CC BY
14
иркутский государственный университет путей сообщения
Данеев А.В.,Русанов В.А.,УдиловТ.В., Шарпинский Д.Ю.
УДК 517.926
К МЕТОДАМ ОПЕРАТИВНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ФРОНТА ЛЕСНОГО ПОЖАРА*
Защита лесов от пожаров - это важная эколого-экономическая задача, в рамках которой большое место отводится решению вопросов текущего краткосрочного прогнозирования [1]1 распространения фронта возникшего локального лесного пожара (ЛЛП; [2,3]). При этом фактор (см. [4]) изменения режима состояния физической среды в зоне действия ЛЛП обуславливает постановку моделирования динамики контура ЛЛП, как слабоструктурированной динамической системы (В-сис-темы), «адаптирующейся» к данным нестационарным режимам на основе структурно-параметрической идентификации нелинейной дифференциальной модели состояния фронта ЛЛП.
Для того чтобы придать предыдущей мотивирующей посылке надлежащую строгость, необходимо дать формальное определение В-системы.
Определение 1 [5]. В-система - это упорядоченная тройка {Г,Ш,О| -:2, в которойТ -
множество моментов времени, Ш - множество алфавита сигналов, О - поведение В-сис-темы (семейство процессов шГ ^ Ш, совместимых с динамикой 2).
Пусть í0 < ^,Т: = [£0, ^ ] - отрезок числовой
прямой Я и пусть
Пла1: = ПАС1 х Ь2(Т,К*):-АС(Т,К") х
хЬ2(Т,Кт) х Ь2(Т,К9),
где АС, Ь2 - стандартные функциональные
пространства, соответственно, абсолютно непрерывных вектор-функций и классов эквивалентности интегрируемых по Бохнеру [6] на
Т вектор-функций с Ь2 - нормой. Далее, выделим к рассмотрению непрерывные В-системы с алфавитом сигналов Яп+т и траекториями из ПАС1, а так же векторно-матричные квазилинейные дифференциальные уравнения вида
ёх (г) / си - А(г )х (г)+В(г )и(г)+В* (г )и* (х (г)), (í еТ)
(1)
где х(-)е АС(Т,Яп) - решение Каратеодори (К-решение) [6, с. 214], м(-)еЬ2(т,Кт) и
и # (х ())е Ь2 (т, К9) - управления,
тственно, программное и позиционное, (АО ВО В* ())е Ь2 (Г, Ь(ЯП, Яп ))х
(г , ь(ят, Яп )) х Ь 2 (г , ь(я? , Яп )),
соотве-
- есть если
хЬ.
а Ь(як,Яп )(к - п,т,д)- пространство с операторной нормой всех матриц, действующих из Як в Яп. Примем соглашение, что допускается выражение: «пара (х(•),и(-))е ПАа
К-решение системы (1)», (х(•), и(-), и# (х()))е ПАС11 почти всюду удовлетворяет (1) для тройки операторов
(А(-),В(),В* (-))е Ь2 (Г,Ь(Яп,Яп ))х
хЬ2 (Г,Ь(ят, Яп )) х Ь2 (Г, Ь(Я?,Яп )), которую будем называть (А,В, В* ) - архитектурой или, равносильно, (А,В,В* ) - моделью дифференциальной системы (1).
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-01-00623) и Программы фундаментальных исследований № 22 Президиума РАН (проект № 2.5).
1 Цель краткосрочного прогнозирования: построение оперативных прогнозных карт, характеризующих пожарную обстановку на территории каждого структурного подразделения авиационной и наземной лесоохраны. В настоящее время большой объём информации для решения этой задачи поступает от космических центров дистанционного зондирования; на территории СНГ развёрнуты и функционируют более 15 таких центров [1].
Тезис Л. Льюнга о том, что «множество моделей-кандидатов устанавливается посредством фиксации той группы моделей, в пределах которой мы собираемся искать наиболее подходящую» [7, с. 20], может быть постулирован как определение 2.
Определение 2 [5]. Непустой фиксированный класс позиционных законов управления и. '.-\и„ :и — со1( и ..., и Н ,А - ну-
А,д ^ а а \ а 1' ' аЧ } $ ае А' У
мерация законов, такой, что
и*
и* еи
А,?^и (х())е Ь2 (Т,Я*),
х(-)е АС(Т, Яп )
назовём структурным классификатором и скажем, что поведение Р с Е с П АС1 О -системы |Т,Яп+т,согласовано с иА,д структурой
обыкновенной квазилинейно дифференциальной совместимости (ОКД - иА -совместимости), если существует дифференциальная система (1) с и# е и А такая, что Р удовлетворяет классу её К-решений.
