К модели неголономного бильярда Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.38

К модели неголономного бильярда

А. В. Борисов, А. А. Килин, И. С. Мамаев

Институт компьютерных исследований, 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 borisov@rcd.ru, aka@rcd.ru, mamaev@rcd.ru

Получено 2 июня 2010 г.

В данной работе предложена новая модель неголономного бильярда, учитывающая собственное вращение шара. Данная модель получена с помощью предельного перехода от задачи о качении шара без проскальзывания по поверхности второго порядка. Проведено качественное исследование динамики неголономного бильярда между двумя параллельных стенок и внутри круга. С помощью построения трехмерного точечного отображения показана неинтегрируемость неголономного бильярда внутри эллипса.

Ключевые слова: бильярд, удар, точечное отображение, неинтегрируемость, периодическое решение, неголономная связь, интеграл движения

A. V. Borisov, A. A. Kilin, I. S. Mamaev On the model of non-holonomic billiard

In this paper we develop a new model of non-holonomic billiard that accounts for the intrinsic rotation of the billiard ball. This model is a limit case of the problem of rolling without slipping of a ball without slipping over a quadric surface. The billiards between two parallel walls and inside a circle are studied in detail. Using the three-dimensional-point-map technique, the non-integrability of the non-holonomic billiard within an ellipse is shown.

Keywords: billiard, impact, point mapping, nonintegrability, periodic solution, nonholonomic constraint, integral of motion

Mathematical Subject Classifications: 34D20, 70E40, 37J35

1. Введение

Игра в бильярд известна с древнейших времен и остается чрезвычайно популярной по сегодняшний день. Она издавна привлекает к себе внимание исследователей, математиков и механиков, пытающихся в той или иной степени описать закономерности отскока шаров и их необычное поведение, в том числе и для создания выигрышной техники игры. Множество усилий было потрачено на создание теории бильярдной игры, описывающей взаимодействие шаров друг с другом и со стенками. Однако данная задача является очень сложной и, к сожалению, до сих пор не существует единой теории, объясняющей все аспекты бильярдной игры.

Одним из первых систематически изучал теорию бильярдной игры Г. Кориолис, результаты которого изложены в его знаменитой книге «Математическая теория явлений бильярдной игры» [3]. Среди классических работ по теории бильярда следует отметить работу А. Резаля [12], в которой он дискутирует с Кориолисом по ряду дополнительных гипотез, необходимых для описания ударов шаров друг о друга либо о стенку, работу Аппеля [1] о движении бильярдного шара с учетом трения и систематическую книгу Хемминга [9].

Обоснование теории бильярдной игры и исследование присущих ей частных эффектов связано с изучением закономерностей общей теории удара. В настоящее время теория удара (см. книги [16, 18]) является отдельной дисциплиной и имеет ряд разделов, таких как стереомеханическая и волновая теория удара и др.; однако законченной теоретической модели удара на сегодняшней день не существует, и для того чтобы продвинуться в решении данного вопроса, как правило, вводят некоторые дополнительные гипотезы. Одной из классических и наиболее широко применяемых гипотез является гипотеза о коэффициенте восстановления, предложенная еще Ньютоном.

Не претендуя на полноту приведем некоторые теоретические работы по теории удара [8, 10, 11, 21, 22], а также отметим ряд экспериментальных исследований, описывающих как методику, так и результаты конкретных экспериментов по соударению различных тел [4-7, 24]. Кроме того, многие результаты также можно извлечь из практических пособий по игре в бильярд [23].

