ(то +т)] с+",0<ц<Цо
0, ц>Ло-
Bml 2 2І
-IT\Ло - Л )
Здесь ц = r /[(2с + m)ao В(хо
+ х)
с /(2o+m)
Как показывают исследования, уравнения типа (5) допускают аналитическое решение при определенных видах температурной зависимости удельной теплопроводности среды
m(m +1)
T(r,х) = <
kT (T) = ко f (T) = koTm . (7)
m - 2
Случай с = 1/2, a = 1. Вид решения представляется как
—11 / m
( „ \
m+1 /
Ио )
\Ло “Л
Г
[(1 + m)aoB(То + х)] 2+2т,о < Ц < Йо
m
Предположение о независимости I о, Л^Ло-
величин СР и r от температуры не нарушает общности рассуждений, поскольку применение преобразования Кирхгофа позволяет привести НУТ к виду (5) и при степенной температурной зависимости теплоемкости [6]. Подставив (6) в (5), получим НУТ в виде
В некоторых случаях, при специфической форме младшего члена в уравнении теплопроводности воз -можно возникновение режимов с обострением, когда
при t ^ tо имеет место T ^ да ; здесь t0 — конечная величина.
1 dT (r, т) ао дг
VT (r, х)
(8)
где ао — температуропроводность среды при m = 0.
Следуя [5], разделим переменные в решении и будем искать решение уравнения (7) в виде произведения
5. Заключение
Таким образом, согласно нелинейной модели, локализация тепла в полупроводниках является тем механизмом, который определяет снижение порога -вого значения мощности электрической перегрузки, приводящей к деградационным эффектам в полупроводниковых приборах. Филаментация тока про-
35
РИ, 2000, № 1
исходит в результате превышения роста электропроводности полупроводника по сравнению с увеличением теплопроводности, что приводит к уменьшению характерного размера области энерговыделения в полупроводниковой структуре. При этом ток перераспределяется в зависимости от исходного распределения сопротивления полупроводника, устремляясь в каналы с наименьшим сопротивлением.
Решить нелинейное уравнение теплопроводности можно при условии степенной зависимости удельной теплопроводности полупроводника от температуры. Из приведенных решений следует, что изменение температуры в полупроводниковом образце происходит в виде распространения тепловой волны. В каждый момент времени существует область пространства, в которой температурные изменения еще не произошли. Положение фронта теплового возмущения определяется выражением
С
Г+ = %[(2c + т)а0В(т0 +г)]2с+т ’
поэтому тепловое возмущение охватывает в данный момент времени т конечную область пространства. Это происходит в результате того, что тепловые возмущения в нелинейной среде распространяются с конечной скоростью, в отличие от линейных сред, где решение уравнения теплопроводности основано
на предположении о бесконечной скорости распространения тепла.
Приведенная нелинейная модель может быть использована при анализе тепловых повреждений РЭА и исследованиях проблем ЭМС.
Литература: 1. D.S.Wunsch, R.R.Bell. Determination of threshold failure level of semiconductors diodes and transistors due to pulse voltage // IEEE Trans. on Nuclear Sci., V.NS-15, N6, 1968. Р.244-259. 2. Вирченко Ю.П, Водяницкий A.A., Ковтун Г.П. Локализация тепла и становление структуры теплового пробоя. Обзор: Харьков, ХФТИ, 1992. 32с. (препринт). 3. Воробьев Г.А., Мухачев В.А. Пробой тонких диэлектрических пленок. М.: Сов. радио, 1977. 72с. 4. БлейкморДж. Физика твердого тела.-М.: Мир. 1988. 608с. 5. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики: В 2 ч.
К.: Наукова думка, 1976. Ч. 2.-292с. 6. Галактионов В.А., Курдюмов С.П, Посашков С.А., Самарский А.А. Квазилинейное параболическое уравнение со сложным спектром неограниченных автомодельных решений: В кн.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986. С. 142-182.
Поступила в редколлегию 12.01.2000
Рецензент: канд. физ.-мат. наук, проф. Ванцан В.М.
Чумаков Владимир Иванович, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ОРТ ХТУРЭ. Научные интересы: генерации мощных электромагнитных излучений и их применение. Адрес: Украина, 61166, Харьков , пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-94-79.
36
РИ, 2000, № 1