Особенностью математической постановки апостериорного моделирования уравнений дифференциальной динамики фронта ЛЛП в рамках определения 2 является непреложный физический факт - поведение Р, характеризующее ЛЛП как О-систему, представлено одной парой «траектория - х, управление - и». Последнее обстоятельство обуславливает постановку задачи по уточнению результатов [2,3] в условиях когда математическая трактовка Р приводит к нелинейной О-сис-теме. Здесь необходимо отметить, что в [5] остался не решённым один из главных методологических вопросов: на основании каких эмпирических «соображений» можно формировать состав позиционных законов (проводить гипотезирование - выдвижение структурных гипотез и*) в структурном классификаторе (согласно определения 2), когда в качестве вектора состояния х(£) модели динамики ЛЛП выступает вектор геометрических характеристик его контура, поддающихся апостериорным наблюдениям на интервале времени Т за процессом распространения ЛЛП (предполагаемый результат текущего космомонито-ринга [1]); данный вектор имеет следующие фазовые координаты [4]:
х 1 (ь) - текущее приращение на интервале
Т площади ЛЛП;
х2 (£)- текущее приращение на интервале Т длины периметра ЛЛП;
х{ (£) - текущие приращения на интервале
Т удалений от заданной точки из зоны действия ЛЛП до кромки фронта пожара в направлениях выделенных пожароопасных объектов г (г -3,...,п).
К переменным вектора возмущений и(£), влияющих на динамику ЛЛП, отнесены следующие пирофорные и метеорологические факторы в зоне пожара:
и1 (Ь) - фактор активности тлеющих продуктов пиролиза в контуре ЛЛП;
и2 (1) - скорость ветра в зоне действия
ЛЛП;
и3 (Ь) - количество атмосферных осадков
(естественных и искусственных, включая «эффект» распыляемых порошков), выпавших в зоне действия ЛЛП;
и} (Ь) - другие факторы воздействия на
процесс динамики ЛЛП ( ] — 4,..., т).
Все перечисленные факторы понуждают рассматривать задачи структурного обоснования математической модели уравнений динамики вектора состояния нестационарного фронта распространения ЛЛП, описываемых в классе квазилинейных дифференциальных систем (1), а так же идентификации её параметров и текущего прогноза распространения контура ЛЛП единым взаимоувязанным комплексом в контексте их программно-алгоритмического представления в интерактивной среде некоторого решателя системных задач (РСЗ).
1. Реализация квазилинейных дифференциальных моделей. Энтропийный подход в гипотезировании структурных законов
Многообразие способов, которыми с помощью РСЗ можно определить структуру уравнений состояния О-системы ставит вопрос выбора среди них тех, которые оптимальны с точки зрения некоторого формального критерия, характеризующего определённое структурное качество её динамики. Трудность состоит в том, что на этот вопрос нет однозначного ответа. Выбор той или иной точки зрения зависит не только от природы переменных состояния О-системы, но и от целей исследования, от того, каким образом заданы ограничения, являются данные полными или нет, и от других факторов, в частности, связанных с контекстом исследования. И вряд ли может вызвать сомнение то методологическое положение, что для апостериорного моделирова-
иркутским государственный университет путей сообщения
ния структуры О-системы в среде некоторого РСЗ характерно проведение «креативного» поиска (поиска приемлемой модельной структуры, поиска представительной модели в рамках принятой структуры и т.д.). По существу данный процесс моделирования О-системы, является интерактивным, когда прежде, чем сформировать приемлемую модель, несколько вариантов приходится, перебрав, отбросить. И этот процесс не может быть полностью автоматизирован, поскольку решения, принимаемые проектировщиком, всегда будут переплетены как с формальными выкладками и строгими численными расчётами, так и эвристическими предположениями, связанными с контекстом моделирования. Таким образом, в целях достижения достаточной эффективности процесса структурно-параметрической идентификации (СПИ) объекта исследования, необходимо этот процесс осуществлять в диалоге - рис. 1.
