CC BY
8
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1
К 110-ЛЕТИЮ ЮФУ TO THE 110th ANNIVERSARY OF SFEDU
Научная статья УДК 004.942
doi: 10.18522/1026-2237-2024-1-4-16
К ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЮЖНОМ ФЕДЕРАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
Яков Михайлович Ерусалимский1 Ирина Александровна Шкурай2
12 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия,
1 ymerusalimskiy@sfedu. ru я
2 shkuray@sfedu. ru
Аннотация. Статья посвящена истории математического моделирования в Ростовском государственном университете (РГУ), ныне - Южном федеральном университете (ЮФУ). Авторы описывают её с 1950 г. Как и во всём мире, её начало связано с задачами механики. В РГУ её основоположниками принято считать И.И. Воровича и Н.Н. Моисеева, будущих академиков РАН. Расцвет работ по математическому моделированию связан с открытием в РГУ вычислительного центра (1958 г.), а затем Научно-исследовательского института механики и прикладной математики (1971 г.), где была создана имитационная модель Азовского моря, за которую её разработчики были удостоены Государственной премии СССР.
Расссмотрена история не только математического моделирования как научного направления, но и его становления как учебного предмета на механико-математическом факультете (ныне - Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича ЮФУ).
Ключевые слова: математическое моделирование, механика, имитационное моделирование, вычислительный эксперимент
Для цитирования: Ерусалимский Я.М., Шкурай И.А. К истории математического моделирования в Южном федеральном университете // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 1. С. 4-16.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Original article
ON THE HISTORY OF MATHEMATICAL MODELING IN THE SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY
Iakov M. ErusalimskiyIrina A. Shkuray2
12Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
1ymerusalimskiy@sfedu. ruB
2shkuray@sfedu.ru
© Ерусалимский Я.М., Шкурай И.А., 2024
Abstract. The article is devoted to the history of mathematical modeling at Rostov State University (RSU), now Southern Federal University (SFU). The authors have been describing it since 1950. As elsewhere in the world, its beginnings are associated with problems of mechanics. At the Rostov State University, its founders are considered to be I.I. Vorovich and N.N. Moiseev, future academicians of the Russian Academy of Sciences. The flourishing of work on mathematical modeling is associated with the opening of a computer center at the Rostov State University (1958), and then a research institute of mechanics and applied mathematics (1971), where a simulation model of the Sea of Azov was created, for which its developers were awarded the USSR State Prize.
The article examines not only the history of mathematical modeling as a scientific direction, but also the history of its formation as an academic subject at the Faculty of Mechanics and Mathematics (now the I.I. Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the SFU).
Keywords: mathematical modeling, mechanics, simulation modeling, computational experiment
For citation: Erusalimskiy I.M., Shkuray I.A. On the History of Mathematical Modeling in the Southern Federal University. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(1):4-16. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Математическое моделирование как отдельная математическая дисциплина сформировалось сравнительно недавно. Однако его истоки уходят достаточно глубоко в историю науки. Первыми учеными в области математического моделирования были, вероятно, И. Ньютон и Л. Эйлер. Законы механики И. Ньютона - это математические модели движения тел, в том числе в поле тяготения. Л. Эйлер в 1749 г. опубликовал двухтомник Scientia navalis, seu tractatus de constructione ac dirigendis navibus - полное и систематическое изложение теории равновесия и устойчивости судов. В этой работе он рассмотрел вопросы качки на зыби, формы судов и кораблестроения, движения судов силой ветра и их управления. Всего по гидромеханике и гидродинамике Л. Эйлер написал 20 мемуаров (так назывались раньше научные труды). Эти труды великого ученого, безусловно, можно отнести к математическому моделированию.
Всю механику, несомненно, можно считать наукой о математическом моделировании задач о движении (твердых тел, жидкостей, газов) и поведении тел и конструкций под действием нагрузок, как статических, так и динамических. Современная механика в основном перешла от натурных экспериментов к вычислительным, т.е. к экспериментам не с реальным объектом или его физической моделью, а к проводимым с помощью математической модели.
Новый этап в развитии математического моделирования, начало которого приходится на середину XX в., связан с появлением мощного вычислительного средства - компьютера (ЭВМ) и с двумя проектами - атомным (разработка ядерного и термоядерного оружия) и ракетно-космическим. Ни тот, ни другой не могли быть реализованы не только без достижений физики и техники, но и без разработки и использования средств и методов математического моделирования.
Эти проекты разрабатывались и осуществлялись параллельно и независимо в двух странах, которые теперь называют ядерными сверхдержавами: в СССР и США. К счастью, этот проект в СССР был успешно и практически параллельно с США выполнен. Тем самым был обеспечен паритет в области современных вооружений, который стал залогом безопасности всего человечества.
Имена выдающихся физиков, работавших над атомным проектом, хорошо известны - это академики И.В. Курчатов, Б. Я. Зельдович, А.Д. Сахаров, Ю.Б. Харитон. А вот имена математиков известны далеко не всем. Это академики А.Н. Тихонов, С.Л. Соболев, А.А. Самарский, М.В. Келдыш, Л.В. Канторович. А.Н. Тихонов и А.А. Самарский построили первую математическую модель атомного взрыва и динамики термоядерного взрыва. До натурных испытаний были эксперименты на математических моделях. Проведенные затем испытательные взрывы показали высокую точность результатов, предсказанных вычислительными экспериментами.
В числе выдающихся достижений в области ядерной энергетики - работы В.П. Маслова, В.П. Мясникова, В.Г. Данилова по математическому моделированию аварии на Чернобыльской АЭС [1]. Большой вклад в создание модели внёс академик В.С. Авдуевский.
Наша статья посвящена истории математического моделирования в Ростовском государственном университете (до 2007 г.), а ныне - Южном федеральном университете (с 2007 г.).
Научные исследования по математическому моделированию в ЮФУ (РГУ)
Авторы полагают, что точкой отсчета следует считать 1950 г., когда в Ростовский госуниверситет приехали молодые талантливые ученые Иосиф Израилевич Ворович и Никита Николаевич Моисеев, ставшие впоследствии академиками, выдающимися механиками и специалистами в области математического моделирования.
Первыми работами по математическому моделированию, выполненными под их руководством в РГУ, стали дипломная работа В.И. Юдовича (1957 г., рук. И.И. Ворович) [2] и кандидатская диссертация С.В. Жака «О движении гироскопа с полостью, заполненной жидкостью» (1959 г., рук. Н.Н. Моисеев).
