К анализу систем ориентации деформируемых космических аппаратов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.7.017.2

К анализу систем ориентации деформируемых космических аппаратов

© Л.В. Северова, С.П. Северов МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассматриваемая задача ставится следующим образом. Имеется космический аппарат (КА) с выносными упругими элементами типа солнечных батарей. Основные проектные параметры КА и динамические характеристики (формы, частоты и декременты) предполагаются теоретически определенными и экспериментально подтвержденными летными или наземными имитационными испытаниями. Космический аппарат имеет систему датчиков, определяющих его ориентацию относительно направления на заданный небесный объект, а также активный комплекс исполнительных органов — двигателей. Аппарат должен поддерживать заданную ориентацию в определенно малой области отклонений. На стадии предварительного проектирования требуется синтезировать нелинейную систему ориентации деформированного аппарата. Отличительными признаками работы являются направленность на использование ротора-маховика в качестве исполнительного органа и метода фазовой полиплоскости для алгоримизации процессов управления ориентацией. В соответствии с условиями метода фазовой биплоскости в работе представлены, переносное движение аппарата на одном листе и относительное движение солнечных батарей на втором листе фазовой биплоскости. Полученные результаты могут быть использованы для выявления замкнутых предельных циклов автоколебаний, а также для оценки точности ориентации аппарата.

Ключевые слова: космический аппарат, солнечные батареи, система ориентации, фазовая плоскость.

Стабильное поддержание пространственной ориентации космического аппарата (КА) в его движении относительно центра масс было и остается одним из основных функциональных требований. Последнее особенно актуально для КА дальнего космоса, для научно-исследовательских, в частности астрономических, аппаратов, а также для искусственных спутников Земли, функционирующих в составе орбитальных группировок спутниковых систем связи и навигации.

Известны системы ориентации деформируемых космических аппаратов (ДКА) с использованием различных чувствительных элементов — датчиков ориентации и исполнительных органов: реактивных, электромагнитных, гравитационных, роторных и др.

Для определенности будем иметь в виду роторные (маховичные) исполнительные органы, как наиболее точные и экономичные. В линейной постановке системы ориентации с роторными исполнительными органами исследованы с исчерпывающей полнотой. Достаточно полно изучены также системы автоматического управления ориентаци-

ей ДКА с релейными регуляторами трехпозиционного типа, в том числе с использованием датчиков угловых скоростей аппарата [1].

Увеличение точности позиционных оптических датчиков ориентации (солнечных, звездных, топоцентрических и др.), а также расширение функциональных возможностей бортовых вычислительных комплексов привели к развитию нелинейных систем ориентации КА, не использующих в явном виде информацию об угловых скоростях аппарата.

При этом требуемая точность управления угловым положением достигается с помощью релейно-импульсных исполнительных органов с большим числом переключений (до 100 и более) за цикл переориентации аппарата в заданных пределах.

Вместе с тем необходимость управления инерционными характеристиками аппаратов, условия обеспечения демпфирования либраций с помощью гравитационных стабилизаторов, требования увеличения энергоснабжения бортовой аппаратуры при сравнительно малой наружной поверхности аппарата, доступной для размещения фотопреобразователей солнечных батарей, приводят к созданию космических объектов, состоящих из жесткого корпуса и упругих выносных элементов (ВЭ).

Для указанных ДКА весьма актуальна задача обеспечения устойчивости процессов точного управления ориентацией по отношению к возмущениям от колебаний упругих ВЭ.

Полагаем, что расположение исполнительных органов на корпусе и размещение масс КА допускают рассмотрение сферического движения КА относительно центра масс как суммы движений относительно каждой из осей ориентации. Неучтенные слабые перекрестные связи парируются системой управления по каждому из каналов как внешние воздействия.

При моделировании космического аппарата абсолютно твердым телом нет принципиальных ограничений для достаточно точного релейно-импульсного управления при любом числе переключений с отображением процессов и алгоритмов управления в соответствующем фазовом пространстве. Но при существенном влиянии упругих ВЭ модель динамической системы управления ориентацией усложняется.

