Изучение особенностей изменения уровня грунтовых вод с помощью математического моделирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

-------------------□ □----------------------

Для обчислення рівномірного підйому рівня грунтових вод по всій території м. Харкова, була розроблена математична модель, яка враховує додаткову інфільтрацію в грунтові води, кількість опадів, що інфільтруються в грунтові води, транспірацію, випаровування та водовідбір з підземних вод. Розроблений підход доз-вляє застосувати чисельні методи оцінки для прогнозування процесу зміни рівня грунтових вод на забудованих територіях з урахуванням різних природних та техногенних факторів

Ключові слова: додаткова інфільтрація, підтоплення міських територій, математична модель

□----------------------------------□

Для вычисления равномерного подъема уровня грунтовых вод по всей территории г. Харькова, была разработана математическая модель, которая учитывает дополнительную инфильтрацию в грунтовые воды, количество осадков, инфильтрующихся в грунтовые воды, транспирацию, испарение и водоотбор из подземных вод. Разработанный подход позволяет применить численные методы оценки для прогнозирования процесса изменения уровня грунтовых вод на застроенных территориях с учетом различных природных и техногенных факторов

Ключевые слова: дополнительная инфильтрация, подтопление городских территорий, математическая модель -------------------□ □----------------------

1. Введение

Инженерно-строительная деятельность человека и другие техногенные причины изменяют естественные режимообразующие факторы и способствуют формированию искусственного или нарушенного режима подземных вод. Для крупных городов Украины характерно повышение уровня грунтовых вод и прогрессирующее развитие процесса подтопления. Харьковская область — одна из самых урбанизированных на Украине, где процесс подтопления имеет довольно широкое распространение. Подтопление распространено в 39 городах и поселках городского типа и 205 сельских населенных пунктах. Общая площадь подтопленных земель составляет 13,12 тыс. га [1].

Наиболее эффективным путем борьбы с подтоплением является предотвращение его появления за счет реализации на начальных этапах строительства соответствующих мероприятий и средств инженерной защиты, гидрогеологическое обоснование которых основывается на достоверном прогнозе развития процессов подтопления [2]. Методы и методики прогноза подтопления городских территорий требуют разработки моделей с учетом техногенных факторов: искусственных покрытий, уменьшающих транспирацию и испарение, изменение водного баланса подземных вод

УДК 504.43

ИЗУЧЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ ГРУНТОВЫХ ВОД С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Е. А. Стрельникова

Доктор технических наук, ведущий научный

сотрудник* E-mail: elena15@gmx.com Е. Н. Серикова

Инженер I категории по охране окружающей среды*

E-mail: elena.kharkov@mail.ru *Институт проблем машиностроения им. А.Н.

Подгорного НАН Украины ул. Дм. Пожарского, 2/10, г. Харьков, Украина,

61046

под воздействием дополнительной инфильтрации и водоотбора из грунтовых вод.

Целью выполненных исследований является применение численных методов прогнозов подтопления, реализация которых обеспечивает повышение качества прогнозов за счет учета техногенных факторов подтопления городской территории и применения в расчетах программных пакетов, снижение затрат времени и ресурсов, возможность широкого внедрения в практику инженерных изысканий и проектирования.

2. Анализ исследований и публикаций

Фильтрация воды в грунтах всегда нестационарная, трехмерная, а скелет грунта имеет склонность к деформации и анизотропии. Кроме того, в воде присутствует воздух, что увеличивает ее сжимаемость [3] и уменьшает проницаемость пористой среды [4, 5]. Однако на практике дифференциальные уравнения фильтрации стремятся по возможности упростить для того, чтобы получить несложные аналитические решения в виде формул. При этом опускают из рассмотрения не очень существенные особенности процесса фильтрации.

Дифференциальными уравнениями фильтрации занимались Павловский Н.Н., Полубаринова-Кочина

Е

© Е. А. Стрельникова, Е. Н. Серикова, 2013

П.Я., Веригин Н.Н., Муфтахов А.Ж., Аверьянов С.Ф. и другие [6].

3. Граничные условия модели

Рассматривается случай плоской фильтрации.

Рис. 1. Схема измения уровня грунтовых вод

Уравнение фильтрационного напора имеет вид: Э2Ь 2 Э2Ь .