Недавние достижения в кибернетике, информатике и, в частности, так называемом искусственном интеллекте вызвали появление новых средств математического моделирования наблюдаемых физических процессов, для которых можно выделить следующие типовые составляющие РСЗ у перспективных объектно-ориентированных интеллектуальных систем для нужд задач СПИ:
а) обработка измерений (фильтрация, ин-
Рис 1. Схема апостериорного моделирования П-системы.
терполяция, экстраполяция);
б) непараметрическая идентификация операторного представления модели (расчёт корреляций, спектров, быстрого преобразования Фурье);
в) структурно-параметрическая идентификация дифференциальной модели;
г) отображение свойств модели (имитационное моделирование динамики);
д) процедуры подтверждения модели (анализ прогностических качеств).
В диалоговом процессе решения задач СПИ, может совершаться много интерактивных переходов между программными средствами пунктов а)-д) и практически необходимо, чтобы вопросы замены и проверки различных дифференциальных модельных структур О-систем, решались по возможности математически оптимально и вычислительно просто. Поэтому особый интерес представляют технологии автоматизации (на основе экспертных систем) субъективных компонент, связанных с принятием логических решений в СПИ.
Будучи всегда неточен, результат математического моделирования структуры и параметров дифференциальных уравнений состояния О-системы может содержать даже в явной аналитической форме «следы недомоде-лированной динамики». Например, в них могут оставаться неизвестные члены, именуемые постоянно действующими возмущениями, в отношении которых для исследования могут делаться априорные предположения малости (в среднем, интегрально или в каждый момент времени). Аналогично, понятия адаптивности [8], робастности [9] и другие также используются при учете немоделируемой динамики путём получения недостающей информации о реальной модели О-системы на этапе обучения или в режиме реального времени. С другой стороны, экспертные системы, нейронные сети, или методы автоматического гипотезирования и обучения, а также другие технологические средства искусственного интеллекта позволяют более успешно справляться с неполнотой информации [10].
Однако прежде чем создавать алгоритмы для получения «субоптимальных» приближённых апостериорных моделей динамики контура ЛЛП, представляется разумным построить реализацию точных моделей, поскольку для решения задачи приближённого моделирования необходимо знание тонкого строения О- системы. Для непрерывных О-систем последнее было получено в [5] в аналитической форме принципа максимума энтропии (теорема 2 [5]). Коррективом этого принципа (в постановке: |(х,и)| - наблюдае-
мый процесс, х е АС(т,К") - траектория В-системы, и е Ь2 (т,Кт)- программное управление, иАд - структурный классификатор,
энтропийный оператор Релея-Ритца (3.1) [5]) выступает теорема 1.
Теорема 1. ОКД - и а 9 -совместимость динамического процесса (х(-),и(-)) равносильна
положению:
Зи# (х) е и А,9:^(х,и,и# (х)) л е Ь2 (Т,К),(2)
где
Х¥(х,ы,ы* ( х ))(г): -
С / / (х (I )),и(г ),и* ( х(1))|| яп +т + , , если(х(г)),и(г),и*(х(г)) ф 0; 0,если(х(г)),и(г),и* (х(г)) -0 е яп+т+д
(3)
(доказательство очевидно в силу теоремы 2 [5] и соотношений (3.2) [5]).
Ясно, что, если компоненты вектор-функций х(-), и() и закона и* (х(•)) представлены
достаточно простой комбинацией некоторых элементарных функций от г, то алгоритм проверки условия ¥(х, и, и# (х))е Ь2 (Т,К) можно
реализовать с помощью специально организованной (согласно формулы (3)) процедуры символьных вычислений [11]. При этом в случае положительного решения (для ответа на вопрос: имеет ли место условие (2)[5], возникает задача построения «оптимального» (эта «оптимальность», как понятие естественно требует формального уточнения [12]) функционально-параметрического представления (А, В,В* )-модели, реализующей в классе систем (1) динамический процесс (х(•),и(-)), поскольку данная модель всегда (!) не является единственной. Если предположить, что такая оптимальная (А,В, В* )-модель существует, то
для её «конкретизации» (вычисления) остаётся воспользоваться хорошо разработанной алгоритмической технологией спектрально-параметрической идентификации [13].