Рассмотрим управляемое движение аппарата относительно одной из осей ориентации:

— 2 А

/0 -2=мв (0 +Му (х)+1(0), (1)

—

где /0 и 0 — момент инерции и угловое отклонение основного тела — корпуса; Мв(¿), Му(х), L(0) — возмущающий, управляющий и созда-

ваемый упругими элементами моменты соответственно. В частных случаях простейших законов управления данное уравнение может быть проинтегрировано аналитически или численно [2]. Однако при усложнении сигнала управления х(0,00,г) анализ динамики КА становится затруднительным. Поэтому представим уравнение движения аппарата с упругими выносными элементами в виде

-2

—0к (г) = е(г, х), (2)

— 2

—2 —

—0„ (г) + 0п (г) + юХ (г) = кп е(г, х), (3)

—г2 —г

где 0к(г) — угловое отклонение квазитвердого КА; 0п(г) — дополнительное угловое отклонение корпуса КА из-за упругих колебаний ВЭ; в(г, х) = М (г, х)//0; М (г, х) = Мв (г) + Му (х); х — сигнал управления; — коэффициент демпфирования; шп — частота упругих колебаний ВЭ; кп — коэффициент инерции ВЭ, зависящий от геометрических и механических характеристик.

Двигатели роторов при кратковременном включении дают практически постоянный момент Му(х). Медленно изменяющийся внешний момент может быть аппроксимирован на участке интегрирования его усредненным значением.

Таким образом, математическая модель движения деформируемого аппарата в общем случае может быть представлена схемой (рис. 1).

Исследовать систему уравнений (2), (3) аналитически также невозможно. Однако для большинства КА с нежесткими ВЭ на стадии предварительного проектирования и структурного синтеза системы ориентации достаточно ограничиться учетом влияния какого-либо одного определяющего тона. В этом случае математическая модель ДКА должна включать подсистему, выделенную на рис. 1 штриховой линией.

Известно, что исследование подобных систем можно выполнить методом фазовой биплоскости [3]. Более того, переходя в область многолистных фазовых отображений [4], можно учесть влияние нескольких тонов. Однако в прикладных задачах последнее требует достаточно точного определения основных динамических характеристик упругих ВЭ, что является отдельной сложной проблемой техники, и методов наземного эксперимента, адекватного космическим условиям функционирования ВЭ [5]. Поэтому здесь ограничимся учетом одного тона колебаний.

Используя систему уравнений (2), (3), получим аналитические выражения для фазовых траекторий на каждом из листов фазовой биплоскости. С учетом [3] будем отображать переносное движение

Рис. 1

корпуса аппарата как твердого тела на одном листе фазовой биплос-кости в координатах х = 0и (/), у =0и (^а на другом листе в координатах х = 0», у = (3»ш-1 отобразим относительное движение аппарата — дополнительные угловые колебания корпуса, вызываемые поперечными колебаниями упругих ВЭ. Перепишем (2) в виде

°у в(х) Ох —=— , —=у®».

ш ®п т

(4)

Разделив первое уравнение на второе и проинтегрировав при х (0) = х0, х(0) = Х0, получим уравнение фазовой траектории переносного движения

У2 "У<2 = х"х0).

Решение (3) с учетом V = ^ 1 имеет вид

(5)

0 =

в-^пЮп'Л cos(®nVt + 8) + к»г(х)

/

(6)

Обозначив 0С = £»£(х)/ ©2, с1 = ®^Л, запишем (6) в виде

Gn - Ge = Ae-^"°nt cos((nvt + 5).

Введем линейные преобразования:

Тогда

u

u - OnV(Gn -Ge ), ^ = G - ^n®n (Gn - Ge ).

= ele ^n°nt cos((nVt + 5), 9 = Cle ^n°nt sm(©nVt + 5).

(7)

(8)

С помощью подстановки u = p cos ф, 3 = p sin ф при p2 = u2 + 32 запишем уравнение фазовой траектории

p2 = el2e-2^n°nt.