э?+7 V = °,

(1)

Поскольку моделирование производится для небольших участков городской территории (промышленных объектов, зданий и т.д.), то принимаем, что боковой приток и отток равны между собой:

ЭЬ

Эу

l + a, -l - a = 0

У = l + a

=0

у = -l -a

=0

часть баланса грунтовых вод); s1 - количество осадков, которое инфильтруется в грунтовые воды (приходная часть баланса грунтовых вод); g1 - интенсивность транспирации (расходная часть баланса грунтовых вод); d1 -интенсивность испарения (расходная часть баланса грунтовых вод); к1 - водоотбор из грунтовых вод (расходная часть баланса грунтовых вод).

Задаем симметричную модель, поэтому ^= £2; s1= 32; gl= g2; dl= d2; к1= к2.

Получим:

ЭЬ

Эп

l < у < -l - a

= f2 + S2 - g2 - d2 - k2

Решаем уравнение (1) методом разделения переменных.

h(xy) = X(x)Y(y),

X"(x)Y(y) + y 2X(x)Y"(y) = 0, Делим уравнение (2) на h(x,y) X"(x) , Y"(y)

(2)

- + Y

X(x) ' Y(y)

= 0,

X"(x) = y2 Y"(y) ■ = -T

X(x)

Y(y) ’

(3)

В уравнении (3) левая часть зависит только от х, а правая только от у, поэтому обе части равны константе X

V2 Y//(y) .

-у--------= X ,

Y(y) ’

Y,,(y) X

Y(y)

Y

Первоначальный уровень принимается за точку отсчета, h=0:

x=0

= 0,

На расстоянии -1+- 0 и 0 -^1 не происходит инфильтрации, водоотбора, транспирации и испарения из-за искусственных покрытий на этом участке территории:

ЭЬ

Эх

-l < х < l

.= 0.

На расстоянии а происходит инфильтрация, водоотбор, транспирация и испарение:

ЭЬ

Эп

l<y<l+a

= f + s4 - g4 - d4 - k4, где f - дополни-

тельная инфильтрация в грунтовые воды (приходная

Отдельно рассмотрим случай, когда константа разделения равна 0.

а) Х = 0,

Y"(y) = 0,

Y'(y) = c , c - const,

Y(y) = cy + d ,

Y'(l + a) = 0, c = 0,

Y(y) = d,

X"(x) = 0 X(x) ,

X'(x) = ci,

X(x) = c1x + d1,

Ь

Х(0)=0; Х(х^ь

Если константа разделения равна 0, то Ь(х,у) - постоянная величина.

Если принять это предположение, то мы не сможем удовлетворить граничным условиям на расстоянии 1 < у < 1 + а.

б) Х< 0,

Х = -—2,

ГЧу)=—2 Y(У) у2 ,

Y"(y)-4 Y(y) = 0. у2

Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения II порядка:

2

к2 -—_ = 0; к12 = ± — . у2 ' У

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Y(y) = С1Е7 + С2Е 7 .

Удовлетворим граничным условиям:

и -Н-а) — —(1+а)

Y,(-1 _ а) = С^Е7 - С2^Е7 = 0,

и й0+а) и --0+а)

Y,(1 + а) = С^Е7 + С2^Е 7 = 0,

(1+а) 1+а)

Е 7 - Е 7

(1+а)

Е7

Е 7

(1+а)

= 0,

-%+>) ^О+а)

Е 7 + Е7 = 0,

еЬ(2ц(1 + а)) = 0,

Y(y) = С1 еоз—у + С2 3Ш—у .

У У

Удовлетворим граничным условиям:

Y/(-1 - а) = -С1— sin —(-1 - а) + С2 —еоз(-1 - а) — = 0 , У У У У

. (1 + а)ц (1 + а)ц

С зт----------— + С2 еоз----— = 0 ,

Т Т

Y/(1 + а) = -С1 — sin—(1 + а) + С2 — еоз(1 + а) — = 0 ,

У У

У

. (1 + а)ц (1 + а)ц

-С, зш--------— + С2еоз-------— = 0 ,

У У

д =

. (1 + а)ц (1 + а)ц

зш---------— еоз --------------—

. (1 + а)ц (1 + а)ц

- зш----------— еоз ------------—

= 0,

. (1 + а)ц (1 + а)ц . 2(1 + а)ц

2 зш------— еоз-----— = зш—^------— = 0 .