В данной статье мы развиваем несколько формальный подход к получению законов бильярда исходя из предельного перехода от некоторой более общей задачи [20]. Как известно, существует модель математического бильярда, или бильярда Биркгофа, которой посвящено множество работ (обзор можно найти, например, в [14,17]). В данной модели рассматривается отражение материальной точки от некоторой плоской кривой по закону «угол падения равен углу отражения». Изначально данная модель была получена Биркго-фом путем предельного перехода от задачи о движении материальной точки по эллипсоиду. Хотя данная модель и носит название бильярда, однако многих особенностей бильярдной игры она не охватывает, в частности, она не учитывает собственное вращение шара. Поэтому одной из целей написания данной работы являлось получение некоторого закона отражения, учитывающего собственное вращение шара. Отметим в этой связи работы [19,20], где развивается модель удара, основанная на гипотезе «удара о связь», при которой скорость точки контакта при ударе меняет направление на обратное. Еще один подход, позволяющий учесть вращение шара и развиваемый нами в этой работе, основывается на методе Бирк-гофа получения бильярда с помощью предельного перехода. В качестве начальной задачи для такого перехода мы выбираем задачу о качении шара по поверхности без проскальзывания, которая была подробно изучена в [2]. Получающаяся при этом модель бильярда, которую мы называем неголономным бильярдом, наследует законы сохранения начальной

задачи. В частности, она является консервативной, а также сохраняет модуль нормальной составляющей скорости шара.

В данной работе мы, с одной стороны, докажем теоремы о предельным переходе и получим новую модель математического бильярда, а с другой стороны — опишем класс бильярдов, которые изоморфны новой модели и не противоречат известным физическим экспериментам. Тем самым мы постулируем более сложную, но более адекватную модель бильярда, учитывающую собственное вращение шара. Отметим также, что если изучение бильярда Биркгофа традиционно проводится с помощью построения двумерного точечного отображения, то полученная модель в общем случае описывается уже трехмерным точечным отображением, а в некоторых случаях (например, бильярд в эллипсе) существование дополнительных инвариантов позволяет понизить порядок системы и рассматривать двумерное точечное отображение на некоторой поверхности. Более подробное описание методики построения трехмерных отображений и отображений на поверхности в применении к неголономным динамическим системам можно найти в [2].

В заключение укажем на еще один аспект предлагаемой нами модели неголономного бильярда: эту модель можно также рассматривать как одну из возможных дискретизаций задачи о качении шара по поверхности без проскальзывания [13], причем в отличие от большинства других дискретизаций, популярных в последнее время и рассматриваемых, как правило, формально, без надлежащей механической (физической) реализации, предлагаемая нами модель несет в себе ясный физический смысл.

2. Неголономный бильярд в полосе

2.1. Предельный переход

Рассмотрим задачу о качении шара по цилиндру без проскальзывания. Уравнения движения для данной задачи можно записать в следующем виде [2]:

v = —(v, 7)7 + awy х 7,

U = (7 х 7, v), (2.1)

x = v.

Здесь x и v — координаты и скорости центра масс шара, u = R(u, 7) —проекция угловой скорости шара (далее называемая спином) на нормаль к поверхности 7, которая задается отображением Гаусса

VF(x) , N

где F(x)—уравнение поверхности, а а = --—г—постоянный коэффициент, зависящий

I + mR2

от распределения масс в шаре и принимающий значения от 0 до 2/5. В рассматриваемом

•2 -2

XC XC

случае эллиптического цилиндра F(x) = -\—\ — 1, где Ъ\, 62 —полуоси основания цилин-

дра, и уравнение (2.2) принимает вид

Ax

ь? b2

7 = "^, A = diag(&r2A-2,0). (2.3)

Уравнения (2.1) допускают следующие первые интегралы движения:

(x, Лх) = 1, (v, Лх) = 0,

\{v2i + vi), #2 = ^(v'i + аи2), (2

к=ьМь1 где B = diag{blbl0)-

Первые два интеграла являются геометрическими, интегралы Hi и H2 представляют собой две независимые части интеграла энергии H = Hi + H2, а интеграл K является дополнительным квадратичным независимым интегралом, наиболее общий вид которого был указан в [2].

Рассмотрим теперь предельный переход уравнений (2.1) при стремлении одной из полуосей основания цилиндра к нулю b2 — 0. При таком предельном переходе мы получаем задачу о качении шара без проскальзывания по обеим сторонам полосы, заключенной между двумя прямыми. Легко показать, что внутри полосы движение шара является равномерным и прямолинейным, спин u сохраняется. При подходе шара к границе происходит мгновенный перекат шара на обратную сторону полосы. В проекции на плоскость данный процесс можно рассматривать как удар шара о стенку. Таким образом, мы получаем новую модель неголономного бильярда.