Итак, допустим, что ЛЛП как наблюдаемый динамический процесс (х(-),и(-)) с зако-
ном
свойством
и* (х ) е иА, д обладает
ОКД - иА -совместимости (теорема 1).
Теорема 2. Для процесса (х(г),и(г),и* (х(г))), ге Т реализующая его
(А, В, В* )-модель
(А(г>В(г>В*(г)) = (К(г)]{ь1}(г)]{ь*(г)]) и
удовлетворяющая условию оптимальности её нормы вида:
(
шт
2 2
1 <г <п 1 <] <п
Г а,2 (г)ёг +2,. 2, . х
Jт Ч V / 1 <г <п 1 < j <п
,х!тЬ,2 (г)ёг +2 1< <п2 1<Ч<п №2 (г)ёг
существует, при этом она единственна и имеет реализацию:
[ А(г), В(г), В* (г )]=юЙ (г )[ш(г)] *,
где ш(г): - со1(х (г), и(г), и* (х (г))),
Шс (г): = (<о(г ),га(г )> +т+д )-1
г
со1(ёх 1 (г)/ёг,...,ёхп (г)/ссг) <■> +т+д ■ - скалярное произведение в Яп+т+д, * -операция транспонирования (доказательство - модификация теоремы 10 [14]).
Теперь обратим свой интерес к точному моделированию стационарных моделей (1) (т.е.
(А,В, В* ) е Ь2 (Г, Ь(яп, Яп ))х
хЬ.
(т,Ь(ят,Яп ))х Ь2 (т,Ь(яд,яп))
в силу их совершенно очевидной значимос-ти2). С этой целью введём в рассмотрение следующие вспомогательные конструкции: f (г):- г ^ со1(^ ш(х)ёх), Т:- [г0, г] с Т, где ш(г)
- вектор-функция из теоремы 2 и пусть Д, Д(1 < г < п) - определители Грама [15, с. 213],
где Д - определитель для системы функций 1 < Ч < п + т + д}, где со1(^ )к;<п+т + , - f и Д, -для системы [х, -х1 (г0), fj 1 < ] < п+т+д}, где со1(х, ) - х.
\ 1 <г <п+т + д Г # / О
Теорема 3. ОКД -{и (х)} -совместимость процесса (х(),и()), реализуемого единственной стационарной (А, В, В* )-моделью, равносильна следующему условию:
2 Бесспорная важность в задачах математического моделирования роли стационарных моделей
определяется их инвариантностью к текущему времени, что, несомненно, ставит этот класс моделей в
особое положение в решении задач прогнозирования исследуемых динамических процессов.
иркутский государственный университет путей сообщения
Д{ =0,/ =1,...,п, Д ф 0 (доказательство - компиляция теорем 2 [2] и 1 [5]).
Конечно, от теорем 1-3 не следует ждать слишком многого в том случае, если структурный классификатор иА слабо приспособлен (годен) к предметной области моделируемых физических явлений (в нашем случае к динамике геометрии ЛЛП). Поэтому ниже будет намечена одна из достаточно общих методологий, которая может лежать в основе формальных процедур эмпирического моделирования структурных гипотез для состава классификатора иА , предназначенного для моделирования стационарных динамических объектов (1).
Первый шаг в этом направлении состоит в том, что стационарную дифференциальную систему (1) приведём к следующему эквивалентному виду:
сх(£)/а£=М0+МО+Х1 „.X (*(0> ; ■ (4)
где Ь* - вектор-столбцы матрицы В# еь(яд,Я") и и*(х) - компоненты позиционного закона (структурной гипотезы) и* (х),
£еТ. Далее, введём в рассмотрение закон программного управления и *(£): = со1(и(£),1) и
матрицыВк е ь(ят+1,Я"), 1 < к < д +1, определяемые соотношениями:
В1: = [В,0], где 0 - нулевой вектор столбец в Я"; Вк: = [0,Ь#-1 ] 2 < к < д +1, где 0 - нулевая матрица в ь(ят,Я").