Появились и реальные заказчики математических моделей. Этому способствовал новый вид научных работ, называемых хозяйственными договорами и финансируемых не государством, а конкретными заказчиками. Для Новокраматорского машиностроительного завода был выполнен первый в РГУ хоздоговор по математическому моделированию технологического процесса горячей посадки бандажей на зубчатые колеса прокатных станов и шахтных подъемников [3]. Все расчеты на моделях выполнялись на арифмометрах «Феликс».
Развитие работ по математическому моделированию в РГУ сдерживалось отсутствием в университете ЭВМ и вычислительного центра. В 1958 г. открылась вычислительная лаборатория при кафедре дифференциальных и интегральных уравнений, преобразованная затем в ВЦ РГУ (с 1996 г. - ЮГИНФО). Переломным стал 1960 г., когда в университете появилась ЭВМ «Урал-1» (100 операций/с). На этой ЭВМ были реализованы и первые компьютерные программы, которые следует отнести к искусственному интеллекту.
Молодой талантливый математик Рудольф Хафизович Зарипов был в числе первых в мире разработчиков компьютерных программ создания музыки. На нашем «Урале-1» написан первый цикл компьютерных музыкальных произведений. Он назван Р.Х. Зариповым «Уральские напевы» и был исполнен симфоническим оркестром Ростовской филармонии (можно прослушать по ссылке https://www.youtube.com/watch?v=jiOre2MROGg). Обращение Р.Х. Зарипова к музыке было естественным - кроме математического образования, он имел и музыкальное. Результатом его исследований стала монография [4].
Появление ЭВМ замкнуло цикл в технологии математического моделирования модель - программа - вычислительный эксперимент (термин А.Н. Тихонова).
Работы по математическому моделированию и методам расчета емкости конденсаторов сложной формы, выполненные И.Б. Симоненко, В.И. Юдовичем, В.П. Захарютой и программистами-математиками Е.С. Чубуковой (Невской), А.А. Чекулаевой, Л.С. Шацких, - одни из первых работ полного цикла [5, 6].
Следующие глубокие результаты в области математического моделирования - работы И.Б. Симоненко и С.М. Зеньковской по математическому моделированию конвекции, в том числе и в невесомости. Вот что о них написано в статье А.В. Перминова и Т.П. Любимовой [7]: «Известно, что высокочастотные колебания полости с жидкостью в неоднородном поле температуры вызывают вибрационно-конвективное течение, в котором все физические поля разделяются на пульсационную и осредненную компоненты. Когда период колебаний системы остается много меньше всех гидродинамических времен, а амплитуда смещения в некотором смысле мала, становится возможным применение метода осреднения, позволяющего получить замкнутую систему уравнений для осредненных и пульсационных полей. Вывод уравнений термовибрационной конвекции на основании этого метода был впервые предложен И.Б. Симоненко и С.М. Зеньковской». Из полученных ими результатов [8] следовала возможность возникновения вибрационной конвекции в невесомости. В дальнейшем эти результаты неоднократно подтверждались в натурных экспериментах, поставленных в космосе американскими и отечественными исследователями [9].
Научным достижением в области математического моделирования в РГУ нужно назвать цикл работ, проведенных В.И. Юдовичем, М.Ю. Жуковым, Н.В. Петровской, Л.И. Сазоновым, О.А. Цывенковой и др. по математическому моделированию процессов электрофореза, в том числе и в невесомости [10-15]. Полученные фундаментальные результаты составили основу монографий [11, 12] и докторской диссертации М.Ю. Жукова «Математическое моделирование массопереноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах» (2006 г.).
Все перечисленнные выше результаты находились в области классического математического моделирования, идущей от работ И. Ньютона и Л. Эйлера, когда математическая модель представляла собой дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные уравнения, описывающие поведение моделируемого процесса или объекта. Далее для нахождения решений уравнений модели применялись приближенные (численные) методы. Именно на этом этапе использовалась вычислительная техника. В случае такого подхода моделью иногда считают саму компьютерную программу, с помощью которой осуществляются вычисления.
Как правило, математическая модель, полученная в виде системы уравнений, оказывается сложным математическим объектом, к которому непосредственно численные методы плохо применимы. Необходим этап перехода к более простой математической модели, которая, возможно, не является точной, но обладает способностью быть как угодно близкой к точной модели.
Получаемая приближенная математическая модель оказывается более удобной для применения численных методов. Такой подход к математическому моделированию оказался эффективным. Особенно, как показали работы В.И. Юдовича (метод линеаризации) и И.Б. Симоненко (метод осреднения), в задачах математической гидродинамики.
Новый этап истории математического моделирования в РГУ (ЮФУ) связан с открытием в 1971 г. Научно-исследовательского института механики и прикладной математики (НИИ МиПМ). Основатель института И.И. Ворович одним из важнейших направлений деятельности НИИ МиПМ считал математическое моделирование, полагая его самым возможным способом доведения результатов фундаментальных исследований до практических приложений.
Ректор РГУ Юрий Андреевич Жданов - главный инициатор создания в университете системы научно-исследовательских институтов - и Иосиф Израилевич Ворович полагали, что научно-исследовательский институт - подразделение, в котором решаются более масштабные научные задачи, чем на кафедрах университета. Именно им принадлежит идея разработки в НИИ МиПМ математической модели такого сложного природно-хозяйственного объекта, как Азовское море.
Азовское море как природный объект уникально, поскольку представляет собой сообщающийся с Черным морем сосуд, имеющий показатели солености воды намного ниже, чем Черное море. Это отличие обеспечивается постоянным поступлением в Азовское море больших объемов пресной воды из питающих его рек - Дона и Кубани. Водообмен между сообщающимися сосудами шел всегда (в течение тысячелетий) через Керченский пролив в одном направлении - из Азовского моря в Черное. Это и обеспечивало практически пресноводность Азовского моря.
Эта пресноводность и создавала уникальное отличие Азовского моря от других морей с точки зрения его биологии. Оно было средой обитания не морской фауны, а речной. Это делало его уникальным рыбопромысловым районом нашей страны. В Азовском море и питающих его реках обитали и вылавливались в промышленных объемах ценные породы рыб (осетр, белуга, стерлядь, рыбец, тарань, шемая и др.).