(9)

Воспользовавшись выражением tgф = 3 / и , найдем ф = -(шпV X + 5), дающее г = -(ф- 5) / (ш^). Подставив последнее в (9), получим

о2

■V2(G-Ge)2 +[G - (G-Ge)

= A2®n¡v2e~2^n5/v exp

2^и t G + £июи(G-Ge)

-arctg-1-1

V Q„v(G-Ge )

(lO)

Введя х = 0п, у = 0пшп , уравнению траектории (10) можно придать вид

[[ + (cc-Cce )]2 +v2( cc - Cce )2 = K exp

" arctgy(c-c)

V

v(cc - cce )

(ll)

где xc = 9c — статический угол отклонения системы; K = A2v2e_2^"ô/v; а ô и A определяются из начальных условий.

Проиллюстрируем метод фазовой биплоскости примером аппарата с релейным управлением, полагая M у (х) = Ma (момент активный) в активной и M(х) = Mc (момент сопротивления) в пассивной зонах. Соответственно получим.

cet = MaKn /(((Io), ^ee = MeKn /(((Io).

Рассмотрим сначала условие захвата регулятора упругими колебаниями КА при п = 0 . Предполагаемый вид фазовой траектории Ьг (0 -1 - А - 2) аппарата как твердого тела представлен на рис. 2.

Изображающая точка деформируемого КА из положения приближается к линии переключения по некоторой кривой. В момент ¿1 она перейдет линию р. Естественно предположить для определения нижней границы устойчивости с учетом неполноты информации о колебаниях ВЭ, что в этот момент имеют место наихудшие условия по фазе из всех возможных. Тогда в соответствии с [3] начальные условия можно записать так:

х (ь - 0) = X = р - Хсс - Р0], У (¿1 - 0) = У1, (12)

х (¿1 - 0) = X = Хсс + Р0 ], У (к - 0) = 0.

В соответствии с используемыми кусочно-нелинейными элементами фазовых траекторий начальные условия трансформируются в конечные значения параметров системы на исследуемом интервале. Данные значения принимаются в качестве начальных условий последующего интервала и т. д.

Условия имеют место, когда

Рис. 2

^s(x)i

sign хmax(/i) = -sign-t = t1, y{t\) = 0. (13)

dt

Согласно рис. 2, видим, что включение в этом случае происходит с опережением и изображающая точка корпуса КА будет двигаться на активном участке траектории переносного движения Ie - A' вместо I — A. Кроме того, изменяется и относительное движение — возрастает амплитуда колебаний роj. При мгновенном приложении управляющего момента Ma к корпусу аппарата ВЭ начинают «раскачивать» корпус в соответствии с выражением

х knMa\ . (t )a х f1 2ntЛ х =-I s.n шп(t — x)ax = xca I 1 — cos-I, (14)

Io<»n 0 v T J

поэтому амплитуда относительных колебаний (см. рис. 2)

р 1,^ =р0 j + Xca + Xcc. (15)

Условие захвата запишется как

x(ts) + X(ts) = а при t1 < ts < t1 + л /юп . (16)

Обозначив х (ts) — xs, X(ts) = Xs, перепишем (16) в виде

Xs — Xs = а, (17)

_ _ _ - - р _ _

где Xs = X1 + X1,s, Xs = — Xca — P1,s, X1,s = У1 • Л — Sa-2.

2шП

Подставив X1, x1, s, Xs в (17) и приняв во внимание, что захват имеет место при р0г- = pkp, получим

Р-а- 2ркр -Ц- (л2 / 2 + 2кп) -2кпвсш -2 + ущ = 0, (18)

ю2п

где 8а = Ма / 1о; 8с = Мс / 1о

В пространстве параметров 8а, 8с, юп, кп, Р, а, ркр, у1 уравнение (18) представляет границу области устойчивости.