В такой трактовке система (4) преобразуется к линейной системе вида:
йх(£)/й£ = Ах(£) + В *(£)и *(£),
^'(х,и *)(£): =
|\йх(£)/ё£\\кп /|(х(£)),и*(£)| : = ](х(£)),и(£)ф0е Я"+т;
0,(х(£)),и(£)= 0 е Я"+т+1, ¥ *(х,и *)(£): =
| \йх1 (£) / й£||/| (х(£)), и * (£ )|| : = ](х(£)),и(£)ф0е Я"+т; 0,(х(£)),и(£)= 0 е Я"+т,
я"+
Тогда для ОКД -|и# (х)|
совместимости
апостериорного динамического процесса (х(-),и * (•)) в классе стационарных дифференциальных систем (4) необходимо, выполнение следующих функциональных неравенств:
¥ *((х,и *))<£С1,0 + £ ((х,и *))<£си +Х
2 <к<д +1 Ск,0 |ик-1 \
2 <к <д +1
, ^ 1 \иь
(5)
~ ____- Ск " \ик
где В *(£) = $1 +^2<к<д+1 и*-1 (х(£))Вк .
Таким образом, по существу можно получить модифицированную функционально-алгебраическую структуру (2) [2].
В такой математической постановке, а так же, воспользовавшись аналитическим результатом теоремы 1 и теоремы 3 [16], получаем следующее необходимое условие для синтеза (гипотезирования) структурной гипотезы и*(х).
Теорема 4. Пусть ¥ * и ¥ * - операторы Релея-Ритца вида:
¥" * ((х ,и *))< I С1," 1 ^2 <к <д +1 ск,"|ик-1|
для некоторых чиселск{ > 0,1 < к < д +1,0 < / < здесь <ь - квазиупорядочение в пространстве вещественных измеримых функций на Т, такое, что ф 1 <ь ф2, когда ф 1 (£)<ф2(£) почти всюду в Т.
В итоге теорема 4 позволяет сформулировать следующей эвристический*) подход при выдвижении структурных гипотез в процессе апостериорного моделирования динамических объектов (4): поиск законов и* (х) может
осуществляться на основе соотношений (5), из которых в некоторых (возможно одном) отношение квазиупорядочения <ь заменено на отношение равенства =.
Очевидно, что предложенный эвристический подход хорошо «коррелирует» с парадигмой приближённого моделирования. При этом надо отметить, что, поскольку в устройстве операторов ¥ * и ¥ * векторные нормы |Н|Я„ и||-|| + т+1 допускают произвольную аналитическую форму, то на практике процесс принятия решений для функциональных неравенств (5) может (и должен) проводиться при различном представлении этих норм [17, с. 180].
В качестве иллюстрации данной методики гипотезирования структурных законов в моделировании уравнений динамики класса (4) рассмотрим конструкцию примера 2 [5] (попутно раскроем «секрет технологии» в принятие решений при выборе в данном примере
структурного классификатора(и 11 -{х}).
Пример. Пусть Г = [0,1], п - т-1, х(г)- г2,
и(г)- 0. В такой постановке операторы Ре-лея-Ритца ¥ *, * (теорема 4) совпадают. Да-
+1, п - т -1, возьмём
яп+
ёх1 (•)/ёг е Брап[х{ (),иЧ (•):/ -1,...,п;Ч -1,...,т}, V, -1,...,п,
то в разложении ёх() / ёг -ф(-)+Л(^) (если ги-линейности для (х(•),и(-)) нарушена)
потеза
, у 3) е Я3. Тогда (в
соотношение Ск > 0,
лее, в качестве нормы шах(|у, |1 < г < 3), со1(у 1,у
силу (5))
^ * (( х,и *))- с1,0 +Е2 <к <д+1 ск,0|и*-1 |
1 < к < д +1 при д -1 равносильно 2г-а+р|и* (х(г))|, а,р> 0. Ясно, что с а -0, р- 2
будет иметь место х1//2 (г)- г - и* (х), откуда получаем гипотезу на структурный закон и* (х) = х1//2. (Обоснование ОКД -{х^совместимости процесса (х,и) см. в примере 2
[5]).
2. Гипотезирование структурных законов на основе процесса ортогонализации Грама-Шмидта с применением метода дифференциальной аппроксимации
Если кратко выстроить «хронологическую канву» в цепи последовательности «алгоритмических шагов» принимаемых РСЗ решений (см. рис. 1) предлагаемого ниже процесса гипотезирования структурных гипотез в классе стационарных (А,В, В*) - моделей (1) (и, в
частности, при разработке дифференциальных краткопрогностических моделей развития контура локального лесного пожара), то, по существу, эту условную последовательность методологически можно разделить на два процедурно независимых этапа:
- выявление вектор-функции Л(-) в разложении ёх() /ёг-ф(-) + л(-), «отвечающей» за нарушение гипотезы линейности системы (1) (Этап I);
- синтез позиционного закона и* (х(•)) на
основе апостериорной информации о траектории х(-) и построенной на Этапе I вектор-функции л(-) (Этап II).