Однако к середине 60-х гг. XX в. стало ясно, что существовавшее тысячелетиями равновесное состояние водообмена между Азовским и Черным морями не является устойчивым. Строительство Цимлянской ГЭС, мелиорация сельского хозяйства, увеличение выращивания риса в Краснодарском крае привели к резкому падению поступления пресной воды из Дона и Кубани в Азовское море. К тому же и качество речных вод резко ухудшилось, в первую очередь из-за химизации сельскохозяйственного производства. Речные воды стали содержать недопустимо большие количества гербицидов и минеральных удобрений. Ситуация осложнялась и увеличившимся количеством промышленных стоков (Северодонецкий химкомбинат), поступавших в эти реки, в том числе через Северский Донец. Соленость Азовского моря начала нарастать, а рыбопродуктивность - резко падать.
Важность для страны Азовского моря как объекта хозяйственной деятельности требовала принятия чрезвычайных мер по его спасению. Остро обсуждались два проекта - строительство дамбы в Керченском проливе для отсечения соленого Черного моря от пресного Азовского и переброска пресных вод сибирских рек в европейскую часть страны для восстановления полно-водности Волги и Кубани (эти проекты решили бы задачу спасения Каспийского и Азовского морей). Оба проекта требовали колоссальных финансовых вложений, неподъемных для экономики СССР. К тому же их эффективность не была обоснована и оставалась под сомнением. Высказывались серьезные опасения, что реализация первого проекта могла привести к обмелению и высыханию Азовского моря. Что касается переброски сибирских вод в европейскую часть
СССР, то это могло привести к глобальным и непоправимым климатическим изменениям на территории всей страны.
Построение математической модели Азовского моря давало бы возможность с помощью вычислительного эксперимента получить ответы на вопросы эффективности предлагаемых проектов, а также проанализировать эффективность других возможных вариантов.
Ясно, что модель должна была быть комплексной, т.е. описывать не только параметры солености воды Азовского моря, его гидрологии, но и его биологическую продуктивность, и не абстрактную (например, в миллионах тонн), а именно в разрезе видового состава рыб.
Что касается химии вод и гидрологии, то было понятно, что возможно построение классической математической модели. А вот всё, что касалось моделирования его биологии, классическому математическому моделированию не поддавалось. Стало понятно, что нужно строить математическую модель другого класса - имитационную, а опыта разработки таких моделей у математиков РГУ не было. Смелый и неожиданный выход предложил Ю.А. Жданов - привлечь к работам над моделью соответствующего специалиста со стороны.
Таким специалистом оказался Александр Борисович Горстко - доктор физико-математических наук, работавший в СО АН СССР (Новосибирский академгородок), ученик лауреата Нобелевской и Государственных премий Л.В. Канторовича. Александр Борисович переехал в Ростов и возглавил в НИИ МиПМ отдел имитационного моделирования эколого-экономических систем.
Отдел создавался с нуля. К работе привлекалась молодежь - выпускники мехматов РГУ и МГУ. Среди них нужно в первую очередь назвать Ф.А. Суркова и Ю.А. Домбровского. Они пришли в НИИ МиПМ в отдел А.Б. Горстко после окончания мехмата МГУ и сразу стали играть роль первых скрипок в команде «имитационных модельеров». Назовем тех участников проекта, работавших в отделе, фамилии которых фигурируют в научных публикациях: Л.В. Абецедар-ская, В.В. Селютин, Н.С. Задорожная, Г.С. Маркман, В.Г. Ильичев, В.Л. Шустова, Ю.В. Тютюнов, С.В. Бердников, Н.И. Обущенко.
Вот что пишет об отделе Ф.А. Сурков: «Работа началась в 1972 г. небольшим коллективом математиков, который постепенно стал достаточно многочисленным (до 50 чел.), и триумфально завершилась присуждением Государственной премии по науке и технике СССР 1983 г. за работу "Имитационная модель экосистемы Азовского моря, как средство системного анализа, прогнозирования и управления природно-техническим комплексом". Лауреатами Государственной премии СССР в РГУ стали Ю.А. Жданов, И.И. Ворович, А.Б. Горстко, Ф.А. Сурков, Ю.А. Дом-бровский.
Имевшаяся к началу работ в РГУ вычислительная техника была недостаточной (в НИИ МиПМ -ЭВМ Одра, а в ВЦ РГУ - ЭВМ Минск-32). Для обеспечения работ над моделью была приобретена самая современная и мощная ЭВМ - БЭСМ-6. О сложности создаваемой модели свидетельствуют её характеристики. Акватория моря была разбита на 7 участков. Каждый район моря характеризовался 120 переменными, таким образом, фазовый портрет всего моря представлял собой вектор размерностью 840. Внутри блоков использовался подход мультимодельности, когда из нескольких вариантов моделирования выбирался самый адекватный по соответствию данным натурных наблюдений. Так, например, блок "Динамика вод", предназначенный для расчета водообмена между районами Азовского моря и Азовского моря с Черным через Керченский пролив (в зависимости от балансовых составляющих - осадков, испарения, стока рек, а также ветровой ситуации), был выполнен в трех вариантах: 1) подробная модель с использованием классических уравнений гидродинамики и приближенных численных методов их решения на ЭВМ; 2) менее детальная модель, основанная на балансовых соотношениях и учитывающая специфику вызываемых ветром изменений уровня районов Азовского моря; 3) агрегированная модель, использующая соображения гидравлического характера» [16].
Все работы проводились вручную, в отсутствие современного программного обеспечения, предназначенного для создания имитационных моделей.
Если исходить из современных представлений, то сама модель - цифровой двойник Азовского моря, а настройка модели по колоссальному набору имевшихся данных представляла собой то, что теперь называют «технологиями big data».
Вычислительные эксперименты, проведенные на модели, показали, что проект строительства дамбы через Керченский пролив не только не спасет Азовское море от засоления, но и приведет к его обмелению. Огромные площади мелководья превратятся в пересыхащие соленые лужи.
В этом случае грозящая катастрофа создаст на европейской территории страны безжизненное пространство, имеющее на порядок большую площадь, чем та, которая сформировалась на месте пересохшего Аральского моря. Этот вывод, сделанный с помощью вычислительного эксперимента, окончательно закрыл вопрос строительства дамбы в Керченском проливе.
Побочным эффектом разработки модели Азовского моря стали научные публикации [17-20], кандидатские диссертации Ф.А. Суркова и Ю.А. Домбровского, докторская диссертация Ю.А. Домбровского «Пространственно-неоднородные модели водных экосистем. Построение, исследование, приложения» (1985), докторская диссертация Г.С. Маркмана «Пространственно-временная динамика экологических систем. Математические модели» (1989), кандидатские диссертации В.В. Селютина, Н.С. Задорожной, Ю.В. Тютюнова, М.И. Чердынцевой, Г.О. Чарояна и др., а также докторские диссертации Г.А. Угольницкого «Моделирование иерархически управляемых экологических систем» (1996), С.В. Бердникова «Разработка и применение компартмен-тальных моделей для изучения пространственных характеристик морских экологических систем» (2004), Ю.В. Тютюнова «Построение, исследование и приложения математических моделей пространственно-временной динамики популяционных систем» (2009).