У У У

Решая уравнение (4), определяем значения |л:

2(1 + а)цп

(4)

У

- = лп ; п=1,2...

ппу „ ,

цп =-!— - найден набор соответствующих зна-

2(1 + а)

V / \ Г'п ПП /~'п • ПП

Yn(У) = С1е0« + у + С^Ш у ,

2(1+а) 2(1+а)

Х"(х)

= х,

Х(х)

Х> 0; Х = ц2,

Х"(Х) 2

Х« = Цп,

Х"(х) -цПХ(х) = 0,

Общее решение уравнения (5) имеет вид:

(5)

Так как еЬ(2—(1 + а)) Ф 0, то Х< 0 не удовлетворяет У

условиям задачи, значит Х> 0.

Х(х) = ВпЕ—пх + ВпЕ-—пх,

х=0; Х(х)=0,

в) X = ц2,

Y"(y) —2

Y(y)

У

Вп + Вп = 0; Вп =-Вп Х(х) = В^Ь—^х,

Получено решение краевой задачи:

Y"(y) + —2 Y(y) = 0. У2

Ь(х,у) = £^Ь—П1+Т + П1+Т ),

£? 2(1 + а) 2(1 + а)

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

Введем новые константы: Dn = Вп + Сп; Dn = Вп + Сп,

-уз

У

У

—

—

чений.

Тогда решение примет вид:

Тогда

h(x,y)=L sb^nx(Dn cos тТггт+Dn sin ,

ti 2(l + a) 2(l + a)

E2 = -

)(l + a)

l+a

Определим константы D1n и D2 из граничного

условия — = f(y) - в случае симметричной модели.

Эх

Пусть к=3. Тогда

В силу симметричности модели Dn=0, тогда

h(x,y) = L sh^nxDJ1 cos

япу 2(l + a) ,

dh лт 1, /tv nny

^= Lc¥nx(Di cos27T—ч 9x П=і 2(l + a)

) = f(y); x=0,1;0,2... (6)

LDXc¥nqcos П1+Т = f(y) ,

n=1 2(l + a)

,3 ln v-i . ,3 ln v -1

2 sm(—--)l + sm(—--------------)a +1 + a

2 l+a

2 l+a

E3 = — ,

3 П

Приведем значения коэффициентов для к=1,2,3...

Расчеты и визуализация модели проводилась для территории г. Харькова с помощью программного пакета Maple. Для расчетов были приняты следующие значения составляющих водного баланса:

f1 = 210000 тыс м3/год = 0,7 м/год = 1,9-10-3 м/сут [7].

Обозначим En = Dl^nch^nq , тогда Dl = япу 2(l + a) ,

E

^nch^nq

L E

nnY 4

cos—-------- = f(y),

2(l + a)

(7)

Определим коэффициенты En. Поскольку рассматривается симметричный случай, то, умножая (7) на nky

cos------, получим:

2(l + a)

+a 2 nky о+Г%/ ч nky

2En J cos ол+ ,dy = 2 J f(y)cos dy =

І 2(l + a) 0 2(l + a)

= J [fi + si -gi -di -ki]cos

12 1 + cos2ay

cos2 ay =-----------— ,

nky 2(l + a)

1 l+a

Ek = 7+ J [f1 + s1- g1- d1- k1 ]cos

l+a

dy,

nky 2(l + a)

dy,

Вычисляя эти коэффициенты, получим с точностью до множителя, зависящего от времени

2(l + a)(sin(1 :lnk) - sin(1 nk))

2 l + a 2

nk

Пусть к=1. Тогда

E1 =-

2(sin(1-ln-)l + sin(1 )a -1 - a)

_______2 l + a______2 l + a_________

Среднее многолетнее питание грунтовых вод по данным лизиметрических исследований Коднянского опытного участка в с. Ружки Житомирской области при суммарном годовом количестве осадков 600 мм/год, составляет 0,5-10-4 м/сут, а по данным станции «Фе-офания» у с. Хотов на окраине г.Киева с суммарным годовым количеством осадков 560 мм/год, составляет 1,5-10-4 м/сут [8]. Для расчетов изменения уровня грунтовых вод выбираем наиболее неблагоприятный результат - 1,5-10-4 м/сут.