Этап I. Поскольку характеризацией структуры линейности системы (1) для пары (х (•),и(-)) является положение, когда
вполне естественно считать, что компоненты к (•), г -1,...,п и ф, (•), г -1,...,п, соответственно вектор-функций л() и ф(-), удовлетворяют следующему геометрическому условию ёх1 (•)/ёг € Брап[х{ (•),иЧ (•):/ -1,...,п;Ч -1,...,т} =
= к (•)1Брап[х{ (•), и, (•):, -1.....п; ] -1.....т},
Ф, (•)15рап[х, (•) ич (•): г-1..., п; ] -1..., т};
здесь ± - отношение ортогональности в пространстве Ь2(Г,Я) [18, с. 121].
Такая математическая постановка приводит к очевидному заключению, что для нахождения вектор-функции Л(-) можно обратиться к хорошо известному процессу ортогонализации Грама-Шмидта [18, с. 130], который можно осуществить в два алгоритмических шага.
Первый шаг: у 1 - ^
г 1 - у 1 < у^ у 1 >-1/2 у^
у 2 - х2 - х2 , г1 г 1
г2 - у2 < у2 , у2 >-^2 у2 ,
уп - хп - 1.....п - и( хп ,2})21 2п - уп < уп ,уп >-
уп +1 - и -Е Ч -1.....п - ^ и1; Чгч
гп + 1 - уп + 1 < уп + Р уп + 1 >-1/2 уп + ^
уп + 2 - и -ЕЧ-1.....п- ^и. -
гп + 2 - уп + 2 < уп + 2 , уп + 2 >-^2 уп + 2 ,
Уп + т ит Еч -1.....п - ^
Шт , гч гЧ -1/2
'Уп + т < Уп + т , уп + т > Уп
где символ означает «интегральную» операцию скалярного произведения в гильбертовом пространстве Ь2 (Г, Я), при этом предполагается, что, если имеет место у1 - 0, то соответственно принимаем - 0.
По индукции легко установить, что каждая функция (•), г -1,...,п + т является линейной комбинацией функций из Брап[х{ (•),иЧ.(•):г'-1,...,п;ч-1,...,т} и, обратно,
каждый вектор
Span[xi (•),иЧ (•):г' -1,...,п;Ч -1,...,т}
ная комбинация векторов (•), г -1,...,п + т. Поэтому линейные подпространства, натянутые на системы функциональных векторов
[х (•),ич(-):г =1,..., n;ч'=1,..., т} и
[гг (•),/-1,...,п;Ч -1,...,т}, очевидно, совпадают. Второй шаг:
из
есть линей-
иркутский государственный университет путей сообщения
Ф 1 = Е j .1.....n+m{dx 17 dt, zj)zj'
Ф n =Z j .....
j
что приводит к h1 = dx 1 / dt.1.
(dxn / dt, z\
i\ n JI
(dx, /dt,z Sz.
:+m \ 1 J I J
(6)
Ф( r ):.
: = |dx (t) / dt - Ax (t)-Bu(t)-B*u* (x(t ))|| , !!'!! Rn " евклидова норма в Rn.
Необходимое условие минимума, а именно - дтайгФ(г) = 0 е Як (дтайг - градиент по г), будет иметь вид матричного равенства
hn = dx/dt -Y, , (dxn / dt, z \z i
n n / Z—lj =1.....n+m \ n 1/1
Этап II. Поскольку изменения переменных вектора состояния x(t) носят кусочно-монотонный характер (в частности, переменные состояния контура ЛЛП, очевидно, монотонны на всём интервале времени Т), то для синтеза позиционного закона u* (x(t)) естественно
использовать методы монотонной аппроксимации [19, с. 212]; и, таким образом, далее остаётся только вычислить параметры матричной (Л, B,B* )-модели в дифференциальной динамики исследуемого объекта в классе стационарных систем типа (1).