Если в частном случае а = Р, то (18) примет более простой вид:

лу - 8аШ-2 (л2 / 2 - 2кп) - 2кп8сШ-2 - 2роу = 0. (19)

Если обозначить ^ = Р - а и предположить, кроме того, что внешнего момента в а-зоне нет (Мс = 0), то (18) приводится к другому частному случаю, полученному ранее [3]:

2ркр =Л + ЛУ1 -8аш2 (2 к п + л2/2). (20)

Все предыдущие рассуждения проведены в предположении, что переносная скорость у1 при ^-переключении известна.

Из уравнения (5) следует, что значение у1 определяется законом ре-лейно-импульсного управления, который должен быть выбран заранее.

Таким образом, путем обобщения известного решения [3], относящегося к газоструйным органам управления с нулевым моментом в нейтральной зоне, можно получить (применительно к роторным системам) удобные аналитические выражения для границ областей устойчивости, используя кусочно-линейную аппроксимацию управляющего момента с учетом влияния упругости, запаздывания, моментов трения и других факторов, определяющих динамические характеристики деформируемого КА.

Для современных многопозиционных систем ориентации КА исследование переносного движения корпуса из-за сложного характера релейно-импульсной функции в(х) представляет собой трудоемкую самостоятельную задачу, без решения которой невозможно исследование устойчивости с учетом упругости. Указанные трудности преодолеваются использованием алгоритмов отображения КА как твердого тела на нижнем листе фазовой биплоскости с применением метода точечных преобразований [1, 6].

В качестве удобообозримого иллюстративного решения получим сначала изолированный предельный цикл системы, которая содержит датчик сигналов позиционного типа со сравнительно простой характеристикой (рис. 3).

Уравнение переносного движения квазитвердого аппарата в соответствии с (1) может быть представлено в виде

Рис. 3

К анализу систем ориентации деформируемых космических аппаратов

/оё = Мв + Му (х), (21)

где /0 — момент инерции аппарата; Мв, Му — внешний и управляющий моменты соответственно. С учетом момента сухого трения в опорах качения Мт, а также вентиляционных потерь Мг запишем

Мп Г (х ) - Мт81§и О-Мг О М у (х) =-о-,

Отах

где Мп — пусковой момент; Г(х) — закон управления. Кинетический момент ротора

Н = Но + Мп (п, т) + | (Мт + Мг) С, (22)

где т — длительность импульсов; Н0 — начальный кинетический момент управляющего ротора; п — число включений ротора.

В соответствии с определенной импульсно-позиционной функцией сигнала управления фазовая плоскость (ё, ё) разбивается прямыми

ё = а, - а, а + пк Ап, а + пк (Дп + ват2 / 2), -а-прДп,-а-пр(Дп + ват2 /2)

на ряд 2(п1 + п2) +1 областей. Здесь пк = 1, 2, 3,..., п1;пр = 1, 2, 3,..., п2 —

номер импульса на фазовых полуплоскостях ё > 0 и ё < 0 соответственно; дп — шаг импульсно-позиционной зоны.

Определим изменение скорости и координаты при движении точки на участках SQ, ОА, АВ, ... фазовой траектории:

Дё^е = ё - р, дё SQ = •Т^ё^Осе-р), дёQA = а+р,

,___ т2 (23)

дёОА = ёО - ^ёО - 2воа (а + Р), Дёав = , Дёав = вав т,

где т — длительность импульса; вsQ, воа , вав — ускорения на соответствующих участках фазовой траектории.

Указанные вычисления можно продолжить при неограниченном увеличении числа переключений и построить функцию последования

ё = / (ё) при известных параметрах аппарата и его роторной системы управления ориентацией.

Функция последования определяет переходы от предыдущего типа управления к последующему. В указанном смысле метод фазовой биплоскости может рассматриваться как обобщение метода припасо-вывания в динамике нелинейных систем. В частности, на рис. 3 представлены фазовые траектории для гипотетического аппарата с параметрами:

10 = 1000 кг-м2; Мг = Мт = 0,001 Н• м; Итах = 20 Н• м • с;

Мп = 0,2 Н• м; а = 0,0175; И = 10 Н• м • с;

М в = 0,0001 Н • м; в = 0,0349; т = 1 с

при различных начальных состояниях.