Рассмотрим теперь подробнее процесс предельного перехода и получаемый при этом закон удара. Оказывается справедлива следующая

Теорема 1. Пусть шар катится без проскальзывания по эллиптическому цилиндру, тогда при стремлении одной из полуосей основания цилиндра к нулю (b2 — 0) получается задача о неголономном бильярде внутри плоской полосы со следующим законом отражения

/-10 0 \

V+= 0 со&у/аж -sinv& V-, (2.5)

\ 0 — sin sjom — COS sjom)

где V = (vn,vT, s/aua). Доказательство.

Получим сначала закон отражения для нормальной составляющей скорости v. Для этого введем переменную 9

xi = bi cos 9, x2 = b2 sin 9. (2.6)

Подставив (2.6) в выражение для интеграла K с учетом геометрической связи (v, Лж) = 0, получим

2

и'2 а I ;,2 „„„2

„2

К = (b'l sin в + Щ cos в) , /2 (2.7)

b\ sin2 0

v

При предельном переходе 62 -0 получим К = Таким образом, в момент удара из усло-

bi

вий сохранения интеграла K следует, что модуль нормальной скорости шара сохраняется, т. е.

v+ = -v^, \vf\=hVK. (2.8)

Для определения закона отражения по переменным u и V3 введем переменную <р следующим образом

I '2 j ¡^

Vs = \J2Н-2 cos <р, и = \ -- sin (2.9)

V а

Выбрав в качестве нового времени переменную 9, запишем уравнение эволюции р:

d(p s/abib'2

dd bj sin2 в + bl cos2 в' Сделав замену x = bj tg в и использовав представление ¿-функции

(2.10)

= lim / 22, ь2ч> (2.11) b2 —>о п(Х2 +

получим в пределе b2 ^ 0

^ = -у/^тг5(х). (2.12) dx

Сделав обратную замену, получим

ф = -Ssfcm5{t. -t0), (2.13)

где to — момент удара о стенку, а s = sign(e) определяет направление качения шара по цилиндру и является постоянным для каждой выбранной траектории. Из (2.13) следует закон отражения для р:

(р+ = (р~ — sir-y/a. (2.14)

Сделав обратную к (2.9) замену и введя переменную и = л/аи, получим закон отражения

/-10 0 \

V+= 0 eos у/атт ssiny/аж \ V~, (2.15)

\ 0 — s sin л/ап eos л/ап J

где V = (v\, v3, и).

Заметим, что закон (2.15) записан в проекциях на абсолютные оси xi, Х2 и вектор нормали y. Однако при ударе о стенку вектор y меняет направление на обратное. Поэтому вместо проекции и угловой скорости на вектор y необходимо рассматривать проекцию иа угловой скорости на некоторый постоянный вектор а || y. Связь между иа и и задается соотношением

(и, в > 0, ,

Ua = в< 0' (2Л6)

I -и, в < 0.

Кроме того, закон удара традиционно записывают в проекциях на локальные оси координат, задающих нормальную и тангенциальную составляющую скорости в точке удара. Эти проекции связаны с проекциями на оси абсолютной системы координат следующими соотношениями:

vi, в = 0,

vn = <

-v1, в = П,

) (2.17)

(va, в = 0,

—v3, в = п.

т

vm>

X

-'-h'á \ g л/гж

Рис. 1

В указанных проекциях закон отражения принимает вид

/-10 0 \

V+= о eos у[аж -sinv/шг У", (2.18)

\ 0 — sin у/атт — eos у/атт/

где V = (vn, vT, у/аиа). □

2.2. Анализ динамики

Рассмотрим свойства закона отражения (2.18) на примере полученной предельной задачи о бильярде в полосе. В данном случае проще привести анализ в проекциях на абсолютные оси vi, V3, поэтому будем рассматривать закон отражения в виде (2.15). Нетрудно заметить, что на плоскости (пз,и) закон отражения (2.15) представляет собой обыкновенный поворот на угол А(р = у/аж (см. рис. 1).

