К анализу вероятностных характеристик простейшей модели с потоковым и эластичным трафиком Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

21 декабря 2011 r. 16:32

"Инфокоммуниканионно-упровленческие сети. Расчет и оптимизация систем связи"

К анализу вероятностных характеристик простейшей модели с потоковым и эластичным трафиком

Рассматривается простейшая модель звена сети с потоковым и эластичным трафиком. Разработанные два приближенных метода применены для анализа вероятностных характеристик модели: вероятностей блокировок потокового трафика и среднего времени передачи эластичного трафика. На численном примере проиллюстрирована погрешность методов, а также даны рекомендации к выбору того или иного метода в зависимости от исходных данных .

Ключевые слова: потоковый трафик, эластичный трафик, вероятность блокировки, среднее время передачи, приближенный метод Гудкова И.А.,

старший преподаватель кафедры систем телекоммуникаций РУДН, igudkova@sci.pfu.edu.ru

Маркова Е.В.,

магистр кафедры систем телекоммуникаций РУДН, mkatyushka@mail.ru

'Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 10-07-00487-а).

Введение

В условиях предоставления мультисервисных услуг -1Р-телевидения, 1Р-телефонии, высокоскоростного доступа в Интернет, интерактивных игр - в широкополосных сетях следующих поколений (3-го и 4-го) возникает задача расчета их показателей качества [1], в том числе вероятностей блокировок и средней задержки передачи данных. Трафик, генерируемый при предоставлении этих услуг, относят к двум типам - потоковому и эластичному. Отсутствие явных аналитических формул для расчета характеристик приводит к необходимости разработки приближенных методов [2]. Известны два основных подхода (см. например, [3,4,5]) к анализу моделей с потоковым и эластичным трафиком, при этом в зарубежной литературе оба подхода совместно не применялись для анализа одной и той же модели. В [2] предложены два метода приближенного анализа эвена мультисервисной сети с потоковым трафиком одноадресных и многоадресных соединений и эластичным трафиком, но не проведен численный анализ, который позволил бы дать оценку области применимости методов. Наиболее простые варианты для исследования -модели с двумя входящими потоками: трафиком мультивещания и эластичным трафиком; трафиком одноадресных соединений и эластичным трафиком. Именно для последней модели в статье разработаны два приближенных метода, а затем проведен численный анализ, позволяющий дать качественные рекомендации к выбору приближенных формул для расчета вероятностных характеристик модели, а именно средней задержки передачи эластичного трафика.

1. Модель звена сети с потоковым и эластичным трафиком

Рассматривается звено сети емкостью (’ условных единиц. Структурные и нагрузочные параметры модели, а также все необходимые обозначения приведены ниже в табл. 1. Отметим, что установление одноадресного соединения приводит к занятию на все его время требуемого ресурса. Блоки эластичных данных разделяют оставшуюся емкость звена с дисциплиной разделения процессора (Processor Sharing, PS). Будем также считать, что предложенная нагрузка всех типов трафика является пуассоновской и экспоненциальной. В случае одноадресных соединений под нагрузкой понимаем среднее число установленных соединений, а для эластичного трафика - объем поступающих на звено данных в единицу времени.

С учетом введенных обозначений, функционирование модели описывается случайным процессом (СП) (.\'(/). (/(/)) со стационарным распределением

pln.ii) Н°Д пространством состояний

X = {(//.//) £0: <//;+ем£С}. 0)

Найдя распределение вероятностей р^п.п), можно

рассчитать основные вероятностные характеристики модели: вероятность Ц блокировки запроса на установление одноадресного соединения, вероятность В€ блокировки запроса на передачу блока эластичных данных и среднее время / передачи блока данных:

(/(О)

(2)

В. = 1 /’(•'-(и)../).