Заметно, что все траектории асимптотически приближаются к замкнутому изолированному предельному циклу, устойчивость которого следует из соответствующей ему диаграммы Кенигса — Ламерея.

Параметры системы управления и аппарата в режиме установившихся автоколебаний взаимообусловлены. Их зависимость можно получить в явном виде. Вычислим изменение скорости за время одного цикла А0 33 = 0 в виде суммы последовательных приращений на каждом из участков (см. рис. 3):

А0 з3 = А0 зд} + А0 дл} + А0 ав } + А0 вс} + А0 сб } + А0 вк} + +А0 кз} + А0 зг} + А0 Ж} + А0 кь} + А0 ш} + А0мм } +

+А0 мр } + А0 р3} = 0. (24)

В уравнении (24) каждое из выражений, стоящих до определенной фигурной скобки, содержит приращения скорости на всех предыдущих участках. Подставив в (24) кинематические условия

0 = 0=0* (0* = 0), следующие из условий существования предельного цикла, и принимая во внимание зависимости (23), получим уравнение связи параметров предельного цикла:

Г(/0, Итах, И0, X,Мп,Мв, Щ, п2, 0*) = 0. (25)

Анализируя это уравнение, можно найти параметры в области возможных технических структур и реализаций, обеспечивающих требуемые предельные циклы. Изучая сечения в области исследуемых параметров, можно получить частные зависимости для любых двух или трех переменных параметров. Аналитические функции типа (25) удобны на стадии предварительного проектирования при определении границ области допустимых значений параметров системы.

В качестве примера представлены полученные с помощью фазовых аналитических функций последования устойчивые предельные циклы (А; В; С) с различным числом переключений для гипотетического квазитвердого аппарата (рис. 4).

Для гипотетического аппарата с характеристиками, указанными выше, применительно к одноимпульсному предельному циклу типа А (см. рис. 4) на рис. 5 представлены области устойчивого функционирования системы управления ориентацией с учетом упругих колебаний, где использованы обозначения: — частота определяющего тона упругих колебаний ВЭ; С — параметр размаха угловых колебаний КА из-за поперечных колебаний ВЭ. Частота колебаний квазитвердого аппарата

Рис. 4 Рис. 5

Пространство под поверхностью рельефа, изображенного на рис. 5, является областью допустимых значений параметров управления ДКА. Пространство над рельефом является областью возможных

захватов системы управления ориентацией упругими колебаниями и возбуждения автоколебаний.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. Москва, Наука, 1974.

[2] Попов В.И., Северова Л.В. Динамика маховичной системы управления движением космического летательного аппарата относительно центра масс с учетом упругих элементов. Москва, Наука, 1979, с. 83-90.

[3] Рутковский В.Ю., Суханов В.М. Об устойчивости релейных систем управления ориентацией деформируемых спутников. Управление в пространстве, т 1. Москва, Наука, 1973, с. 37-43.

[4] Павлов Ю.Н., Северова Л.В. Об использовании многолистных фазовых поверхностей в динамике космического аппарата. Тр. XIV Чтений К.Э. Циолковского. Секция «Механика космического полета». Москва, ИИЕТ АН СССР, 1980, с. 101-108.

[5] Северова Л.В. К определению динамических характеристик развертываемых космических конструкций. Тр. XV Чтений К.Э. Циолковского. Секция «Механика космического полета». Москва, ИИЕТ АН СССР, 1981, с. 21-28.

[6] Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Москва, Физ-матгиз, 1959.