Таким образом, при последовательных отражениях от стенок соответствующие точки на плоскости (г>з,и) будут ложиться через равные промежутки А(р = у/атт на окружность, задаваемую интегралом Н-2 = ^(vf + и) (см. рис. 1). Используя данное свойство, можно доказать следующую теорему, аналогичную теореме об отсутствии вертикального ухода при качении шара по цилиндру (задача Штюблера).

Теорема 2. Неголономный бильярд в полосе является ограниченным, а максимальный уход вдоль полосы определяется выражением

Л~ - /2Яа 2

R ■ у/атг

л Sin —

Доказательство.

Обозначим через г^ значение скорости вдоль полосы на п-ом шаге. Из закона удара нетрудно получить явное выражение

4п) = \ДЩсо8{<^о + пу/ст), (2.19)

где и Н задают неголономную скорость гз и спин и с помощью (2.9).

Ограниченность движения шара вдоль полосы следует из отсутствия нулевой моды (независящего от п слагаемого) при разложении гЗ^ в ряд Фурье. Оценим теперь максимально возможный уход траектории вдоль полосы.

Время между ударами о противоположные стенки является постоянным и определяется формулой

2Ъ\ 2 ,

< = Ы = 7Г ,2-20)

Общее смещение вдоль полосы за N ударов можно записать как

'гДа 81п(^о + - 1)) - - 41)

Е, . Г- ч ¿Л2 Т - ~ --~> /О oi\

cos(^o + nVavr) = —--—-. (2.21)

Из (2.21) следует, что максимальный уход шара вдоль полосы равен

/2Я2 2

^-^тах — -^тах -^min —

iv sin

□

3. Неголономный бильярд в круге

Рассмотрим аналогичный предельный переход в задаче о качении шара без проскальзывания по эллипсоиду вращения. При этом в пределе мы получим задачу о бильярде внутри круга. Исходные уравнения движения шара по эллипсоиду совпадают с уравнением (2.1), однако уравнение поверхности теперь имеет вид

2 2 2 гр^ гр^ гр^

т = % + % + <3.1,

При этом выражение (2.3) для вектора нормали 7 и первые два интеграла (2.4) сохраняются с точностью до замены А = diag(R-2, Е-2, Ь-2).

Ввиду цилиндрической симметрии предельной задачи наиболее удобными переменными для исследования являются проекции скорости шара на орты цилиндрической системы координат

1>1Х1+1>2Х2 1>1Х2—1>2Х1

Т I -2

= -/ 9 9 ' = -/ 9 9 ' (3.2)

и сферические координаты

x = (R cos 6 cos R cos 6 sin b sin 6). (3.3)

В данных переменных первый из интегралов (2.4) сохраняется автоматически, а второй приводит к простому соотношению

V3 = -S ctg 6vn, (3.4)

где введено обозначение S = b/R.

2

Уравнения движения в переменных vn, vT, u, 0, ^ имеют вид

f sin2 0v2 aá sin 0vT u á2 cos 0vn

Vn = --ГТ-^-^-— +

R cos 0(sin2 0 + á2 cos2 0) R(sin2 0 + á2 cos2 0) R sin2 0(sin2 0 + á2 cos2 0)'

v =--—--( » ) i

fícostf _ñ sin 0(sin2 0 eos2 9)' 1 ' '

á(1 — á2) cos2 0vnvT • vn vT

и =- 0 =--c¿> =--

Rsin0(sin2 0 + á2 cos2 0)' Rsin0' Rcos 0'

Уравнения (3.5) допускают два первых интеграла движения

K = (1 + á2 ctg2 0)(vn + v2 sin2 0). Так же, как и выше, из условий сохранения K после предельного перехода получаем

v+ = —v— (3.7)