п-0

= 1/К".'■("))•

(3]

55

"Инфокоммуникачионно-управленческие сети. Расчет и оптимизация систем связи"

Т _ П І' II-V_______

»(]-*)

(4)

Таблица 1

Приближенные значения вероятностей из правых частей (6) и (7) могут быть получены в виде

Характеристики модели звена

Потоковый график

а-УЛГ'

іі

"И

Интенсивность поступления запросов на установление соединения Среднее время одноадресного соединения

Предложенная нагрузка, создаваемая запросами на установление соединения Требование одноадресного соединения к ресурсу

Число установленных соединений в момент I

Состояние одноадресного соединения Максимальное число соединений, которые могут быть установлены при условии. *гго по звену передаются и блоков

Эластичный график

Интенсивность поступления запросов на передачу блоков Средняя длина блока данных Предложенная нагрузка, создаваемая запросами на передачу блоков Минимальное требование блока данных к ресурсу

Число передаваемых блоков в момент / Состояние блоков эластичных данных Максимальное число блоков, которые могут передаваться по звену при условии, что на звене уже установлено п соединений

и(,)

Ввиду зависимости интенсивности обслуживания эластичного трафика (С-сЬг)/пв от числа // одноадресных соединений, решение системы уравнений равновесия очевидно не мультипликативно. Поэтому необходимы приближенные методы анализа, которые предложены в следующем разделе статьи.

2. Методы приближенного анализа

Ниже предложены два метода анализа модели звена с потоковым и эластичным трафиком. В первом предполагается существование частичного баланса системы, что приводит к решению вида

,(0.0)^^^-)’ = />,(»./,). (»,.„)€ .V <5>

Мультипликативное решение (5) является распределением вероятностей СП, получающегося из СП {'(/)) путем увеличения интенсивности V поступления запросов на установление одноадресного соединения в /[с -</(» - 1)]/[С -£*/])” Раз

В основе второго метода лежит представление распределения />(/;.//) в виде

/>(и.н)*Р{.\(/)«и | Г(/) = и} Р{«'(/) = «} =

■ рг(п.и). (п.п)еХ

или

/>(//.//) «Р {{(/)-// | Л (/) = »|} Р{.\ (/) = »} =

= />,(/|.н). (п.п)еХ

(6)

17)

Р{Л(,) = „|Г(,) = „} = ^.(|^]'.

п = О.Л'(н). // = 0. Г (О).

®Пр.(0

|/ = Ц1/(0).

(8)

.191

где Р<(„)= £ 1»{Л (/) = ,, | {.'(,) = "} - вероятность

того, что запрос на передачу блока будет принят при условии, что передаются // блоков, а

/"((")= Х[/'-р{Л (/) = " | {■(') = "}] ■ сРеднее число

установленных соединений при условии, что передаются II блоков, и соответственно

р{<(')=', I -У(0Ч=(^УЩс^)1 • (10)

// = 0,{.'(//). // = 0..\(0). р{л(/)»/»}=р{л(/)=о}~Пр.(,). //=|..\'(0). (11)

/I-

где Р,(//)= Х р{^(') = " I Л (')-"} ‘ вероятность

того, что запрос на установление соединения будет принят при условии, что установлено // соединений.

Таким образом, получены три приближения: />,(/».//) - формула (5), р:(п.и) - формулы (6), (8), (9)

и рАп.п) - формулы (7), (10), (1 1) соответственно для распределения р(п.ч) СП £’(/)) Оценка точ-

ности приближений проведена в следующем разделе статьи.

3. Численный анализ точности приближенных методов

Анализ будем проводить для исходных данных из табл. 2. Ограничимся анализом точности метода для расчета средней задержки эластичного трафика. Нас будут интересовать относительные погрешности = |00%-(7;-7’)/Г, где /; - оценка среднего времени, полученная по распределению />,(//.//)# # = 1.3 и

$ = ал» 6 “ минимальная из относительных по-

вм" #-и 4*о *

грешностей расчета Т по приближениям, дающим оценку сверху. Анализ точности важно проводить в сопоставлении получаемых погрешностей с точными значениями вероятностей блокировок, поскольку наибольший интерес представляют результаты, получаемые при В,.В < 10'5 - допустимых в инженерных приложениях величинах вероятностей блокировок.

56