Таким образом, в процессе разработки имитационной модели Азовского моря в РГУ (ЮФУ) сформировалась мощная научная школа имитационного моделирования, возглавляемая академиком И.И. Воровичем, профессором А.Б. Горстко и их учениками Ф.А. Сурковым и Ю.А. Дом-бровским.
Следует отметить, что работа по имитационному моделированию Азовского моря остается уникальной и в каком-то смысле непревзойденной и сегодня. Дело в том, что для подобных по масштабу работ невозможно найти конкретного заказчика, кроме государства. То, что оказалось возможным сделать в СССР, когда существовали академические НИИ и НИИ при вузах, имевшие стабильное бюджетное финансирование, оказалось пока невозможным в новых экономических условиях.
НИИ в СССР имели возможность тратить выделяемые им средства на исследования, тематику которых они определяли самостоятельно, обосновав их необходимость. Эти научные работы могли иметь общегосударственное значение, иногда они вытекали из логики развития самой науки. НИИ имели отдельное финансирование на приобретение научного оборудования, в том числе и такого уникального и дорогостоящего, как БЭСМ-6.
Не будь выполнены эти работы по имитационному моделированию Азовского моря в 80-е гг. XX в. , возможно, они бы не были выполнены никогда.
Отметим ещё один интересный факт. Вернемся к началу нашей статьи, где мы написали о том, что историю математического моделирования в РГУ мы ведем от приезда в 1950 г. в Ростов Н.Н. Моисеева и И.И. Воровича. Никита Николаевич проработал в РГУ не так уж долго -до 1955 г. Научная судьба И.И. Воровича и Н.Н. Моисеева опять свела их в достаточно новой области имитационного моделирования. Никита Николаевич в это же время, когда И.И. Воро-вич занимался работой по моделированию Азовского моря, руководил в ВЦ АН СССР работами по имитационному моделированию последствий ядерной войны («ядерная зима»).
Вероятно, работы по имитационному моделированию Азовского моря послужили стимулом для большого цикла работ, выполненных Львом Абрамовичем Крукиером и его учениками, по классическому моделированию гидрофизических процессов и процессов распространения загрязнений в водоемах. Об этом свидетельствует уже первая работа в этом направлении [21].
Отметим в первую очередь докторскую диссертацию Л.А. Крукиера, защищенную им в признанном центре математического моделирования - Институте математического моделирования РАН, в диссертационном совете под председательством академика А.А. Самарского, «Математическое моделирование гидрофизических процессов в мелких водоемах» (1994) и научные исследования двух его учеников - Г.В. Муратовой и А.Л. Чикина, защитивших докторские диссертации в этом же совете: «Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах» (2006) и «Разработка и реализация двухслойной математической модели гидрофизических процессов в водоемах с обширными районами мелководья на высокопроизводительных вычислительных системах» (2009). Еще одна ученица - Л.Г. Чикина -защитила докторскую диссертацию в ЮФУ «Развитие специальных итерационных методов для моделирования процесса изменения донной поверхности водоемов» (2010).
Особо следует выделить роль Л.А. Крукиера в области аттестации научных кадров. Он сформировал вместе И.А. Николаевым и много лет (после отъезда И.А. Николаева) руководил диссертационным советом по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».
Продолжали успешно развиваться и другие исследования в области классического математического моделирования. Они были связаны с разработкой математических моделей для новых классов материалов, в том числе композитных, а также пьезоматериалов и конструкций из них (электроупругость). Последнее обеспечило поддержку методами математического моделирования исследований физиков, химиков и инженеров РГУ (НИИ физики и НКТБ «Пьезоприбор»). Выделим в первую очередь работы Ю.А. Устинова, И.П. Гетмана, А.В. Белоконя, А.О. Ватуль-яна, Н.В. Боева, А.В. Наседкина, М.А. Сумбатяна и их учеников.
Фундаментальными работами в этом направлении являются монографии Ю.А. Устинова и И.П. Гетмана [22], докторские диссертации А.В. Белоконя «Колебания и волны в полуограниченных и ограниченных телах» (1987), И.П. Гетмана «Математическая теория нерегулярных твердых волноводов» (1991), А.О. Ватульяна «Метод граничных интегральных уравнений в динамических задачах анизотропной теории упругости и электроупругости» (1991), М.А. Сумба-тяна «Исследование высокочастотных волновых процессов в упругих средах с приложением к задачам ультразвукового неразрушающего контроля» (1995), А.В. Наседкина «Волновые поля в анизотропных упругих средах с усложненными свойствами и методы конечно-элементного динамического анализа» (2001), Н.В. Боева «Асимптотические методы в прямых и обратных задачах высокочастотной динамики упругих сред» (2005).
Интересен процесс, происходивший в НИИ МиПМ, - натурные эксперименты всё больше дополнялись, а порой и заменялись экспериментами на математических моделях. С первых дней существования института и по сегодняшний день успешно развивались и использовались аку-стико-эмиссионные методы неразрушающего контроля материалов (С.И. Буйло, А.С. Трипалин и др.). Самыми известными применениями технологий и приборов, созданных в НИИ МиПМ, стали работы по обследованию состояния российской реликвии - Царя-колокола, а также по контролю за состоянием теплозащиты космического корабля «Буран».
Однако повышение точности и достоверности получаемых результатов только совершенствованием технических характеристик приборов (излучателей сигналов и датчиков) имеет естественные непреодолимые ограничения, а расширение масштабов обследуемых объектов увеличивает стоимость эксперимента пропорционально объему объекта. Эксперименты на математической модели такими недостатками не страдают.
Параллельно с развитием экспериментальных методов неразрушающего контроля развивались методы математического моделирования акустических процессов (в частности, ультразвуковых) в упругих телах и акустических средах. В первую очередь отметим работы М.А. Сумбатяна с итальянскими коллегами и Н.В. Боева [23-25]. В последующем М.А. Сумбатяном и Н.В. Боевым была построена математическая модель переотражения акустических волн от плоских препятствий, на основе которой создан программный комплекс, позволяющий определять акустические параметры проектируемых концертных залов, храмов и т.п.