Для определения закона отражения по другим переменным выберем 0 в качестве нового времени и запишем уравнения движения для vT и u

. Л aá

it = t.g 0vT H--s---—г/,,

r В sin2 в + á2 cos2 в '

(3.8)

á(1 — á2) cos2 0

и' =---V

sin2 0 + á2 cos2 0 T'

здесь штрих обозначает дифференцирование по 0. Уравнения (3.8) допускают первый интеграл движения

2 2Я — K 2 2 л , a 2 /п (\\

3 = —-= < cosz в + ---TU. (3.9)

1 — á2 1 — á2

Используя этот интеграл, сведем систему (3.8) к одному дифференциальному уравнению

с помощью следующей замены переменных:

J Js/T^P . . .,im

uT =-- cos w, и =-=-sin w. (3.10)

cos 0 Ja

Дифференциальное уравнение для ф при этом имеет вид

¿yT^cosfl

Ф = -V« . 2Й , й-20- (З-11)

sin2 0 + á2 cos2 0

С

Используя замену г = sin$, t = ^ и представление ¿-функции (2.11), в пределе 5 —

а/1 — <52

0 (е ^ 0) получим

^ = -yfim5(z) (3.12)

или, после обратной замены,

ф = —\/a7TSÓ(t — to), (3.13)

где s = sign(0), s = —1 при переходе с верхней полусферы (0 > 0) на нижнюю (0 < 0) и s = 1 в случае обратного перехода. Проинтегрировав уравнение (3.13) и сделав преобразование, обратное к (3.10), получим закон удара, совпадающий с (2.15). Так же, как и в случае бильярда в полосе, теперь необходимо перейти к проекции ua угловой скорости на постоянный вектор. После такого перехода получим закон удара, полностью совпадающий с (2.5). Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 3. Пусть шар катится без проскальзывания по эллипсоиду вращения, задаваемому уравнением (3.1), тогда при стремлении третьей полуоси к нулю (Ь ^ 0) получим задачу о неголономном бильярде внутри круга с законом отражения (2.5).

3.1. Построение трехмерного отображения

Рис. 2

Классическая задача о математическом бильярде традиционно исследуется с помощью двумерного точечного отображения. Добавление спина при рассмотрении бильярда влечет за собой увеличение размерности соответствующего отображения на единицу. Таким образом, для исследования динамики неголономного бильярда с законом отражения (2.18), в отличие от классического бильярда, необходимо рассмотрение трехмерного точечного отображения. В качестве примера построим такое отображение для неголономного бильярда в эллипсе. Выберем в качестве переменных отображения (р € [0, п) —угловую координату точки удара, ф € [—п/2, П/2\ —угол между скоростью падения шара и нормалью к границе эллипса в точке удара (рис. 2), и спин иа.

Рис. 3 Рис. 4

При заданном значении интеграла энергии компоненты скорости падения имеют вид

= \/'2Н — аи% сов ф, = \/'2Н — аи% зтф.

(3.14)

Таким образом, координаты (р, ф, иа) и значение интеграла Н однозначно задают начальные условия траектории. В рассматриваемом случае бильярда в эллипсе существует допол-

V

V

нительныи интеграл

К = + (3.15)

b1b2

благодаря чему все точки отображения лежат на поверхности

bl Sin2 у + Ь\ COS2 у 2\ 2 i к

—-2 2 -(2Н — аиа) cos 1р = К. (3.16)

b2l b22

Пример такого отображения приведен на рис. 3. Как видно из рисунка, получившееся отображение содержит хаотический слоИ, что говорит о неинтегрируемости неголономного бильярда в эллипсе.

В случае бильярда в круге ситуация упрощается. Интеграл K перестает зависеть от у. Кроме того, нетрудно показать, что для круга выполняется тождество V+ = V+2, где к — номер итерации. Следовательно, все точки отдельной траектории попеременно ложатся на две параллельные прямые ua = const, ф = const, причем значения u и ф связаны соотношением

(2H - aul) cos2 ф = R2K.