31 = 1,5-10-4 м/сут [8].

gl = 0,15^1,47 г/дм2-ч = 6,25-10-8 кг/м2-сут [9-11].

dl = 0,21 г/дм2-ч = 8,75-10-8 кг/м2-сут [9-11].

Т - относительная транспирация = 0,7^0,85.

Т = —

1е '

^ - интенсивность транспирации ^1).

1е - интенсивность испарения ^1) [9-11].

к = 19743 м3/сут = 6,6-10-5 м/сут [12].

Визуализация расчетов представлена на рис. 2.

Пусть к=2.

Рис. 2. Изменение уровня грунтовых вод

п=1

п=1

п

Происходит изменение уровня грунтовых вод Ь = 0,00007 м. Через 1 год уровень грунтовых вод повысится на 0,03 м, а через 50 лет - на 1,5 м.

3. Выводы

Для территории г. Харькова дополнительная инфильтрация составляет 1,9-10-3 м/сут, а водоотбор составляет 6,6-10-5 м/сут.

Таким образом, разница между этими основными составляющими водного баланса может прямо пропорционально влиять на опасное повышение уровня грунтовых вод в городских условиях.

Для вычисления равномерного подъема уровня грунтовых вод по всей территории г. Харькова и определения года подтопления территории застрой-

ки, была разработана математическая модель, которая учитывает следующие составляющие водного баланса: дополнительную инфильтрацию в грунтовые воды, количество осадков, инфильтрующихся в грунтовые воды, транспирацию, испарение, водоотбор из подземных вод.

Для вычисления времени, через которое уровень грунтовых вод достигнет нормы осушения, достаточно в данной модели принять за точку отсчета конкретную глубину залегания уровня грунтовых вод на том или ином участке и задать размер исследуемого участка.

Разработанный подход позволяет применить численные методы оценки для прогнозирования процесса изменения уровня грунтовых вод на застроенных территориях с учетом различных природных и техногенных факторов.

Литература

1. Стрижельчик, Г.Г. Подтопление в населенных пунктах Харьковской области [Текст] / Г.Г. Стрижельчик, Ю.П. Соколов, И.А. Гольдфельд, А.Ю. Чебанов, Н.С. Николенко: Х., 2003. - 160с.

2. Серикова, Е. Н. Роль управленческих методов в предотвращении подтопления городов. [Текст] / Е. Н. Серикова,

В. В. Яковлев // Науковий вісник будівництва: Харків, ХНУБА ХОТВ АБУ, 2012. - №68. - С. 382-387.

3. Полубаринова-Кочина, П. Я. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967) [Текст] / Под ред. П.Я. Полубариновой-Кочиной - М., Наука, 1969. -546 с.

4. Аверьянов, С.Ф. Фильтрация из каналов и ее влияние на режим грунтовых вод [Текст] / Аверьянов С.Ф. // Влияние оросительных систем на режим грунтовых вод. -М.: Изд-во АН СССР, 1956. - с. 85-447.

5. Аверьянов, С.Ф. Фильтрация из каналов и ее влияние на режим грунтовых вод [Текст] /С. Ф. Аверьянов - М., Колос,

1982. -238 с.

6. Серикова, Е.Н. Математическое моделирование повышения уровня грунтовых вод под воздействием дополнительной инфильтрации [Текст] / Серикова Е.Н. //Восточно-европейский журнал передовых технологий: Харьков, 2012. - №6/4 (60). - с. 26-33.

7. Серикова, Е.Н. Дополнительная инфильтрация в подземные воды на территории крупных городов (на примере г. Харькова) [Текст] / Серикова Е.Н., Яковлев В.В.// Научно-технический сборник «Коммунальное хозяйство городов»: Харьков, ХГАГХ, 2011. с. 344-348.

8. Шестопалов, В. М. Водообмен в гидрогеологических структурах Украины [Текст]. / Под. ред. Шестопалова В.М. Институт геологических наук АН УССР: Киев, 1989. 286с.

9. Транспирация и её значение в жизни растений [Текст]. Библ. указ., Л., 1962.

10. Слейчер, Р Водный режим растений [Текст] : пер. с англ., М., 1970. 368 с.

11. Рубин, Б. А. Курс физиологии растений [Текст] Б. А. Рубин, 3 изд., М., 1971. 672 с.

12. Постанова КМУ ”Про затвердження Порядку ведення державного водного кадастру” [Текст] від 08.04.1996 N 413.