ИЗУЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 372.851

ИЗУЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОМ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ STUDYING OF A DERIVATIVE IN A SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS

Чичкаков А. А., студент ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск

Аннотация. В данной статье рассматривается изучение производной в школьном курсе математики.

Ключевые слова: производная, предел, касательная, кривая. Abstract. The article observes a question of studying of a derivative in a school course of mathematics.

Key words: derivative, limit, tangent, curve.

В образовательной системе Республики Алтай основные общеобразовательные учреждения обучаются по учебнику Мордковича А.Г. «Алгебра и начала анализа» 10-11 классы.

В своем учебнике Мордкович А.Г. перед изучением понятия производной дает несколько рекомендаций:

- повторить линейную функцию и элементарную функцию, так как это объясняет основную идею дифференциального исчисления;

- повторить понятия приращения функции и приращение аргумента;

- выработать у обучающихся твердых навыков в их нахождении;

- выяснить геометрический смысл отношения приращения функции к приращению аргумента, ввод понятия касательной к кривой как предельного положения секущей.

Только после того как будут рассмотрены и отработаны выше сказанные четыре пункта можно переходить к изучению понятия производной, к изучению важнейших формул для нахождения производной и к решению примеров.

Определение. Пусть функция у = f (x) определена в конкретной точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение Ах, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение Ау и составим отношение Л* г- ~

—. Если существует предел этого отношения при условии Ах ^ 0, то указанный предел

Лу

называют производной функции у = f (x) в точке х и обозначают f'(x).

Итак, lim Ду = f' (x). Для обозначения производной часто используют символ у'».

Алгоритм вычисления производной:

1. Значение х зафиксировать и найти f (x);

2. Аргументу х дать приращение Ах, затем перейти в новую точку х + Дх и найти

f (x + Ax);

3. Найдем приращение функции Ду - f (x + Ax) - f (x);

- Ду

4. Составим отношения приращений —;

Ax

5. Вычислим предел Ду = f' (x)

Основные формулы для вычислений производных:

C = 0; x' = 1; (kx + m)' = k; (x2)' = 2x; |-| =--!-; (Vx)' = —^;

xJ x2 ' vv y 2Vx

(sin x)' = cos x; (cos x)' = - sin x; (u + v) ' = u' + v'; (u ■ v) ' = u' ■ v + u ■ v'; I — I =

u Л u' ■ v - u ■ v'

v 1 v2

Рассмотрев вышеизложенный алгоритм вычисления производной и основные формулы для вычислений производных. Решим несколько примеров для нахождения производных функций.

Пример 1. Найти значения функции y = 7 x4 + 54 в точке x = 1.

Решение. (7x4 + 54)' = 7 ■ 4х3 = 28х3, значит f'(1) = 28 ■ 13 = 28.

Пример 2. Найти производную в точке x = 0, если функция задана так: y = (x2 + 2x +1) ■ (x2 + 3x - 6).

Решение.

y = (x2 + 2x+1)' ■ (x2 +3x-6)+(x2 +3x - 6)' ■ (x2 + 2x+1)=(2x+2) ■ (x2 +3x-6)+(2x+3) ■ (x2 + 2x+1) У (0) = 2 ■ (-6)+3 = -9.

Пример 3. Найти производную функции y = xex sinx.

Решение. y' = (x ■ ex) ' ■ sinx+xex ■ (sinx) ' = ex ■ sinx + xex ■ sinx + xex ■ cosx.

Таким образом, изучение производной в школьном курсе математики базируется на основных теоретических знаниях определений и теорем.

Библиографический список:

1. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений - 2-е изд. [Текст] / А. Г. Мордкович [и др.]. - М. : Мнемозина, 2001. - С. 151.

2. Темербекова, А. А. Методика обучения математике: учебное пособие (для студентов высших учебных заведений) [Текст] / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013. - С. 351.

3. Методика изучения производной [Электронный ресурс]. - URL : http://proizvodnaya.blogspot.ru/2014/12/blog-post.html (18.01.18).