Пусть r е Rk ,k = n2 + nm+nq — вектор оцениваемых параметров стационарной дифференциальной модели (1) (т.е. элементов матриц Л е L(Rn,Rn j, B е L(Rn, Rn ),
B* е L(Rq,Rn j). Для идентификации вектора r
по a posteriori предъявленной функциональной паре «траектория, управление» -((x(>(•))) е AC(T,Rn )хL2(T,Rm )
рассмотрим, так называемый, метод дифференциальной аппроксимации, векторно-мат-ричное описание которого имеется, например, в [20] (в [20, с. 392] замечено, что этот метод можно рассматривать как прямое обобщение корреляционных алгоритмов). Суть данного метода параметрической идентификации системы дифференциальных уравнений состояния моделируемого динамического объекта составляет следующая математическая задача:
min r Ф( r ),
2jTgrad,
-\Tgradr
[dx(t) / dt] *
*[Ax(t) + Bu(t) + B#u# (x(t))]
dt.
[(Ax(t) + Bu(t) + B#u# (x(t )))]* *[Ax(t) + Bu(t) + B#u# (x(t))]
dt.
Опуская рутинные промежуточные вычисления относительно параметрического вектора г, обеспечивающего выполнение minг Ф(г), приходим (в силу последнего равенства) к следующему матричному соотношению
[ A, B, B# ].
col(dx(t) / dt)[col(x(t), u(t ),u# (t ))]* dt> 7 tC0l(x(t),u(t),u#(t))x ■ ' x[col(x (t), u(t ),u# (t))] * dt
(7)
dt
этот метод идентификации параметров дифференциальной системы по существу известен [20, с. 392] как «методпроизводных».
Заключение
Приближённое моделирование заключается в следовании принципу, что искомая оптимальная модель является просто самой точной моделью в пределах заданного допустимого уровня сложности), или наименее сложной моделью, которая аппроксимирует наблюдаемые данные с точностью до заданного допустимого несогласования. Как отмечено в п. 1, в этой парадигме математического моделирования Д-системы сначала должна рассматриваться проблема точного представления модели уравнений ее динамики, поскольку для продвижения в вопросе ее приближённого апостериорного построения совершенно необходимо обладать хорошим пониманием теории точного моделирования и подходящим математическим словарём, делающим эту теорию полезной. Поэтому, первой задачей было уточнение (материал п. 1) развитого в [5] «точного языка (А,В, В* )-моделей»
R
3 Идея формализации рассмотрений сложности модели в теории идентификации систем исследовалась в [21]. Соображение, что алгоритмы идентификации имеют (обязательно) интерпретацию на языке оптимальной аппроксимации, является основным и с точки зрения, выдвинутой Л. Льюнгом [7].
для его привлечения к вопросам аппроксимации уравнений динамики исследуемой D-системы в варианте, когда наблюдается одна пара вектор-функций (x,u) (характерный случай в апостериорном моделировании динамики ЛЛП). Итогом этого уточнения стало выдвижение специального эвристического подхода, основанного на интерактивном поиске необходимых условий энтропийного синтеза (5) для гипотез структуры уравнений динамики D-системы. Другой предложенный подход (материал п. 2) это по существу аналитическая модификация метода дифференциальной аппроксимации (алгоритм (7)) с применением процедуры ортогонализации Грама-Шмидта (алгоритм (6)) для синтеза нелинейных позиционных законов в процессе гипотезирова-ния сложной структуры дифференциальных уравнений для вектора состояния слабоструктурированной апостериорно заданной D-сис-темы.
Все теоретические результаты, полученные в пп. 1, 2, носят конструктивный характер и доведены до численных алгоритмов и сопровождающих их программ; структурное описание этой программно-алгоритмической среды (обеспечивающей схему принятия решений согласно рис. 1) с анализом имитационного моделирования ЛЛП - предмет рассмотрений второй части работы.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Абушенко Н.А., Алтынцев Д.А., Антонов В.Н., и др. Спутниковый мониторинг лесных пожаров в России. Итоги. Проблемы. Перспективы. - Новосибирск: ГПНТБ СО РАН, 2003. - 135 с.
2. Файзрахманов Г.П., Данеев А.В., Русанов В.А. Построение динамической модели лесного пожара на основе апостериорной информации // Вестник Иркутского государственного технического университета.
2005. - № 1. - С. 72-76.