На рис. 4 приведен пример соответствующего трехмерного отображения, иллюстрирующий указанные свойства бильярда.

4. Аксиоматический подход

Полученная модель неголономного бильярда (2.5) не может корректно описать ряд эффектов, наблюдаемых в реальных бильярдах, поэтому построим общую неголономную модель удара, основываясь на законах сохранения и эффектах, наблюдаемых в реальных бильярдах.

Рассмотрим неголономный закон удара как некоторое произвольное преобразование скоростей, сохраняющее интегралы

Н = ^(г'2+у2 + аи2), К = V?

"W

Наиболее общий закон удара, сохраняющий данные интегралы, имеет вид

'-1 0

F+ = | 0 A | У, (4.2)

где V = (vn, vT, л/аи), а А — матрица, включающая в себя произвольный поворот и всевозможные отражения. Угол поворота в рассмотренной неголономной постановке определяется из предельного перехода (см. п. 2) и равен s/аж. Таким образом, наиболее общий вид матрицы A —

А = ( sis3cos sfaii s2s3sin v/тЛ у—S1S4 sin д/сет S2S4 eos \/air) ' где si,... ,84 принимают значения ±1.

Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких значениях s¿ неголономная модель удара будет наиболее близко описывать поведение реальных бильярдов. Для этого рассмотрим ряд примеров отражения шара от стенки.

1. Удар эффе (рис. 5)

Начальные и конечные значения скоростей при данном ударе удовлетворяют условиям

уТ =0, и > 0, у+ > 0, и+ > 0

Для того чтобы модель (4.3) правильно описывала данный удар в случае однородного шара I = |те2 (а = необходимо потребовать выполнения равенств 82 • 84 = —1 и

О 7

82 ' ¿3 = 1.

2. Удар без закручивания (рис. 6)

Начальные и конечные значения скоростей удовлетворяют условиям

и =0, ут > 0, и+ > 0, у1 > 0.

Для описания данного удара с помощью рассматриваемой модели необходимо потребовать выполнения равенств 8184 = -1, 8183 = -1.

„+

•V

Рис. 5

Рис. 6

Нетрудно показать, что все четыре условия выполнить одновременно невозможно. Таким образом, построенная модель может описывать лишь часть наблюдаемых эффектов бильярдной игры. Приведем здесь закон неголономного удара, правильно описывающий удар эффе и дающий правильное направление вращения шара после удара без закручива-

1 0 0

V + =

сое V ап В1п V ап

вт л/а:к — соэ л/сет,

VТ.

(4.4)

Отметим, что закон (4.4) применим только для распределений масс, при которых сов(\/сйг) <0, т.е. а > У 4 (сюда, в частности, входит и однородный шар). Для распределений с а < У4 соответствующий закон будет иметь вид

1

0

0

У+ = ( 0 — сое л/атт вт \J~qtk ] V 0 эш Л/а7г соэ л/а:к,

(4.5)

Законы (4.4), (4.5) и (2.5) совпадают, с точностью до отражений, относительно некоторых осей; следовательно, результаты о неинтегрируемости, полученные в п. 3, остаются справедливы и для (4.4), (4.5).

п

В заключение отметим, что интересно было бы исследовать периодические решения неголономного бильярда в эллипсе и их устойчивость, а также изучить вопросы об интегрируемости неголономных бильярдов в многоугольниках [15,20]. В качестве смежных задач, напрямую не связанных с описанной выше моделью бильярда, но обобщающих модель математического бильярда, укажем также ряд задач об отскоках твердого тела от гладкой (либо абсолютно шероховатой) плоскости, в которых также возникают точечные отображения и которые было бы интересно исследовать на интегрируемость, наличие периодических решений и их устойчивость.

Авторы выражают признательность за полезные замечания А. П. Иванову и А. П. Мар-кееву, с которыми мы неоднократно имели дискуссии на семинарах в ИКИ в г. Ижевске, а также В.Драговичу за полезные обсуждения. Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (код проекта 2009-1.1-111-048-011). Работа А.А.Килина выполнена в рамках гранта Президента РФ для поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук (код проекта МК-8428.2010.1).