Отдельного внимания заслуживают работы академика РАН В.А. Бабешко и его учеников по математическому моделированию сейсмических процессов и виброакустике Земли, которые начались в 70-е гг. XX в. в НИИ МиПМ, где В.А. Бабешко работал заместителем директора. Затем они продолжились в Кубанском государственном университете, где В.А. Бабешко был ректором (1982-2008), а ныне заведует кафедрой математического моделирования.
В основе этих работ лежат научные результаты о колебаниях плоского штампа, лежащего на слое с переменными по толщине характеристиками, и о вибрации трещины при нагрузке, полученные молодым ученым В.А. Бабешко [26, 27]. Вот что написано на официальном сайте РАН: «Создатель нового математического метода моделирования, основанного на разработанной им теории блочного элемента, позволившего выявить новые явления, свойства, закономерности: новый тип землетрясений, «стартовых», которые можно прогнозировать, новый тип трещин в теории прочности, новые методы решения граничных задач для дифференциальных и интегральных уравнений, не поддававшихся решению аналитическими или численными методами» (https://new.ras.ru/staff/akademiki/babeshko-vladimir-andreevich/).
Владимир Андреевич Бабешко относится к редкому типу ученых, которые свои теоретические результаты доводят до реализации. В Кубанском университете он создал экспериментальный полигон виброакустики Земли, оборудованный мощными вибрационными установками [26].
Достижения В.А. Бабешко в области математического моделирования и механики отмечены премией Ленинского комсомола в области науки 1973 г., Государственной премией РФ в области науки и техники 2001 г. Он соавтор научного открытия «Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями».
Несколько особняком стоят работы Ю.А. Устинова по биомеханике. Отправляясь от своих результатов по канатам, тросам и задачам механики жидкости в цилиндрах, имеющих вертикальную анизотропию, Ю.А. Устинов перешел к задачам моделирования движения крови [28-30]. Так на кафедре теории упругости появилось научное направление - биомеханика.
Из работ последних лет отметим цикл работ по моделированию поведения оригинальных технических устройств - гофрированных мембран, обладающих высокой чувствительностью в заданном диапазоне частот (Ю.А. Устинов, И.П. Гетман, М.И. Карякин и др.) [31, 32].
Как известно, мощнейшим вычислительным инструментом при математическом моделировании задач механики в настоящее время является метод конечных элементов. Его широкому использованию способствует наличие соответствующего програмного пакета ANSYS, который успешно применяется во всем мире [33]. Учебная версия этого программного пакета используется на мехмате с 1998 г.
В этом же году на кафедре математического моделирования под руководством А.В. Белоконя и А.В. Наседкина началась работа по созданию собственного программного продукта - конечно-элементного пакета ACELAN, который во многом стал следующим шагом в разработке конечно-элементных пакетов, поскольку позволял решать более широкий круг задач, в том числе по электроупругости. В настоящее время имеется уже третья версия пакета ACELAN, работающая на многопроцессорных компьютерах [34, 35].
Отдельного описания заслуживают работы по математическому моделированию, осуществленные в НИИ МиПМ, ВЦ РГУ и на мехмате РГУ по оборонной тематике. Однако специфика этих работ и требования, предъявляемые к их выполнению, не позволяют пока этого сделать.
Математическое моделирование как учебный курс в ЮФУ
Математическое моделирование как учебная дисциплина - один из самый молодых учебных курсов. Ясно, что элементы этой дисциплины на мехмате присутствовали всегда, в первую очередь в курсах дифференциальных уравнений, математической физики и в фундаментальных курсах механики (сопромат, МСС и др.).
Успешное развитие научных исследований по математическому моделированию (в том числе в РГУ (ЮФУ)) и окончательное формирование его в виде отдельной области математики неизбежно привели к мысли о необходимости разработки и реализации курса «Математическое моделирование» в виде самостоятельной учебной дисциплины, в первую очередь на отделении прикладной математики и информатики.
Инициаторами постановки такого курса выступили В.И. Юдович (зав. кафедрой вычислительной математики и математической физики), А.В. Белоконь (декан мехмата, а с 1988 г. - ректор РГУ) и Я.М. Ерусалимский (зам. декана мехмата по НИР, с 1988 г. - декан мехмата РГУ). Первые шаги в этом направлении давались нелегко - им препятствовали действовавшие учебные планы, утверждаемые Министерством высшего образования РФ, отступать от которых было запрещено, а курса математического моделирования они не содержали.
Вначале был глубокий пересмотр курса уравнений математической физики, предпринятый В.И. Юдовичем. В этом чисто математическом курсе (другое название курса «Уравнения в частных производных») впервые по существу было уделено внимание вопросам математического моделирования. Параллельно с изменением содержания курса В.И. Юдович написал и опубликовал два тома учебника «Лекции об уравнениях математической физики» [36].
Переход высшего образования от жестких учебных планов к образовательным стандартам предоставил вузам большую свободу действий. Уже в государственных стандартах первого по-
коления появился раздел «Дисциплины, устанавливаемые вузом». Воспользовавшись этим правом, мехмат РГУ решением совета факультета ввел для специальности «прикладная математика и информатика» учебный курс «Математические модели естественных наук» (ММЕН) как развитие курса «Уравнения математической физики».
Первым лектором курса ММЕН в 1991 г. стал профессор В.И. Юдович. Он прочел его студентам-прикладникам 4-го курса. Содержание ММЕН активно обсуждалось Виктором Иосифовичем с И.И. Воровичем, работавшим в то время над своим классическим трудом [37], и А.В. Бе-локонем, ставшим параллельным лектором по курсу ММЕН и редактором книги В.И. Юдовича по ММЕН.
Работа В.И. Юдовича над курсом ММЕН подвигла его на написание двух учебных пособий по ММЕН [38, 39], изданных уже после его смерти. Курс охватывает основы теории динамических систем и лагранжевой механики, применение этих концепций к конечномерным и бесконечномерным задачам, включая задачи механики сплошной среды и статистической механики.
Появление нового курса ММЕН естественным образом потребовало открытия на факультете и соответствующей кафедры. В 1998 г. по инициативе декана мехмата Я.М. Ерусалимского была открыта кафедра математического моделирования - первая в стране кафедра такого профиля в классическом университете.
Кафедру возглавил Александр Владимирович Белоконь, руководивший ею до своей смерти в 2013 г. Основу коллектива кафедры составили и составляют ученики А.В. Белоконя -А.В. Наседкин (заведует кафедрой с 2013 г.) и А.С. Скалиух, ученик В.И. Юдовича -К.А. Надолин, ученица Ю.А. Устинова - Н.В. Курбатова. Много лет работает на кафедре по совместительству и ученик А.В. Белоконя А.Н. Соловьев. Основным учебным курсом кафедры стал курс ММЕН, а также магистерский курс «Современные проблемы прикладной математики и информатики».