Статья поступила в редакцию 05.02.2014

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Северова Л.В., Северов С.П. К анализу систем ориентации деформируемых космических аппаратов. Инженерный журнал: наука и инновации, 2014, вып. 1. URL: http://engjournal.ru/catalog/machin/rocket/1190.html

Северова Людмила Васильевна — канд. техн. наук, доцент кафедры «Теоретическая механика». Окончила МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1965 г. и на протяжении 48 лет постоянно работает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Северов Станислав Павлович родился в 1937 г. Д-р техн. наук, профессор кафедры «Подводные роботы и аппараты» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 68 научных статей и 54 изобретений в области динамики машин, приборов и аппаратов ракетно-космической и подводной робототехники, а также в области теории и креативных методов высшего инженерного профессионального образования. е-mail: sseverov@mail.ru

On the analysis of the orientation of deformable spacecraft

© L.V. Severova, S.P. Severov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The problem under consideration is formulated as follows. There is a spacecraft (SC) with external elastic elements of solar panel type. The main design parameters of the spacecraft and dynamic characteristics (shape, frequency and damping) are assumed to be theoretically determined and experimentally confirmed by flight or ground simulation tests. SC has a system of sensors that determine its orientation to the specified object in the sky, as well as an active complex of executive bodies — the engines. The craft must keep the specified orientation in the definitely small area of variations. At the preliminary design stage it is required to synthesize a nonlinear system of orientation of the deformed craft. The study is aimed at using the flywheel rotor as the executive body and the method of poly-phase plane for algorithmization of orientation management processes. In accordance with the method of bi-plane, the paper looks at the portable motion of the vehicle on a single sheet and the relative motion of solar cells on the second sheet of the phase bi-plane. The results could be used to detect the closed limit cycles of self-oscillation, and to assess the accuracy of the craft orientation.

Keywords: spacecraft, solar panels, the system of orientation, the phase plane.

REFERENCES

[1] Raushenbakh B.V., Tokar' E.N. Upravlenie orientatsiey kosmicheskikh appa-ratov [Orientation control of spacecraft]. Moscow, Nauka Publ., 1974.

[2] Popov V.I., Severova L.V. Dinamika makhovichnoi sistemy upravleniya dvizheniem kosmicheskogo letatel'nogo apparata otnositel'no tsentra mass s uchetom uprugikh elementov [Dynamics of flywheel motion control system of the spacecraft relative to the center of mass taking into account elastic elements]. Moscow, Nauka Publ., 1979, pp. 83-90.

[3] Rutkovskiy V.Yu., Sukhanov V.M. Upravlenie v prostranstve, tom 1 [Space control, vol. 1]. Moscow, Nauka Publ., 1973, pp. 37-43.

[4] Pavlov Yu.N., Severova L.V. Ob ispol'zovanii mnogolistnykh fazovykh pov-erkhnostei v dinamike kosmicheskogo apparata [On the use of multi-sheeted phase surfaces in the dynamics of spacecraft]. Tr. XIV Chteniy K.E. Tsiol-kovskogo. Sektsiya «Mekhanika kosmicheskogo poleta» [Proc. XIV, K.E. Tsiolkovsky Read. Section "The mechanics of space flight"]. Moscow, Inst. Hist. Sci. Tech. Acad. Sci. USSR, 1980, pp. 101-108.

[5] Severova L.V. K opredeleniyu dinamicheskikh kharakteristik razvertyvae-mykh kosmicheskikh konstruktsiy [On the dynamic characteristics of deployable space structures]. Tr. XIV Chteniy K.E. Tsiolkovskogo. Sektsiya «Mekhanika kosmicheskogo poleta» [Proc. XIV, K.E. Tsiolkovsky Read. Section "The mechanics of space flight"]. Moscow, Inst. Hist. Sci. Tech. Acad. Sci. USSR, 1981, pp. 21-28.

[6] Andronov A.A., Vitt A.A., Khaikin S.E. Teoriya kolebaniy [Theory of oscillations]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959.

n.B. CeBepoBa, C.n. CeBepoB

Severova L.V. graduated from Bauman Moscow Higher Technical School in 1965. Ph.D., assoc. professor of the Theoretical Mechanics Department at Bauman Moscow State Technical University.

Severov S.P. (b. 1937), Dr. Sci. (Eng.), Professor of the Underwater Robots and Machines Department at Bauman Moscow State Technical University. Author of 68 scientific papers and 54 inventions in the field of dynamics of machines, instruments and apparatus of rocket-space and underwater robotics, as well as in the theory and techniques of creative engineering in higher professional education. e-mail: sseverov@mail.ru