Список литературы

[1] Appell P. Sur le mouvement d'une bille de billard avec frottement de roulement //J. Math. Pures Appl., Ser.6, 1911, vol. 7, pp. 85-96.

[2] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. The rolling motion of a ball on a surface: New integrals and hierarchy of dynamics // Regul. Chaotic Dyn., 2002, vol. 7, no. 2, pp. 201-219.

[3] Coriolis G.-G. Theorie mathematique des effets du jeu billard. Paris: Carilian-Goeury, 1835. 174 p. [Кориолис Г. Математическая теория явлений бильярдной игры. М.: Гостехтеориздат, 1956. 236 с.]

[4] Cross R. Grip-slip behavior of a bouncing ball // Am. J. Phys., 2002, vol. 70, no. 11, pp. 1093-1102.

[5] Chatterjee, A. Rigid Body Collisions: Some General Considerations, New Collision Laws, and Some Experimental Data // Ph.D. Thesis, Jan 1997.

[6] Bayes J.H., Scott W. Billiard-ball collision experiment // Am. Jour. Physics, 1963, 3(31), pp. 197200.

[7] Derby N., Fuller R. Reality and theory in a collision // The Physics Teacher, 1999, vol. 37, no. 1, pp. 24-27.

[8] Glocker Ch. On frictionless impact models in rigid-body systems: Non-smooth mechanics // R. Soc. Lond. Philos. Trans. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 2001, vol. 359, no. 1789, pp. 2385-2404.

[9] Hemming G.W. Billiards mathematically treated. London: Macmillan, 1904. 61 p.

[10] Horak Z. Theorie generale du choc dans les systemes materiels //J. Ecole Polytech., Ser. 2, 1931, vol. 28, pp. 15-64.

[11] Horak Z., Pacakova I. The theory of the spinning impact of imperfectly elastic bodies // Czechoslovak. J. Phys. B, 1961, vol. 11, pp. 46-65.

[12] Resal H. Commentaire a la theorie mathematique du jeu de billard //J. Math. Pures Appl., Ser. 3, 1883, vol. 9, pp. 65-98 [Резаль А. Комментарии к математической теории явлений бильярдной игры // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, №2, с. 415-438].

[13] Suris Yu. B. The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach. (Progr. Math., vol. 219.) Boston: Birkhauser, 2003. 1070 p.

[14] Tabachnikov, S. Geometry and Billiards. (Student Mathematical Library, vol. 30.) Providence, RI: AMS, 2005. 176 p.

[15] Воробец Я. Б., Гальперин Г. А., Степин А. М. Периодические бильярдные траектории в многоугольниках: механизмы рождения // УМН, 1992, т. 47, вып. 3, с. 9-74.

[16] Гольдсмит В. Удар: Теория и физические свойства соударяемых тел. М.: Стройиздат, 1965. 448 с.

[17] Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе. М.-Ижевск: НИЦ РХД, ИКИ, 2010. 310 с.

[18] Иванов А. П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.

[19] Иванов А. П. Об уравнениях движения неголономной системы с неудерживающей связью // ПММ, 1985, т. 49, вып. 5, с. 717-723.

[20] Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды: Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: МГУ, 1991. 168 с.

[21] Маркеев А.П. Динамика твердого тела при наличии его соударений с твердой поверхностью // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №1, с. 1-38.

[22] Нагаев Р. Ф., Холодилин Н. А. О теории соударений бильярдных шаров // Изв. РАН Мех. тв. тела, 1992, vol. 27, no. 6, pp. 48-55.

[23] Хубер А. Играем в бильярд. М.: Белый город, 2009. 128 с. [Huber A. Richtig Billard. München: BLV, 2007. 128 S.]

[24] Wallace R.E. Schroeder M.C. Analysis of billiard ball collisions in two dimensions // Am. J. Phys., 1988, vol. 56, no. 9, pp. 815-819.