О работе кафедры по созданию конечно-элементного пакета ACELAN мы уже писали выше. Кафедра была головной по выполнению большого международного проекта «Научно-образовательный эколого-аналитический центр системных исследований, математического моделирования и геоэкологической безопасности Юга России», в работе которого участвовали не только сотрудники кафедры, но и академики РАН В.А. Бабешко и В.И. Минкин (РГУ), доктор наук, лауреат Госпремии РФ О.Д. Пряхина (КубГУ). На базе кафедры существовала и межвузовская корпоративная кафедра математического моделирования (от РГУ - А.В. Белоконь, ТРТУ - А.И. Су-хинов, НПИ - А.Н. Ткачев).
Популяризации математического моделирования, особенно имитационного, способствовала книга А.Б. Горстко [40].
Отражением развития в РГУ математического моделирования не только как научного, но и нового направления в системе математического образования, стало включение главы «Математическое моделирование» в учебник для вузов [41]. Он стал победителем конкурса учебников нового поколения Министерства образования России, проведенного в 1988 г., и рекомендован для студентов естественно-научных направлений и специальностей. В 2022 г. вышло его 4-е издание.
Ежегодно проводятся всероссийские конференции, посвященные проблемам математического моделирования: «Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования» (с 1973 г.) и «Биомеханика в современном университете» (с 2005 г.). Действует диссертационный совет ЮФУ по защите докторских и кандидатских диссертаций по специальности «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (председатель А.В. Наседкин).
В этом небольшом очерке истории развития математического моделирования в ЮФУ (РГУ) мы ограничились только тремя его подразделениями - мехматом РГУ (ЮФУ), НИИ МиПМ, ВЦ РГУ (ЮФУ). В прошлые годы они составляли учебно-научный комплекс РГУ по математике и механике. После преобразования в 2007 г. РГУ в ЮФУ (присоединением к нему ТРТУ, РГПУ и Ростовского архитектурного института) они с 2009 г. объединены в крупное структурное подразделение - Институт математики, механики и компьютерных наук ЮФУ им. академика РАН И.И. Воровича. Об истории развития математического моделирования в других подразделениях ЮФУ, в частности в ТРТУ, ещё предстоит написать.
Список источников
1. Маслов В. П., Мясников В.П., Данилов В.Г. Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС. М.: Наука, 1987. 142 с.
2. Ворович И.И., Юдович В.И. Удар круглого диска о жидкость конечной глубины // ПММ. 1957. Т. 21, № 4. С. 525-532.
3. Ворович И.И., Сафронов Ю.В., Устинов Ю.А. Прочность колес сложной конструкции. М.: Машиностроение, 1967. 195 с.
4. Зарипов Р.Х. Кибернетика и музыка. М.: URSS: Либроком, 2014. 232 с.
5. Симоненко И.Б., Захарюта В.П., Юдович В.И. Метод точечных зарядов для расчета емкостей // Изв. вузов. Электромеханика. 1964. № 11. С. 1305-1310.
6. Симоненко И.Б., Захарюта В.П., Юдович В.И. Приближенный метод вычисления емкостей систем проводников, расположенных на диэлектрическом слое // Изв. вузов. Электромеханика. 1965. № 3. С. 247-253.
7. Перминов А.В., Любимова Т.П. Устойчивость термовибрационной конвекции псевдопластической жидкости в плоском вертикальном слое // Вычисл. механика сплошных сред. 2017. Т. 10, № 1. С. 78-89.
8. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции // МЖГ. 1966. № 5. С. 51-55.
9. ИвановА.И. Экспериментальные исследования конвективных процессов в газовых и сверхкритических средах на орбитальном комплексе «Мир»: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2003. 26 с.
10.Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая модель изотахофореза // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267, № 2. С. 334-343.
11. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза: применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: Наукова думка, 1983. 202 с.
12.ЖуковМ.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 2005. 216 с.
13. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Оценка перспективности различных методов электрофореза для космической биотехнологии // Тез. докл. II Всесоюз. сем. по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости. Пермь, 1981. С. 140-141.
14. Жуков М.Ю., Бабский В.Г., Сазонов Л.И., Стоянов А.В. Теоретический анализ процесса изоэлектро-фокусирования белков на установке «Каштан» // Космическая наука и техника. 1989. Т. 4. С. 15-19.
15.Жуков М.Ю., Сазонов Л.И., Цывенкова О.А. Влияние гравитации на форму зон при электрофорезе // Тез. докл. IV Всесоюз. сем. по гидродинамике и тепломассообмену в невесомости. Новосибирск, 1987. С. 107-108.
16. Сурков Ф.А. Академик И.И. Ворович - инициатор и соруководитель работы по созданию имитационной модели экосистемы Азовского моря // Экология. Экономика. Информатика. Системный анализ и моделирование экономических и экологических систем. 2020. Т. 1, № 5. С. 11-14.
17. Ворович И.И., Горстко А.Б., Домбровский Ю.А., Жданов Ю.А., Сурков Ф.А. Использование математической модели экосистемы Азовского моря для исследования закономерностей функционирования и структуры системы // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259, № 2. С. 302-306.
18. Ворович И.И., Горстко А.Б., Домбровский Ю.А., Жданов Ю.А., Сурков Ф.А. Общая характеристика и описание имитационной модели Азовского моря // Докл. АН СССР. 1081. Т. 259, № 5. С. 1052-1056.
19.Жданов Ю.А., Ворович И.И., Горстко А.Б. Имитационная модель экосистемы Азовского моря. Разработка и использование // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1981. № 2. С. 7.
20. Ворович И.И., Домбровский Ю.А., Жданов Ю.А., Обущенко Н.И., Сурков Ф.А. Имитационное моделирование динамики численности рыбных популяций Азовского моря // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, № 4. С. 809-812.
21. Сурков Ф.А., Крукиер Л.А., Муратова Г.В. Численное моделирование динамики Азовского моря при сужении гирла Таганрогского залива // Морской гидрофиз. журн. 1989. № 6. С. 55-62.
22. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1993. 143 с.
23. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. In-Plane Wave Propagation Through Elastic Solids with a Periodic Array of Rectangular Defects // J. of Applied Mechanics ASME. 2002. Vol. 69, № 2. P. 179-188.