3. Русанов В.А., Данеев А.В., Шарпинский Д.Ю., Файзрахманов Г.П. Апостериорное моделирование динамики распространения лесного пожара на основе данных кос-момониторинга // Труды SICPR0'06 (ISBN 5-201-14984-7). V Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. Москва.
2006. - С. 1486-1494.
4. Удилов Т.В., Шарпинский Д.Ю. Обсуждение апостериорной дифференциальной модели распространения лесного пожара // Вестник Восточно-Сибирского института МВД России. 2007. - № 4 - С. 66-73
5. Данеев А.В., Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. Принцип максимума энтропии в структурной идентификации динамических систем: аналитический подход // Известия вузов. Математика. 2005. - № 11. - C. 16-24.
6. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. - М.: Наука, 1977. - 624 с.
7. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. - М.: Наука, 1991. - 432 с.
8. Андерсон Б., Битмид Р., Джонсон К. и др. Устойчивость адаптивных систем. - М.: Мир, 1989. - 264 с.
9. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 304 с.
10. Васильев С.Н., Жерлов А.К., Федосов Е.А., Федунов Б.Е. Интеллектное управление динамическими системами. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 352 с.
11. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB и SCILAB. -СПб: Наука, 2001. - 286 с.
12. Данеев А.В., Русанов В.А. К проблеме построения сильных дифференциальных моделей управления с минимальной операторной нормой. I // Кибернетика и системный анализ. 2004. - № 1. - С. 144-153.
13. Данеев А.В., Русанов В.А. О спектрально-векторной идентификации линейной непрерывной нестационарной конечномерной системы управления // Известия вузов. Приборостроение. 2001. - Т. 44. - № 8. - С. 25-32.
14. Русанов В.А., Лакеев А.В., Данеев А.В., Ку-менко А.Е. Функциональный анализ сильных дифференциальных моделей и их представление рядами Фурье // Труды SICPR0'05. IV Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. Москва. 2005. - С. 429-446.
15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 552 с.
иркутский государственный университет путей сообщения
16. Данеев А.В., Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. Нестационарная реализация Калма-на-Месаровича в конструкциях оператора Релея-Ритца // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 1. - С. 82-90.
17. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1982. - 270 с.
18. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967. - 624 с.
19. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. - Киев: Наукова думка, 1986. - 584 с.
20. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975. - 688 с.
21. Caines P.E. On the scientific method and the foundations of system identification. - In: Modelling, Identification and Robust Control (Byrnes C.I., Lindquist A., eds.) - North Holland, Amsterdam. 1986. - P. 563-580.
Измайлов В.В., Наумов А.Е.
УДК311.216:004.42
ПРИМЕНЕНИЕ АДАПТИВНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА ЭЛЕКТРОКОНТАКТНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
В современной технике особую важность приобрели вопросы надежности различного рода ответственных устройств. Перерыв в работе ответственного устройства может привести не только к ухудшению качества производимой продукции или к полному прекращению производственного процесса, но и к весьма серьезным авариям, выходящим за локальные рамки предприятия. В данной статье рассматривается применение адаптивных моделей для решения задачи прогнозирования остаточного ресурса электроконтактных соединений, применяемых на энергетических и промышленных предприятиях. Особенностью данной группы устройств является высокая надежность, ответственность функций и значительная цена последствий отказа.
Традиционные методы контроля состояния электроконтактных соединений основываются на концепции разрушения как критического события; в действительности разрушение является процессом, непрерывно развивающимся во времени, а его протекание зависит от множества факторов, которые можно учесть на основе диагностических моделей. Наиболее эффективным как с технической,
так и с экономической точек зрения является периодический мониторинг определяющего параметра электроконтактного соединения с последующим прогнозом изменения этого параметра с целью предсказания момента наступления предельного состояния.
В математической статистике имеется мощный аппарат прогнозирования на основе анализа временных рядов [1, 2]. Статистические модели описывают явления, в которых присутствуют случайные факторы, не позволяющие объяснить явление в чисто детерминистских терминах.
В качестве определяющего диагностического параметра, на основании которого делается вывод о работоспособности или отказе электроконтактного соединения, выбрана температура, точнее превышение температуры наиболее нагретой точки контактного соединения над температурой окружающей среды ДТ.
Исходные данные для прогнозирования были получены с использованием современных методик термографического обследования объектов электроэнергетики Тверской области. Результатом этих мероприятий явля-