24. Ciarletta M., Alexandrov V.M., Sumbatyan M.A. Low-Frequency Penetration of a Plane Elastic Wave Through the Periodic Array of Interface Cracs // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2002. Vol. 82, № 2. S. 137-141.
25. Боев Н.В., СумбатянМ.А. Коротковолновая дифракция на телах, ограниченных произвольной гладкой поверхностью // Докл. РАН. 2003. Т. 392, № 5. С. 614-617.
26. Ананьев И.В., Бабешко В.А. Колебания штампа на слое с переменными по глубине характеристиками // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978. № 1 . С. 64.
27. Бабешко В.А., Ткачев Г.В. Вибрация круглой трещины при трехкомпонентной нагрузке // ПММ. 1980. Т. 44, № 5. С. 857.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1
28. Устинов Ю.А., Богаченко С.Е. Модель движения крови в артериальном сосуде во время систолы и анализ напряженного состояния стенки с учетом винтовой анизотропии // Рос. журн. биомеханики. 2008. Т. 13, № 1. С. 29-42.
29. Батищев В.А., Устинов Ю.А. Спиральные волны в кровеносных сосудах // Экол. вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2012. Т. 9, № 3. С. 18-23.
30. Батищев В.А., Петровская Н.В., Устинов Ю.А. Моделирование спиральных волн в аорте // Рос. журн. биомеханики. 2013. Т. 17, № 1. С. 55-63.
31. Karyakin M., Pustovalova O., Ustinov Y. Mathematical modelling of circular corrugated membranes // Proceedings of the 2018 5th International Conference on Mathematics and Computers in Sciences and Industry. 2018. P. 68-71.
32. Karyakin M.I., Ustinov Y.A. Mathemayical Modelling and Design of Isolation Diaphragms for Pressure Gauges // J. of Physics: Conference Series. Theory and Applications. Dynamic Systems and Computer Science: Theory and Applications, DYSC 2020. 2021. P. 012038.
33. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Моделирование пьезоизлучателей ультразвуковых волн с использованием программного комплекса ANSYS // Изв. ТРТУ. 1998. № 4 (10). С. 147-150.
34. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Расчет некоторых типов задач термоупругости с использованием пакетов ANSYS и ACELAN // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. № 13. С. 52-56.
35. Белоконь А.В. О моделировании пьезоэлектрических устройств в конечно-элементном пакете ACELAN // Вестн. ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4-5. С. 2007-2009.
36. Юдович В.И. Лекции об уравнениях математической физики. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1998. Ч. 1. 240 с.; 1999. Ч. 2. 255 с.
37. Ворович И.И. Лекции по динамике Ньютона. Современный взгляд на механику Ньютона: в 2 ч. М.: Физматлит, 2004. Ч. 1. 680 с.; 2010. Ч. 2. 604 с.
38. Юдович В.И. Математические модели естествознания: курс лекций. М.: Вузовская книга, 2009. 288 с.
39. Юдович В.И. Математические модели естественных наук: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2011. 335 с.
40. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М.: Знание, 1991. 156 с.
41. Горстко А.Б., Владимирский Б.М., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс: учебник. 4-е изд. СПб.: Лань, 2022. 960 с.
References
1. Maslov V.P., Myasnikov V.P., Danilov V.G. Mathematical modeling of the emergency unit of the Chernobyl NPP. Moscow: Nauka Publ.; 1987. 142 p. (In Russ.).
2. Vorovich I.I., Yudovich V.I. Impact of a round disk on a liquid of infinite depth. Prikladnaya matematika i mekhanika = Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1957;21(4):525-532. (In Russ.).
3. Vorovich I.I., Safronov Yu.V., Ustinov Yu.A. Strength of wheels of complex construction. Moscow: Mash-inostroenie Publ.; 1967. 195 p. (In Russ.).
4. Zaripov R.Kh. Cybernetics and music. Moscow: URSS: Librokom Publ.; 2014. 232 p. (In Russ.).
5. Simonenko I.B., Zakharyuta V.P., Yudovich V.I. The method of point series for calculating capacities. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics. 1964;(11):1305-1310. (In Russ.).
6. Simonenko I.B., Zakharyuta V.P., Yudovich V.I. Approximate method for calculating capacitances of conductor systems located on a dielectric layer. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics. 1965;(3):247-253. (In Russ.).
7. Perminov A.V., Lyubimova T.P. Stability of thermovibration convection of a pseudoplastic liquid in a flat vertical layer. Vychisl. mekhanika sploshnykh sred = Computational Continuum Mechanics. 2017;10(1):78-89. (In Russ.).
8. Zenkovskaya S.M., Simonenko I.B. On the influence of high-frequency vibrations on the occurrence of convection. MZhG = Fluid Dynamics. 1966;(5):51-55. (In Russ.).
9. Ivanov A.I. Experimental studies of convective processes in gas and supercritical media on the orbital complex "Mir". Dissertation Thesis. Moscow, 2003. 26 p. (In Russ.).
10. Zhukov M.Yu., Yudovich V.I. Mathematical model of isotachophorez. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the USSR Academy of Sciences. 1982;267(2):334-343. (In Russ.).
11. Babsky V.G., Zhukov M.Yu., Yudovich V.I. Mathematical theory of electrophoresis: Application to methods of biofieldfractionation. Kiev: Naukova dumka Publ.; 1983. 202 p. (In Russ.).
12. Zhukov M.Yu. Mass transfer by electric field. Rostov-on-Don: Rostov State University Press; 2005. 216 p. (In Russ.).
13. Babsky V.G., Zhukov M.Yu., Yudovich V.I. Evaluation of the prospects of various electrophoresis methods for space biotechnology. Abstracts of the II All-Union Seminar on hydrodynamics and heat and mass transfer in zero gravity. Perm, 1981:140-141. (In Russ.).
14. Zhukov M.Yu., Babsky V.G., Sazonov L.I., Stoyanov A.V. Theoretical analysis of the protein isoelectro-focusing process at the plant "Kashtan". Kosmicheskaya nauka i tekhnika = Space Science and Technology. 1989;4:15-19. (In Russ.).
15. Zhukov M.Yu., Sazonov L.I., Tsyvenkova O.A. Influence of gravity on the shape of zones during electrophoresis. Abstracts of the IV All-Union Seminar on hydrodynamics and heat and mass transfer in zero gravity. Novosibirsk, 1987:107-108. (In Russ.).
16. Surkov F.A. Academician I.I. Vorovich - initiator and co-director of the work on the creation of an imitation model of the ecosystem of the Azov Sea. Ecology. Economy. Computer Science. System analysis and modeling of economic and ecological systems. 2020;1(5):11-14. (In Russ.).
17. Vorovich I.I., Gorstko A.B., Dombrovsky Yu.A., Zhdanov Yu.A., Surkov F.A. Using a mathematical model of the ecosystem of the Sea of Azov to study the patterns of functioning and structure of the system. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the USSR Academy of Sciences. 1981;259(2):302-306. (In Russ.).
18. Vorovich I.I., Gorstko A.B., Dombrovsky Yu.A., Zhdanov Yu.A., Surkov F.A. General characteristics and description of the imitation model of the Azov Sea. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the USSR Academy of Sciences. 1981;259(5):1052-1056. (In Russ.).
19. Zhdanov Yu.A., Vorovich I.I., Gorstko A.B. Simulation model of the ecosystem of the Azov Sea. Development and use. Izv. SKNTs VSh. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 1981;(2):7. (In Russ.).
20. Vorovich I.I., Dombrovsky Yu.A., Zhdanov Yu.A., Obushchenko N.I., Surkov F.A. Simulation modeling of the dynamics of the number of fish populations of the Azov Sea. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the USSR Academy of Sciences. 1986;289(4):809-812. (In Russ.).
21. Surkov F.A., Krukier L.A., Muratova G.V. Numerical modeling of the dynamics of the Azov Sea during the narrowing of the Taganrog girle. Morskoi gidrofiz. zhurn. = Marine Hydrophysical Journal. 1989;(6):55-62. (In Russ.).
22. Hetman I.P., Ustinov Yu.A. Mathematical theory of irregular solid waveguides. Rostov-on-Don: Rostov State University Press; 1993. 143 p. (In Russ.).
23. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. In-Plane Wave Propagation Through Elastic Solids with a Periodic Array of Rectangular Defects. Journal of Applied Mechanics ASME. 2002;69(2):179-188.
24. Ciarletta M., Alexandrov V.M., Sumbatyan M.A. Low-Frequency Penetration of a Plane Elastic Wave Through the Periodic Array of Interface Cracs. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2002;82(2):137-141.
25. Boev N.V., Sumbatyan M.A. Short-wave diffraction on bodies bounded by an arbitrary smooth surface.
Doklady RAN = Reports of the Russian Academy of Sciences. 2003;392(5):614-617. (In Russ.).
26. Ananyev I.V., Babeshko V.A. Stamp vibrations on a layer with variable depth characteristics. Izv. AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela = Mechanics of Solids. 1978;(1):64. (In Russ.).
27. Babeshko V.A., Tkachev G.V. Vibration of a circular crack under a three-component load. Prikladnaya matematika i mekhanika = Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1980;44(5):857. (In Russ.).
28. Ustinov Yu.A., Bogachenko S.E. Model of blood flow in an arterial vessel during systole and analysis of the stress state of the wall taking into account helical anisotropy. Ros. zhurn. biomekhaniki = Russian Journal of Biomechanics. 2008;13(1):29-42. (In Russ.).
29. Batishchev V.A., Ustinov Yu.A. Spiral waves in blood vessels. Ekol. vestn. nauch. tsentrov Chernomor-skogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of the scientific centers of the Black Sea Economic Cooperation. 2012;9(3):18-23. (In Russ.).
30. Batishchev V.A., Petrovskaya N.V., Ustinov Yu.A. Modeling of spiral waves in the aorta. Ros. zhurn. biomekhaniki = Russian Journal of Biomechanics. 2013;17(1):55-63. (In Russ.).
31. Karyakin M., Pustovalova O., Ustinov Y. Mathematical modelling of circular corrugated membranes. Proceedings of the 2018 5th International Conference on Mathematics and Computers in Sciences and Industry. 2018:68-71.
32. Karyakin M.I., Ustinov Y.A. Mathematical Modelling and Design of Isolation Diaphragms for Pressure Gauges. Journal of Physics: Conference Series. Theory and Applications. Dynamic Systems and Computer Science: Theory and Applications, DYSC 2020. 2021:012038.
33. Belokon A.V., Nasedkin A.V. Modeling of piezoelectric emitters of ultrasonic waves using the ANSYS software package. Izvestiya TRTU = Izvestiya SFedU. Engineering Sciences. 1998;(4):147-150. (In Russ.).
34. Belokon A.V., Nasedkin A.V. Calculation of some types of thermoelasticity problems using ANSYS and ACELAN packages. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2004;(S13):52-56. (In Russ.).
35. Belokon A.V. On modeling piezoelectric devices in the ACELAN finite element package. Vestn. NNGU im. N.I. Lobachevskogo = Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod. 2011;(4-5):2007-2009. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1
36. Yudovich V.I. Lectures on equations of mathematical physics. Rostov-on-Don: Rostov State University Press; 1998. Ch. 1. 240 p.; 1999. Ch. 2. 255 p. (In Russ.).
37. Vorovich I.I. Lectures on Newton's dynamics. A modern view of Newton's mechanics: in 2 ch. Moscow: Fizmatlit Publ.; 2004. Ch. 1. 680 p.; 2010. Ch. 2. 604 p. (In Russ.).
38. Yudovich V.I. Mathematical models of natural science. Course of lectures. Moscow: Vuzovskaya kniga Publ.; 2009. 288 p. (In Russ.).
39. Yudovich V.I. Mathematical models of natural sciences: a textbook. St. Petersburg: Lan' Publ.; 2011. 335 p. (In Russ.).
40. Gorstko A.B. Get acquainted with mathematical modeling. Moscow: Znanie Publ.; 1991. 156 p. (In Russ.).
41. Gorstko A.B., Vladimirsky B.M., Erusalimskiy I.M. Mathematics. General course: Textbook. 4th ed. St. Petersburg: Lan' Publ.; 2022. 960 p. (In Russ.).
Информация об авторах
Я.М. Ерусалимский - доктор технических наук, профессор, профессор кафедры алгебры и дискретной математики.
И.А. Шкурай - ассистент кафедры теории и методики математического образования. Information about the authors
I.M. Erusalimskiy - Doctor of Science (Technical), Professor, Professor of the Department of Algebra and Discrete Mathematics.
I.A. Shkuray - Assistant at the Department of Theory and Methodology of Mathematical Education.
Статья поступила в редакцию 15.01.2024; одобрена после рецензирования 25.01.2024; принята к публикации 19.02.2024. The article was submitted 15.01.2024; approved after reviewing 25.01.2024; accepted for publication 19.02.2024.
